2013年人教版高一数学必修二第一单元测试试
高中数学必修二测试题及答案人教版
第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。
人教版数学高一单元测试卷第一、二章_滚动性检测含解析
C．－x3＋x2D．x3－x2
答案：B
解析：令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝x2(1＋x)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(1＋x)＝x3＋x2.
7．已知函数f(x)＝ 那么f(ln2)的值是()
A．0 B．1
C．ln(ln2) D．2
答案：B
解析：∵ln2<1，∴f(ln2)＝eln2－1＝2－1＝1.
∴log2(a＋9)＜3＝log28，
∴0＜a＋9＜8，∴－9＜a＜－1.
(2)当a＝1时，f(x)＝log2(x2＋4x＋5)，
令t＝x2＋4x＋5，则t＝(x＋2)2＋1≥1，
解：∵B⊆A，当B＝∅时，得2m－1＞m＋1，m＞2，
当B≠∅时，得 解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范＋5)．
(1)若f(1)＜3，求a的取值范围；
(2)若a＝1，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(1)＝log2(a＋9)，
答案：C
解析：∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，而3<π<4且f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4)．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝x2(1－x)，则当x＜0时，f(x)＝()
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案：C
解析：由题意可得 或 解得 或 ⇒a＞1或－1＜a＜0.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
最新人教版高中数学必修二第一、二章同步测试试卷及解析
单元形成性评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )A．点P一定在直线BD上B．点P一定在直线AC上C．点P一定在直线AC或BD上D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】选B.如图，因为P∈HG，HG⊂平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.2．给定下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，说法正确的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④【解析】选D.当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )A ．15750B ．258C ．237D ．227【解析】选D.设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13 πr 2h ＝L 2h12π.令L 2h 12π ＝7264L 2h ， 得π＝227.5．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14B．5－12C．5＋14D．5＋12【解析】选C.如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝PE2－OE2＝b2－a42，由题意PO2＝12ab，即b2－a24＝12ab，化简得4⎝⎛⎭⎪⎫ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝1＋54(负值舍去).6．E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是( )A.0 B．1C．2 D．3【解析】选C.在△ACD中，因为G，F分别为AD与CD的中点，所以GF∥AC.而GF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，所以AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.7．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )A.垂直B．平行C．相交但不垂直D．要依P点的位置而定【解析】选B.连接B1N，MN，CN.因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，所以MN B1B，又B1B C1C，所以四边形MC1CN为平行四边形，所以C1M∥NC.因为C1M⊄平面NCB1内，NC⊂平面NCB1，所以C1M∥平面NCB1.同理可得AM∥平面NCB1.又因为C1M∩AM＝M，AM⊂平面C1AM，C1M⊂平面C1AM，所以平面C1AM∥平面NCB1.又因为P点在线段B1C上，所以NP∥平面C1AM.8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15【解析】选D.由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15.9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【解析】选D.因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.故A一定成立；因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m.故B一定成立；因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α.所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β.故C一定成立；因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．10．E，F，G分别为正方体ABCDA1B1C1D1中平面A1B1C1D1，平面B1BCC1，平面CC1D1D的对角线交点，则AE与FG所成的角为( )A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】选A.如图，易得FG∥BD，B1D1∥BD，AE⊥B1D1.所以选A.11．(2021·全国甲卷)已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为( )A．212B．312C．24D．34【解析】选A.因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以AB ＝ 2 ，所以OO ′＝OA 2－AO ′2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝22 .所以V O －ABC ＝13 ·S △ABC ·OO ′＝13 ·12 ·1·1·22 ＝212.12．已知二面角αl β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为 3 ，Q 到α的距离为2 3 ，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4【解析】选C.如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝2 3 ，BP ＝ 3 ，所以AC ＝PD ＝2.又因为PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3 ，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．二、填空题(每小题5分，共20分)13．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.【解析】设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r)×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7. 答案：714．如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝32l＝2 3 .故该圆锥的体积V＝13π×AO2×SO＝13π×(2 3 )2×2＝8π.答案：8π16．已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，PB⊥平面PAC，则四面体PABC 外接球的体积为________．【解析】因为PA＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，所以在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，又因为PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.以PA，PB，PC为长、宽、高，作长方体如图所示，则该长方体的外接球就是四面体PABC的外接球．因为长方体的体对角线长为42＋42＋22＝6，所以长方体外接球的直径2R＝6，则R＝3，因此，四面体PABC的外接球体积为V＝4π3R3＝36π.答案：36π三、解答题(共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥DAEC的体积．【解析】(1)因为AD⊥平面ABE，且AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.因为AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，又因为BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H. 因为AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ABE，又因为平面ABCD∩平面ABE＝AB，EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD.由已知及(1)得EH＝12AB＝ 2 ，S△ADC＝2 2 .故VDAEC ＝VEADC＝13×2 2 × 2 ＝43.18．(12分)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12 AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：BC∥平面PAD；(2)若△PCD面积为27 ，求四棱锥PABCD的体积．【解析】(1)因为底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，又因为侧面PAD垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝ 2 x，PM＝ 3 x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝142x.因为△PCD的面积为27 ，所以12× 2 x×142x＝27 ，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3 .所以四棱锥PABCD的体积V＝13×2（2＋4）2×2 3 ＝4 3 .19．(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2 3 ，求EF与平面ABC所成的角．【解析】(1)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE12B1C1.又因为BC B1C1，BF＝12BC，所以DE BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1 B，EF⊄平面AA1B1 B，所以EF∥平面AA1B1B.(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH. 因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝ 3 ，EH＝AA1＝3，所以tan ∠EFH＝EHFH＝ 3 ，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.20．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC 于点M.求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ； (3)平面PBC ⊥平面ADMN.【证明】(1)因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC. 又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN.又因为AD ∥BC ，所以MN ∥BC. 又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点，所以MN ＝12 BC.因为E 为AD 的中点，所以DE ＝12 AD ＝12BC ＝MN ，所以DE MN ，所以四边形DENM 为平行四边形，所以EN ∥DM.又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，所以EN∥平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，所以BE⊥AD.又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PEB.因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥PB.又因为PA＝AB，且N为PB的中点，所以AN⊥PB.因为AD∩AN＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ADMN.21．(12分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3 ，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解析】(1)由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2) 如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，DM＝AD2＋AM2＝13 .因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.在Rt△DAN中，DN＝AD2＋AN2＝13 .在等腰△DMN中，MN＝1，可得cos ∠DMN＝12MNDM＝1326.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝ 3 . 又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝4.在Rt△CMD中，sin ∠CDM＝CMCD＝34.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34 .22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解析】(1)设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB. 在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF，DE⊂平面DEF，PB，GB⊂平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.。
人教版高中数学必修二第一章测试题及答案
人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。
解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。
人教B版高中数学必修二第二学期高一单元测试.docx
北京市西城区普通高中校2012-2013学年度第二学期高一数学单元测试《平面解析几何初步》A 卷班级_______________姓名_______________成绩__________________(考试时间：30分钟 试卷满分：70分)一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知点P (1,3)，Q (5,1)-，则以P 、Q 为端点的线段的垂直平分线的方程是（ ）A 、380y x --=B 、380x y -+=C 、340y x ++=D 、340x y ++=2. 已知点P (1,3)，Q (5,1)-，则以P Q 为直径的圆的方程是（ ）A 、()()221110x y ++-=B 、()()221140x y ++-=C 、()()222210x y ++-=D 、()()222240x y ++-=3. 圆P ：224690x y x y +--+=和圆Q ：22126190x y x y +++-=的位置关系为 A 、 相交 B 、相切 C 、 内含 D 、相离4. 圆：042422=+--+y x y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、55. 已知圆06222=+-++F y x y x 与直线052=-+y x 交于 A,B 两点，O 为坐标原点，若,OB OA ⊥则F 的值为 A 、0 B 、2 C 、1- D 、2二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上.6. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤03022y x y x y ，则其可行域的面积是 （平方单位）.7. 直线,01)1(2:,013:21=+++=++y a x l y ax l 如果,//21l l 则a 的值为 .8. 从点)3,2(P 向圆012222=+--+y x y x 引的切线方程是 .三、解答题：本大题共2小题,共30分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本小题满分15分）已知直线l 的倾斜角为︒135，在y 轴上的截距为－２；).5,5(),1,3(N M（Ⅰ）求直线l 及直线MN 的方程；（Ⅱ）求直线l 与直线MN 的交点Q 的坐标；（Ⅲ）求与直线l 平行并且与它的距离为2的直线l '的方程。
人教新课标版数学高一B版必修2 第一章 综合测试 B
第一章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2015·山东莱州市高一期末测试)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是()A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线A根据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后一定交于一点，故选A．2．不在同一直线上的五个点，最多能确定平面的个数是()A．8 B．9C．10 D．12C要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种情况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0 B．1C．2 D．3A反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是()A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④C正方体和球体的三个视图都相同，故选C ．5．(2015·广东东莞市高一期末测试)若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的( )倍A ．64B ．16C ．8D ．4 C设球的半径为R ，其体积V ＝43πR 3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V ′＝43π(2R )3＝8V .6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．112B ．5C ．92D ．4D 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×12(1＋3)×1答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析解析解析解析解析解析 (1)因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF .因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°，即EF ⊥BE .因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .(2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE ，取BE 的中点N ，连接CN 、MN ，则MN 綊12AB 綊PC ， 所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .。
高一数学必修二第一、二章测试卷答案
高一数学必修二第一、二章测试卷一、选择题：(每题5分共40分)1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错．误．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°5．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题：①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ；②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m⊥n ；③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ；④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．其中正确的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行 ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中错误的．．．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．47．下列命题中正确的个数是( )(第4题)①若直线l 上有无数个点不在平面 α 内，则l ∥α②若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）A ． 3B ． 223 C ． 6 D ．. 32二、填空题(每题5分共20分)1. (2010·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是_______ _2．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________． 2、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是4. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为________三、解答题(共40分)1.(10分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上， 求证：BC ⊥平面PAC ；俯视图正(主)视图 侧(左)视图2、（20分）如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．F 为PD 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．3、（10分）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点．求证：平面⊥EBD 平面SAC ；高一数学必修二第一、二章测试卷答案一、选择题：(每题5分共40分)1.C2.D3.D4.D5.D6.D7.B8.C 二、填空题(每题5分共20分)1. 22. 483. 12π4. 1：64三、解答题(共40分)1. 证明：∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .ED CBASA B CD E P F∴BC ⊥平面PAC .2.证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥A AD PA CDPA ）AD （CD 已知 ⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面 ⇒平面PDC ⊥平面PAD ；（2）由E 为PC 中点，得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ．又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ． 由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ． 3.证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SA C 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SACAB CD EP F。
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。
(完整word版)人教版高中数学必修一第一章单元测试(含
第3题图高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷一、选择题(将选择题的答案填入下面的表格.本大题共10小题,每小题5分,共50分。
）题号12345678910答案1、下列各组对象中不能构成集合的是( )A、佛冈中学高一（20)班的全体男生B、佛冈中学全校学生家长的全体C、李明的所有家人D、王明的所有好朋友（ ）Ａ．｛１,２,３，４，５｝ Ｂ．{２,３，４，５｝Ｃ．｛２,３，４｝，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）的值是 （ ）A、3B、1 C. 0 D。
-18、下列四个图像中，不可能是函数图像的是 （ )9、设f(x)是R上的偶函数,且在［0，+∞)上单调递增，则f(—2）,f题号一二151617181920总分得分10、在集合{a,b，c，d}上定义两种运算和如下：A．a B．b C．c D．d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）的定义域为在区间［0，4]的最大值是B是 .16上是减函数。
其中真命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上)。
三、解答题（本大题6小题，共80分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15、（本题满分12分)已知集合a的取值范围．16、(本题满分1217、（本题满分1418、 (本题满分14分）已知函（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3)写出该函数的值域.19、（本题满分1420、 （本题满分14高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷参考答案一、选择题题号12345678910答案D D B C C A A B A C二、填空题12、-1 13、 14、①②三、解答题15、解：(1）A∪B=｛x∣2<x<10}……………..4分（2)(C R A）∩B=｛ x∣2〈x〈3或7≤x<10}...。
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...。
8分(3）a≥7.。
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12分16.解：.2分证明:的定义域是,定义域关于原点对称…………….4分内任取一个x，则有。
人教版高一数学必修二第一章综合测评题(答案解析)
第一章综合测评题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( ) A.14 B.16 C.112D.1185．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ) A ．24，643 B ．8，3233 C ．32，643 D ．32，32336．若圆台两底面周长的比是14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14C ．1 D.391297．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π8．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=23C 1D 1=2，A 1D 1=1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 29．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23C ．1D ．210．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 211．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为( )A.14πa 3 B.18πa 3 C.12πa 3D.16πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C －ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为________cm 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．21．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题（答案）1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A ，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r ，母线即高为h ，则h ＝2πr ，所以S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.故选A.答案：A3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.答案：C4、解析：VB 1－A 1BC 1＝VC 1－A 1B 1B ＝13·S △A 1B 1B ·B 1C 1＝13×12S 四边形AA 1B 1B ×B 1C 1＝16VABCD －A 1B 1C 1D 1.答案：B 5、解析：如图，O 为正方形ABCD 的中心，VO 为四棱锥的高，E 为边BC 中点，所以VE ⊥BC .由BC ＝AB ＝4，VB ＝VC ＝25可得VE ＝4，VO ＝23，∴S 侧＝4S △VBC ＝32，V ＝13S 正方形ABCD ·VO ＝3233.答案：D 6、解析：圆台的轴截面如图，∵圆台的两底面周长之比为1:4，∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ，则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r .∴圆台被分成两部分的体积比为 13πr 2＋πr 2·π·254r 2＋π·254r 213π·254r 2＋π·254r 2·π·16r 2＋π·16r 2＝39129. 答案：D7、解析：设球O 的半径为R ，则R ＝ 12＋(2)2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.答案：B 8、解析：四边形ABCD 是直角梯形，其中AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12·(2＋3)×2＝5.答案：B9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1.答案：C10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为32、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为12×3×6＝9，侧面积为12×5×6＝15或12×4×32＝62，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋62×2＝48＋12 2.答案：A11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为a2，∴V ＝2×13×π×⎝⎛⎭⎫32a 2·a 2＝14πa 3.答案：A12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台， V ＝23－13·⎝⎛⎭⎫12＋2＋ 2×12×2＝173. 答案：C13、解析：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3， 由题得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4⇒4πR 2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×⎝⎛⎭⎫222＝14. 答案：1415、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ＝12·2π×2，得r ＝1.∴圆锥的高h ＝22－12＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×12×3＝33π.答案：33π16、解析：设正四棱柱的高为a cm，则22＝12＋12＋a2，∴a＝ 2.∴S表面积＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)(cm2)．答案：2＋4 217、解：如图所示．18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．∴圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)，四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m2)．∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．19、解：由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，则体积V P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163. 20、解：(1)直观图如图所示．(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2)(m 2)． ∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3. 解法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝32×1＝32(m 3)． 21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2 ＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC·r ＝13·S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π. 22、解：设圆柱的底面半径为r .由题意知，r 2＝6－x 6，∴r ＝2－13x . (1)S 圆柱侧＝2πr ·x ＝2π·⎝⎛⎭⎫2－13x ·x＝－2π3x 2＋4πx ＝－2π3(x －3)2＋6π(0<x <6)． (2)当x ＝3时，圆柱的侧面积最大．。
人教版高中数学必修2第一章单元测试(一)- Word版含答案
必修二第一章训练卷空间几何体（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（）A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为（）A．6B．32C．62D．123．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．3034B．6034C．3034135+D．1354．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．3324RπB．338RπC．3525RπD．358Rπ5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（）A．1：3B．1：1C．2：1D．3：16．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．163πB．193πC．1912πD．43π7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）A．1B．12C．13D．169．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛10．正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．393cm B．354cm C．327cm D．3183cm11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．1727B．59C．1027D．1312．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．3500cm3πB．3cm3866πC．3cm31372πD．3cm32048π二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长为10cm．求圆锥的母线长．18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D的体积．2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D ． 2．【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴164122OAB S =⨯⨯=△．故选D ．3．【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个菱柱的侧面积为3434530342⨯⨯=．故选A ． 4．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为2R，高为32R ，所以圆锥的体积2313332224R R R ⎛⎫⨯π⨯⨯=π ⎪⎝⎭．故选A ． 5．【答案】D【解析】()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选D ．6．【答案】B【解析】设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O 1，O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是222123192312R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所求球的表面积是2191944123R ππ=π⨯=， 故选B ． 7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4πr 2＝4π．故选C ． 8．【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P －ABCD ，且P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，四边形ABCD 为正方形，则2111133V =⨯⨯=，故选C ．9．【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，∴163r =，所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为320 1.62229÷≈，故选B ． 10．【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为23cm ，底面正三角形的内切圆的半径为3cm ，∴底面正三角形的边长为6cm ，正三棱柱的底面面积为293cm ，∴此三棱柱的体积()3932354cm V =⨯=．故选B ． 11．【答案】C【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6-π×22×4-π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．故所求比值为1220105427V V π==π．故选C ． 12．【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4， 球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5．∴球的体积为3345500cm33π⨯π=．故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件．三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件．四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件．故答案为①②③⑤．14．【答案】6 415．【答案】11【解析】设棱台的高为x，则有2165016512x-⎛⎫=⎪⎝⎭，解之，得x＝11．16．【答案】36＋128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为134616836128 2V=⨯⨯⨯+π⨯=+π．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】403cm．【解析】如图，设圆锥母线长为l，则1014ll-=，所以cm403l=．18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，232a；（3）332a．【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．（2）该几何体的侧视图如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即3BC a=，AD是正六棱锥的高，即3AD a=，所以该平面图形的面积为2133322a a a=．（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则223336S==，所以231333332V a a==．19．【答案】不会，见解析．【解析】因为()33314144134cm2323V R=⨯π=⨯⨯π⨯≈半球，()22311412201cm33V r h=π=π⨯⨯≈圆锥，134<201，所以V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．【答案】74Vπ=．【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为23741124Vπ⎛⎫=π⨯-π⨯=⎪⎝⎭．21．【答案】282m．【解析】如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．在Rt△SOP中，)7mSO=，()11m2OP BC==，所以)2mSP=，则△SAB的面积是)2122222m2⨯⨯．所以四棱锥的侧面积是)242282m⨯=，即制造这个塔顶需要282铁板．22．【答案】（13；（2）33a．【解析】（1）∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴2A B A C A D BC BD C D a''''''======，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为213422232a a a⨯=．而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为2233a=．（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝332114323aa a a-⨯⨯⨯=．。
人教版高一数学必修二 第一章综合测评题(答案解析)
第一章综合测评题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中，正确的是( )A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( )A.14B.16C.112D.1185．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( )A ．24，643B ．8，3233C ．32，643D ．32，32336．若圆台两底面周长的比是，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14 C ．1 D.391297．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π8．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=23C 1D 1=2，A 1D 1=1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 29．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23 C ．1 D ．210．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为( ) A ．48＋12 2 B ．48＋24 2 C ．36＋12 2 D ．36＋24 211．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为( )A.14πa 3 B.18πa 3 C.12πa 3D.16πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．8 B.203 C.173 D.143二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．14．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C －ABD，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．21．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题（答案）1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A ，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r ，母线即高为h ，则h ＝2πr ，所以S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.故选A.答案：A3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.答案：C4、解析：VB 1－A 1BC 1＝VC 1－A 1B 1B ＝13·S △A 1B 1B ·B 1C 1＝13×12S 四边形AA 1B 1B ×B 1C 1＝16VABCD －A 1B 1C 1D 1.答案：B5、解析：如图，O 为正方形ABCD 的中心，VO 为四棱锥的高，E 为边BC 中点，所以VE ⊥BC .由BC ＝AB ＝4，VB ＝VC ＝25可得VE ＝4，VO ＝23，∴S 侧＝4S △VBC ＝32，V ＝13S 正方形ABCD ·VO ＝3233.答案：D6、解析：圆台的轴截面如图，∵圆台的两底面周长之比为1:4，∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ，则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r .∴圆台被分成两部分的体积比为 13πr 2＋πr 2·π·254r 2＋π·254r 213π·254r 2＋π·254r 2·π·16r 2＋π·16r 2＝39129. 答案：D7、解析：设球O 的半径为R ，则R ＝12＋?2?2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.答案：B8、解析：四边形ABCD 是直角梯形，其中AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12·(2＋3)×2＝5.答案：B9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1.答案：C10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为32、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为12×3×6＝9，侧面积为12×5×6＝15或12×4×32＝62，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋62×2＝48＋12 2.答案：A11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为a 2，∴V ＝2×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2·a 2＝14πa 3. 答案：A12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台，V ＝23－13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋ 2×12×2＝173. 答案：C13、解析：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3，由题得R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＝3，所以R 2＝4?4πR 2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案：1415、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ＝12·2π×2，得r＝1.∴圆锥的高h ＝22－12＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×12×3＝33π.答案：33π16、解析：设正四棱柱的高为a cm ，则22＝12＋12＋a 2，∴a ＝ 2.∴S 表面积＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)(cm 2)．答案：2＋4 217、解：如图所示．18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．∴圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)．四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)，四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)．∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m 2)．∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．19、解：由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4，顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2，则体积V P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163.20、解：(1)直观图如图所示．(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1.在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1 ＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2)(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)．∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3. 解法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝32×1＝32(m 3)．21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋?2?2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2 ＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC ·r ＝13·S 表·r ＝(32＋23)r .又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23?32－23?18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.22、解：设圆柱的底面半径为r .由题意知，r 2＝6－x 6，∴r ＝2－13x .(1)S 圆柱侧＝2πr ·x ＝2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13x ·x ＝－2π3x 2＋4πx ＝－2π3(x －3)2＋6π(0<x <6)．(2)当x ＝3时，圆柱的侧面积最大．。
人教版高一数学必修 测试题及答案全套
A. 9 2
B. 7 2
C. 5 2
D. 3 2
6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5 ，它的对角线的长
分别是 9 和15 ，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．130
B．140 C．150 D．160
二、填空题
1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，
人教版高一数学必修 2 测试题及答案全套
[基础训练 A 组]
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台
B.棱锥
C.棱柱
D.都不对
主视图
左视图
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A. 3
B. 2 3 பைடு நூலகம். 3 3
D. 4 3
俯视图
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ，且它的8 个顶点都在
同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． 25 B． 50 C．125 D．都不对
4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． 3 :1 B． 3 : 2 C． 2 : 3 D． 3 : 3
5．在△ABC 中， AB 2, BC 1.5, ABC 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周，
则所形成的几何体的体积是（ ）
顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
1
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高一数学必修第一二章测试题及答案
第一.二章三角函数单元检测试卷一、选择题：本答题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．在平行四边形ABCD 中,BD CD AB +-等于A ．DBB ．ADC ．ABD ．AC2.若|a |=2,|b |=5,|a +b |=4,则|a －b |的值A ．13B ．3C ．42D ．73.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=5.点Ax,y 是300°角终边上异于原点的一点,则xy值为 333333函数)32sin(π-=x y 的单调递增区间是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k Z k ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1252,122ππππk k Z k ∈ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-65,6ππππk k Z k ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-652,62ππππk k Z k ∈ 7．sin －310π的值等于 A ．21B ．－21C ．23D ．－238．在△ABC 中,若)sin()sin(C B A C B A +-=-+,则△ABC 必是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角9.函数x x y sin sin -=的值域是A ．0B ．[]1,1-C ．[]1,0D ．[]0,2-10.函数x x y sin sin -=的值域是A ．[]1,1-B ．[]2,0C ．[]2,2-D ．[]0,2-11.函数x x y tan sin +=的奇偶性是A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 12.比较大小,正确的是 A ．5sin 3sin )5sin(<<- B ．5sin 3sin )5sin(>>-C ．5sin )5sin(3sin <-<D ．5sin )5sin(3sin >->二、填空题每小题5分,共20分13.终边在坐标轴上的角的集合为_________.14.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是________________. 15.已知角α的终边经过点P-5,12,则sin α+2cos α的值为______.16.一个扇形的周长是6厘米,该扇形的中心角是1弧度,该扇形的面积是________________. 三、解答题：本大题共6小题,共70分;解答应写出文字说明及演算步骤.; 17．8分已知tan 3α=-,且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; 18．10分已知3tan =α,计算ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值;19．12分求函数)32tan(π+=x y 的定义域和单调区间. 第一章三角函数单元检测试卷参考答案一、选择题每小题5分,共60分1----6、BBDCBA7----12、CCDCAB 二、填空题每小题5分,共20分13.{α|}Z n n ∈=,2πα14.rad )2(-π 132三、解答题共70分17.1sin ,cos αα==2tan 2α=18．解、∵3tan =α∴0cos ≠α∴原式=ααααααcos 1)sin 3cos 5(cos 1)cos 2sin 4(⨯+⨯- =ααtan 352tan 4+- =335234⨯+-⨯ =7519.解：函数自变量x 应满足πππk x +≠+232,z k ∈,即ππk x 23+≠,z k ∈所以函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,23ππ; 由ππk +-2＜32π+x ＜ππk +2,z k ∈,解得ππk 235+-＜x ＜ππk 23+,z k ∈所以,函数的单调递增区间是)23,235(ππππk k ++-,z k ∈;20.解：令t=cosx,则]1,1[t -∈所以函数解析式可化为：453y 2++-=t t =2)23(2+--t 因为]1,1[-∈t ,所以由二次函数的图像可知：当23=t 时,函数有最大值为2,此时Z k k x ∈++=k 611262，或ππππ 当t=-1时,函数有最小值为341-,此时Z k ∈+=k 2x ，ππ 21解：32π函数的最小正周期为 ,3322===∴ωπωπ即T又2-函数的最小值为 ,2=∴A 所以函数解析式可写为)3sin(2y ϕ+=x又因为函数图像过点95π,0, 所以有：0)953(sin 2=+⨯ϕπ解得35ππϕ-=k 323,ππϕπϕ-=∴≤或 所以,函数解析式为：)323sin(2y )33sin(2y ππ-=+=x x 或 22.解：Ⅰ8x π=是函数)(x f y =的图象的对称轴Ⅱ由Ⅰ知34πϕ=-,因此3sin(2)4y xπ=-由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈所以函数3sin(2)4y xπ=-的单调递增区间为Ⅲ由3sin(2)4y xπ=-可知故函数)(xfy=在区间[]0,π上的图象是。
高中数学必修一第一、二章单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第一、二章单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(－2)2] 12 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－22 D.222．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．若0<m <n ，则下列结论正确的是( ) A ．2m>2nB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12nC ．log 2m >log 2nD ．log 12 m >log 12n4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 5．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )6．函数y ＝x ＋43－2x的定义域是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞7．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0} C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)9．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数10．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |11．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 21x ＋1的图象关于y ＝x 对称，则f (1)的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－1212．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22D ．2 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________． 14．若函数f (x )＝ax －1－2(a ＞0，a ≠1)，则此函数必过定点________．15．计算81－ 14 ＋lg 0.01－ln e ＋3log 32＝________.16．函数f (x )＝ex 2＋2x的增区间为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝2a x－5在区间－1,2]的最大值为10，求a 的值．18．(本小题满分12分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数； (2)当x ∈R 且A ∩B ＝∅时，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －22x ＋1是R 上的奇函数，(1)求m 的值；(2)先判断f (x )的单调性，再证明．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．21．(本小题满分12分) 设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．22．(本小题满分12分)已知13≤a ≤1，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)判断函数g (a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上的单调性，并求出g (a )的最小值．答案1．B 解析：(－2)2] 12 ＝(2)2] 12 ＝ 2.2．C 解析：由1－x >0得x <1，∴M ＝{x |x <1}．∵1＋x >0，∴x >－1.∴N ＝{x |x >－1}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．D 解析：∵y ＝2x 是增函数，又0<m <n ，∴2m <2n；∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，又0<m <n ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m >⎝ ⎛⎭⎪⎫12n； ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，又0<m <n ， ∴log 2m <log 2n .4．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2.5．A 解析：结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．解题技巧：函数图象的对称变换规律： 函数y ＝f x 的图象―――――――――――――――――→y 轴左侧图象去掉，右侧保留并“复制”一份翻到y 轴左侧函数y ＝f |x |的图象函数y ＝f x 的图象――――――――――――――――――→x 轴上方图象不变，下方图象翻到上方函数y ＝|f x |的图象6．B 解析：由3－2x >0得x <32.7．D 解析：∁U B ＝{x |x >－1}，∁U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩∁U B ＝{x |x >0}，B ∩∁U A ＝{x |x ≤－1}，∴(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝{x |x >0或x ≤－1}．8．A 解析：由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 9．B 解析：f (－x )＝1－－x 2＋91＋|x |＝1－x 2＋91＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，故选B.10．D 解析：函数y ＝x ＋1为非奇非偶函数，函数y ＝－x 2为偶函数，y ＝1x和y ＝x |x |是奇函数，但y ＝1x不是增函数，故选D.11．D 解析：(m ，n )关于y ＝x 的对称点(n ，m )，要求f (1)，即求满足1＝log 21x ＋1的x 的值，解得x ＝－12.12．D 解析：∵x ∈0,1]，∴x ＋1∈1,2]．当a >1时，log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0与值域0,1]矛盾．13．(1,5] 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，5－x ≤0，解得1<x ≤5.14．(1，－1) 解：当x ＝1时，f (1)＝a 1－1－2＝a 0－2＝－1，∴过定点(1，－1)．解题技巧：运用整体思想和方程思想求解． 15．－16 解析：原式＝13－2－12＋2＝－16.16．－1，＋∞) 解析：设f (x )＝e t ，t ＝x 2＋2x ，由复合函数性质得，f (x )＝e x 2＋2x的增区间就是t ＝x 2＋2x 的增区间－1，＋∞)．17．解：当0<a <1时，f (x )在－1,2]上是减函数，当x ＝－1时，函数f (x )取得最大值，则由2a －1－5＝10，得a ＝215，当a >1时，f (x )在－1,2]上是增函数，当x ＝2时，函数取得最大值，则由2a 2－5＝10，得a ＝302或a ＝－302(舍)． 综上所述，a ＝215或302.18．解：(1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 的子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1，解得m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1<－2，m －1≤2m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>5，m －1≤2m ＋1，解得－2≤m <－32或m >6.综上知，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－32或m >6.19．解：(1)据题意有f (0)＝0，则m ＝1. (2)f (x )在R 上单调递增，以下给出证明： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝－22x 2＋1＋22x 1＋1＝22x 2－2x 12x 2＋12x 1＋1. ∵x 2>x 1，∴2x 2>2x 1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，则f (x 2)>f (x 1)， 故f (x )在R 上单调递增．解题技巧：若函数f (x )的定义域内含有0且为奇函数时，则必有f (0)＝0.20．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2；②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(1,2]； 当a ＞1时，原不等式的解集为2,3)． 21．解：f (x )＝ax －1x ＋1＝a x ＋1－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.(1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在0,3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0，而f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．22．解：(1)∵13≤a ≤1，∴f (x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1a ∈1,3]．∴f (x )有最小值N (a )＝1－1a.当2≤1a ≤3，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时， f (x )有最大值M (a )＝f (1)＝a －1；当1≤1a <2，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， f (x )有最大值M (a )＝f (3)＝9a －5；∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤12，9a －6＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<a ≤1.(2)设13≤a 1<a 2≤12，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 1a 2>0，∴g (a 1)>g (a 2)，∴g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上是减函数． 设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9－1a 1a 2<0，∴g (a 1)<g (a 2)，∴g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上是增函数．∴当a ＝12时，g (a )有最小值12.测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．80－lg 100的值为( )A ．2B ．－2C ．－1 D.122．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )3．下列不等式成立的是(其中a >0且a ≠1)( ) A ．log a 5.1<log a 5.9 B ．a 0.8<a 0.9C ．1.70.3>0.93.1D ．log 32.9<log 0.52.24．函数f (x )＝log a (4x －3)过定点( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0 C ．(1,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，15．在同一坐标系中，当0<a <1时，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象是( )6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A ．－3B ．3 C.13 D ．－137．用固定的速度向如图形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系可用图象大致表示为( )8．已知f (x 6)＝log 2x ，那么f (8)等于( ) A.43 B ．8 C ．18 D.12 9．函数y ＝xlg 2－x的定义域是( )A ．0,2)B ．0,1)∪(1,2)C ．(1,2)D ．0,1)10．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．已知函数f (x )在0，＋∞)上是增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 B ．(0,10) C ．(10，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫110，10∪(10，＋∞)12．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．若x log 23＝1，则3x＝________.14．若点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，则f (x )＝________.15．已知函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋b (a ，b 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a＋b 的值为__________．16．下列说法中，正确的是________．(填序号)①任取x>0，均有3x>2x；②当a>0且a≠1时，有a3>a2；③y＝(3)－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)计算下列各式的值：(1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 012)0；(2)lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 18．(本小题满分12分)设f(x)＝a－22x＋1，x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)若不等式f(x)＋a>0恒成立，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(2＋x)，g(x)＝lg(2－x)，设h(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函数h(x)的定义域；(2)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(－2)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．21．某种产品的成本f 1(x )与年产量x 之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1)，该产品的销售单价f 2(x )与年销售量之间的函数关系图象(如图2)，若生产出的产品都能在当年销售完．(1)求f 1(x )，f 2(x )的解析式；(2)当年产量多少吨时，所获利润最大，并求出最大值．22．(本小题满分12分) 设f (x )＝－2x＋m2x ＋1＋n(m >0，n >0)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)设f (x )是奇函数，求m 与n 的值；(3)在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集．答案 创优单元测评 (第一章 第二章) 名校好题·能力卷]1．C 解析：80－lg 100＝1－2＝－1.2．C 解析：∵0<a <b <1，∴1<1b <1a .∴0<a <b <1b <1a.又∵f (x )＝x 12在(0，＋∞)单调递增，∴f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a. 3．C 解析：选项A ，B 均与0<a <1还是a >1有关，排除；选项C 既不同底数又不同指数，故取“1”比较，1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1正确．选项D 中，log 32.9>0，log 0.52.2<0，D 不正确．解题技巧：比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．4．A 解析：令4x －3＝1可得x ＝1，故函数f (x )＝log a (4x －3)过定点(1,0)．5．C 解析：当0<a <1时，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是过(0,1)点的增函数，y ＝log a x 是过(1,0)点的减函数．故选C.6．C 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝3－1＝13.7．B 解析：由题图可知，当t 越来越大时，h 的增长速度越来越快，而A ，D 是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C 表示的瓶子应是口大于底，故选B.8．D 解析：令x 6＝8可知x ＝± 2.又∵x >0，∴x ＝2，∴f (8)＝log 22＝log 2212 ＝12.9．B 解析：由题意可知，要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0且2－x ≠1，解得0≤x <2且x ≠1.∴函数y ＝xlg2－x的定义域为0,1)∪(1,2)．10．C 解析：g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝lnx 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．11．A 解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)<f (1)，又f (x )在0，＋∞)单调递增，所以0≤|lg x |<1，解得110<x <10.12．A 解析：∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b ，∴20＋b ＝0，b ＝－1. ∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1. ∴f (1)＝21＋2×1－1＝3.∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 13．2 解析：∵x log 23＝1，∴x ＝log 32， ∴3x＝3log 32＝2.解题技巧：注意换底公式与对数恒等式的应用．14．x 12 解析：设f (x )＝x α(α为常数)，由题意可知f (2)＝2α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12 .15.34 解析：将图象和两坐标轴的交点代入得log a b ＝2，log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋b ＝0，34＋b ＝1，a 2＝b ，从图象看出，0<a <1，b >0，解得a ＝12，b ＝14，a ＋b ＝34.16．①④⑤ 解析：对于①，可知任取x >0,3x >2x一定成立． 对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确． 对于③，y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，因为0<33<1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确． 对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，是正确的．(2)原式＝lg 5×lg(5×4)＋(lg 2)2＝lg 5×(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.18．解：(1)因为x ∈R ，所以f (0)＝0得a ＝1. (2)f (x )＝a －22x ＋1，因为f (x )＋a >0恒成立， 即2a >22x ＋1恒成立．因为2x＋1>1，所以0<22x ＋1<2，所以2a ≥2，即a ≥1. 故a 的取值范围是1，＋∞)．19．解：(1)∵h (x )＝f (x )＋g (x )＝lg(x ＋2)＋lg(2－x )，要使函数h (x )有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2－x >0，解得－2<x <2.所以，h (x )的定义域是(－2,2)．(2)由(1)知，h (x )的定义域是(－2,2)，定义域关于原点对称， 又∵ h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝lg(2－x )＋lg(2＋x ) ＝g (x )＋f (x )＝h (x )，∴ h (－x )＝h (x )，∴ h (x )为偶函数． 20．解：(1)依题意得|x |>0，解得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (－2)＝log 2|－2|＝log 2212 ＝12.(2)设x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．f (－x )＝log 2|－x |＝log 2|x |＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(3)f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．证明如下： 设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2|x 1|－log 2|x 2|＝log 2x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1x 2<1，所以log 2x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数． 21．解：(1)设f 1(x )＝ax 2，将(1 000,1 000)代入可得1 000＝a ×1 0002， 所以a ＝0.001，所以f 1(x )＝0.001x 2.设f 2(x )＝kx ＋b ，将(0,3)，(1 000,2)代入可得k ＝－0.001，b ＝3， 所以f 2(x )＝－0.001x ＋3. (2)设利润为f (x )，则f (x )＝xf 2(x )－f 1(x )＝(－0.001x ＋3)x －0.001x 2＝－0.002x 2＋3x ＝－0.002(x 2－1500x ＋7502)＋1 125，所以当x ＝750时，f (x )max ＝1 125.解题技巧：解应用题的一般思路可表示如下：22．(1)证明：当m ＝n ＝1时，f (x )＝－2x＋12x ＋1＋1.由于f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，所以f (－1)≠－f (1)，f (x )不是奇函数． (2)解：f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )， 即－2－x＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x＋m2x ＋1＋n对定义域内任意实数x 成立． 化简整理得(2m －n )·22x＋(2mn －4)·2x＋(2m －n )＝0，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝0，2mn －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2符合题意．(3)解：由(2)可知，f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1，易判断f (x )是R 上单调减函数．由f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，得f (f (x ))<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，f (x )>－14，2x <3，得x <log 23，即f (x )>0的解集为(－∞，log 23)．。
2013年新课标人教A版高一数学必修二第二单元测试试题
2013年新课标人教A版高一数学必修二第二单元测试试题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有( )A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45B. .35C .34D ．－3511．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33 B.13 C ．0 D ．－1212．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析] AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析] 如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析] 选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析] 如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论． 11[答案] C[解析] 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角 又AE ＝ED ＝2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C. 12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.13[答案] α∩β＝AB 14[答案] 45°[解析] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由于BC ⊥AB ，BC 1⊥AB ，则∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角．又△BCC 1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°.15[答案] 9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ， 则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD，解得SD ＝9. 16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ， 连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角． 在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE . 由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是PA ＝BF ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515. 19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC ∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16. 22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC . 又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形． ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52， CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。
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2013年人教版高一数学必修二第一单元测试试题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B ．2倍C.24倍D.22倍 3．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱C ．四棱锥D ．四棱台 5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A ．1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍 8．(2011～2012·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，32 11．(2011－2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是( )二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________． 14．(2011－2012·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________ __________________________________________________．15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．16．(2011－2012·安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．18．(本题满分12分)圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，求它的底面圆半径和体积．19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？21．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．22．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．详解答案1[答案] C[解析]图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2[答案] C[解析]设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，则A′B′＝AB，C′D′＝12CD.S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′sin45°＝24(12AB·CD)＝24S△ABC.3[答案] D[解析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．[点评]本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．4[答案] A[解析]该几何体是长方体，如图所示．5[答案] C[解析] 由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96. 6[答案] A[解析] V ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h ＝16πr 2h ，故选A. [答案] C7[解析] 设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，所以36πr 24πr 2＋16πr 2＝95.8[答案] C[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm 2)，故选C.9[答案] A[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r ，由题意，另一底面圆的半径R ＝3r . ∴S 侧＝π(r ＋R )l ＝π(r ＋3r )×3＝84π，解得r ＝7. 10[答案] C[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3. ∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR3＝32， S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2. ∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32. 11[答案] B[解析] 该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S ＝6×8＝48，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝13×48×5＝80.12[答案] B [解析] 画出该几何体的正视图为，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B 项满足条件．13[答案] 1423π[解析] 圆台高h ＝32－(2－1)2＝22，∴体积V ＝π3(r 2＋R 2＋Rr )h ＝1423π. 14[答案] 36[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD ，高h ＝6，则其体积V ＝Sh ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2＋4)×2×6＝36.[答案] 24π2＋8π或24π2＋18π15[解析] 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2. 所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.16[答案] 2(1＋3)π＋4 2[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×23＝43π，S 底＝π×22＝4π，S △SAB ＝12×4×22＝42，所以S 表＝43π2＋4π2＋4 2＝2(1＋3)π＋4 2.17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18[解析]设圆柱的底面圆半径为r cm，∴S圆柱表＝2π·r·8＋2πr2＝130π.∴r＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm.则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(cm3)．19[解析]由三视图可知该几何体是一个正三棱台．画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．20[解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.在Rt△SOP中，SO＝7(m)，OP＝12BC＝1(m)，所以SP ＝22(m)，则△SAB 的面积是12×2×22＝22(m 2)． 所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)， 即制造这个塔顶需要82m 2铁板．21[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ′. 圆锥的高h ＝42－22＝23， 又∵h ′＝3，∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1.∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′ ＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.22[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．又S 半球面＝12×4π×22＝8π(cm 2)，S 圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm 2)， S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)， 即该几何全的表面积为 8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)．所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．。