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((完整版))相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版),推荐文档

相似三角形知识点与经典题型
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念
（1）如果选用同一单位量得两条线段 a, b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是 a m ，或写 bn
AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中
AC
5Hale Waihona Puke 1 AB ≈0.618 AB ．即 AC BC
5 1
长短简记为：＝＝
5 1
2
AB AC 2
全长
2
注：黄金三角形：顶角是 360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）
知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
(1)相似三角形的等价关系：
①反身性：对于任一 ABC 有 ABC ∽ ABC ．
②对称性：若 ABC ∽ A' B'C' ，则 A' B'C' ∽ ABC ． ③传递性：若 ABC ∽ A' B'C ，且 A' B'C ∽ ABC ，则 ABC ∽ ABC
b d ．② 在比例式：a ： c中(，a b c d ) a、d 叫比例外项，b、c 叫比例内项, a、c 叫比例前项，
ca
bd
b、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，即 a：b： b d 那么 b 叫做 a、d 的比例中项，此时有

（完整版）三角形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐文档

（完整版）三⾓形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐⽂档第⼀章三⾓形的证明⼀、全等三⾓形（1）定义：能够完全相等的三⾓形是全等三⾓形。

（2）性质：全等三⾓形的对应边、对应⾓相等。

（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三⾓形全等的⽅法，判定两个三⾓形全等时，必须有边的参与，若有两边⼀⾓相等时，⾓必须是两边的夹⾓证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（）找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：⼆、等腰三⾓形1. 性质：等腰三⾓形的两个底⾓相等（等边对等⾓）.2. 判定：有两个⾓相等的三⾓形是等腰三⾓形（等⾓对等边）．3. 推论：等腰三⾓形顶⾓的平分线、底边上的中线、底边上的⾼互相重合（即“三线合⼀”）．4. 等边三⾓形的性质及判定定理性质定理：等边三⾓形的三个⾓都相等，并且每个⾓都等于60°；等边三⾓形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形.5. 含30°的直⾓三⾓形的边的性质定理：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半.例题解析：三、.直⾓三⾓形1. 勾股定理及其逆定理定理：直⾓三⾓形的两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅．逆定理：如果三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直⾓三⾓形全等的判定定理定理：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语⾔叙述的时候⼀定要注意，不能说成“两条边的平⽅和等于斜边的平⽅”，应该说成“三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅”例题解析四、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三⾓形三边的垂直平分线的性质三⾓形三条边的垂直平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三个顶点的距离相等3. 如何⽤尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆⼼，以⼤于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；②利⽤线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.⾓平分线1. ⾓平分线的性质及判定定理性质：⾓平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等；判定：在⼀个⾓的内部，且到⾓的两边的距离相等的点，在这个⾓的平分线上2. 三⾓形三条⾓平分线的性质定理性质：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三条边的距离相等.3. 如何⽤尺规作图法作出⾓平分线要点诠释：①注意区分⾓平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；③⼏何语⾔的表述，这也是证明线段相等的⼀种重要的⽅法.遇到⾓平分线时，要构造全等三⾓形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最⼩边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不⼀定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3 、如上图，点,,,B C F E 在同⼀直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠（填“是”或“不是”） 2∠的对顶⾓，要使ABC DEF ，还需添加⼀个条件，这个条件可以是（只需写出⼀个）． 4、已知实数x ，y 满⾜，则以x ，y 的值为两边长的等腰三⾓形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三⾓形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．96、⼀个等腰三⾓形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三⾓形的周长是．7、等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边为_______________。

三角形的证明知识点

三角形的证明知识点一、三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次相接组成的图形，通常用符号“△”表示。

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、三角形的性质1、三角形的两边之和大于第三边。

2、三角形的内角和等于180°。

3、三角形的面积公式为：面积=底×高÷2。

4、三角形的稳定性：在几何学中，三角形是一种非常稳定的图形，因为它的三条边之间存在一个固定的角度。

这种稳定性在现实生活中也有很多应用，如桥梁、建筑和机械等。

三、三角形的证明1、定义法：根据三角形的定义，通过证明三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形。

2、平行线法：通过证明两条平行线之间的距离相等来证明它们之间的线段组成的图形是三角形。

3、反证法：通过假设反面命题成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

4、角平分线法：通过证明两个角平分线的交点是三角形的一个顶点，然后证明这个交点到另外两个顶点的距离相等，从而证明这是一个等腰三角形。

5、中位线法：通过证明两条中位线的长度相等来证明三角形是等腰三角形。

6、勾股定理法：通过证明三角形的三条边满足勾股定理来证明这是一个直角三角形。

7、相似三角形法：通过证明两个三角形相似来证明它们对应边之间的比例相等，从而证明这是一个等腰三角形或等边三角形。

8、圆内接四边形法：通过证明一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，从而证明这是一个圆内接四边形，也就是一个等腰梯形。

三角形的证明知识点汇总一、三角形三条边的关系定理：三角形两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边二、三角形内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、三角形中线的性质性质：三角形中线平分三角形三条边；三条中线能将三角形分成面积相等的六个部分；三条中线连成的三条线段都大于第三条边的一半。

(word完整版)三角形知识点复习(经典归纳),推荐文档

4、三角形的主要线段的定义:（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.1 表示法：（1） AD 是厶ABC 的BC 上的中线•（2） BD=DC= — BC2注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形. （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段1 表示法：（1）AD 是厶ABC 的/ BAC 的平分线.（2） Z 1 = / 2=— / BAC.2注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点;（注：这一点角三角形的内心。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线. （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. 表示法①AD 是厶ABC 的BC 上的高线② AD 丄BC 于D ③/ ADB= / ADC=90初二上册知识点：三角形复习1三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形有三条边，三个内角，三个顶点•组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 2、三角形的表示三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示•三个顶点用大写字母 A,B,C 来表示。

:注意：（1三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的 △没有意义.3、三角形的分类：⑴按边分类：等腰三角形丨底边和腰不相等的等腰三角形三角形（I 等边三角形I 不等边三角形（2 ）按角分类直角三象形三角形彳.斜三角形锐角三角形k 钝角三角形如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.注意：①三角形的咼是线段；② 锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点•这点叫垂心)③ 由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是ABC 的角平分线； ② AD 平分 BAC 交BC 于 D;③ 如果AD是ABC 的角平分线，那么 BA[= (2)三角形的中线表示法：如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ① A E 是ABC 的中线；② A E 是 ABC 中 BC 边上的中线；③ 如果AE 是 ABC 勺中线，那么 BE=EC 1 BC2 (3)三角线的高的表示法：如图2,根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是 ABC 勺高；② AM 是 ABC 中 BC 边上的高；③ 如果AM 是 ABC 中 BC 边上高，那么 AM BC 垂足是E ； ④ 如果AM 是 ABC 中 BC 边上的高，那么 AMB AMC 90 . 5.在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1) 如图3,三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部 (2)如图4,三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部6、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边注意：(1三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.7、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；图8(3) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角(4) 直角三角形的两个锐角互余8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180° 推论：直角三角形的两个锐角互余。

(word版)初中数学三角形知识点总结,文档

初中数学知识点总结：三角形第一局部：点、线、角一、线1、直线2、射线3、线段二、角1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的平分线3、角的度量：度量角的大小，可用“度〞作为度量单位。

把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。

1度=60分；1分=60秒。

4.角的分类：(1)锐角 (2)直角 (3)钝角 (4)平角 (5)周角相关的角：对顶角(2)互为补角(3)互为余角6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，两个角有特殊的位置关系。

而互为邻补角那么要求7、角的性质(1)对顶角相等(2)同角或等角的余角相等(3)同角或等角的补角相等。

三、相交线1、斜线2、两条直线互相垂直3、垂线，垂足4、垂线的性质过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

(2)垂线段最短。

四、距离1、两点的距离2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

五、平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

2、平行线的判定：同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

3、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在条件中有两条直线平行时，那么应用性质定理。

4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等互补..第二局部：三角形一、关于三角形的一些概念1、三角形的角平分线。

三角形的证明-知识点汇总(可编辑修改word版)

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点4 等腰三角形的判定定理
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边
在△ABC 中，若∠B=∠C 则 AC=BC
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等
知识点3 等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
解读
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯
定原命题正确
解读
【要点提示】（1）对于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不能证明时，往往采用间接证法，反证法就是其中一种，当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明
三角形的证明知识点汇总
知识点 1 全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS
三角形分别相等的两个三角形全等
全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
ASA
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS

(完整版)三角形五心的证明

三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。

旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。

（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。

∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。

∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。

重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。

∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。

第一章三角形的证明知识点

第一章三角形的证明知识点在几何学中，三角形是最基本的图形之一，其性质和证明方法在数学中有着重要的地位。

本章将介绍一些与三角形相关的证明知识点，帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。

一、三角形的性质：1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段称为三角形的边，而由这三条边所确定的三个内角则称为三角形的内角。

2. 三角形的分类：根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为三种不同类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 等边三角形的三条边的长度相等。

- 等腰三角形的两条边的长度相等。

- 普通三角形的三条边的长度各不相等。

3. 三角形的角度和边长关系：- 三角形的内角和等于180度（即∠A + ∠B + ∠C = 180°）。

- 三角形的任意两边之和大于第三边（即 AB + BC > AC，AC+ BC > AB，AB + AC > BC）。

二、三角形的证明知识点：1. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的底角相等，顶角相等。

- 等腰三角形的腰上的高线相等。

证明：设ΔABC 是一个等腰三角形，其中 AB = AC。

连接 A 到三角形的底边 BC，构造垂直于 BC 的高线 AD。

由于 AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。

同时，AD 为高线，所以 AD ⊥ BC，故∠BAC = ∠CAD。

因此，我们可以得出等腰三角形的底角相等并且顶角相等的结论。

同样，由于 AB = AC，所以 AD = AD，即等腰三角形的腰上的高线相等。

2. 直角三角形的性质：- 直角三角形的两条边之间满足勾股定理：c^2 = a^2 + b^2。

- 直角三角形的两条直角边之间满足勾股定理。

证明：设ΔABC 是一个直角三角形，其中∠ABC = 90°。

根据勾股定理，我们可以得出 c^2 = a^2 + b^2。

同时，直角三角形的两条直角边是相互垂直的，即∠ABC = 90°。

(完整版)三角形的性质及判定归纳

(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。

根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。

根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

等边三角形的三个内角的度数都为60度。

由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。

2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。

等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。

2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。

2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。

锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。

3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。

3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。

3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。

3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。

结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。

第一章三角形的证明知识点

第一章三角形的证明知识点在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

它由三条线段组成，它们形成了一个封闭的形状。

三角形的证明是几何学中一个重要的部分，它涉及到三角形的性质和关系的证明。

在本文中，我们将介绍一些与三角形的证明相关的主题和知识点。

1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三角形的三个内角之和。

对于任意一个三角形，它的内角和恒等于180度。

这是一个基本的几何性质，可以通过多种方法证明。

例如，可以利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用角的外角和的性质来证明。

2. 三角形的外角和三角形的外角是指三角形内角的补角。

三角形的外角和等于360度。

这个性质可以通过利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用三角形的内角和等于180度的性质来证明。

3. 三角形的相等条件三角形的相等条件包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）和AAS（角-角-边）四个条件。

这些条件是用来判断两个三角形是否相等的。

可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断它们是否相等。

4. 三角形的全等证明三角形的全等证明是一种重要的证明方式，用来证明两个三角形是全等的。

根据SSS、SAS、ASA和AAS四个条件，我们可以得出两个三角形全等的结论。

这些条件可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断。

5. 三角形的相似条件三角形的相似条件包括AAA（角-角-角）和AA（角-角）两个条件。

当两个三角形的对应角度相等时，我们可以得出它们相似的结论。

相似的三角形具有相似边长的性质，可以通过对对应边长的比较来判断。

6. 三角形的三边关系三角形的三边关系包括不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。

不等边三角形的三条边都不相等，等腰三角形有两边相等，而等边三角形的三条边都相等。

这些三边关系可以通过对三角形的边长进行比较来判断。

7. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从三角形的一个角上作出等分该角的线段。

三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。

完整word八年级数学三角形证明

三角形的证明本章知识点概括：1、线段垂直均分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直均分线上的随意一点到这条线段两个端点的距离相等.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直均分线上.2、角均分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的均分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部(包含极点 )到这个角两边距离相等的点，在这个角的均分线上3、等腰三角形的性质 :等边平等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的均分线，底边上的中线，底边上的高的重合推论：等腰三角形的两底角的均分线相等；两腰上的中线相等；两腰上的高相等。

等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、等腰三角形的判断：等角平等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形◆ 命题、公义、定理命题：判断性的语句 ,是陈说句几个重要的公义（不需证明）：（1）两点之间线段最短；（2 ）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）同位角相等，两直线平行；（5 ）两直线平行，同位角相等。

等腰三角形一、选择、填空题1.等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）Ａ． 20cmＢ． 10cmＣ． 10cm或 4cmＤ． 4cm2. △ABC中，AB AC ， A 30o， DE 垂直均分 AC ，交AC、AB于点E、D，则 BCD 的度数为（）Ａ． 80oＢ． 75oＣ． 65oＤ． 45o3.假如△ ABC的∠ A，∠ B 的外角均分线分别平行于BC， AC，则△ ABC是 ( )A．等边三角形 B ．等腰三角形 C.直角三角形D．等腰直角三角形4.已知∠ AOB＝30°，点 P 在∠ AOB的内部． P′与 P 对于 OB对称， P″与 P 对于 OA对称，则 O， P′ P″三点所组成的三角形是 ( )A.直角三角形B．钝角三角形 C.等腰三角形D．等边三角形5.AB=AC()A ． (1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)6. 如图，把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，获得的一个小三角形的周长是_____．7. 已知等腰三角形ABC 中， AB AC， D 为 BC 边上一点，连结 AD ，若△ ACD 和△ ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是．二、解答题8. △ABC中，∠ BAC＝ 90°， AB＝AD＝ AC，AD与 BC订交于 E，∠ CAD＝ 30°，求∠ BCD和∠ DBC的度数。

(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)

1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。

二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e ）相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

三角形的证明知识点超详细

三角形的证明知识点超详细一、全等三角形的证明。

1. 全等三角形的性质。

- 全等三角形的对应边相等。

例如，若ABC≅ DEF，则AB = DE，BC=EF，AC = DF。

- 全等三角形的对应角相等。

即∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。

2. 全等三角形的判定方法。

- SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。

- SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。

- ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅ DEF。

- AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅ DEF。

- HL（斜边、直角边）（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 示例：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。

二、等腰三角形的证明与性质。

1. 等腰三角形的性质。

- 等腰三角形的两腰相等。

例如，在ABC中，若AB = AC，则ABC是等腰三角形。

- 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。

即若AB = AC，则∠ B=∠ C。

- 等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。

例如，在等腰ABC（AB = AC）中，AD是底边BC上的高，则AD也是BC边上的中线和∠ BAC的平分线。

2. 等腰三角形的判定。

- 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。

(完整版)三角形的证明知识点归纳,推荐文档

三角形的证明1、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（3）判定：①定义②“”2、等边三角形（1）定义：的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是等边三角形。

3、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等全等三角形的判断及性质：1）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）3）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）5）全等三角形的对应边相等，对应角相等证明得到与等腰三角形、等边三角形、直角三角形有关的结论1）等腰三角形的两底角相等2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°4）有两角相等的三角形是等腰三角形5）三个角都相等的三角形是等边三角形6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明的一般步骤：根据题意画出图形；根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出推理过程，对假命题的判断，只要举出反例来证明即可。

证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已经具备了哪些条件，一般可按下面的思路进行：已知两边：找夹角→SAS找第三边→SSS已知一边一角：边为角的对边→找任意一角→AAS边为邻边：找夹角的另一边→SAS找夹角的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角：找夹边→ASA 找另一个角的邻边→AAS例1：如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）例2：如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA例3：等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A ． 20°B ． 50°C ． 60°D ． 80°例4：已知:如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE.求证:BC ＝DE.(SAS)例5; 已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B求证：△ABC ≌△CDE练习：一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A ．7㎝B ．9㎝C ．12㎝或者9㎝D ．12㎝2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 2二、填空题1.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是度.2.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝ABD C E2cm，则AC= .三、解答题：1.如图，DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB2.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC3.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．4.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC.A BCDOD EC B ADAC。

(完整版)三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明知识点汇总
知识点1 全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS
三角形分别相等的两个三角形全等
全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
ASA
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
HL（Rt△）
巧计乐背
三种方法证等边，定义与两个判定，判定2可先证等腰，再找60°角
知识点7 线段的垂直平分线的性质及判定
内容
性质定理
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
实例应用：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（交点是外接圆圆心）
知识点6等边三角形的判定定理
内容
判定定理1
三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2
有一角是60度的等腰三角形是等边三角形
解读
应用判定定理2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为60°
拓展
判定一个三角形是等边三角形的方法有三个：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。注意要更根据条件和特征灵活选择判定方法
在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC
条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一
结论：该线也是其他两线
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等

(word完整版)人教版初二数学三角形知识点归纳,推荐文档

三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） AC ·CB=CD ·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的A BCEDA BCD 12边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC（5）其它- 11 -。

三角形的证明主要知识点(一)

三角形的证明主要知识点（一）引言概述：三角形的证明是几何学中的重要内容，在数学学科中具有广泛的应用。

通过证明三角形的性质和定理，可以深入理解和推广三角形的各种特性。

本文将介绍三角形证明的主要知识点，帮助读者掌握三角形证明的方法和技巧。

正文内容：一、角度与边的关系1. 三角形内角和定理：三角形内所有角的和等于180度。

2. 三角形外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。

3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和等于90度。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，等腰线段相等。

5. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度。

二、边的关系与比例1. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和。

2. 正弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正弦值成比例。

3. 余弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的余弦值成反比例。

4. 正切定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正切值成比例。

5. 边分配定理：已知一个三角形中两边的比例和一个角的大小，可以确定另一个角的大小。

三、相似三角形的证明1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一边成比例，两边夹角相等，那么这两个三角形相似。

4. SSS相似定理：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似。

5. 已知三角形相似，可以证明其它三角形之间的相似关系。

四、三角形的中线和高线1. 中线的性质：在任意三角形中，三条中线交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。

2. 高线的性质：在任意三角形中，三条高线交于一点，且该点到三个顶点的距离都相等。

3. 中线长度关系：在任意三角形中，任意两条中线的长度之和等于第三条中线的两倍。

4. 重心与形心的关系：三角形的重心是三条中线的交点，形心是三条高线的交点。

三角形证明(必备)(一)

三角形证明(必备)（一）引言概述：三角形证明是数学中常见的证明题目，通过对三角形的性质和相关定理进行推导和证明，可以加深对几何知识的理解和应用。

本文将介绍三角形证明的必备知识点，包括三角形的定义和性质、重点三角形的特点、三角形的内心及其相关定理、三角形的外心及其相关定理以及三角形的垂心及其相关定理。

通过对这些重要知识点的学习，读者将能够更加熟练地进行三角形证明题目的解答。

正文内容：一、三角形的定义和性质1. 三角形的定义及其基本要素2. 三角形的分类及其特点3. 三角形的内角和性质4. 三角形的外角和性质5. 三角形的边长关系和角度关系二、重点三角形的特点1. 等边三角形的性质和证明方法2. 等腰三角形的性质和证明方法3. 直角三角形的性质和证明方法4. 正三角形的性质和证明方法5. 锐角三角形和钝角三角形的性质和证明方法三、三角形的内心及其相关定理1. 三角形内心的定义和性质2. 内心到三角形边的距离和角平分线的关系3. 内心到三角形边的距离的最小性质4. 内心到三角形边的垂直距离和角平分线的关系5. 角平分线和三角形内心的坐标表示四、三角形的外心及其相关定理1. 三角形外心的定义和性质2. 外心到三角形顶点的距离相等的证明方法3. 外心到三角形边的距离的关系4. 外心和三角形外接圆的关系5. 外心和最小外接圆的性质和证明方法五、三角形的垂心及其相关定理1. 三角形垂心的定义和性质2. 垂心到三角形边的距离和高的关系3. 垂心到三角形边的距离和垂线的关系4. 垂心和三角形垂心圆的关系5. 垂心和垂线的坐标表示总结：通过对三角形证明的必备知识点的介绍，我们了解到了三角形的定义和分类、重点三角形的特点、三角形的内心、外心和垂心及其相关定理。

掌握了这些知识点，我们能够更加自信地应对三角形证明题目，提高我们的数学应用能力和思维能力。

同时，我们也应该注重练习，通过大量的练习和思考，提高解题的能力和水平。