第二章水静力学-slx(a)
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水力学 水静力学 水静力学
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
第二章 水静力学
静水压强及其特性
重力作用下静水压强的分布规律 测量压强的仪器 作用在平面上的静水总压力 作用在曲面上的静水总压力
第五节 本章练习
第一节 静水压强及其特性
一、静水压强的定义
静水压力：静止液体作用在与之接触的表面上的 水压力。单位：N或KN。 作用在固体边界 或液体内部
p2
p p3 p1
p’
p=p’
移去液体作用在 △ω上 的总 作用力
P0<pa
pNabs p0 h 68.6 9.8 2 88.2KPa
h
N点的相对压强 p p Nabs pa 88.2 98 9.8KPa N点的真空值
pv pa p Nabs 98 88.2 9.8KPa
N M
pM
思考：水深也为h的容器边壁上的点M有效力为多大， 方向如何？
平面静水压强分布图示例一
pa A pa
A
h
h
Pa+γ h
B
γh
B
绝对压强分布图
相对压强分布图
平面静水压强分布图示例二
A h1 h1 h2 γh1- γh2 γ h1 B γ h2 γ h2 A
γ h1 γ h1
B
h2
C
两侧受水的平面
折线型受压平面
平面静水压强分布图示例三
A
油
水
B
两种液体
自由液面确定
Px dpx
2 x
PZ dpZ
2 z
P P P
z
dpx dp dpz
计算内容
静水总压力水平分力 静水总压力垂直分力
一水平分力的大小
o x E dpx θ F B dp dpz dp dpz F
2第二章 水静力学
Байду номын сангаас
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
水力学-第二章水静力学
在压强的变化。
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1
dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1
dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？
第二章水静力学
解法二：首先将两侧的压强 分布图叠加，直接求总压力
(h2 h1 ) ( gh1 gh2 ) 2
h1
e
h2
FP b
b 117.6kN
方向向右
F1 1b
1 2
g (h1 h2 ).( h1 h2 )b 39.2 KN
F2 2 b g (h1 h2 )h2 b 78.4KN
z p
g
c
z
p0
pA
Z——位置水头，单位位能。
p
g
单位压能。 g ——压强水头，
z p
g
——测压管水头，单位势能。
A
Z
静止液体内各点的测压管水头等于常数。 静止液体内各点的单位势能相等。
y
11
x
Transportation College, Southeast University
•敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
p z pn
当dx、dy、dz均→0时
p x p y p z pn
5
Transportation College, Southeast University
三、液体平衡微分方程式
形心点A的压强为p ( x, y, z ) 表面力（以X轴方向为例）： ρfxdxdydz p dx 质量力： (p ) dydz ρfydxdydz x 2 ρfzdxdydz 依平衡条件： 则
2 2 合力对任一轴的力矩等于各分力对 该轴力矩的代数和。 FP FP左 FP右 156.8 39.2 117.6kN 方向向右→
gh2 h2b
2 1
依力矩定理：
FP e FP左
第2章水静力学
+13598×9.8×0.3-9.8×800×0.2 +13598×9.8×0.25-9.8×1000×0.6 =67805.2（Pa）=67.8(KPa)
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
水力学第2章 水静力学
A点的相对压强为
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
第2章 水静力学
第2章 水静力学水静力学的任务是研究液体平衡的规律及其实际应用。
静止液体质点之间的相互作用，以及它们与固体壁面之间的作用，是通过压强的形式来表现的。
因此，水静力学的研究是以压强为中心，阐述静水压强的特性、静水压强的分布规律，以及静止液体对物体表面的总压力。
在工程实际中会遇到很多水静力学问题。
例如，许多水工建筑物(如坝、闸门等)的表面都直接与液体接触，要进行这些建筑物的设计，首先必须计算作用于这些边界上的水压力。
水静力学是水力学的基础理论，本章讨论液体的平衡微分方程、静水压强分布规律、平面和曲面上的静水总压力等问题，同时还介绍液体相对静止的有关知识。
2.1静水压强及其特性2.1.1静水压力与静水压强1. 静水压力在日常生活和生产活动中，人们会得知液体对于与之接触的表面会产生一种压力作用。
如图2–1所示，在水库岸边的泄水洞前设置有平板闸门，当拖动闸门时需要很大的拉力，其主要原因是水库中的水体给闸门作用了很大的压力，使闸门紧贴壁面所造成的。
液体不仅对与之相接触的固体边界作用有压力，就是在液体内部，一部分液体对相邻的另一部分液体也有压力作用。
在水力学中，把静止液体作用在与之接触的表面上的压力称为静水压力，常以字母P表示。
在我国法定计量单位中，静水压力的单位为N 或kN 。
2. 静水压强在图2–1所示的平板闸门上，取微小面积△A ，令作用于△A 上的静水压力为△P ，则△A 面上单位面积所受的平均静水压力称为△A 面上的平均静水压强。
当△A 无限缩小至趋于点M 时，比值AP ∆∆的极限值定义为M 点的静水压强，常以字母p 表示，即 AP lim p A ∆∆=→∆0 （2–1）图2–1在我国法定计量单位中，静水压强的单位为Pa 或kPa 。
2.1.2 静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：1. 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面静水压强的这个特征是显而易见的。
静止液体不能承受任何切应力，因为液体一旦受到切应力的作用就会发生连续不断的变形运动。
水力学课件 第2章水静力学
静水压强是一标量函数p p(x, y, z)
9
2.3 液体平衡微分方程及其微分
2.3.1 液体平衡微分方程
z
C
A
M’
M
M’’
D
B
O
y
x
10
z
C
A
M’
M
M’’
D
B
O
y
x
(p
p x
dx )dydz 2
(p
p x
dx )dydz 2
f x dxdydz
0
fx
1
p x
0
11
同理可得y, z方向的平衡方程，一并 列出
Ix y2dA A
g sin Ix
得：
yD
Ix yc A
3 静水总压力的作用点
利用惯性矩平行移轴定理：
Ix Ic yc2 A
IC：图形对形心横轴的惯性矩
将此定理代入 yD y可Icx得A ：
yD
Ic
yc2 A yc A
yc
Ic yc A
xD=？
形心C和压力中心D的关系
➢ 形心C——几何中点；压力中心D——力的作用点
绝对压强：以绝对（或完全）真空状态为计算零点所得到 的压强，以pabs表示
相对压强：以当地大气压为计算零点所得到的压强，以pr 表示，又称计示压强或表压强
pr= pabs - pa
压强
大气压强 pa
O
A
A点相对 压强
A点绝对
B
压强
相对压强基准 B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O22
真空：某点的绝对压强小于大气压强 出现真空时相对压强为负值，所以真空也称为负 压。真空压强用pv表示 ， pv >0
第2章 水静力学
yzp ⊿⊿⊿zx xp p ynp xz nACB水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。
§2-1静水压强及其特性 一、定义P ∆—面积ω∆上的静水压力（N ）平均静水压强ω∆∆=Ppa点的静水压强)(/lim20a P m N d dpP p ωωω=∆∆=→∆二、静水压强的特性1、 第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。
2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
证：取图示微分四面体，四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆sp y x p z x p z y p n z y x 212121 表面力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆z y x Z z y x Y z y x X 616161ρρρ沿x 方向力的平衡方程：1§或液面压强0p由γh 产生的压强（3）p 随h 作线性增大。
（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强，取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。
（5）h p p ∆+=γ12二、等压面质量力 （2）任一点压强由两部分组成 相互独立1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。
C W dW dp =→==0ρ （2）等压面与质量力正交证明：作用在等压面上的单位质量力k Z j Y i X f++=沿微小位移s d p v 四、静水压强分布图根据静水压强的两个特性绘制压强随水深变化的几何图形，称为静水压强分布图。
一般要求绘制相对压强分布图。
1、公式h p hp p γγ=+=02、原则：（1（2）用箭头表示静水压强的方向（垂直指向被作用面）（3）直线方程，两点可连线。
3、举例：五、测压管高度、测压管水头、真空度1、测压管高度γAA p h =——测压管高度、5§容器中A 点的压强时，可在与A 点相同高度的器壁上开一小孔，并安装一根上端开口的玻璃管。
第二章 水静力学
L 三角形：e = 3
第二章 水静力学
第四节 作用于平面壁上的静水压力 大小、方向、作用点） 二、任意形状平面壁静水总压力的解析法 （大小、方向、作用点） 任意形状平面壁静水总压力的
静水总压力的大小
dP = pdA = γhdA
= 静面矩之和， yC A
p = ∫ dP = ∫ γhdA = ∫ γy sin αdA == γ sin α ∫ ydA
一、压强的单 位
98 kN/m2 （ KPa） ， 相当于 ） 10 m(H2O) 或 736 mm(Hg)液柱高 液柱高
p=0 h
•一 个 工 程 大 气 压 为
p =γ h
第二章 水静力学 二、压强的测量及计算
测压管的一端接大气，这样就把测管水 测压管的一端接大气， 头揭示出来了。再利用液体的平衡规律， 头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体 区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。 区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。 （一） 用测压管测量
第四节 作用于平面壁上的静水压力 大小、方向、作用点） 二、矩形平面壁上的静水总压力的图解法 （大小、方向、作用点）
静水总压力的大小
梯形： P =
γ
2
P = Ω⋅b
(h1 + h2 )bl
三角形： P =
γ
2
hbl
静水总压力的方向的作用点
静水总压力的方向必然垂直并指向受压平面
L 2h1 + h2 梯形：e = 3 h1 + h2
第二章 水静力学
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
绪论 水静力学 水流运动的基本原理 水流型态与水头损失 有压管道中的恒定流 明渠恒定均匀流 明渠恒定非均匀流 堰流与闸孔出流 泄水建筑物下游水流衔接与消能
第二章水静力学
2
【学
习
重
点】
1、水静压强的两个特性及有关基本概念。 2、重力作用下水静压强基本公式和物理意义。 3、水静压强的表示和计算。 4、水静压强分布图和平面上的静水总压力的计算。
5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。
研究任务：水体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据 平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静 水作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。
令 得
F
ox
0
px pn
10
2-1 静水压强及其特性
同理得
p y pn pz pn px p y pz pn (方向各不相同）
应用（如图2-2b）：P1=P2
11
上式说明，在静水中，
任一点静水压强的大小与
作用面的方位无关，但水体
中不同点上的静水压强可
3
4
2-1 静水压强及其特性
有关概念
静水——静止无运动的水 静止 :绝对静止
对地球无运动：X＝Y＝0 ，Z＝-g ，如图a，b
相对静止
液体对地球有运动，但对容器没有运动：X ≠ 0、Y≠0、 Z = -g，如图c，d
5
2-1 静水压强及其特性
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间
p
z
——压强高度，压强水头。
p
z
pabs
——测管高度，测管水头。 ——静力高度3 重力作用下水静力学基本方程
z
p
C
——各点位置高度与压强高度之和不变，两类水
头线之差为10m 水柱，两水头线均为水平线。
【学
习
重
点】
1、水静压强的两个特性及有关基本概念。 2、重力作用下水静压强基本公式和物理意义。 3、水静压强的表示和计算。 4、水静压强分布图和平面上的静水总压力的计算。
5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。
研究任务：水体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据 平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静 水作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。
令 得
F
ox
0
px pn
10
2-1 静水压强及其特性
同理得
p y pn pz pn px p y pz pn (方向各不相同）
应用（如图2-2b）：P1=P2
11
上式说明，在静水中，
任一点静水压强的大小与
作用面的方位无关，但水体
中不同点上的静水压强可
3
4
2-1 静水压强及其特性
有关概念
静水——静止无运动的水 静止 :绝对静止
对地球无运动：X＝Y＝0 ，Z＝-g ，如图a，b
相对静止
液体对地球有运动，但对容器没有运动：X ≠ 0、Y≠0、 Z = -g，如图c，d
5
2-1 静水压强及其特性
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间
p
z
——压强高度，压强水头。
p
z
pabs
——测管高度，测管水头。 ——静力高度3 重力作用下水静力学基本方程
z
p
C
——各点位置高度与压强高度之和不变，两类水
头线之差为10m 水柱，两水头线均为水平线。
第二章水静力学
Z p /
Z p/ C
势能均相等。
第四节 测压管高度和测压管水头
[例2-5]见图有一盛水压 力容器，液面相对压强，
h1=1m，h2=2m，如以容 器底面为基准面， 试求A、B、C三点的测压 管水头。 [解] A点 位置水头：Z A h1 h2 1 2 3mH2 O p0 49.05 压强水头： p A 测压管水头：
第三节 压强的计算基准和计量单位
几种压强之间的关系
第三节 压强的计算基准和计量单位
二、压强的计量单位 1、以单位面积上的压力表示 在国际单位制中用N/m2，即Pa。压强很高时，用Pa数值太大，这时可用 KPa或Mpa。在工程单位制中用kgf/m2或kgf/cm2。 2、以大气压强的倍数表示 由于大气压强随当地的海拔高度和气候的变化而有差异，作为单位必须 给它以定值。 国际上规定标准大气压用符号atm表示（温度为02C时海平面上的压强， 即760mmHg）。 1atm =101325 N/m2（Pa）=1.033 kgf/m2 工程单位中规定大气压用符号at表示（相当于海拔200m处正常大气压）， 为1kgf/cm2，即1at =98070N/m2（Pa）=1kgf/cm2，称为工程大气压。 3、以液柱高度表示 常用单位有：米水柱高度（mH2O）、毫米汞柱高度（mmHg）等。
另外，我门可以利用等压面求A点的压强。容器底面是等压面， 从容器左端求A点的压强，即：
A点的压强为：
pA pa b0.85 101.3 9.807 0.85 109.637KPa
第二节
流体静压强的分布规律
四、高差不大时气体压强的计算 由于气体的容重很小，在高差不大的情况 下，气柱产生的压强值很小，因而可以忽 略的影响，则公式（2-3）可简化为： p p0 （2—4） 式（2-4）为高差不大时气体静压强的基 本方程。它表示空间各点气体压强相等， 如在封闭的容器中液体上部的气体空间， 各点的气体压强相等。
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压强
A
A点相 对压强
大气压强 pa
相对压强基准
A点绝 对压强
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
3、 z
p
第 二 章 水 静 力 学
g
C
的物理意义和几何意义
单位重量液体的总势能或测压管水头 为常数 z 位置水头——位能—— p 压强水头——压能—— g 测压管水头——总势能 p
水力学
第 二 章 水 静 力 学
第二章
水 静 力 学 (hydrostatics)
1
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
1 静水压强
静水压强就是单位面积上的静水压力。
p lim P / A
A 0
2
水力学
2.
静水压强的特性
第 二 章 水 静 力 学
(1).静水压强的方向垂直指向作用面。
水力学
2.5 作用于平面上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
解析法: 适用于置于水中任意方位和任意形
状的平面。
1、水平面静水压力的计算
P ghA
49
水力学 2、任意平面静水压力的计算
（1）.静水总压力的大小 第 二 章 水 静 力 学
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
x
yc A
利用惯性矩平行移轴定理：
I x I c yc A
2
54
水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
yD Ic ycA
2
yc A
yc
Ic yc A
55
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
第 二 章 水 静 力 学
则总压力 P 的水平分力Px 等于各微
小面积上水平分力dPX的总和，即
67
水力学
Px
dP
x
ghdA
Ax
x
x
g
hdA
Ax
x
第 二 章 水 静 力 学
式中：
Ax
hdA
hc A x
为曲面在铅
垂平面上的投影面积Ax 对y轴的静矩。
这样x方向的总压力为
Px= ρghcAx
（1）压强表示：应力表示、大气压倍数 表示、液柱表示 应力 Pa、kPa；液柱高； 大气压强 h （2）大气压强 1个标准大气压=101.3千帕=10.33米水柱 =760毫米汞柱
p
g
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
p r p abs p a
真空压强
p v p a p abs
作用于液体中任意一点A的质量力有重力: G=mg 和水平径向方向的离心惯性力： F=mω2r。 单位质量力在三个坐标上的投影为
X=ω2rcosθ= ω2x，Y= ω2rsinθ= ω2y，
Z=-g
44
水力学
第 二 章 水 静 力 学
45
水力学
将以上三式代入
第 二 章 水 静 力 学
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
第 二 章 水 静 力 学
表示静水压强沿受压面分布情况的 几何图形称为静水压强分布图。
在工程中只需计算相对压强，所以
这里只绘制相对压强分布图。
按照 p =ρgh 绘制
图2.14,2.15,2.16,2.17等
34
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
2.4 重力和惯性力同时作用下的液体平衡
第 二 章 水 静 力 学
求: P , 作用点位置 , F
a
b
例2-5 水力学 解：
第 二 章 水 静 力 学
P gh c A g ( H
yD yc I cx yc A
h 2
y
) ab
H
water hinge P F
q
h
sin q
yc H sin q
h 2a
a 2 aH h
I cx
68
水力学
总压力P 的铅垂分力Pz等于各微小面
第 二 章 水 静 力 学
积上铅垂分力dPz的总合，即
Pz
dP
z
ghdA
Az
z
g
hdA
Az
z
gV
式中： hdA
Az
z
V
为压力体的体积
69
水力学
压力体是由以下面组成：
第 二 章 水 静 力 学
曲面本身；
通过曲面周界的铅垂面；
11
水力学
Euler 液体平衡微分方程: 第 二 1 p 章
X
Y
水 静 力 学
x
1 p
0
y
1 p
0
(1 )
Z
z
0
12
水力学
上式为液体的平衡微分方程式。又称
第 二 章 水 静 力 学
为欧拉平衡微分方程。 它反映了在静止液体内部，若在某一
方向上有质量力存在，那一方向就一定存
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点c 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
（2）. 静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
52
水力学
静水总压力的作用点
第 二 章 水 静 力 学
静水总压力P 的作用点称为压力中 心，以D表示。为了确定D的位置，必 须求其坐标xD和yD。 用理论力学中的合力矩定理求坐标
(p
) dydz ( p
0
p x
dxdydz
X dxdydz
0
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
水力学
•U 型测压管
第 二 章 水 静 力 学
p A g m hm g a
水力学
•差压计
第 二 章 水 静 力 学
p A pB gz B g m hm g ( z A hm )
水力学
7、静水压强分布图(Pressure distribution diagram)
压力表达方式。
8
水力学
质量力
第 二 章 水 静 力 学
六面体中液体质量为ρdxdydz。在
三个坐标轴上的投影为X，Y，Z。则x方向
的质量力为
Xρdxdydz
9
水力学
根据液体平衡条件，合力为零。 x方向的
第 二 章 水 静 力 学
平衡微分方程为
p dx x 2 p dx x 2 ) dydz X dxdydz
用压力图法较为方便。
压力的大小、方向和作用点
其大小为： P =Ωb
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
62
水力学
矩形平面上静水总压力 P 的作用线
第 二 章 水 静 力 学
通过压强分布体的重心。（也就是矩形 半宽处的压强分布图的形心），垂直指 向作用面，作用线与矩形平面的交点就 是压心D。
65
水力学
2.6
第 二 章 水 静 力 学
作用于曲面上的静水总压力
首先分析作用于具有水平母线的二
向曲面上的静水总压力。
66
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
对dP先进行分解，它在x,y轴方向上 的分力为 dPX=ρghdAcosα= ρghdAx dPz=ρghdAsinα= ρghdAz
是水平面这一结论，只能适用于互相连
通的同一种液体。
例图2.8、2.9、2.12、2.13
24
水力学
p p0 gh
第 二 章 水 静 力 学
水力学 6. 测压原理
•测压管
第 二 章 水 静 力 学
水力学
• 倾斜测压管
第 二 章 水 静 力 学
A α
p A gh gl sin
5
水力学
第 二 章 水 静 力 学
6
水力学
第 二 章 水 静 力 学
以x方向为例
表面力 周围液体作用于六面体的六个面上 的压力是表面力。AB 和CD面上的压力
分别为
7
水力学
第 二 章 水 静 力 学
(p
p dx x 2 p dx x 2
)dydz
(p
)dydz
同理，也可写出作用在其它四个面上的
a
a b
3
4
a h (2 H h)
a
yD yc
ah 4(2 H h)
F
P ( yD yc a ) 2a
g ( 8 H 5 h ) ab / 16
b
水力学
2.矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
求上、下边与水面平行的矩形平面 上的静水总压力及其作用点的位置，采
自由液面或其延续面。 (分步画法,例一，例二，例三，例四)
70
水力学
静水总压力的方向
第 二 章 水 静 力 学
63
水力学
例：对三角形的压强分布图