广西师范大学2020年学科数学864答案
广西师范大学版 初等数论 习题解答
P12 习题 1-1 1，29，11，12，2，4，6，8，9，10
n n
1．已知 a，b∈Z 且 a ≠ b，求证：(1)当 n 是双数时， a b | (a b ) ； (2)当 n 是单数时， a b | (a b ) ．
n n
4．不能．因为每次操作后剩下的三个数是两偶一奇． 5．由数的整除特征，2 和 5 看末位，∴ A 除以 2 余 1，A 除以 5 余 4；4 和 25 看末两位， ∴ A 除以 4 余 3，A 除以 25 余 24；8 和 125 看末三位，∴ A 除以 8 余 3，且除以 125 余 24； 3 和 9 看各位数字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A 所有数字的和等于 450, ∴ A 除以 3 和 9 都余 0， A 除以 11 的余数利用定理 1. 4, 计算奇数位数字之和－A 的偶数位 数字之和． 奇数位数字之和 1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9， 偶数位数字之和 2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，两者之差为－40，原数除以 11 的余数就是－40 除以 11 的余数：4. 6．只需 3 | 62742 , 且8 | 62742 ，即 3 | ( ), 且 8 | ，先考虑 0, 2, 4, 6,8, 有 5 组解
1 8 15 22
2 9 16 21 18 25
5 12 19 26
6 13 20 27
7 14 21 28
995 996 997 998 999 1000 1001
广西师范大学2020年学科数学864真题
广西师范大学2020年研究生入学考试试题科目名称：数学教育学科目代码：864适用专业代码及名称：045104学科教学(数学)（答案必须站在考试专用答题纸上。
否则造成错批、漏批等后果自负）一、简答趣（共2小题，每小题15分，共30分）1.直观想象是什么？为什么直观想象是数学核心素养？2.什么是概念的同化？请举例说明。
二、习题解答过河问题：长江某地南北两岸平行。
如图33所示，江面宽度dd=ll ll ll，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸。
假设游船在静水中的航行速度vv1的大小为|vv1|=10llll/ℎ，水流的速度vv2的大小为|vv2|=4llll/ℎ，设vv1和vv2以的夹角为(0<θθ<180°)，北岸的点AA′在AA的正北方向。
回答下面的问题：（1）当θθ=120°时，判断游船航行达到北岸的位置在点AA′的左侧还是右侧，并说明理由；（2）当θθ多大时，游船能够到达AA′处？需要航行多长时间？（1）解此题你是怎么想的？写出你探索解题思路的过程（15分）；（2）写出解答过程（10分）；（3）请评价此题，并指出它考查学生什么（10分）？三、教学设计题对下面的选定的一题进行教学设计，设计教学目标，设计教学环节及其基本过程并交代意图：1.对“椭圆的标准方程”教学主题中的建系与方程的探索推导片段进行教学设计：设计教学目标、设计教学环节及其基本过程并分别交代设计意图；2.探索与证明：等腰三角形的两底角相等。
四、案例思考（共1小题，满分20分）某教师最近几节课见一名数学资优生在数学课堂上无精打采，课后询问了解到该学生对教师上课的数学内容课前都懂了。
面对这个学生，你作为他的数学教师，你会想到哪些办法？你打算采用什么方式方法对他因材施教？为什么？五、论述题（共1小题，满分30分）数学教师在立德树人中应起着重要的作用，论述在数学教学中如何培育学生具备良好的道德品质。
2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合(){}(),|1,?{,|M x y x y Q x y y =+===，则集合M Q =n （ ）A ．{}0,1B ．(){}0,1C ．(){}1,0D ．()(){}0,1,1,0【答案】D【解析】根据集合中元素特征解方程组即可得解. 【详解】 解方组2211x y x y +=⎧⎨+=⎩得0110x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 所以()(){}0,1,1,0M Q =n故选：D 【点睛】此题考查求集合的交集，关键在于准确求解方程组，注意集合中元素的表示方法. 2．设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据已知条件求出a =1，再根据复数的运算法则求解复数2z ai-，即可得到其在复平面内的点所在象限. 【详解】221z z a a +==⇒=，)212225i z i aii++==--=55+，所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.3．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 4．已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin α⋅ tan 0α<，则）A ．15B ．15-C ．3D ．3-【答案】C【解析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值. 【详解】α为第二象限角，且3455sin cos αα==-，，原式=233sin cos cos sin cos ααααα-+=-=. 故选：C 【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.5．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为（ ） A ．16 B ．32C ．80D ．160【答案】B【解析】根据二项式定理展开可得前三项的系数之和. 【详解】由二项式定理的展开式可得，前三项的系数和为：05142355522232C C C -+=.故选：B 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式定理展开式求指定项的系数，关键在于熟记展开式的通项.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B =（ ） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】D【解析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 【详解】由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB +=-n()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=n . 故选：D 【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小. 7．已知函数()()2ln 1f x x ax =+-的导数为()f x '，且()10f '=，则函数()()cos x g x f e x '=图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据导函数求出1a =，讨论()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的函数图象，结合奇偶性和特殊值即可得解. 【详解】()21f x a x='-+，()110,1f a a ='=-=， ()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ()()221111x x xe g x cos x cosx e e -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()2211co 1212s x x x e cosx x g x e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭+-⎝⎭所以()211xg x cosx e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数，且当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有g (x )<0. 结合选项，只有A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ）A ．5B ．C ．D ．6【答案】C【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.详解：取BC 中点M ，取11A D 中点N ，则四边形1B MDN 即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得1MN B D == 根据各边长，可以断定四边形1B MDN 为菱形，所以其面积12S =⨯= C. 点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果. 9．执行下面的程序框图，若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为（ ）A ．37m <≤B ．715m <≤C ．1531m <≤D ．3163m <≤【答案】B【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.详解：根据题中所给的程序框图，可以判断出121222n S =+++⋯+，根据判断框里的条件， 就要求2231221222m ++<≤+++， 从而求得715m <≤，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,?F F ，点P 在双曲线C 上，满足12F F u u u u r ⋅20PF =u u u u r ，倾斜角为锐角的渐近线与线段1PF 交于点Q ，且13F P QP =u u u r u u u r ，则12PF PF 的值等于（ ）A ．43B ．33C ．7D ．8【答案】C【解析】根据F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得2233c b Q a ⎛⎫⎪⎝⎭，，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，则由13F P QP =u u u r u u u r 设(),Q x y ，222,3,b bc c x y a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2233c b Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 在直线b y x a =上，所以22233b b cc b a a =⨯=n ，所以2224b a b a =+=n所以1212227PF PF PF PF a PF ==+==，. 故选：C 【点睛】此题考查根据双曲线的几何特征求线段的比例关系，关键在于熟练掌握双曲线的性质. 11．已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ） A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小. 【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>()22119230228log log --=>， 所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n . 故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.12．函数()21sin 6f x x ax bx π=-++的最大值为32，且对任意实数x ，都有()()1f x f x -=，则有（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b =C ．23a =-，23b = D ．2a =，2b =【答案】B【解析】根据()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，结合三角函数和二次函数的对称性与最值即可得解. 【详解】由()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，sin y x π=关于12x =对称， 所以必有216y ax bx =-++关于12x =对称， 依题意有122413322b a a b f ⎧=⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩n . 故选：B 【点睛】此题考查根据函数的最值和对称性求参数的取值，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的基本性质.二、填空题13．已知,a b r r 为两个单位向量，且向量a b -r r 与b r 垂直，则23a b +r r =_________【答案】5【解析】根据向量垂直求出1a b ⋅=r r ，()22323a b a b+=+r r r r即可得解.【详解】由题：向量a b -r r与b r垂直，()0a b b -⋅=r r r ，解得1a b ⋅=r r所以()222232341295a b a ba ab b +=+=+⋅+=r r rr rr r r故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，根据向量的垂直关系求数量积，根据数量积求向量的模长，考查基础知识.14．实数,x y 满足不等式组213x y y x y +≥⎧⎪≥+⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值是_______【答案】13【解析】作出可行域，则22x y +即可行域内的点（x ，y ）到原点的距离的平方，根据几何意义求解. 【详解】（x ，y ）的平面区域如图所示的ΔABC 平面区域（包括边界），22x y +表示该平面区域内一点到原点的距离的平方，由几何意义和图形可知，当(x ，y )取点B 时最大，所以最大值为22+32=13 故答案为：13 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决非线性目标函数的最值问题，关键在于准确进行转化，转化为距离的平方求解.15．点P (4，4)为曲线C ：22x py =上一点，过P 作直线PQ 交曲线C 于点Q (异于P 点)，P 与曲线C 的焦点F 的连线与Q 点处的切线l 垂直，直线l 与曲线C 的准线交于点M ，则FM u u u u r ⋅PQ =u u u r ____________【答案】253【解析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l 的斜率，求出点Q 的坐标，即可得解. 【详解】P =24224=⨯，即24x y =，即24x y =，导函数2x y '= 所以焦点F (0，1)，准线为y =-1；直线PF 的斜率k 1=413404-=-，Q (x 1，y 1)处切线l 的斜率k =12x ；依题意得kk 1=-1183x =-n ；所以81639Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 切线l 的方程为41639y x =--，与准线的交点M (7112--，).所以，()7202075252123993FM PQ ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u n u u r故答案为：253【点睛】此题考查求抛物线的方程，根据导数的几何意义求曲线上在某点处切线方程，计算向量的数量积.16．在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔB AD 为等腰三角形，且∠BAD =90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 【答案】529π【解析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积. 【详解】折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH =60︒， CE =3332CH HE ==，，，所以由222OC OF CF =+得： 2222233131229R R R ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n ，所以，球面积为25249S R ππ== 故答案为：529π【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.三、解答题17．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm 的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15和325；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由茎叶图中的数据分布情况可知,乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小；(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:513,25525==0.12；(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15,不是二级的概率为14155-=,依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望. 解析：(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:525=13,525=0.12, 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为1(5或0.2)和3(25或0.12). (3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15, 不是二级的概率为14155-=, 依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4.又()442560(5625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭或0.4096), ()314142561C (55625P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或0.4096),()222414962C (55625P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或0.1536), ()33414163C ()(55625P ξ==⨯⨯=或0.0256), ()4P ξ==411()(5625=或0.0016).故ξ的分布列为:144(55E ξ=⨯=或0.8).18．已知数列{n a }中，121,3a a ==，点()1,n n a a +在直线210x y -+=上， （1）证明数列{}1n n a a +-为等比数列，并求其公比；（2）设()2log 1n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()1m m S a λ≤+，求实数λ的最小值.【答案】（1）证明见解析，2q =；（2）34【解析】（1）根据点()1,n n a a +在直线210x y -+=上，得1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，通过构造即可得证等比数列；（2）由（1）求出数列{n a }的通项公式，求出()12n n n S +=，根据不等关系求解最值.【详解】（1）依条件有1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，当2n ≥时，有121n n a a -=+，两式相减有()112n n n n a a a a +--=-.因为2120a a -=≠，所以有112n nn n a a a a +--=-为定值， 所以数列{}1n n a a +-为等比数列，其公比q =2. （2）由（1）得()()()21112132112212222112n nn n n n n n n a a a a a a a a a a -+---==+-+-++-=++++==--n L L所以()21n n b log a n =+=，所以数列{}n b 为等差数列，()12n n n S +=由()()()1111222m m m m m m m m S a λλλ+++≤+≤≥nn令()112m m m m c ++=，则12122m m c m m c m++=≥≤n ，所以有1234561n n c c c c c c c c +=>>>>>>L L所以λ≥３４，所以λ的最小值为34【点睛】此题考查根据递推关系证明数列为等比数列，根据数列通项公式求和，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及讨论数列的最值.19．三棱柱111ABC A B C -的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D 、D 1分别为棱AC 和A 1C 1的中点.（1）求侧（左）视图的面积，并证明平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1 （2）求二面角11A BD B --的余弦值. 【答案】（1）8，证明见解析；（2）1517【解析】（1）根据三视图判定面面垂直关系并证明，然后计算侧视图的面积； （2）建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示求二面角的大小. 【详解】解：（1）由视图可知，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，BD ⊥AC 因为BD ⊂底面ABC ，AC =侧面A 1ACC 1I 底面ABC 所以BD ⊥侧面A 1ACC 1 因为BD ⊂平面B 1BDD 1 所以平面B 1BDD 1⊥侧面A 1ACC 1侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD 的长，所以面积S =4×2=8 （2）由（1）可知，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz各点坐标为A (2，0，0)， D (0，0，0)， B (0，2，0)， C (-2，0，0)， A 1(1，0，4)， D 1(-1，0，4)， C 1(-3，0，4)B 1(-1，2，4)设平面A 1BD 的法向量为()a x y z =r，，，则有：10a DA a DB ⋅=⋅u u u u r u u ur r r ，=0404300x z x z y y +=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401a =-r，，设平面B 1BD 的法向量为()b x y z =r，，，则有： 10b DB b DB ⋅=⋅u u u r u u u u r r r ，=02404200x y z x zy y -++==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401b =r，，，设二面角11A BD B --的大小为θ，则有1517a b cos cos a b a b θ⋅===⋅rr rr r r ，【点睛】此题考查根据三视图识别几何体的关系，求侧视图的面积，证明面面垂直，通过向量求二面角的大小.20．设函数()22cos f x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥，不等式()1f x kx ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）在区间(),0∞-上是减函数，在区间()0,∞+上是增函数；（2）(],0∞- 【解析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】解：（1）()()()2222,2222120f x x cosxsinx x sin x f x cos x cos x =-=-=-=-'≥' 所以()f x '为增函数，又因为()00f '=所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>所以，函数()f x 在区间()0∞-，上是减函数，在区间()0∞+，上是增函数 （2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥ 设()221g x x kx cos x =--+，()022x g x x k sin x ≥=--'，由（1）可知()g x '是[)0∞+，上的增函数， 因为()0g k '=-，所以，当()000k g '≤≥时，，函数g (x )在区间[)0∞+，上的增函数 所以()()20100g x g cos ≥=-+=，所以当0k ≤时符合题意.当0k >时，()/00g k =-<，所以存在00x >，使得()/00g x =；并且当()000x x g x ≤'<<时，； 当()00x x g x >>'时，；所以函数()g x 在区间[)00x ，上是减函数，在区间()0x ，+∞上是增函数 最小值为()()000g x g <=，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数k 的取值范围是(]0，∞- 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.21．如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为(0,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作圆222:(1)M x y r ++=（圆M 在椭圆C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B ，D 不同于点A )，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,3-【解析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆，解出B ，D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率12k k ，的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点. 【详解】解：（1）依题意可得：2222212211122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪====+=⎨⎪=+⎪⎩n n ，，椭圆：） （2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k-++==+n ， 可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由圆M 与l ()2222112101k r r k k r k -+=--+-=+n由韦达定理得：12122211k k k k r +==-， 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++…… 直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解.22．曲线C 的参数方程为1m x mt ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，0m >），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线θα=与直线sin 2ρθ=交于点P ，动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8.（1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.【答案】（1）C ：222144x y m -=，E ：4sin ,0ρθρ=>；（2【解析】（1）对曲线C 的参数方程中两个等式同时平方处理即可得到普通方程，根据|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n 结合直线的极坐标方程即可得解； （2）根据极坐标方程及几何关系|P 1P 2|224sin α==n 即可求解. 【详解】解：（1）由题：1m x mt t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11x t m ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 两式平方得2224x y m-=曲线C 的普通方程为222144x y m -= 设()Q ρθ，，则()1P ρθ， 因为|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n又因为P 点是直线θα=和2sin ρθ=的交点，所以12sin ρθ= 所以28sin ρθ=n，即4sin ρθ= 所以动点Q 的轨迹E 的极坐标方程为4sin ,0ρθρ=>（2）双曲线C 的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为θα=； 它与曲线E 的两个交点P 1.P 2，其中一个为极点，所以|P 1P 2|12242sin sin tan ααα====n n n所以1m m ±=±=【点睛】此题考查根据直线的参数方程求普通方程，求曲线的极坐标方程，根据极坐标方程结合弦长求参数的取值.23．设()2f x x a =-,a R ∈.（1）当1a =时，解不等式()13f x <<；（2）若对任意实数x ，使不等式()13f x x ++≥恒成立的最小正数a ，有23m n r a ++≥，证明：()()22291114m n r +++-≥. 【答案】（1）()()0,12,3⋃；（2）证明见解析 【解析】（1）根据绝对值的意义即可求得解集；（2）根据不等式恒成立求出4a 的最小值，利用柯西不等式即可得证. 【详解】解：（1）当a =1时，由 1<f (x )<3可得：1<|2x -3|<33231x -<-<-n 或1233x <-<01x <<n 或23x <<.所以不等式的解集为()()0123⋃，，（2）对于任意实数x 及正数a ，()12111111222222a a a a a a f x x x a x x x x x x x x ++=-++=-+-++≥-++≥---=+=+当且仅当2a x =时取等号，所以只要1342aa +≥≥n ，所以4a 的最小值，所以()23421313m n r m n r ++≥+++-≥n 由柯西不等式得：()()()()()()()()()()()()22222222222192131123111121311414m n r m n r m n r m n r +++-≤+++++-+++-≥+++-≥n当且仅当1123n r m +-==时取等号 【点睛】此题考查解含绝对值的不等式，根据不等式恒成立求参数的取值范围，根据柯西不等式证明不等式，综合性比较强.。
2020年7月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学 参考答案
数学 参考答案及评分标准 第1页（共3页）2020年7月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）31．2 32．21 33．()1,+∞ 34 三、解答题（共4小题，共28分） 35．（本小题满分6分）解：设从第1排座位到第10排座位数列{}n a ,由题意{}n a 是等差数列． ····································· ······························ 1分 其中18a =，公差1d =． ···································································· 2分10198917a a d =+=+=， ································································· 3分等差数列{}n a 的前10项和数学 参考答案及评分标准 第2页（共3页）1101010()2a a S +=·············································································· 4分10(817)1252+== ········································································· 5分 答：问该放映厅一共有125个座位． ······················································ 6分36．（本小题满分6分）解：（1）根据频率分布直方图，[80,90)组的学生人数有4000.1560⨯=人，··············· 1分 [90,100]组的学生人数有4000.1040⨯=人. ·············· 2分 成绩优秀的学生人数合计应为100人；从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，则从[80,90)组抽取3人，记为123,,A A A ； 从[90,100]组抽取2人，分别记为12B B ,,. ····················· 3分于是，从这5人中随机抽取2人的所有可能结果为11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ， 32A B ,12A A ,13A A 23A A ,12B B ,共10种. ························ 4分 设所抽取的2人都来自[90,100]组为事件C ，所包含的结果为12B B ，共1种. ········· 5分 因此，所抽取的这2 人的成绩都在区间[90,100]的概率1().10P C =. ···················· 6分 37．（本小题满分8分） (1)PA ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ,.PA BC ∴⊥∵底面ABCD 为矩形, .AB BC ∴⊥,PA AB A BC =∴⊥平面PAB .又AE ∴⊂平面PAB ,∴CB 丄AE（2）在Rt PAB △中，2PA AB ==，1122222PABS PA AB ∴=⋅=⨯⨯=又E 是棱PB 的中点, 1 1.2PAEPABSS ∴==由（1）知，CB ⊥平面,PAB数学 参考答案及评分标准 第3页（共3页）CB ∴是三棱锥C PAE -的高，且已知CB =所以, 11133P ACE C APE PAEV V S CB --==⋅=⨯= 38．（本小题满分8分）已知()()ln f x ax x a a R =--∈ （1）当a = l 时，求()f x 的单调区间； （2）讨论函数()y f x =的零点的个数情况. 38. （本小题满分8分）解答：（1）当a = l 时，()()ln 1f x x x a R =--∈，其定义域为0x > 求导得11()1x f x x x-'=-=令11()10x f x x x-'=-=>解得，1x >， 令11()10x f x x x-'=-=<解得，01x <<， ()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.(2)求导得:11()ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时, ()0f x '<恒成立, ()f x 在区间为()0,+∞上单调递减, 又因为()1ln10f a a =--=,故函数()y f x =的零点为0个; ②当0a >时, 令11()0ax f x a x x -'=-=>,解得，1x a>， 令11()0ax f x a x x -'=-=<,解得，10x a<<， 故()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为11()1ln 1ln f a a a aa ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭数学 参考答案及评分标准 第4页（共3页）令t a =,则有()()ln 1f t t t =---,由(1)知()f t 的单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为()0,1.故()f t 的极大值为1(1)1ln110()()f f t f a=--=>= 即满足()f x 的极小值111()ln 10f aa a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤ (i)当1a =时,则()f x 在1x =处取得最小值0, 故函数()y f x =的零点为1个; (ii)当01a <<或1a >时,则即满足min ()0f x <,故函数()y f x =的零点为2个; 综上, 当0a ≤时, 函数()y f x =的零点为1个; 当1a =时,函数()y f x =的零点为1个;当01a <<或1a >时,函数()y f x =的零点为2个;。
2024年教师资格考试初中学科知识与教学能力数学试卷与参考答案
2024年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力复习试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在下列函数中，属于一次函数的是：A.(f(x)=x2+3x−2)B.(g(x)=2x+4)C.(ℎ(x)=√x+5)+3)D.(j(x)=1x2、下列关于三角形内角和定理的说法正确的是：A. 任何三角形的内角和小于180°B. 等边三角形的内角和等于360°C. 所有三角形的内角和等于180°D. 任何三角形的内角和大于180°3、题干：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（-2，1）。
下列关于点B的坐标的描述正确的是（）A. 点B在第二象限B. 点B在第三象限C. 点B在第四象限D. 点B在x轴上4、题干：若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 345、下列关于函数图像的说法正确的是（）A. 函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线B. 函数y=√x的图像是一个开口向下的抛物线C. 函数y=2x+1的图像是一条直线，斜率为2，y轴截距为1D. 函数y=|x|的图像是一个开口向左的绝对值函数6、下列关于一元二次方程的解法，错误的是（）A. 因式分解法可以求解一元二次方程B. 配方法可以求解一元二次方程C. 求根公式法可以求解一元二次方程D. 降次法不能求解一元二次方程7、在下列函数中，属于二次函数的是（）)A.(y=1xB.(y=x2+2x+1)C.(y=√x)D.(y=x3−2x2+x+1)8、已知函数(f(x)=2x2−3x+1)，则函数的对称轴是（）)A.(x=−34)B.(x=34)C.(y=−34)D.(y=34二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题请结合初中数学学科特点，谈谈如何有效运用信息技术进行数学教学？第二题题目：简述在教授初中数学时如何运用直观演示法，并举例说明其在几何教学中的应用。
广西师范大学2018年学科数学864答案
⼴西师范⼤学2018年学科数学864答案⼴西师范⼤学2018年研究⽣⼊学考试试题科⽬名称：数学教育学科⽬代码：864适⽤专业代码及名称：045104学科教学(数学)（答案必须站在考试专⽤答题纸上。
否则造成错批、漏批等后果⾃负）⼀、说明题：（共4⼩题，每⼩题15分，共60分）1.什么是数学核⼼素养？为什么要加强对学⽣数学核⼼素养的培育？参考：⾼中数学课程标准（2017年版）PP4学科核⼼素养是育⼈价值的集中体现，是学⽣通过学科学习⽽逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能⼒。
数学学科核⼼素养是数学课程⽬标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能⼒以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应⽤的过程中逐步形成和发展的。
数学学科核⼼素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科核⼼素养既相对独⽴、⼜相互交融，是⼀个有机的整体。
1.数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出⼀般规律和结构，并⽤数学语⾔予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产⽣、发展、应⽤的过程中。
数学抽象使得数学成为⾼度概括、表达准确、结论⼀般、有序多级的系统。
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学⽅法与思想，认识数学结构与体系。
通过⾼中数学课程的学习，学⽣能在情境中抽象出数学概念、命题、⽅法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在⽇常⽣活和实践中⼀般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运⽤数学抽象的思维⽅式思考并解决问题。
2.逻辑推理逻辑推理是指从⼀些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。
主要包括两类：⼀类是从特殊到⼀般的推理，推理形式主要有归纳、类⽐；--类是从⼀般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
广西师大考研试题及答案
广西师大考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 广西师范大学位于我国的哪个省份？A. 广东省B. 广西壮族自治区C. 湖南省D. 云南省答案：B2. 广西师范大学的校训是什么？A. 厚德博学，求是创新B. 厚德载物，自强不息C. 明德博学，求是笃行D. 格物致知，诚意正心答案：A3. 广西师范大学的创办年份是？A. 1932年B. 1953年C. 1978年D. 1993年答案：B4. 广西师范大学的校歌名称是什么？A. 《广西师范大学校歌》B. 《青春之歌》C. 《梦想起航》D. 《奋进之歌》答案：A5. 广西师范大学的校庆日是每年的哪一天？A. 5月18日B. 9月10日C. 10月22日D. 11月11日答案：C6. 广西师范大学的校徽中包含哪些元素？A. 书籍、火炬、桂冠B. 书籍、桂冠、校训C. 火炬、桂冠、校训D. 书籍、火炬、校训答案：D7. 广西师范大学的图书馆藏书量超过多少万册？A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万答案：B8. 广西师范大学的校园占地面积大约是多少？A. 1000亩B. 2000亩C. 3000亩D. 4000亩答案：C9. 广西师范大学的校风是什么？A. 团结、勤奋、求实、创新B. 严谨、勤奋、求实、创新C. 团结、勤奋、求实、进取D. 严谨、勤奋、求实、进取答案：A10. 广西师范大学的校园内有多少个学院？A. 22个B. 25个C. 28个D. 30个答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 广西师范大学的学科门类包括以下哪些？A. 哲学B. 经济学C. 法学D. 教育学答案：ABCD2. 广西师范大学的校园文化活动包括以下哪些？A. 学术讲座B. 文艺演出C. 体育竞赛D. 社会实践答案：ABCD3. 广西师范大学的科研成果主要体现在以下哪些方面？A. 学术论文B. 科研项目C. 专利申请D. 技术转化答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述广西师范大学的办学特色。
2020年广西高考文科数学试题及答案
2020年广西高考文科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
答题卡：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12B C ．23D 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）8．点(0)1-，到直线()1y k x =+距离的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．2B ．2C ．3D ．310．设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．512．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广西高考数学试题
2020年广西高考数学试题数学作为一门学科，对于广大考生来说无疑是高考的重点和难点科目之一。
2020年广西高考数学试题作为当年考试的重要组成部分，对考生的数学知识应用能力和解题能力提出了较高的要求。
本文将对该年度广西高考数学试题进行详细的解析，逐步思考解题的过程并进行举例说明，旨在帮助考生更好地理解数学问题的解决方法。
一、题目分析本次广西高考数学试题涵盖了数学的各个知识点，包括代数、几何、函数等。
这些题目旨在考察考生对于数学知识的掌握情况以及解题思路的熟练程度。
下面，我们将一步步解析其中的几道题目。
已知函数f(x) = 3x + 2，g(x) = x^2 - 1，求f(g(x))的解析式。
解析：通过解析式f(x) = 3x + 2和g(x) = x^2 - 1，我们可以得出f(g(x)) = f(x^2 - 1)。
将g(x)代入f(x)的解析式中，则得到f(g(x)) = 3(x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 1。
因此，f(g(x))的解析式为3x^2 - 1。
某数列的前n项和为Sn = n^2 + 2n，已知S4 = 24，求数列的通项公式。
解析：根据题目给出的前n项和公式Sn = n^2 + 2n，我们可以列出n = 4时的方程：S4 = 4^2 + 2×4 = 24。
由此，我们可以得到4^2 + 2×4 = 24，整理得到4^2 + 2×4 - 24 = 0。
通过分解因式或使用求根公式，可以得到解为(n - 4)(n + 6) = 0，因此，n = 4 或 n =-6。
由于题目中已经给出了前n项和，因此我们可以确定n = 4。
将n = 4代入Sn = n^2 + 2n的公式中，可以得到S4 = 4^2 + 2×4 = 24。
因此，该数列的通项公式为an = n^2 + 2n。
已知直线l₁过点A(1, 2)且斜率为k，直线l₂过点B(3, -4)且斜率为-2，求k的值。
2024年广西省高考数学真题及参考答案
2024年广西省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024年广西省高考数学真题及参考答案
2024年广西省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广西师范大学2017年学科数学864答案
广西师范大学2017年研究生入学考试试题科目名称：数学教育学科目代码：864适用专业代码即名称：045104学科教学(数学)（答案必须站在考试专用答题纸上。
否则造成错批、漏批等后果自负）一、简述题（满分40分，每小题20分）1.什么是数学的基本思想？有何价值？请举例说明与数学方法有何区别。
参考：义务教育数学课程标准（2011年版）解读第七章义务教育数学课程目标P188高中数学课程标准（2017年版）解读第四章高中数学课程目标分析P65考点：数学基本思想及其价值、数学思想与数学思想方法的区别义务教育数学课程标准（2011年版）解读P188数学基本思想及其价值《课程标准（2011年版）》）在这里的措词为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，是因为后者更多地涉及一些具有程序、步骤、路径的可操作的“方法”，如换元法、代人法、配方法等，它们属于更为具体的层次。
这里在“思想”的前面加了“基本”二字，一方面强调其重要；另一方面也希望控制其数量，基本思想不要太多了。
说“强调其重要”，是因为“数学思想”可以有许多，并且是具有层次的，而“数学的基本思想"则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次；其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来。
《课程标准（2011年版）》中所说的“数学的基本思想"主要指：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。
人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。
由上述数学思想演变、派生、发展出来的思想还有很多。
例如，由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。
广西师范大学附属外国语学校2020届高三第一次模拟考试数学(理)试卷
1 2 5
4 5
2
96 ( 或 625
0.1536),
P 4 = (1)4 1 ( 或 0.0016).
5 625 故 的分布列为:
P
3
C34
(1)3 5
4 5
16 625
(
或
0.0256),
E 4 1 4 ( 或 0.8) 55
18、（1）2 （2）
解析：（1）依条件有 +1 + 1 = 0 ⟹ +1 = + 1） 当 n 时，有 = 1 + 1，两式相减有 +1 = (
+1
3
的最大值为
，且对任意实数 x,
都有 f
1
x = f(x)，则有(
)
2
A． a 4 ， b 4
3
3
B． a 4 ， b 4
3
3
C． a 2 ， b 2
3
3
D． a 2 ，b=2
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、已知 , 为两个单位向量，且向量 与 垂直，则| + |=
|| 2、设复数 z = a + i(a ∈ R)的共轭复数为 ，且 z + = ，则复数 在复平面内对应点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、从 2020 年起，部分省市考生的高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中
学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，各等级
2020.03 师大附外高三第一次模拟考试数学（理）试卷（附答案）
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广西师范大学2020年研究生入学考试试题科目名称：数学教育学科目代码：864适用专业代码及名称：045104学科教学(数学)（答案必须站在考试专用答题纸上。
否则造成错批、漏批等后果自负）一、简答趣（共2小题，每小题15分，共30分）1.直观想象是什么？为什么直观想象是数学核心素养？参考：普通高中数学课程标准(2017年版) PP6直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。
主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
2.什么是概念的同化？请举例说明。
概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的种概念学习形式。
是指利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性的过程。
这是一个接受学习的过程。
概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件：（1）学习者必须具备“我要”的动力；（2）新概念必须有逻辑意义；（3）学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的基础。
这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念之间的关系。
要求教师必须了解学生对原有概念掌握的情况。
原有概念越牢固、越清晰，新概念的同也就越容易。
概念同化的五个阶段（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号“一次函数”的定义：函数yy=kkkk+bb，其中kk，bb∈RR，kk≠0（2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。
可讨论的一次函数特例是：yy=kkkk，yy=kk，yy=−kk等。
要突出函数表达式中，自变量kk的次数为一次这个关键特征。
（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。
一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较，认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。
（4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。
可：yy=kk−1，yy=−kk+bb，yy=0，yy=1，yy=−kk，yy=kk，aayy=kk+3(aa≠0)，并要求学生指出相应的kk，bb各是多少。
学生往往拿不定主意，yy=0到底是不是一次函数，而yy=kk−1中的bb=1等等。
这一阶段可以防止和纠正类似错误的发生。
（5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通，组成一个整体。
二、探索与解答题过河问题：长江某地南北两岸平行。
如图33所示，江面宽度dd=ll kk ll，一艘游船从南岸码头AA出发航行到北岸。
假设游船在静水中的航行速度vv1的大小为|vv1|=10kkll/ℎ，水流的速度vv2的大小为|vv2|=4kkll/ℎ，设vv1和vv2以的夹角为(0<θθ<180°)，北岸的点AA′在AA的正北方向。
回答下面的问题：（1）当θθ=120°时，判断游船航行达到北岸的位置在点AA′的左侧还是右侧，并说明理由；（2）当θθ多大时，游船能够到达AA′处？需要航行多长时间？（1）画写出你探索解题思路的过程（15分）；（2）写出解答过程（10分）；（3）结合本题具体内容指出此题可考查的数学核心素养（10分）？）左侧，理由如下：三、教学设计题对下面的选定的一题进行教学设计，设计教学目标，设计教学环节及其基本过程并交代意图：1.对“椭圆的标准方程”教学主题中的建系与方程的探索推导片段进行教学设计：设计教学目标、设计教学环节及其基本过程并分别交代设计意图；2.探索与证明：等腰三角形的两底角相等。
一、教学内容解析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值.二、教学目标分析：知识与技能：①了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程;②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.过程与方法：①通过椭圆概念的引入和标准方程的推导过程，培养我们的分析探索能力;②体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想;③注重掌握运用通过解析法来研究几何的一般方法，培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.情感、态度与价值观：①通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神;②激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.三、学生学情分析：①在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容;②由于学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性.四、教学方法和教学策略分析：教学方法：探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。
充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点，让学生自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。
采用以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.教学准备: 课件（包括PPT课件、几何画板课件）、准备16副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗钉子、一根细绳）.五、教学过程：（一）创设情境，引入新课通过师生共同观察多媒体课件，说明椭圆是常见的曲线，指出研究椭圆的必要性，提出本节课的研究内容，引出课题.（设计意图：借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性,同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，同时也体会到数学的重要性，培养爱国思想.）(二) 复习通法，类比研究复习研究圆的定义及标准方程的基本方法.（提问为主，教师补充.）1.画出图形；2.研究圆上的点所满足的几何条件；3写出圆上的点的集合，归纳总结出圆的定义；4.根据定义，求出圆的方程.请类比研究圆的基本方法研究椭圆.(设计意图:激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策略.) （三）尝试画图，形成感知1. 教师提问：如何画椭圆？（引导学生从一个定点，一条细线能画圆，那用两个定点，一条细线能画椭圆吗？学生猜想）在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数的范围”等关键词与相应的特征.F 1 F 2 Mcc)2+yy2=2aa突破难点学生会提出两种方案：如图，圆A的半径为定长rr,BB是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段BBPP的垂直平分线l和半径AAPP相交于点QQ，(1)当点PP在圆上运动时,点QQ的轨迹是什么？为什么？(2)当点PP在圆上运动时，若rr=10,AABB=6，建立适当的平面直角坐标系，求出点QQ的轨迹方程.小组讨论，教师指导，学生讲解.(设计意图：帮助学生深刻理解椭圆的定义和标准方程，拓展学生思维，提升学生的能力)（十）回顾反思----归纳提炼思考:1.本节课学习的主要知识是什么?2.求椭圆标准方程常用方法是什么？3.本节课涉及到了哪些数学思想方法？活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.教师总结：今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定义及标准方程，接下来我们也将继续利用方程展开研究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思想将贯穿于整个圆锥曲线的教学中.（设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）(十一)课外作业1．推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程.2．习题 2.2 A组 1，2 .（设计意图：通过作业，突破本节学习的难点，巩固所学知识.）(十二) 课后探索1.方程AAkk2+BByy2=1什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？2.收集天宫一号及神舟十号相关信息，了解我国航天事业的发展情况.（设计意图：为后续学习做铺垫，为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.）MF1F2M四、案例思考（共1小题，满分20分）某教师最近几节课见一名数学资优生在数学课堂上无精打采，课后询问了解到该学生对教师上课的数学内容课前都懂了。
面对这个学生，你作为他的数学教师，你会想到哪些办法？你打算采用什么方式方法对他因材施教？为什么？对待学习有余力，思维灵活的学生，可以让他们多做一些综合运用知识和富有思考性的题目，完成难度较大的题目，以满足他们的求知欲。
要把集体教学、分组讨论与个别指导有机结合起来，最大限度地调动每个学生的学习积极主动性，逐步使他们达到教学要求，使每个学生的知识、能力都不断提高，使每个学生的聪明才智都得到发展，充分体现学生在学习中的主体性，从而大面积地提高教育教学质量。