D61多元数量值函数积分的概念与性质

( 1 ) 如 果 f ( M ) g ( M ) , M ( ) , 那 么
f (M)d g(M)d.
()
()
(2) f(M )d f(M )d
( )
( )
( 3 ) 如 果 l f( M ) L , M ( ) ,那 么
l f(M)dL ()
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I1yx3d, I2y2x3d, I3 y12x3d
D
D
D
的大小顺序为 ( D )
(A )I1I2I3; (B )I2I1I3;
(C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
提示: 因 0 < y <1, 故 y2yy12;
y 1
又因 x30,故在D上有
D
y12x3yx3y2x3
Ox
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3242 5
54
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谢 谢！
三、积分存在的条件和性质
Ⅰ、积分存在的条件 定理1：函数f 在 ( ) 上可积的必要条件是f 在( ) 上有界。 定理2：若( ) 是紧的且可度量，f C(()) ，则f 在( )
上可积。
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Ⅱ、积分的性质
复习:定积分的性质 (设所列定积分都存在)
b
a
1.af(x)dxbf(x)dx
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
I3 xy dxdy
y
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
1
O
x
I2I1I3
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
3)“合”
y
n
n
M Mk (k,k)k
k1
k1
4)“精”
令 1 m k n ( a k x )
n
Ml i0m k 1(k,k) k
O
x
(k,k) k
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2.曲顶柱体的体积
zf(x,y)
给定曲顶柱体:
底： xOy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面 zf(x,y)0
z
2 . 取 M k ( k ,k ,k ) V k , f ( k ,k ,k )
Vk
则 m kf(k,k,k) V k
n
(V )
3. mli m 0k1f(k,k,k)Vk
o x
y
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二、多元数量值函数积分的概念
定义: 为 一 有 界 闭 域 , f(M )(M )
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “分, 匀, 合, 精”
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1)“分”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1 , 2 , , n
zf(x,y)
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f(k,k)
小曲顶柱体
D
2)“匀”
n
lim
0 k1
f (Mk)k都存在，则称f
在(
上) 可积，且
称此极限值为 f(M )在 Ω 上 的 积 分 , 记 作f(M )d . ( )
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即：
n
f (M )d
()
lim 0 k1
f (Mk)k
f (M )d
()
积分域 被积函数
被积式或 积分微元
注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式 和名称也不相同
MD (x,y)dD (x,y)dxdy
引例2中曲顶柱体体积:
VD f(x,y)dD f(x,y)dxdy
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(3)当 为空间域(V)时，M为(x, y, z)，积分为三重积分
n
(V)
f (x, y, z)dv
lim
0k1
f(k,k,k)vk
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
(4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分
也称为第一型线积分,其中(C)称为积分路径
n
c
f
(x,
y,z)dslim 0 k1
f(k,k,k)sk
(5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分
也称为第一型面积分
n
S
f
(x,y,z)dS=
lim
0k1
f(k,k,k)Sk
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D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x
(x2 )2(y 1 )22
xy1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 xy1相切 .
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而
(xy)2(xy)3
D ( x y )2 d D ( x y )3 d
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()
()
(2)
[f(M )g(M )]d f(M )d g(M )d .
( )
( )
( )
2. 对积分域的可加性
如 果 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ,那 么 :
f (M)d f(M )d f(M )d .
()
( 1)
( 2)
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3. 积分不等式
6.
若在
[a
,
b]
上
f(x)0,则
b
a f(x)dx0.
推论1. 若在 [a , b] 上 f(x)g(x),则
b
b
a f (x)dxag(x)dx
推论2.
b
a f (x)dx
b
a
f (x) dx
(ab)
7. 设 M mf(a x ),x m mf(x i),n 则
[a ,b ]
[a ,b ]
若 (x,y)(常)数 设, D 的面积为 , 则
M
y
若 (x,y)非常数 , 则可用
D
“分, 匀,合, 精” 解决.
1)“分”
O
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 , 2 , , n ,
相应把薄片也分为小块 .
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2)“匀”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k , k ) k ( k 1 , 2 , , n )
备用题
1.
估计
I
D
d
x2y22xy16的值,
其中
y
D
为
0 x 1 ,0 y 2 .
解: 被积函数 f(x,y)
1
2
(xy)216
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D 的面积 2
在 D 上 f(x,y)的最大值 Mf(0,0)1 O 1 x
4
f(x,y)的最小值 mf(1,2) 1 1
故2I 2, 即 0 .4I0 .5
( 1 ) 分 Ω 为 n 个 子 域 : k ( k 1 , 2 ,, n ) ;
抽
( 2 ) 取 M k k ,做 乘 积 f( M k ) k ;
象 其
n
(3)求和 f(Mk)k;
共
k1
(4 )记 m 1 k a x n k,当 0
性
如果不论 ( 怎) 样划分，点 M怎k样选取，极限
b
m (b a ) af(x )d x M (b a )
(ab)
8. 积分中值定理 若 f(x ) C [a ,b ],则至少存在一点
[a,b], 使 a bf(x)dxf()b (a)
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积分的性质
设( ) 是紧的、可度量且被积函数可积
1. 线性性质
(1)
kf (M)d k f (M)d.
令 m a ( x k ) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0m k1f(k,k)k
f(k,k)
(k,k ) k
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两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 “分, 匀, 合,精” (2) 所求量的结构式相同
平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k) k
曲顶柱体体积:
n
Vl i0m k1f(k,k)k
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一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体
( ) 上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或
空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数 f(M)
连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。
例如: 物体为空间物质块。
1 .分 ( V ) : V k ( k 1 ,2 , ,n )
D61多元数量值函数积分的概念与性
第一节
第六章
多元数量值函数积分的概念与性质
一、引例 二、多元数量值函数积分的概念 三、积分存在的条件和性质
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一、引例
1. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 (x,y) C ,计算该薄片的质量 M .
b
2. a dx ba
a
a f(x)dx0
b
b
3.akf(x)dxkaf(x)dx
( k 为常数)
b
b
b
4 . a [ f( x ) g ( x )d x ] a f( x ) d x a g ( x ) d x
b
c
b
5 .af(x )d x af(x )d x cf(x )d x
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(1)当 为区间[a,b]时，M为x，积分为定积分
n
b f (x)dx
a
lim 0 k1
f
(k)xk
(2)当 为平面域(σ)时，M为(x, y)，积分为二重积分
n
f (x, y)d
D
lim
0 k1
f(k,k)k
d称为面积微元，在直角坐标系下常写作dxdy,
引例1中平面薄板的质量:
例2. 估计下列积分之值
I D 1 0 c d 0 x 2 o d x y c s2 o ys D :x y y10
解: D 的面积为 (102)2200
10
由于
D
1 102
100co21xsco2ys1001
10 O 10 x
10
积分性质5
200I 200 即: 1.96 I 2 102 100
(k,k ) k
在每个 k 中任取一点 (k,k),则 V k f ( k , k ) k ( k 1 , 2 , , n )
3)“合”
n
n
V Vk f(k,k)k
k 1
k1
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4)“精”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 , a 2 P x k
4. 中值定理
若 fC (( )),( )为一有界连通闭集，则至少存在
一点 P(),使 得
f(M )d f(P ) , ( )
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例1. 比较下列积分的大小:
y
D ( x y )2 d, D ( x y )3 d
其中 D :(x 2 )2 (y 1 )2 2
1