专题01 整式的乘除

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初中八年级奥数竞赛-专题01 整式的乘除_答案.doc

专题01 整式的乘除例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004(3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ①令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ②由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730．∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 000y ， ①80xy ＝2 000x ， ②①×②，得：(25×80)xy ＝2000x ＋y ，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m 2＝19n －m 2＝1，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35 ＝757例4 －78提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－12n －m ＝8mn ＝－6，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝3，∴m 3＋1n 2－1 ＝－78 倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋px 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即x 4＋px 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎩⎨⎧m ＋2＝05＋n ＋2m ＝p 2n ＋5m ＝05n ＝q ，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝5p ＝6q ＝25，故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋px 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ②①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12，∴ b ＝－6－a ＝6．∴a b ＝－126＝－2 解法2 列竖式演算，根据整除的意义解2243243232322225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)(12)2(9)x x a x x x x ax x b x x x x a x x b x x xa x xb a x a x a a x b a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++ ∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴⎩⎨⎧－12－a ＝0b ＋2(a ＋9)＝0，即⎩⎨⎧a ＝－12b ＝6，∴a b ＝－2 A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113．提示：令x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2，得k ＝3．B 级1． 1891252． (1)949 提示：原式＝(73)1998×32000(1＋52000)72000(1＋52000)＝(73)1998×(37)2000＝949 (2)12 3．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞提示：设32 000 ＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝17．C 8．D9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0．10．D11．由ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y )＝7(x ＋y )，即ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋by 3 ＝7(x ＋y )，(ax 3＋by 3)－xy (ax ＋by )－7(x ＋y )．∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y )． ①由ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y ) ＝16(x ＋y )，即ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋by 4 ＝16(x ＋y )，（ax 4＋by 4)＋xy (a 2x ＋b 2y )＝16(x ＋y ）．∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）． ②由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．由a 2x ＋b 2y ＝42，得（a 4x ＋b 4y ）（x ＋y ）＝42×（－14），（a 5x ＋b 5y ）＋xy （a 3x ＋b 3y ）＝－588， 55ax by +＋16×（－38）＝－588．故55ax by +＝20．12．两边同乘以8得32x +＋32y +＋32z +＋32w +＝165． ∵x ＞y ＞z ＞w 且为整数，∴x ＋3＞y ＋3＞z ＋3＞w ＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w ＋3＝0，∴w ＝－3．∴32x +＋32y +＋32z +＝164． ∴12x +＋12y +＋12z +＝41，∴z ＋1＝0，∴z ＝－1． ∴12x +＋12y +＝40．两边都除以8得：22x -＋22y -＝5．∴y －2＝0，∴y ＝2．∴22x -＝4． ∴x －2＝2，∴x ＝4．∴()20101x y z w +++-＝()201042131+---＝1． 13．（1）∵（x －1）（x ＋4)＝2x ＋3x －4，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋4＝0，得x ＝－4．当x ＝1时，得1＋a ＋b ＋c ＝0； ① 当x ＝－4时，得－64＋16a －4b ＋c ＝0． ② ②－①，得15a －5b ＝65，即3a －b ＝13． ③ ①＋③，得4a ＋c ＝12．（2）③－①，得2a －2b －c ＝14．（3）∵c ≥a ＞1，4a ＋c ＝12，a ，b ，c 为整数， ∴1＜a ≤125，则a ＝2，c ＝4．又a ＋b ＋c ＝－1，∴b ＝－7，．∴c ＞a ＞b ．。

第一章：整式的乘除

第一章：整式的乘除整式知识复习:整式包括单项式多项式幂运算:同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式运算: 整式的加减整式的乘法整式的除法整式的乘法: 单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘平方差公式完全平方公式整式的除法:单项式除以单项式多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。

整式的乘除

A．n为奇数
B．n为偶数
C．n是整数
D．n是正整数
13.若2m＝3，23m＋n＋1＝270，求2n的值．
14.计算
（1）[（a－b）3]2－[（b－a）2]3；
（2）－x4·（－x3）2·（－x2）3；
（3）0.252012×42013－22013×0.52013．
15.比较大小：3555，4444，5333．
1.3
注：1.负整数指数幂的意义
2.用科学计数法表示绝对值较小的数
【基础练习】
1.下列计算正确的是（）
A．（－y）7÷（－y）4=y3；B．（x+y）5÷（x+y）=x4+y4；
C．（a－1）6÷（a－1）2=（a－1）3；D．－x5÷（－x3）=x2.
2.计算：的结果，正确的是（）
A. ；B. ；C. ；D. .
A．a＝2，b＝－2，c＝－1B．a＝2，b＝2，c＝－1
C．a＝2，b＝1，c＝－2D．a＝2，b＝－1，c＝2
8.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于( )
A．36B．15C．19D．21
9. 计算：
(1)(2xy2)·( xy);(2)(－3a2b3)2·(－a3b2)5;
A.1 B. -1 C. 0 D. 1或-1
8.若把(m－2n)看作一个整体，则下列计算中正确的是( )．
A.
B.
C. (m-2n)
D.
9. (－a5)2＋(－a2)5的结果是( )．
A. B.0 D.
10.若44×83＝2x，则x的值等于（）．
A．7
B．12
C．13
D．17
11.有一道计算题（－a4）2，李老师发现全班有以下四种解法：

整式乘除知识点

整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。

一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。

例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。

整式的乘除课件

详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它们的系数相除，同时将同底数的幂相减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需将两个单项式的系数相乘，并将相同的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。

课次一整式的乘除课件

总结词
将单项式分别除以多项式的每一项
详细描述
例如，将单项式$frac{2x^3}{x+1}$进行除法运算，首先将$x^3$除以$x$得到$x^{2}$，再将系数 $frac{2}{1}=frac{2}{2}=1$乘以$x^{2}$得到$x^{2}$。
多项式除以多项式
总结词
将多项式的每一项分别除以另一个多项式的每一项
合并同类项
在乘法和加法的混合运算中，同类项的合并是关键步骤。同类项是指具有相同字母和相应指数的多项式。合并同类项可以简化计算过程，减少计算的复杂度。
乘法和减法的混合运算
乘法分配律的逆应用
在乘法和减法的混合运算中，我们可以将一个多项式与一个单项式相乘，然后减去另一个单项式与同一个多项式的乘积。例如，计算 (a+b) × c - d × c 时，可以先分别计算 a×c、 b×c 和 d×c，然后从 a×c + b×c 中减去 d×c。
详细描述
例如，将多项式 $frac{x^2+3x+2}{x+1}$进行除法运算，首先将$x^2$除以$x$得到$x$，再将$3x$除以$x$得到$3$，最后将 $2$除以$1=2$乘以$x+1$得到 $2x+2$。
03
整式的Байду номын сангаас合运算
乘法和加法的混合运算
乘法分配律的应用
在整式的混合运算中，乘法分配律是一个重要的运算规则。它允许我们将一个多项式与一个单项式相乘，然后将结果与另一个单项式相加。例如，计算 (a+b) × c 时，可以先分别计算 a×c 和 b×c，然后将两个结果相加。
02
整式的除法规则
单项式除以单项式
总结词

专题01 整式的乘除【压轴题专项训练】原卷版

专题01 整式的乘除【压轴题专项训练】一、单选题1．（2020·江苏扬州市·七年级月考）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或02．（2020·贵州铜仁伟才学校七年级期中）计算（13）2019×32020 的结果为（）． A ．1 B ．3 C ．13D ．2020 3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设2017a x =-，2019b x =-，2018c x =-．若2234a b +=，则2c 的值是（）A ．16B ．12C ．8D ．44．（2018·安徽合肥市·七年级期末）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2+a b 的正方形，需要B 类卡片的张数为（）A ．6B ．2C ．3D ．45．（2019·广东佛山市·七年级月考）化简()()()()24816(21)21212121+++++的结果是( ) A ．3221- B ．3221+ C ．()21621+ D ．()21621- 6．（2019·陕西西安市·西北工业大学附属中学）有足够多的如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为(2)a b +，宽为()a b +的长方形，则需要A 、B 、C 类卡片的张数分别为( )A ．1、2、3B ．2、1、3C ．1、3、2D ．2、3、1二、填空题 7．（2021·重庆一中七年级期末）若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则a =___________．8．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）()()()24321(31)3131312+++⋯++的值为_______． 10．（2020·沈阳市尚品学校七年级月考）若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．11．（2018·江苏南京市·七年级期中）若两正方体所有棱长之和为48，表面积之和为72，则体积之和为_______________.12．（2020·射阳县第二初级中学七年级期中）若89a b ab ==-,-，则22a b +=________________．三、解答题13．（2020·四川省成都市七中育才学校七年级期中）已知2324A x x y xy =-+-，225B x x y xy =--+-．（1）求3A B -；（2）若24103x y xy ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，求3A B -的值．（3）若3A B -的值与y 的取值无关，求x 的值．14．（2021·全国七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．15．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a 、b 的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若8a b -=，13ab =，求12S S +的值；（3）用a 、b 的代数式表示3S ；并当1234S S +=时，求出图③中阴影部分的面积3S ．16．（2020·江阴市夏港中学七年级月考）（感悟数学方法）已知：2A ab a =-，2B ab a b =-++．（1）计算：52A B -；（2）若52A B 的值与字母b 的取值无关，求a 的值．（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m 元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m 的值．。

《整式的乘除——整式的乘法》数学教学PPT课件(5篇)

5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简，
再求值，不能先代值，再计算．
=-7x3y+3x2y2.
提示：（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号；
（2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并.
8.先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中
a=-2.
解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)
=6a3-12a2+9a-6a3-8a2
=-20a2+9a.
1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.
∴m＋n＝5.
归纳总结
单项式乘以单项式中的“一、二、三”:
一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个
单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积
的因式.
二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂
分别相乘.
三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可
从以下三个方面来检验：①结果仍是单项式；②结
果中含有单项式中的所有字母；③结果中每一个字
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
每一项
相加
________,再把所得的积________.
4a-4b+4
2.4（a-b+1)=_____________.
6x2-3xy2
3.3x（2x-y2)=____________.

整式的乘除数学课件PPT

03
整式乘除混合运算
乘除混合运算顺序
运算优先级
在整式的乘除混合运算中，遵循先乘除后加减的运算优先级。先进行乘法或除法运算，再进行加法或减法运算。
括号处理
若整式中包含括号，则先进行括号内的运算，再按照运算优先级进行乘除和加减运算。
乘除混合运算技巧
乘法分配律
在整式乘法中，可以运用乘法分配律简化计算过程。例如，a(b+c)可以拆分为ab+ac。
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即$(ab)^n = a^n times b^n$。
乘法分配律在整式中的应用
01
单项式与多项式相乘的分配律
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
02
多项式与多项式相乘的分配律
多项式与多项式相乘时，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一
实例三
计算(2x+3)(x-1)/x。首先进行括号内的运算，得到2x^2-2x+3x-3，然后合并同类项得到2x^2+x-3，最后进行除法运算得到2x+1-3/x。
计算(x^2+2x+1)/(x+1) * (x^2-1)。首先进行因式分解，得到 (x+1)^2/(x+1) * (x+1)(x-1)，然后约去公因式(x+1)，得到(x+1)(x-1)，最后进行乘法运算得到x^2-1。
整式乘除的拓展与延伸
分式的乘除运算
分式乘法法则
分式的乘法法则是分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母。
分式除法法则
分式的除法法则是将除数的分子分母颠倒位置后与被除数相乘。

整式乘除课件

单项式乘多项式
总结词：逐项相乘
详细描述：单项式与多项式相乘时，需要将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。例如：$(2x - 3y) times (x^2 + xy) = 2x^3 + 2x^2y - 3x^2y - 3xy^2 = 2x^3 - xy^2$。
多项式乘多项式
总结词
使用草稿纸进行计算，避免在原题上涂改，影响清晰度。
养成自我检查的习惯，及时发现并纠正错误。
提高运算效率的技巧
掌握基本的运算法则和公式，避免重复计算和不必要的步骤。
通过练习和总结，发现并掌握一些简便算法和技巧，提高计算速
度。
利用计算器或电脑软件辅助计算，减轻计算负担，提高效率。
05
整式乘除法的练习题与解析
综合练习题
总结词：全面综合
详细描述：综合练习题将整式乘除法与其他数学知识点相结合，题目设计更加灵活多变，需要学习者具备扎实的数学基础和较强的思维能力，是检验学习者综合运用能力的良好途径。
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分别相乘再合并同类项
详细描述
多项式与多项式相乘时，需要将每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，然后合并同类项。例如：$(x^2 + x) times (x^2 - x) = x^4 - x^3 + x^3 - x^2 = x^4 - x^2$。
02
整式的除法规则
Hale Waihona Puke 单项式除以单项式总结词
直接利用除法运算法则进行计算
04
整式乘除法的注意事项
运算顺序的重要性
运算顺序是整式乘除法的基础，必须严格遵守先乘除后加减的顺序。

专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】解析版

专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】易错点一：同底数幂的乘法1.若2x ＝3，2y ＝4，2z ＝12，求x ，y ，z 之间的关系.【解析】解：∵ 3×4＝12，即2x ·2y ＝2z ，∴ 2x+y ＝2z ，∴ x＋y ＝z.故答案为：x ＋y ＝z2.已知a m ＝2，a n ＝3，求下列各式的值：(1) a m+1；(2)a 3+n ；(3)am+n+2. 【解析】解：∵a m =2,a n =3 ，∴（1）a m+1=a m ×a=2a(2)a 3+n =a 3×a n =3a 3(3)a m+n+2=a m ×a n ×a 2=2×3×a 2=6a2故答案为：（1）2a;（2）3a 3; (3)6a 2易错点二：幂的乘方与积的乘方1.计算：[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3.【解析】[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3=(a －b)6-[－(b －a)6]= (a －b)6+(b －a)6 =(a-b)6+(a-b)6 =2(a-b)62.若m 为正整数，且（a 2）m+1=a 12，则m 的值为______．【答案】5．【解析】解：∵（a 2）m+1=a 12，∴a 2m+2=a 12， ∴2m+2=12，∴m=5．故答案为5．3.若(a m b ⋅ab n )5＝a 10b 15，则3m(n 2+1)的值是( ).A.8B.10C.12D.15【答案】D.【解答】解：(a m b ⋅ab n )5＝(a m b)5(ab n )5=a 5m b 5a 5b 5n = a 5m a 5 b 5b 5n = a 5m+5 b 5+5n ＝a 10b 15 ∴5m+5=10,5+5n=15，∴m=1，n=2，∴3m(n 2+1)=3×5=15故选D. 4.计算：[(x-y)n ]m .(y-x)2=_______.【答案】(x-y)mn+2 【解答】解：原式=(x-y)mn .(x-y)2=(x-y)mn+2.故答案为：(x-y)mn+2易错点三：同底数幂的除法1.已知：5a =4，5b =6，5c =9，（1）求52a+c-b 的值；（2）试说明：2b=a+c ．【解析】解：（1）52a+b =52a ×5c ÷5b =（5a ）2×5c ÷5b =42×9÷6=24；（2）∵5a+c =5a ×5c =4×9=3652b =62=36，∴5a+c =52b ，∴a+c=2b ．易错点四：整式的乘法1.若(8×106)(5×102)(2×10)＝M ×10a ，则M 、a 的值可为( )A.M ＝8，a ＝8B.M ＝2，a ＝9C.M ＝8，a ＝10D.M ＝5，a ＝10【答案】C.【解析】解：(8×106)(5×102)(2×10)= (8×5×2)×(106×102×10)=80×109=8×1010=M ×10a ∴M ＝8，a ＝10故选C.2.若(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )＝－10a b ，则m －n 等于( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】B.【解析】(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )=(-5×2)( a m+1a n )( b 2n −1b m )=-10 a m+n+1 b 2n+m −1∴-10 a m+n+1 b 2n+m −1=－10a 4b 4 ∴∴m=1，n=2∴m －n=-1.故选B.3.已知M 和N 表示单项式，且满足2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，则M=_____，N=______．【答案】3xy 2，6x 2．【解析】解：∵2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，∴2xM+6x 2=6x 2y 2+N ，则N=6x 2，M=6x 2y 2÷2x=3xy 2，故答案为：3xy 2，6x 2．4.要使−5x 3×(x 2＋ax ＋5)的结果中不含x 4项，则a 等于______. 【答案】0．【解析】解：-5x3×x2+(-5x3)×ax+(-5x3)×5=-5x5-5ax4-25x3，∵展开式中不含x4项，则-5a=0，∴a=0.故答案为：a=0.5.若多项式(x 2＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式不含x3项和x2项，试求m、n的值.【解析】解：原式=x4-3x3+4x2+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n，=x4+（m-3）x3+（4-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由题意得m-3=0，4-3m+n=0，解得m=3，n=5故答案为：m=3，n=56.若（3x3+M）（2x2-1）是一个五次多项式，则下列说法中正确的是（）A.M是一个三次单项式B.M是一个三次多项式C.M的次数不高于三D.M不可能是一个常数【答案】C.【解析】解：（3x3+M）（2x2-1）=6x5-3x3+2Mx2-M因为结果是一个五次多项式，所以M的次数不高于三故选C．易错点五：平方差公式1.计算：(a-2b+3c)(a-2b-3c)【解析】解：(a-2b+3c)(a-2b-3c)= [(a-2b)+3c][(a-2b)-3c]=(a-2b)2-(3c)2=a2-4ab+4b2-9c2.故答案为：a2-4ab+4b2-9c2.2.计算：(2a－b)(4a2＋b2)(2a＋b)＝________.【答案】16a4-b4.【解析】解：(2a－b)(4a2+b2)(2a+b)＝(2a－b)(2a+b)(4a2+b2)＝(4a2-b2)(4a2+b2)=16a4-b4故答案为：16a4-b4易错点六：完全平方公式1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选D．2.计算：(2a+3b−c)2【解析】解：原式=[(2a+3b)−c]2=(2a+3b)2-2c(2a+3b)+c2=4a2+12ab+9b2-4ac-6bc+c23.若多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，则k=______．【答案】9或-7．【解析】解：∵多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，∴（k-1）x是x和4的2倍，∴k-1=±8，解得k=9或-7，故答案为：9或-7．4.如果二次三项式x2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A.3B.-5C.3或-5D.5或-3【答案】D.【解析】解：∵多项式x2-2（m-1）x+16是完全平方公式，∴2（m-1）是x和4的2倍，∴m-1=±4，解得m=-3或5，故选D ．5.若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝0，求x ＋y 的值.【解析】解：将x 2+y 2-4x+2y+5=0变形得：x 2-4x+4+y 2+2y+1=0，即(x-2)2+(y+1)2=0， ∴x-2=0且y+1=0，解得：x=2，y=-1，则x+y=2+(-1)=1．6.已知a 、b 满足等式a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，求a+b 值．【解析】解：∵a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，∴a 2+b 2-8b+4a+20=0a 2+4a+4+b 2-8b+16=0，∴（a+2）2+（b-4）2=0， ∴， ∴， ∴a+b=-2+4=2．易错点七：整式除法1.计算（5m 2+15m 3n-20m 4）÷（-5m 2）结果正确的是( )A1-3mn+4m 2 B-1-3m+4m 2 C4m 2-3mn-1 D4m 2-3mn 【答案】C ．【解析】解：原式=5m 2（1+3mn-4m 2）÷（-5m 2）=4m 2-3mn-1．故选：C ．2.若一个三角形的面积为6x 2+13x+5，底边长为2x+1，则底边上的高为______.【答案】6x+10．【解析】解：底边上的高是：2（6x 2+13x+5）÷（2x+1）=2（2x+1）（3x+5）÷（2x+1）=2（3x+5）=6x+10．故答案是：6x+10．易错点八：化简求值1.先化简，再求值：22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷，其中12a =-，13b =．【解析】22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷ 3222322()2a b a b a b a b a b =--+÷3222(22)2a b a b a b =-÷1ab =-，当12a =-，13b =时，原式116=-． 2.先化简，再求值：（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ），其中a=12，b=-2．【解析】（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ）=（4a 2+4ab+b 2）–（2a 2+2ab –ab –b 2）–2（a 2–4b 2）=4a 2+4ab+b 2-2a 2-ab+b 2-2a 2+8b 2=3ab+10b 2，当a=，b=-2时，原式=3××（-2）+10×（-2）2=-3+40=37．3.已知a+b=5，ab=6，则a 2+b 2=_____，a-b=____．【答案】13，±1．【解析】解：∵a+b=5，∴（a+b ）2=25，即a 2+2ab+b 2=25，∵ab=6，∴a 2+b 2=25-2×6=25-12=13；∵（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=13-2×6=13-12=1，∴a-b=±1．故答案为：13，±1． 4.通过对代数式进行适当变形，求出代数式的值：若m 2＋m －1＝0，求m 3+2m 2＋200的值.【解析】解：m 2+m-1=0即得到：m 2+m=1m 3+2m 2+2008=m 3+m 2+m 2+2008=m(m 2+m)+m 2+2008=m+m 2+2008=1+2008=2009。

《整式的乘除——整式的除法》数学教学PPT课件(5篇)

C． a2 b2 a b a b D． a2 b2 a b a b
（2）在① (6ab 5a) a 6b 5 ，② (8x2 y 4xy2 ) (4xy) 2x y， ③ (15x2 yz 10xy2 ) 5xy 3x 2 y , ④ (3x2 y 3xy2 x) x 3xy 3y2 中，不正确的个数有（ C ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2a b2
4a2 4ab b2
例2.计算：
28 x4 y2 7 x3 y (28 7) x43 y21
4xy
典型例题
5a5b3c 15a4b =[( 5) 15] a54 b31c 1 ab2c
3
典型例题
例3．若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2， ∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5．
第一章整式的乘除
整式的除法
第1课时
学习目标
1.会进行简单的单项式除以单项式的运算（结果是整式）； 2.经历探索单项式除以单项式法则的过程，理解单项式除以单项式的算理； 3.在探索中体会类比方法的作用，发展有条理的思考与表达能力和运算能力．
复习回顾
1．单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）2 ÷（－3xy）＝ 2 xy2 ； 3
错误 2 xy2 3
（2）10 ÷2 x2 y ＝ 5xy2 ；
错误 5xy2 z
（3）4 ÷ 1 xy2 ＝2x； 2

专题01 整式的乘除(考点串讲)-2023-2024学年七下数学期末考点大串讲(北师版)

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
；；
①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2 的值；
②已知：a﹣ ＝1，求：
的值．
题型剖析
【解答】解：（1）方法 1：
；
方法 2：
，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2， ∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）①a﹣b＝5，ab＝﹣6， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，＝52+4×（﹣6）＝25+（﹣24）＝1； ②
＝12+4 ＝1+4 ＝5．
题型剖析
【典例 7】（2023 秋•双阳区期末）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1），其中 x＝2023．
【解答】解：（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣2x+1﹣x2+1 ＝﹣2x+2，当 x＝2023 时，原式＝﹣4046+2＝﹣4044．
（2）已知 2m＝3，2n＝5，求 24m+2n 的值．【解答】解：（1）4x×32y＝（22）x×（25）y＝22x•25y＝22x+5y，
∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴22x+5y＝23＝8，∴4x×32y 的值为 8；
题型剖析
【典例 5】（2023 春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 2a+b，宽为 a+b 的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为 b 的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当 a＝200，b＝100 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．

整式的乘除复习课件

运算步骤：首先确定系数相乘，然后相同字母的幂相乘，最后将剩余的字母和指数不变。
注意事项：注意相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
举例说明：例如单项式2x^3与单项式3y^2相乘，结果是6x^3y^2。
单项式与多项式的乘法
定义：单项式与多项式相乘，就是单项式中的每一项与多项式中的每一项相乘运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减乘法分配律：$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$ 注意事项：注意符号和指数的运算
巩固练习题及解析
整式的乘除运算规则练习常见错误分析解题技巧分享综合应用题解析
学生自我评价与反馈
学生自我评价：对整式的乘除运算的掌握程度进行自我评价，包括概念理解、运算技巧等方面。
反馈内容：针对复习内容提出自己的疑问和建议，以便教师更好地了解学生的学习情况，为后续教学提供参考。
巩固练习：提供一些与整式的乘除运算相关的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。
除法法则：多项式除以多项式时，按照除法的分配律和结合律进行计算，即先计算括号内的除法，再计算乘法，最后进行加法或减法。
注意事项：在多项式除以多项式时，需要注意除数不能为零，且结果是一个商式和一个余式的形式。
举例：以多项式 a(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 和 b(x) = x^2 x + 2 为例，进行多项式除以多项式的运算。
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整式的乘除复习课件
汇报人：PPT
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CONTENTS
01 添加目录标题 03 整式乘法运算
02 整式乘除的回顾 04 整式除法运算

第一章：整式的乘除(1)

第一章：整式的乘除知识要求：1、理解、掌握整式的有关概念2、牢固地掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；3、加强运算能力，以及分析问题、解决问题的能力知识重点：整式的乘法及乘法公式，幂的相关运算性质。

知识难点：熟练掌握整式的有关计算及相关运用：幂的运算，整式乘法，整式除法。

知识点：一、整式的有关概念整式：可以看成是分母不含有字母的代数式，注意：一是分母不含有字母但可以是数字，二要是代数式不能含有等号或表示数量关系的符号。

单项式与多项式统称为整式。

(1)定义：表示数与字母的积的代数式。

单独的一个数是单项式。

1、单独字母也是单项式。

单 (2)系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

项注意系数包括前面的符号，式系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单独字母的系数是1。

a=1×a单独数字的系数是本身。

3=3×a 0(3)次数：单项式的次数是指所有字母的指数的和。

单独字母的次数是1.单独一个非零数字的次数是0.2、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式）（2）每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。

（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，（4）不含字母的项叫做常数项。

2、多项式二、整式的加减：实质是合并同类项①先去括号；（注意括号前有数字因数）②再合并同类项。

（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

m n m n a a a +=• ⇔ m n a a •=+m n a （m,n 都是正整数）2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

nm m n a a =)( ⇔ m n a )(a nm =（m,n 都是正整数）3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

n n n b a ab =)( ⇔ n ab)（=n n b a （n 为正整数）4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。

《整式的乘法》整式的乘除

《整式的乘法》整式的乘除
汇报人： 2023-11-28
contents
目录
• 整式乘除法的定义与规则 • 整式乘法的运算方法 • 整式除法的运算方法 • 整式乘除法的实际应用 • 整式乘除法在数学中的重要性 • 整式乘法的技巧和注意事项
01
整式乘除法的定义与规则
整式的乘法定义
整式乘法的定义
整式乘法是将几个整式相乘，所得的积叫做整式的乘积。
整式乘法的运算顺序
在进行整式乘法时，应先进行单项式的乘法运算，再合并同类项。
整式的乘法规则
同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
单项式与多项式的乘法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
逐项处理，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并同类项。
单项式与多项式的乘法运算，需要把单项式与多项式的每一项分别相乘，并且把所得的积相加。具体地，对于多项式的每一项，将其系数和字母部分分别与单项式的系数和字母部分相乘，然后合并同类项得到结果多项式的每一项。特别地，当多项式中有一项与单项式完全相同时，则结果多项式中该项的系数为单项式的系数乘以多项式中该项的系数。
03
整式除法的运算方法
单项式与单项式的除法运算
总结词
简单、易于操作
详细描述
单项式与单项式的除法运算相对简单，只需将被除数除以除数，得到商即可。例如，$10/3 = 3.33\ldots$。

整式的乘除法

图形变换
整式的乘除法对应着图形的一系列变换，如平移、缩放、旋转等，这些变换在几何学和图形学中有着广泛应用。
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乘法性质
整式乘法满足分配律和结合律。分配律指的是乘法对加法的分配性质，例如a(b+c)=ab+ac。结合律则是指乘法运算满足(ab)c=a(bc)。
整数与整式的运算性质
整数与整式之间可以进行加法和乘法运算，满足分配律。
02
整式的乘法
整式乘法的定义
定义
整式乘法是指将两个或多个整式相乘，按照一定的运算规则求得它们乘积的运算。
整式的乘除法
汇报人：张老师 2023-11-22
目录
• 整式的基础知识 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 整式乘除法与分类
定义
整式是数学中的一个概念，是由常数和变量通过加法、减法、乘法等运算组成的代数式。
分类
整式可以分为多项式和非多项式两类。多项式是由若干个单项式的和组成的整式，而非多项式则不是单项式的和。
将除数的系数与被除数的系数相除，作为结果的系数，同时将除数与被除数的相同字母相除，作为结果的字母部分。
例子
(3x^2y) / (2x) = 1.5xy。
多项式除以单项式
定义
多项式除以单项式是指将一个多项式除以一个单项式的运算。
运算方法
将多项式的每一项分别除以单项式，得到的结果再相加。
例子
示例：$(2a) \times (b + 3c) = 2ab + 6ac$。
多项式与多项式的乘法
多项式乘多项式。
多项式与多项式相乘时，将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。这可以通过乘法分配律多次应用实现。

《整式的乘除》知识结构课件

04
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整式的混合运算
整式的加减乘除混合运算
整式的加减乘除混合运算是指在一个数学表达式中，同时包含加法、减法、乘法和除法的运算。
运算的优先级遵循先乘除后加减的原则，即先进行乘法和除法运
算，再进行加法和减法运算。
在进行整式的加减乘除混合运算时，需要注意运算的顺序和符号的处理，确保运算结果的正确性
多项式除以多项式
总结词
先将被除式和除式的每一项分别相除，再将所得的商相乘。
详细描述
多项式除以多项式时，首先将被除式和除式的每一项分别相除，然后将所得的商相乘，得到最终结果。
整式除法的运算技巧
总结词
灵活运用整式的乘法法则进行简化。
详细描述
在进行整式除法时，可以灵活运用整式的乘法法则进行简化。例如，可以将被除式和除式的某些项进行合并或提取公因式，以便于计算。
整式的指数运算和根号运算混合运算是指在一个数学表达式中，同时包含指数和根号的运算。
在进行整式的指数运算和根号运算混合运算时，需要注意指数和根号的处理，以及运算的优先级和符号，确保运算结果的正确性。
指数运算的优先级高于根号运算，即先进行指数运算，再进行根号运算。
05
CATALOGUE
整式的乘除在实际问题中的应用
除法的性质： a÷(b×c)=a÷b÷c
02
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整式的乘法
单项式乘单项式
总结词
基础运算，直接相乘
详细描述
单项式与单项式相乘，只需将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则作为“积”的因数。
单项式乘多项式
总结词
逐项相乘，合并同类项