《数理逻辑》期末考试试题

《数理逻辑》期末考试试题(A卷)

(请将所有答案写在答题纸上，不用抄题，但注意写清题号)

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：”考试作弊不授予学士学位。”

年级：2008级班级：A,B,C,E班专业：计科、信息安全任课教师：刘咏梅、周晓聪

一、填空题(共20分，每空2分)

1.设A是含命题变量p,q,r的矛盾式，则公式A∧((p↔q)→r)的类型是矛盾式。

2.设公式A含变量p,q,r，且其主合取范式是M0∧M2∧M3∧M5，则其主析取范式是m1∨m4∨m6∨m7。

3.设F(x)表示“x是实数”，G(x)表示“x是有理数”，则命题“实数不都是有理数”符号化

为¬∀x(F(x)→G(x))。

4.公式∀xF(x)→∀yG(x,y)的前束范式是∃x∀y(F(x)→G(z,y))。

5.公式(p∧q)∨r的主析取范式是m1∨m3∨m5∨m6∨m7。

6.设F(x)表示“x是无理数”，G(x)表示“x能表示成分数”，则命题“不存在能表示成分数的无

理数”符号化为¬∃x(F(x)∧G(x))。

7.设p,r为真命题，q,s为假命题，则复合命题(p→q)↔(¬r→s)的真值为0。

8.求与公式F=∀x(A(x)→B(x,y))→(∀y¬C(y)∨∃zD(y,z))等值的一个前束范式

是：∃x∀t∃z((A(x)→B(x,y))→(¬C(t)∨D(y,z))。

9.令L(x)表示x是人，E(x)表示x是食物，F(x,y)表示x对y过敏，则句子“某些人对某些食物过

敏”可符号化为∃x∃y(L(x)∧E(y)∧F(x,y))。

10.公式((∀y¬G(x)∧∀xF(x))∧∃yG(y))→∀xF(x)的类型是永真式。

二、求解下面有关一阶逻辑公式语法的题目。(8分)

(1)请指出公式∀x(P(x)→∃xQ(x))∨(∀xH(x)→G(x))中各量词的辖域；

解答：第一个量词∀x的辖域是(P(x)→(∃x)Q(x))，量词∃x的辖域是Q(x)，第二个量词∀x的辖

域是P(x)。

(2)请给出公式∀y(A(x,y)→∀xB(x,y))∧∃zC(x,y,z)中每个变量符号的出现身份，即是指导

变元、还是自由出现或约束出现。

解答：∀y中的y是指导变元，A(x,y)中的y是约束出现，而x是自由出现，∀x中的x是指导变元，

而B(x,y)中的x和y都是约束出现，∃z中的z是指导变元，而C(x,y,z)中的z是约束出现，但x和y都是

自由出现。

(3)请指出变量x和y分别是公式∀x(A(x,y)→B(y,z))→∃y∀xC(x,y,z)的自由变量还是约束

变量；

解答：x是该公式的约束变量，而y是该公式的自由变量。

(4)请使用约束变量改名规则或自由变量替换规则将公式

∃x(A(x,y)→∀yB(y,z))→∃yC(x,y,z)

变换成语法等价但所有量词的指导变元不同，且没有变量符号既自由出现又约束出现的公式形式。

注意，请依次选择个体变量符号x,y,z,u,v,w,r,s,t等等。

解答：∃x(A(x,y)→∀uB(u,z))→∃vC(w,v,z)

三、求解下面有关一阶逻辑公式语义解释的题目。(16分)

(1)给定解释I为：论域D={2,4}，而P(x)为真当且仅当x是素数，D(x,y)为真当且仅当x可整除y，E(x,y)为真当且仅当x+y=xy。请给出公式∀x∃y((¬P(x)∨D(x,y))→E(x,y))在解释I下的真值。

解答：该公式的真值为1.

(2)给定解释I，其论域D是整数集，函数符号f的解释是普通加法，谓词E(x,y)的解释是x=y，请给出公式∃x∀yE(f(x,y),y)的直观含义，并根据常识确定其真值。

解答：该公式的直观含义是：存在一个整数和任意另一整数的和都等于另一整数，其真值为1，因为对任意的整数x，都有x+0=0。

(3)给定论域D={a,b}，请展开∀x∀y(P(x,y)→¬P(y,x))中的量词。

解答：

∀x∀y(P(x,y)→¬P(y,x))

⇔∀y(P(a,y)→¬P(y,a))∧∀y(P(b,y)→¬P(y,b))

⇔(P(a,a)→¬P(a,a))∧(P(a,b)→¬P(b,a))∧

(P(b,a)→¬P(a,b))∧(P(b,b)→¬P(b,b))

(4)利用一阶逻辑的基本等值式证明∀x(¬F(x)∧G(x))⇔¬(∀xG(x)→∃xF(x))；

证明

¬(∀xG(x)→∃xF(x))⇔¬(¬∀xG(x)∨∃xF(x))//蕴涵等值式

⇔∀xG(x)∧¬∃xF(x)//德摩根律

⇔∀xG(x)∧∀x¬F(x)//量词否定等值式

⇔∀x(¬F(x)∧G(x))//量词分配等值式

四、求解下面有关一阶逻辑公式自然推理的题目。注意下列题目中必须写出详细的证明序

列，并注明所使用的自然推理规则。(38分)

(1)待验证的推理是：∀x(A(x)→B(x)) ∃xA(x)→∃xB(x)，请指出下面证明序列中的错误，并改正（即给出正确的证明序列）：(6分)

(1)∀x(A(x)→B(x))//前提引入

(2)A(a)→B(a)//(1)全称量词消除

(3)∃xA(x)//附加前提引入

(4)A(a)//(3)存在量词消除

(5)B(a)//(2),(4)蕴涵消除

(6)∃xB(x)//(5)存在量词引入

(7)∃xA(x)→∃xB(x)//(3),(6)附加前提证明法

解答：其中第(3)步到第(4)步使用存在量词消除规则错误，常量符号a已经在前面的证明序列出