电路分析基础第九章

或指电源提供的功率，也称为有功功率。
同时也可以看到，电容和电感不消耗能量，它 在某个时间内从电源处吸收能量并贮存起来，而在 下一个时间内再向外放出能量，与电源进行能量的 交换。因此，无功功率反映了这种交换的最大值及 交换规模。
例：已知us = 2 cos2t v ,求各电阻的平均功率总和，
各电感、电容的平均贮能总和。
(L ) ( C)
二、周期信号的平均值
1 T f (t ) f (t )dt T 0
1 T 0 sin(t )dt 0 T 正弦函数在一个周期内的平均值为0。
三、电阻元件上的功率
设：u(t)=Umcos(ωt＋u） i(t)=Imcos(ωt＋u）
瞬时功率为：
p (t ) ui U m I m cos2 (t u ) 1 U m I m 1 cos 2( t u ) UI 1 cos 2( t u ) 2
pL (t ) U L I L sin2t
pC ( t ) U C I C sin 2t
无功功率：
Q L U L I L LI 2W L
2
QC U C I C CU 2WC
2
二、单口网络的功率
1、单口网络的瞬时功率
i 2 I cost
u 2 U cos(t )
1 T 1 T P p(t )dt [UI cos UI cos(2t )]dt T 0 T 0
可求得
P UI cos
可见，单口网络 N 的平均功率与其端电压和端
电流的有效值成正比，还与电压、电流相位差的余 弦函数成正比。
设无源单口网络的输入阻抗为Z＝R＋jX(Y＝G ＋jB），阻抗角为z，tgz＝X/R，0z900 ，则 0PUI。
四、电感元件的功率和平均贮能
u L (t ) U Lm cost
iL + uL -
iL (t ) I Lm cos( t 90 0 ) I Lm sin t
1、瞬时功率：
pL (t ) U Lm I Lm cost sin t
sin 2t 2sin t cos t
若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。 若网络N中仅含 R、L、C ，则必有 > 0，即
2
不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞 后”表示电流滞后于电压， 角为正；以“超前” 表示电流超前于电压， 角为负。
功率因数的提高 一般的用电设备是吸收电能的，即 cos > 0。 负载的功率因数太低会带来两个问题： 1. 电源设备得不到充分利用 由 P S 可知，电源容量 S 一定时， 负载功率因数越小，电源可提供的有功功率也就 越小。
p(t)0，所以电阻只消耗能量。
1 T p(t ) p(t )dt P T 0 p(t ) UI 1 cos 2( t u )
1 U2 电阻元件的平均功率为： U m I m UI P I 2R 2 R
U、I为有效值 。 平均功率也称为有功功率，简称为功率。 电阻的平均功率的求法与直流电阻相同。
电感的瞬时功率：
pL (t ) U L I L sin 2t
无功功率定义：
Q L U L I L LI 2 2W L QC U C I C CU 2 2WC
从以上结果可见：只有电阻的平均功率大于零
，而电感和电容的平均功率都等于零。以后把平均
功率简称为功率，也是指电路中电阻消耗的功率，
p(t ) u(t ) i(t )
2U cos(t ) 2I cost
UI[cos cos( 2t )]
2、单口网络的平均功率
1 P T

T
0
1 p( t )dt T

T
0
[UI cos UI cos(2t )]dt
UI cos
I U Z 100 ( 25
o
P 100 2 2 cos 45 200( W)
解法二：求单口网络的阻抗，网络消耗的功率等于
端口上电流有效值平方乘阻抗的实部。
P I 2 ReZ I 2 R
P U 2 ReY U 2G
Z 25 j25
I U Z 2 2 ( A)
由 S = UI 及 得
+ u -
i N
P UI cos UI
P cos S
称 为单口网络 N 的功率因数， 且0≤λ≤1。 工程上，λ＝0.9就认为较好。 :电压、电流的相位差，称为功率因素角。
讨论：
若 > 0，则网络 N 吸收功率。
若 < 0，则网络 N 产生功率，N 中必含有源元 件。
平均功率：
PL 0
平均储能：
1 1 2 2 WL LI Lm LI L 4 2
3、电容元件的功率和平均贮能
瞬时功率：
pC ( t ) U C I C sin 2t
平均功率：
PC 0
平均储能：
1 1 2 2 WC CU Cm CU C 4 2
4、无功功率
电感电容的瞬时功率：
2 2
显然有： P = PR1+ PR2+ PL+ PC = PR1+ PR2 平均功率守恒：单口网络从外电路吸收的总平均 功率等于该网络内部各元件吸收的平均功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总平均 功率等于网络内各电阻元件吸收的平均功率之和。
三、视在功率和功率因数
i 2 I cost
pL (t ) U L I L sin 2t
pL (t ) U L I L sin 2t
2.电感元件的平均功率：
PL 0
3、电感元件的平均贮能为：
1 1 2 2 WL LI Lm LI L 4 2
五、电容元件的功率和平均贮能
uC(t)=UCmcosωt , iC(t)=ICmcos(ωt +900)
dw( t ) p( t ) u( t )i ( t ) dt
p>0，元件吸收功率，能量增加，有能量流入元件. p<0，元件提供功率，能量减少，元件放出能量。
1 L i 2 (t ) t t 2 uidt W(t ) p(t )dt 1 C u 2 (t ) 2
u 2 U cos(t )
+ u -
i N
1、视在功率：指端口电压、电流的有效值乘积，
它反映了电气设备的容量或提供功率的最大值。
电源设备的容量一般用视在功率表示。 视在功率定义：
S＝UI
单位：伏安（VA）
2. 功率因素
i 2 I cost
u 2 U cos(t )
u 2 U cos(t )
其中 是电压与电流的相位差。
单口网络 N 吸收的瞬时功率为：
p(t ) u(t ) i(t )
2U cos(t ) 2I cost
UI[cos cos( 2t )]
可见，单口网络 N 的瞬时功率随时间而变化。 若 0 且 ，则 p(t) 的正负也随时间变化，说明
2. 供电线路上损耗大 由 P UI 可知，当 U 和 P 一定时，功率 因数越小，所需电流 I 越大。而线路损耗与I2成 正比。因此，提高功率因数可以减小电流，从而减 小了输电线路上的电能损失。
常见的负载为感性负载居多，可通过并联电容
提高功率因数。
+
U I IL IC C
-
感 性 负 载
I IL IC
U2 P＝UI ＝ ＝I 2 R 1、当单口网络为纯电阻时， R
2、当Z为纯电抗时，即Z＝jX时，P＝0
3、当Z＝R＋jX时：
P UI cos Z I 2 ReZ I 2 R ，R为Z的实部。
P U 2 ReY U 2G ，G为Y的实部。
4、P＝ Pk ，有功功率为网络内所有电阻消耗的 平均功率之和。 5、网络所消耗的有功功率也为电源提供的有功功 率。
1
1H
i1
1H
+ u1 － 1F
+
us －
1 *(2 j j2 U1 I1 1 2j j2
1
1F
+ u2 －
1 1) 23 28 j j2 0.359 50.60o 1 101 1 j2
WC1 0.5*1*U12 0.064 J
U2 1 10 j 0.099584.29o U1 1 101 2 j 1 2 2j WC 2 0.5*1*U 2 0.00495 J 1 2j
＝－ICmsinωt
1、瞬时功率：
ic + uc -
pC(t)＝-UCmICmcosωtsinωt=－UCICsin2ωt 2、电容元件的平均功率 ： PC＝0 3、电容元件的平均贮能：
1 1 2 2 WC CU Cm CU C 4 2
Hale Waihona Puke Baidu 六、无功功率
电容的瞬时功率：
pC (t ) U C IC sin 2t
例：电路如图所示，已知 U＝100V，求该单口网络
吸收的总功率P及PR1、 PR2 。
+ U I
-j5Ω R1 10Ω j30Ω
解法一：利用公式
R2 15Ω
P UI cos z
2) 2 2 ( A)
Z (10 15) j( 30 5) 25 2 45o ( )
U
上次课内容简要回顾
一、三种元件的功率和能量关系
1、电阻 瞬时功率：
p( t ) UI 1 cos 2( t u )
平均功率（有功功率）：
1 U2 P U m I m UI I 2R 2 R
2、电感元件的功率和平均贮能
瞬时功率：
pL (t ) U L I L sin2t
1
1H
1H
+ u1 － 1F
+
us － 1F
1
+ u2 －
1
1H
1H
解：
+
us －
i1
1F
+ u1 － 1F
1
+ u2 －
1 *(2 j j2 总阻抗为 Z 1 2 j 1 2j j2
1 1) 9 11 j j2 1 8 1 j2
Us 8 36 44 j I1 0.563129.3o Z 9 11 j 101
第九章 正弦稳态功率和能量
三相电路
§9-1 元件的功率和能量关系 §9-2 单口网络的功率 §9-3 单口网络的无功功率、复功率 §9-4 最大功率传输定理 §9-5 三相交流电路
一. 瞬时功率
在单口正弦稳态电路中， 电流和电压是同频率的正弦量。
+ u -
i N
因此可设:
i 2 I cost
单口网络 N 与外电路之间有能量往返，这是由于电
路中存在储能元件的缘故。
p>0时，单口网络吸收功率；p<0时，单口网络
供给功率。这表明，单口网络中的动态元件与外
电路或电源有能量交换。在一周期内，单口网络
吸收的功率大于供给的功率。单口网络的平均功 率不为零。
二、平均功率（有功功率）
平均功率是指瞬时功率在一周期内的平均值， 又称为有功功率，或简称为功率。平均功率表示电 路吸收或产生电功率的平均速率。
第九章 正弦稳态功率和能量
三相电路
§9-1 元件的功率和能量关系 §9-2 单口网络的功率 §9-3 单口网络的无功功率、复功率 §9-4 最大功率传输定理 §9-5 三相交流电路
一、功率的基本关系式
三种元件的VAR:
u R Ri R
di L u L (t ) L dt
du C i C (t ) C dt
设无源单口网络的输入阻抗为Z＝R＋jX(Y＝G ＋jB），阻抗角为z，tgz＝X/R，0z900 ，则 0PUI。
U2 P＝UI ＝ ＝I 2 R 1、当单口网络为纯电阻时， R
P I 2 ReZ 2 2 2 25 200W （ ）
解法三：网络中只有电阻消耗功率，所有电阻消耗 功率之和即为单口网络的功率。
PR1 I 2 R 1 ( 2 2 ) 2 10 80 ( W)
PR 2 I R 2 ( 2 2 ) 15 120( W )