2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系导学案新人教A版选修1-1.doc

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【2019-2020】高中数学第一章常用逻辑用语专题1

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第一章常用逻辑用语专题1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．下列命题是特称命题的是A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3【答案】D【解析】选项D中含有存在量词“存在”，所以根据特称命题的定义知选D.2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是A．对任意的，都有B．菱形的两条对角线相等C．D．对数函数在定义域上是单调函数【答案】D3．命题“”的否定是A． B．C． D．【答案】B【解析】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选B．4．有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是A．B．C．D．【答案】D【解析】或，为假命题；为真命题；为真命题，为假命题；为真命题.故选D.5．下列命题正确的是A．∃x0∈R,+2x0+3=0B．∀x∈N,x3>x2C．x>1是x2>1的充分不必要条件D．若a>b,则a2>b2【答案】C6．已知命题；命题，则下列判断正确的是A．是假命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题【答案】D【解析】命题是假命题；命题是真命题，因此是真命题，为假命题，是假命题，是真命题，故选D.二、填空题7．命题“，使得”是______命题.（选填“真”或“假”）【答案】真【解析】由题可知：令x=0，则符合题意.故原命题是真命题.8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________．【答案】过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内【解析】原命题为全称命题，其否定为特称命题．9．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】由题设可知:“,都有恒成立”,所以,即,也即,所以.【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与特称命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是特称命题”、“特称命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是特称命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时，先将问题合理转化为：“,都有恒成立”是真命题,进而获解.常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从而造成解答上的错误.10．下列特称命题是真命题的序号是__________________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数，使；③存在实数，使函数的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意，所以不存在实数，使，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故填①③④.三、解答题11．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:（1）三角形的内角和为180°;（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形.12．判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:(1)对任意实数x,都有x2+3>0;(2)每一个指数函数都是增函数;(3)存在一个实数x,使得x2+2x+2=0;(4)棱锥的底面多边形中有正多边形.【解析】(1)是全称命题.当x∈R时,x2≥0,则x2+3>0,故该全称命题是真命题.(2)是全称命题.对于指数函数y=()x,它是减函数,故该全称命题是假命题.(3)是特称命题.对于方程x2+2x+2=0,Δ=22-4×1×2=-4<0,即方程x2+2x+2=0没有实数根,因此该特称命题是假命题.(4)命题用量词表示为:存在一些棱锥,它们的底面多边形是正多边形,是特称命题.显然能找到一类棱锥,即正棱锥,它们的底面多边形是正多边形,故该特称命题是真命题.13．已知为真命题，为真命题，求实数m的取值范围．【解析】由为真命题，即为假命题，由 .又不恒成立，∴.又对为真命题，即不等式恒成立，∴，即，故m的取值范围是.14．已知，命题，，命题，.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，，命题q为真命题时，，解得或.因为命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以命题p与q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，；当命题p为假，命题q为真时，．综上，实数的取值范围为或．。

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版

【解】 (1)为假命题，如 a＝1，b＝－2 时，有 a>b，但 a2<b2. (2)为真命题，由方程的根的定义，将 x＝1 代入方程，即可作出判断． (3)为真命题，令 a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则 ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然 2k1k2＋k1＋k2 是一个整数，故 ab 是奇数． (4)为假命题，圆心到直线的距离 d＝ 22小于圆的半径 1，直线与圆相交．
解析：①是命题，能判断其真假． ②不是命题．该语句为疑问句，没有对垂直于同一直线的两直线是否平行作出判断． ③是命题.0 既不是正数，也不是负数，判断其为假． ④是命题．取 x＝ 3，y＝－ 3知其是假命题．答案：①③④
命题真假的判断判断下列命题的真假． (1)若 a>b，则 a2>b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)若 a，b 都是奇数，则 ab 必是奇数； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切．
判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
下列语句是命题的有________．(填序号) ①x2－1＝0 有一个根是－1； ②垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ ③一个数不是正数就是负数； ④若 x＋y 为有理数，则 x，y 也是有理数．
■名师点拨 (1)“若 p，则 q”只是命题的一种形式，另外，“如果 p，那么 q”“只要 p，就有 q”也是常见的命题形式． (2)数学中有一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式，但是把它的表述进行适当改变，就可以写成“若 p，则 q”的形式，这样条件 p 和结论 q 就明确了． (3)将含有大前提的命题改写为“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变，改写后仍作为大前提，不要写在条件 p 中． (4)改写前后命题的真假性不发生变化． (5)还有一些命题不能写成“若 p，则 q”的形式，如“某些三角形没有外接圆”．

2019-2020学年度最新高中数学第一章常用逻辑用语1-2简单的逻辑联结词1-2-1逻辑联结词“非”“且”和“或”.

A．没有使用逻辑联结词
B．使用逻辑联结词“且”
C．使用逻辑联结词“或”
D．使用逻辑联结词“非”
2．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )．
A．(p)∨q B．p∧q
C．(p)∨(q) D．(p)∧(q)
3．已知命题p：∅⊆{0}，q：0∈∅，由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“p”形式的命题中，真命题有( )．
又“非q”为假，∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，可得
即
∴∴
故x的取值为－1,0,1,2.
9．解：函数y＝cx在R上单调递减⇔0c＜1.不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
因为x＋|x－2c|＝
所以函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
所以不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．已知命题p，q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题p：函数f(x)＝sin(2x－)＋1，满足f(＋x)＝f(－x)，命题q：函数g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)，则命题“p∧q”、“p∨q”、“p”中，为真命题的个数为( )．
即a∈[，1)．
(2)若p不正确，q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
因此a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，
即a∈(，＋∞)．
综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．

高中数学常用逻辑用语

逆否命题：若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命
题关键是分清命题的题设和结论（即
把原命题写成“若p则q”的形式）
注意：三种命题中最难写的是否命题。高中数学常用逻辑用语
三、四种命题之间的关系
原命题
பைடு நூலகம்若p则q
互逆逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆若﹁q则﹁p
高中数学常用逻辑用语
x∈N”是“x∈M∩N”的
B
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D既不充分也不必要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
A
高中数学常用逻辑用语
练习5、
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的高中数结学常用论逻辑正用语确。
归谬结论
1.写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc“的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断他们的真假
2.写出命题“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题
充分非必要条件
2) 若A B且B A，则甲是乙的
必要非充分条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是高中乙数学的常用逻充辑用分语且必要条件。
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.

2019年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 充分条件和必要条件(1)

2019年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 充分条件和必要条件（1）学案苏教版选修1-1原命题：若p则q 逆命题：否命题：逆否命题：两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性3.一般地，命题“若p则q”为真，记作；“若p则q”为假，记作二、问题情景写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：⑴若，则；⑵若，则。

解：（1）原命题：逆命题：否命题：逆否命题：（2）原命题：逆命题：否命题：逆否命题：二、建构数学1.充分必要条件的有关概念如果，那么称p 是q 的；如果，那么称p 是q 的；如果且即，那么称p 是q 的；如果且，那么称p 是q 的；如果且，那么称p 是q 的；如果且，那么称p 是q 的；例1.指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）（1）0)2)(1(:,01:=+-=-x x q x p ；（2）p ：两条直线平行，q ：内错角相等；（3）；（4）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形；例2、已知：在中，()()sin sin A B C A C B +-=+-；：是为顶点的等腰三角形.说明是的什么条件.例3、求关于的不等式的解集为的充要条件.例4、（理）已知条件：(){}210A x x a x a =-++≤，条件：，当为何值时： ①是的充分不必要条件；②是的必要不充分条件；③是的充要条件.一、基础题1、有且只有一个负的实根的充要条件是__ __．2、若集合，，则“”是“”的_ __条件．3、在平面直角坐标系中，点在第一象限的充要条件是__ ______．4、已知是实数，则“且”是“且”的____________条件.5、已知，，，为实数，且＞，则“＞”是“－＞－”的____________条件.6、设，则向量是向量的____________条件.7.是的条件；二、提高题1、设条件：关于的方程的两根一个小于0，一个大于1，若是的必要不充分条件，则条件可设计为____________条件.2、设两向量为，（），则是的____________条件.3.设M,N 是两个集合,则“”是“ ” 的条件4.“m =”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直” 的条件5、如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要非充分条件，则丁是甲的____________条件.三、能力题1、设命题，命题()()0112:2≤+++-a a x a x q .若的必要而不充分条件，求实数的取值范围．2、证明：的图像与轴正半轴至少有一个交点的必要不充分条件是：.3、关于的不等式的解集为的充要条件是 .。

高中数学选修1-1公式概念总结

焦点在 x 轴上： kOP
kAB
a2 b2
；焦点在
y
轴上： kOP
kAB
b2 a2
.
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程 1、双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 F1F2
“非 p ”或“ p 的否定”.与集合 U A x x U 且 x A
选修 1-1 数学
2
6、 p 非 q 的真假：若 p 是真命题， p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题。简记为：与 p 真假性相反。
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1、定义：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
b2 a2
cos OF2B
P 不在 y 轴上： e sin sin sin
cos
cos
2
2
9、交点三角形面积公式：
选修 1-1 数学
4
S
PF1F2
b2 sin 1 cos
b2 tan 2
C
yP
1 2
PF1
PF2
sin
周长公式： C 2a c
10、椭圆的第二定义：平面内，若动点 M (x, y) 与定点 F c, 0 的距离和它到定直线
11、直线与椭圆的位置关系
x2
位置关系的判定：联立
a
2
y2 b2
1 a
b
0
消去 x 或消去 y 解方程。
Ax By C 0
①当直线与椭圆有两个焦点时，直线与椭圆相交，即 0 ；②当直线与椭圆有一个焦点时，直线与椭圆相切，即 0 ；③当直线与椭圆无焦点时，直线与椭圆相离，即 0 .

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修2_1

“若 x2＝1,则 x＝1”的否命题为( )
A.若 x2≠1,则 x＝1
B.若 x2＝1,则 x≠1
C.若 x2≠1,则 x≠1 答案：C

D.若 x≠1,则 x2≠1
设 a,b 是向量,命题“若 a＝－b,则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A.若 a≠－b,则|a|≠|b| B.若 a＝－b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠－b D.若|a|＝|b|,则 a＝－b 解析：选 D.条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|,则 a＝－b.故选 D.
1.已知 a,b∈R,命题“若 a＋b＝1,则 a2＋b2≥12”的否命题是(
)
A.若 a2＋b2＜12,则 a＋b≠1
B.若 a＋b＝1,则 a2＋b2＜12
C.若 a＋b≠1,则 a2＋b2＜12
D.若 a2＋b2≥12,则 a＋b＝1
解析：选 C.将原命题的条件与结论同时否定,得否命题为“若 a ＋b≠1,则 a2＋b2＜12”.故选 C.
■名师点拨 (1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若 x≠2,则 x2≠4”相对于命题“若 x＝2, 则 x2＝4”是否命题,而相对于命题“若 x2＝4,则 x＝2”则是逆否命题.
(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性. (3)不是“若 p,则 q”形式的命题,最好先改写成“若 p,则 q”的形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.
2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 q≤94,则方程 x2＋3x＋q＝0 有实根； (2)若 ab＝0,则 a,b 中至少有一个为 0.

2019年最新-人教版高中数学选修1.1.1命题ppt课件

常用逻辑用语
“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 逻辑用语是我们必不可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,,纠正
出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
1.1 命题及其关系
1.1.1命题
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.
(4)两个内角等于的三4 5 角形是等腰直角三
角形.
2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。 (1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。 (2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。
若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
例1 指出下列命题中的条件p和结论q.
若整数a能被2整除，则a是偶数；
菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数。
2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
(2)若整数a是素数，则a是奇数;
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;
(5)
;
(6)x>15. 22 2
真命题假命题

2019-2020人教A版数学选修1-1 第1章 1.1 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件PPT

第一章常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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学习目标 1．了解命题的四种形式，能写出一个命题的
核心素养
逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 借助命题的等价性解
2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假题培养数学抽象、逻
性之间的关系．(易混点) 辑推理素养.
[答案] 若 cos x＝12，则 x＝π3 若 x≠π3，则 cos x≠12 若 cos x≠12，则 x≠π3
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合作探究提素养
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写出原命题的其他三种命题
【例 1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若 sin α＝12，则 tan α＝ 3； (2)若 a＋b 是偶数，则 a，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当 1<x<2 时，x2－3x＋2<0； (5)若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0.
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③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ [互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]
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3．已知命题 p：若 x＝π3，则 cos x＝12，则命题 p 的逆命题为 ________；命题 p 的否命题为________；命题 p 的逆否命题为 ________．
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[解] (1)逆命题：若 tan α＝ 3，则 sin α＝12. 否命题：若 sin α≠12，则 tan α≠ 3. 逆否命题：若 tan α≠ 3，则 sin α≠12. (2)逆命题：若 a，b 都是偶数，则 a＋b 是偶数．否命题：若 a＋b 不是偶数，则 a，b 不都是偶数．逆否命题：若 a，b 不都是偶数，则 a＋b 不是偶数．

高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修1-1

阅读教材 P2～P3 第 3 段第 3 行，完成下列问题． 1．命题的定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以_判__断__真__假__的__陈__述__句___叫做命题．
2．命题的分类 (1)真命题：_判__断__为__真__的语句叫做真命题； (2)假命题：_判__断__为__假__的语句叫做假命题．
命题真假的判断
判断下列命题的真假： (1)若 a＞b，则 a2＞b2； (2)x＝1 是方程(x－2)(x－1)＝0 的根； (3)当 x＝4 时，2x＋1＜0； (4)直线 y＝x 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切．【精彩点拨】语句 ―命定―题义→ 判断是否是命题证明―举 ―→反例真假命题
(1)若整数 a 能被 2 整除，则 a 是偶数； (2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．【提示】 (1)条件 p：整数 a 能被 2 整除，结论 q：整数 a 是偶数． (2)条件 p：四边形是菱形，结论 q：四边形的对角线互相垂直且平分．
把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( ) (2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( ) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( ) (4)“mx2＋2x－1＝0 是一元 P3 第 4 段，完成下列问题．命题的结构 1．结构形式：_若__p_，__则__q_. 2．命题的条件是：命题中的__p__；命题的结论是：命题中的__q_.
判断命题真假的两个技巧 1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证的结论． 2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．

2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第一章1.1-1.1.1命题 Word版含答案

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A．两个平面B．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x ＞1，则x ＞25”．B 级能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a ＝0，满足a·b ＝a·c ，但不一定有b ＝c ，故①不正确；当a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b 时，6＋2k ＝0，所以k ＝－3，则②正确；非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|时，|a|，|b|，|a －b|构成等边三角形，所以a 与a ＋b 的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修1_1

命题．
否命题：若 m·n>14，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根．真
命题．
逆否命题：若4.
真命题．
(3)逆命题：若 a＝0 或 b＝0，则 ab＝0.真命题．
否命题：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0.真命题．
逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0.真命题．
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
目标定位
1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题 2．能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假
重点难点
重点：正确分析四种命题的相互关系难点：正确写出原命题的否命题
1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作 ________；如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作 ________；如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫作________．
关键词的否定易出错
【示例】x，y∈R，写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
【错解】逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．逆否命题为：若x，y全不为零，则x2＋y2≠0，是真命题．
8
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可.

高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。

1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。

2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。

（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？（6）（6）x ≤3。

2. 推断下列语句是不是命题。

（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（3）一个数不是合数就是质数。

（4）大角所对的边大于小角所对的边；（5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。

高中数学课件第1章常用逻辑用语1.1.1

【精彩点拨】命题必须是陈述句并且可判断真假，两个条件缺一不可；要判定一个命题为真，需证明，若判定一个命题为假，举一个反例即可.
【自主解答】 ①②③是命题，④⑤不是命题. 命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为 π，是真命题. 命题②中，当 x＝4 时，2x＋1＞0，是假命题. 命题③中，若等比数列的首项 a1＜0，公比 q＞1 时，该数列为递减数列，是假命题. ④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题. ⑤它是一个疑问句，没有作出判断，不是命题.
【自主解答】 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学，为假命题；否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑，为假命题；逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学，为假命题. (2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则 x＝3 或 x＝7，为真命题；否命题：x≠3 且 x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，为真命题；逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0 则 x≠3 且 x≠7，为真命题. (3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形，为真命题；否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形，为真命题；逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形，为真命题.
[小组合作型] 命题的概念及真假判断
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由. ①函数 y＝sin4x－cos4x 的最小正周期是 π； ②若 x＝4，则 2x＋1＜0 ； ③一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列； ④求证：x∈R 时，则方程 x2－x＋2＝0 无实根. ⑤平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
阶
阶阶段二
1.1.1 四种命题
学业分层测

人教A版高中数学选修1-1 教师用书

第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题目标导学1．了解命题的有关概念．2．会判断命题的真假．3．理解若p，则q形式的命题的条件和结论．能指出此类命题的条件和结论．‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．1．对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的结构形式(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．题型一命题及其真假的判断判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；(3)x2＋3x－2＝0；(4)一个数不是正数就是负数；(5)4是集合{1,2,3,4}中的元素；(6)求证y＝sin 2x的最小正周期为π.【思路探索】解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再根据条件和结论的逻辑关系判断真假．【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x，在没给定x的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题．(4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题．(5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题．(6)是祈使句，不是命题．[名师点拨]判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句“π是无理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“你是高一的学生吗？”，感叹句等都不是命题.(2019·陆良八中月考)下面命题中是真命题的是() A．函数y＝sin2x的最小正周期是2πB．等差数列一定是单调数列C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB→·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．答案：C题型二命题的结构形式把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形；(4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．【思路探索】本例所给的命题都不具备“若p ，则q ”的形式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．【解】 (1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题．(4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．[名师点拨](1)把命题改写成“若p ，则q ”(或“如果p ，那么q ”)的形式，其中p 为命题的条件，q 为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p ，则q ”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来的命题．(2)不要认为假命题没有条件和结论，对于一个命题无论是真命题还是假命题，它必须由条件和结论两个部分组成，只是有些命题的条件或结论不十分明显．(3)判断一个命题的真假．“若p ，则q ”为真命题，则需要由p 经过严格推理得出q.“若p，则q”为假命题，只需举出一个反例说明即可.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．1．下列语句为命题的个数有()①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．(2019·莆田月考)下列命题中是假命题的是()A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．(2019·杭高期末)已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C 中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．5．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)函数y＝x3是奇函数；(2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x，y是正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)若一个函数是y＝x3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题．(4)已知x，y是正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，它是假命题．一、选择题1．下列语句中命题的个数是()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0 B．1C．2 D．3解析：①③④是命题，②不是命题．答案：D2．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB→·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形解析：B 正确，由韦达定理知，x 1x 2＝c a >0.答案：B3．(2019·商丘联考)给出下列命题：①若直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，则l ⊥m ；②若a ，b 都是正实数，则a ＋b ≥2ab ；③若x 2>x ，则x >1；④函数y ＝x 3是指数函数．其中假命题为( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④解析：①中，l ∥m ，①错；②为真命题；③中，由x 2>x ，得x >1或x <0，③错；④中，y ＝x 3是幂函数，④错．故选C.答案：C4．(2019·海林月考)已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列命题：①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，则集合M 中有不属于P 的元素，故②④正确，故选B.答案：B5．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“相等”和“直角”B ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：D 中，当a >4时，判别式Δ＝16－4a <0，此方程无实根，故是假命题．答案：D6．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：对于①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，故①正确；对于②，可举例1,3,5和3,3,3两组数据的平均数相等，但它们的标准差不同，故②错；对于③，圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋0＋1|2＝22，等于圆x 2＋y 2＝12的半径，所以直线与圆相切，故③正确．答案：C二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x ，y 都是无理数，则x ＋y 是无理数；④若直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行；⑤60x ＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x 的值不确定，所以无法判断其真假，所以⑤不是命题；因为⑥是祈使句，所以不是命题．①③④是命题．答案：①③④8．(2019·长春月考)下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，得T ＝2π2＝π，①为真命题；终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋k π，k ∈Z ，②为假命题；在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象只有一个公共点，③为假命题；把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x 的图象，④为真命题；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数，⑤为假命题，故真命题有①④. 答案：①④9．若命题“ax 2－2ax ＋3>2”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝ax 2－2ax ＋1，当a ＝0时，f (x )＝1>0成立；当a ≠0时，要使f (x )>0恒成立，只要Δ＝(－2a )2－4a ＝4a (a －1)<0，且a >0，即0<a <1.综上知，a 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)三、解答题10．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0；(2)等腰三角形的两个底角相等；(3)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(4)方程x 2＋x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题．(2)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，是真命题．(3)若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，是真命题．(4)若一个方程为x 2＋x ＋1＝0，则它有两个实数根，是假命题．11．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－2x －2≥1，得x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，即命题p ：x ≤－1或x ≥3.而命题q ：0<x <4，由命题p 是真命题，命题q 是假命题，得⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．12．已知命题A ：2x －1>a ；命题B ：x >3.试确定实数a 的一个值，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若A 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 2，则x >3”，由命题为真命题，得1＋a 2≥3，即a ≥5.若B 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >3，则x >1＋a 2”，由命题是真命题，得1＋a 2≤3，即a ≤5.由以上分析知，取a ＝5，符合题意．13．(2019·上海七宝月考)已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sinx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D1．1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系目标导学1．了解四种命题的概念．2．认识四种命题的结构形式，会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题．3．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．4．能利用命题的等价性解决简单问题．‖知识梳理‖1．四种命题的概念名称栏目内容定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题原命题为“若p ，则q ”；逆命题为“若q ，则p ” 互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p ，则q ”；否命题为“若﹁p ，则﹁q ” 互为逆否对于两个命题，其中一个命题的条原命题为“若p ，则2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．四种命题的表示形式一般地，用p 和q 分别表示一个命题的条件和结论，用﹁p 和﹁q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式为：原命题：若p ，则q (p ⇒q )；逆命题：若q ，则p (q ⇒p )；否命题：若﹁p，则﹁q (﹁p ⇒﹁q )；逆否命题：若﹁q ，则﹁p (﹁q ⇒﹁p )．注：命题的四种形式中，哪一个为原命题是相对的，而不是绝对的．2．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．题型一四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【思路探索】首先弄清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．[名师点拨]若一个命题不是“若p，则q”的形式，则先改写为“若p，则q”的形式，然后再按定义写出其逆命题、否命题和逆否命题.(2019·江门月考)“若a≥2，则a2≥4”的否命题是() A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系下列说法中，不正确的是()A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【思路探索】题目中每个选项都给了两个命题，应从四种命题的概念入手进行判断．【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】C[名师点拨]原命题：若p，则q，逆命题：若q，则p，否命题：若﹁p，则﹁q，逆否命题：若﹁q，则﹁p，熟记四种命题的形式，是解决此类问题的关键.若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【思路探索】先正确的写出相对应的命题，再判断真假．也可以根据互为逆否命题同真同假直接进行判断．【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】B[名师点拨](1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断．(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷.(2019·铜陵一中期中)下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．【思路探索】解法一：由已知命题，写出逆否命题，再判断真假；解法二：判断原命题的真假，即得逆否命题的真假．【解】解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x 的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.若a<1，则4a－7<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：判断原命题的真假．已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，得a≥74，从而a≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．[名师点拨]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题是：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<0.∵a＋b<0，∴a<－b.又∵f(x)在R上为增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)．∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真命题．故原命题成立．1．(2019·分宜中学月考)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是() A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1解析：否命题应同时否定条件和结论．答案：C2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是() A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D正确．答案：D3．(2019·贵阳月考)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：C中，原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题．答案：C4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________．解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0.真命题．否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1.真命题．逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0.真命题．一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．若一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真解析：一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假．答案：D2．与命题“若实数a>1，则函数y＝a x是增函数”互为逆否命题的是() A．若实数a<1，则函数y＝a x不是增函数B．若实数a≤1，则函数y＝a x不是增函数C．若函数y＝a x是增函数，则实数a>1D．若函数y＝a x不是增函数，则实数a≤1解析：写逆否命题否定并交换条件和结论即可．答案：D3．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B ＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①②③显然正确；若A∩B＝B，则B⊆A，原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题．答案：D4．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：∵a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列，∴原命题与其逆命题都是真命题，所以逆否命题与否命题也是真命题，故选A.答案：A5．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x>1，则2x>1”的否命题为真命题B．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题D．命题“若x>1，则x>a”的逆命题为真命题，则a>0解析：在A中，“若x≤1，则2x≤1”，是假命题，故A不正确；在B中，“若sin β＝0，则cos β＝1”，是假命题，故B不正确；在C中，原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题，故C正确；在D中，由x>a⇒x>1，则a>1，故D不正确．答案：C6．下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C ．“已知a ，b ，m ∈R ，若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题D ．“若x ∈N *，则(x －1)2>0”是假命题解析：A 中原命题为真，故其逆否命题为真；B 中否命题为“若四边形不是矩形，则对角线不相等”为假命题；C 中逆命题为“已知a ，b ，m ∈R ，若a <b ，则am 2<bm 2”为假命题；D 中当x ＝1时，(x －1)2＝0，是假命题．答案：C二、填空题7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：当m ＝3，n ＝4时，m >－n ，但m 2<n 2，故原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题；当m ＝－4，n ＝3时，m 2>n 2，但m <－n ，故逆命题为假命题，所以其否命题为假命题，所以假命题的个数是3.答案：38．设有两个命题：p ：关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；q ：函数f (x )＝log m x 是减函数(m >0，且m ＝0，m ≥1)．若这两个命题中有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若p 为真，则m ≥0，若q 为真，则0<m <1，若p 与q 中一真一假，则实数m 的取值范围是m ＝0或m ≥1.答案：[1，＋∞)∪{0}9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：由题意得⎩⎨⎧1＋2－m ≤0，4＋4－m >0，∴3≤m <8. 答案：[3,8)三、解答题10．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m >0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．11．设M是一个命题，它的结论是q：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是﹁p：x1＋x2≠－2，或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解：(1)设命题M表述为：若p，则q，那么由题意知，其中的结论q为：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式﹁p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故﹁p的否定形式，即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．逆否命题为：若x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.12．设p：m－2m－3≥2，q：关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集，试确定m的值，使p与q同时成立．解：由m－2m－3≥2，得m－2m－3－2≥0，即m－4m－3≤0，∴3<m≤4，∴当3<m≤4时，p成立．∵关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集．∴Δ＝(－6)2－4m2<0，即m2>9，∴m<－3或m>3.∴当m<－3或m>3时，q成立．若p与q同时成立，则3<m≤4.即当3<m≤4时，使p与q同时成立．13．设△ABC的三边分别为a，b，c，在命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”及其逆命题中()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．两个命题都真D．两个命题都假解析：原命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC不是直角三角形，则a2＋b2≠c2”是真命题．故选B.答案：B1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件目标导学1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．3．会求或证明命题的充要条件．‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p q.2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p的充要条件．1．对充分条件，必要条件的理解若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，。