2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解

2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版

附答案分析及详解

一、选择题

1、 曲线()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 的拐点是（ ）

（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）

【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是

()()()()234

12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===

(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞

→n n a ，()∑===n

k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数

()

1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，

2) （D ）(0，2]

【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R ≤；

{}n a 单调减少，0lim =∞

→n

n a ，

说明级数()1

1n

n n a ∞

=-∑收敛，可知幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时

幂级数收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。

3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数

)(ln )(y f x f z =

在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''

【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

【解析】由)(ln )(y f x f z =知()

()ln (),()()

x y f x z f x f y z f y f y ''''==

，()

()()

xy f x z f y f y ''''=

()ln ()xx z f x f y ''''=，2

2()()(())

()

()

yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00

(0)

(0)0(0)

xy x y f z f f =='''

'=

=，00

(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，

2

2

00

(0)(0)((0))(0)(0)(0)

yy x y f f f z f f f =='''-''

''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需

(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>

所以有0)0(1)0(>''>f f ，

4、设4440

ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π

π

π

===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )

（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。

【解析】(0,)4

x π

∈

时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此lnsin lncos lncot x x x <<

4

4

4

ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

π

π

<

<

⎰

⎰

⎰

，故选（B ）

5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与

第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）1

21P

P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以

111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）

6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T

0,1,0,1是方程组

0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ）

(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，， 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由

0A A A E *==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又