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直线与圆锥曲线基础练习一

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中职数学直线 圆 圆锥曲线练习测试题(含答案)

中职数学直线 圆 圆锥曲线练习测试题(含答案)

解析几何测试题3时间：120分钟 满分120分一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）.1.直线2x -y +2=0和x +3y +1=0的位置关系是( ).A .x -3y +5=0 В.x -3y +6-0C .3x -y -1=0D .3x -y +5=02.方程222460x y x y ++--=表示的图形是( ).A .以(1.-2)为半径的圆B .以（1.2)为半径的圆C .以(-1.-2)为半径的圆D .以(-1.2)为半径的圆3. 直线y -2x +5=0与圆224220x x y y +-++=的图形之间的关系是( ).A .相离B .相切C .相交但不过圆心D .相交且过圆心4. 若220)12x y x y λλλ++-++=（表示圆，则λ的取值范围是( ).A . 0λ>B .115λ C . 1λ>或15λ< D . R λ∈ 5. 若直线3x +4y +k =0与圆22650x y x +-+=相切，则k 的值等于( ).A .1或-19B .10或-10C .-1或-19D . -1或196.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ).A .3B .4C .5D .67.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A . 2211612+=x y B . 2211612-=x yC . 2211216+=x y D . 2211216-=x y 8. 顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ).A . 24=xy B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 9. 若直线3x －2y ＋c ＝0与坐标轴围成的三角形的面积为3，则c 为( ).A ．6B ．－6C ．－6或6D ．3或－310. 经过圆x 2＋y 2＝4上一点M的切线方程为( ).A ．x －y－0 B ．x ＋y －C ．x ＋ y +0 D ．x ＋2y －4＝011.如图所示，直线1l : 0ax y b -+=与直线0bx y a +-=在同一坐标系中只可能是( ).A .B .C .D .12. 若方程x 2cosα－y 2sinα＝1表示的曲线是双曲线，则角α的终边在( ).A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限13. 等轴双曲线的渐近线方程为( ).A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±23x14. 若ab >0，则方程ax 2－by 2＝ab 表示的曲线是( ).A ．双曲线B ．椭圆C ．椭圆或双曲线D ．圆或椭圆15. 椭圆22259x y +＝1与双曲线22259x y k k ---＝1(9<k <25)始终有( ). A ．相同的离心率 B ．相同的顶点C ．相同的焦点D ．以上结论均错误二、填空题（本题共15道小题每题2分，共30分）16.已知直线3x +(1-a )y +5=0与直线x -y =0平行,则 a =________.17.两平行线3x +4y -10-0与6x +8y -7=0之间的距离是________.18. 抛物线的准线方程为12x =，则抛物线的标准方程为________. 19. 已知直线l 经过点P 0(1，2)，倾斜角为135°，则直线l 的方程为________.20. 以点(－2，3)为圆心，且经过点(2，5)的圆的标准方程为__________．21. 若A (－2，3)，B (－1，7)，C (2，a )三点共线，实数a 的值为________.22.若方程x 2＋y 2＋(1－m )x ＋1＝0表示圆，则m 的取值范围是___________．23. 椭圆的长轴长为18，离心率为13,则椭圆的标准方程为________. 24.若221213x y m m+=--表示椭圆，则m 的取值范围为________. 25. 双曲线222516400-=xy 的两条渐近线方程是___________. 26. 若抛物线22=y px （0p >）上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.27. 经过P (－1，1)，Q (0，2)两点，且圆心在x 轴上的圆的标准方程是_______．28. 圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝2截直线x －y －5＝0所得的弦长为_______．28. 与圆x 2+y 2+6x －2y －15=0有相同的圆心，且过点（-2，3）的圆的半径为______．29. 若圆x+y 2＋y 2＝2与直线y ＝x ＋b 相交，则b 的取值范围是________．30. 若经过双曲线22x －y 2＝1的右焦点F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，|AB |＝5，F 1是左焦点，则△F 1BA 的周长为___________．三、解答题(本题共7小题，共45分)31. (6分)若抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点坐标是(1，2)，求抛物线的焦点到直线的距离.32. (6分)一直线经过点(-2,4)，它的倾斜角是直线y +3的倾斜角的2倍，求它的方程.33. (6分)已知圆过点A (-1,1)，B (1,3)，且圆心在x 轴上，求圆的方程.34. (6分)求经过点A (3, 2)，圆心在直线y ＝2x 上，且与直线2x －y ＋5＝0相切的圆的标准方程．35. (7分)已知点A (3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出此时点M 的坐标．36. (7分)求以椭圆2285x y +＝1的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程． 37. (7分)已知经过点(0，－2)，且倾斜角为π4的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若某椭圆中心在坐标原点，一个焦点是抛物线的焦点，且长轴长等于 |AB |，求椭圆的标准方程．解析几何测试题3答案一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）1—5 A D D C A 6—10 C A B C B 11—15 B D A A C二、填空题（本题共15小题，每题2分，共30分）16. 4 17. 131018. 22y x =- 19. x ＋y －3＝020. (x ＋2)2＋(y －3)2＝20 21. 1922. m <－1或m >3 23. 2218172x y +=或2217281x y += 24. 144,,3233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25. 54y x =± 26. 2 27. (x －1)2＋y 2＝528.29. (－2，2)30. 10三、解答题（本题共7小题，共45分）31. 解：将点 (1，2)分别代入抛物线方程y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，∴抛物线方程y2＝4x，∴焦点F(1，0)，∴抛物线的焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为d=32.解：由直线33y x=+可知3k=_，所以tanθ=3k=，所以θ=30︒. 所以所求方程的倾斜角为60︒.故tan60k=︒=.所以所求直线方程为y-4x+2)-y+4+33. 解：设所求圆的圆心为()0a,=解得a=2.所以圆心为()3,0，半径r=所以所求圆的方程为()22310x y-+=34. 解：圆心在直线y＝2x上，设圆心坐标为(a，2a)，半径为r，则222(3)(22),a a rr⎧-+-=⎪⎨==⎪⎩整理得5a2－14a＋8＝0，解得a＝2或a＝45∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5或224855x y⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5.35. 解：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，准线l的方程为x＝－2，过点M作MN⊥l，垂足为N.根据抛物线的定义知|MF |＝|MN |，∴|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |， 当点M 的纵坐标与点A 的纵坐标都是4时，|MA |＋|MF |的最小值为 |3－(－2)|＝5.此时，点M 的坐标是(2，4)．36. 解：椭圆2285x y +＝1的顶点坐标为(－20)，(0)，焦点坐标为(0)，0)，∴双曲线的顶点坐标为(0)，0)，焦点坐标为(－0)，(20)，即双曲线中a c ＝∴b 2＝c 2－a 2＝8－3＝5.∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴双曲线方程为2235x y -＝1. 37. 解：(1) 直线经过点(0，－2)，且斜率为k =tanπ4=1， 所以直线方程为y －(－2)＝x ，即y ＝x －2.由22,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－8x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝4，∴x 0＝12822x x +==4，y 0＝x 0－2＝4－2＝2， ∴点M 的坐标为(4，2)．(2)∵椭圆的焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点(1，0)，椭圆的长轴长2a ＝|AB |∴a ＝c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2－1＝23.∵焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为222423x y +＝1.。

精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习

精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习

精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习 1直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 2．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长 3：己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． 求C 的离心率；5：已知椭圆M ：)1(12222≥>=+b a by a x 的离心率为23，点P （0，3/2）到椭圆M 上的点的最远距离为7，（1）求此椭圆的方程 （2）若直线y=kx+4交椭圆M 于A ，B 两点，且OA ，OB 的斜率之和为2，（O 是坐标原点），求斜率k 的值6已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（A ）1 （B （C （D ）27．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）。

（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的L 的方程；若不存在，说明理由。

8..若椭圆221axby +=与直线1x y +=交于A,B 两点，M 为AB 的中点，直线OM(O 为原点)的斜率，又OA OB ⊥，求此椭圆的方程。

变式1：已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于A,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),则b 的值是_________________9.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有FA ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

圆锥曲线基础题有答案

圆锥曲线基础题有答案

2一、选择题:1. 已知椭圆2x25 2. 3. 4. 5. 圆锥曲线基础训练+ Z =1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 16 A . 2 若椭圆的对称轴为坐标轴, 2 2x y , —=1 9 16 A . B . B . 3 长轴长与短轴长的和为 2 2x y , 一+L=1 C. 25 16 25 C 5 18，焦距为 2+— =1 或 16动点 A . P 到另一焦点距离为P 到点M (1,0)及点N(3,0)的距离之差为 D . 7则椭圆的方程为2+ — =1 D .以上都不对 16 25 2，则点P 的轨迹是 双曲线 抛物线y 5 A .2 若抛物线 B.双曲线的一支 22=10x 的焦点到准线的距离是 C.两条射线D . —条射线 15C. 2 y 2=8x 上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A . (7, ±用 B . (14,±届) C. (7, ±2714) D . (—7, ±2714) B . 5 D . 10二、填空题 6. 7. 8.9. 3 若椭圆x 2+my 2 =1的离心率为 —，则它的长半轴长为 _______________2 双曲线的渐近线方程为 x ±2y = 0 ,焦距为10 ,这双曲线的方程为2 2 若曲线 +丄 =1表示双曲线，则k 的取值范围是 4+k 1 -k抛物线y 2 = 6x 的准线方程为 ■ 10.椭圆5x 2 +ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k = 三、解答题 11. k 为何值时，直线y = kx +2和曲线2x 2 + 3y 2= 6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点?12.在抛物线y =4x 2上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短。

13.双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1(0, -5), F 2(O,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。

直线与圆锥曲线的位置关系练习题

直线与圆锥曲线的位置关系练习题

直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是( )解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，则可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A (2．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y24＝1的渐近线的距离为( )A ．1解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 212－y24＝1的渐近线为y ＝±33x ，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×±3|3＋9＝1.答案：A3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )－y 26＝1 －y 25＝1 －y 23＝1 －y 24＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， …由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 答案：B{4．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 －1 ＋2解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.答案：C 5．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 C ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y .得x 2－3x －4＝0，%∴x A＝－1，x D＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，∴|AF|＝y A＋1＝54，|DF|＝y D＋1＝5，∴|AB| |CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.答案：B图16．如图1，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若三角形ABF2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为())解析：设|AF2|＝|AB|＝x(x>0)，则|BF2|＝2x.由双曲线定义知，2x－|BF1|＝2a①，x－|AF1|＝2a②，由①②知x＝22a，∴|AF1|＝(22a－2a)．在Rt△F1AF2中，|AF1|2＋|AF2|2＝4c2.即(22－2)2a2＋(22a)2＝4c2，解得e＝5－22，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．斜率为3的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.·解析：图2如图2，过A 作AA 1⊥l ，过B 作BB 1⊥l ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.答案：1638．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA →1·PF →2的最小值为________． 解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA→1＝(－1－x ，－y )，PF →2＝(2－x ，－y )，PA →1·PF →2＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x－5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA →1·PF→2取最小值－2. 答案：－2【9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4＝________.解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my －m 消去x ，得y 2－2mpy ＋2pm ＝0，∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm .又焦点(p2，0)在x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2，∴S △OAB ＝12×p 2|y 1－y 2|＝22，即－m m 4＋m 2＝2，平方得m 6＋m 4＝2.答案：2三、解答题(共计40分)10．(10分)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为255的椭圆的一个顶点是抛物线y ＝14x 2的焦点，过椭圆右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于点M ，且MA→＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →. (1)求椭圆的方程； |(2)证明：λ1＋λ2为定值．解：(1)由题易知b ＝1，e ＝1－b a 2＝255， 解得a 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，由F (2,0)，MA →＝λ1AF →，得⎩⎨⎧x 1＝2λ11＋λ1y 1＝y1＋λ1.由MB →＝λ2BF →，得⎩⎨⎧x 2＝2λ21＋λ2y 2＝y1＋λ2.又A 、B 在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知， λ1，λ2是方程λ2＋10λ＋5－5y 20＝0的两根， 所以λ1＋λ2＝－10为定值．}11．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，且|F 2M →＋F 2N →|＝2263，求直线l 的方程．解：(1)由条件有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，b ＝a 2－c 2＝1，解得a ＝2，c ＝1.则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)、F 2(1,0)．若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1. %将x ＝－1代入椭圆方程得y ＝±22.不妨设M (－1，22)、N (－1，－22)，∴F 2M →＋F 2N →＝(－2，22)＋(－2，－22)＝(－4,0)．∴|F 2M →＋F 2N →|＝4，与题设矛盾．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，从而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝2k1＋2k 2.[又∵F 2M →＝(x 1－1，y 1)，F 2N →＝(x 2－1，y 2)，∴F 2M →＋F 2N →＝(x 1＋x 2－2，y 1＋y 2)．∴|F 2M →＋F 2N →|2＝(x 1＋x 2－2)2＋(y 1＋y 2)2＝(8k 2＋21＋2k 2)2＋(2k 1＋2k 2)2＝416k 4＋9k 2＋14k 4＋4k 2＋1. ∴416k 4＋9k 2＋14k 4＋4k 2＋1＝(2263)2，化简得40k 4－23k 2－17＝0.解得k 2＝1或k 2＝－1740(舍去)．∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.12．(15分)(2011·江苏高考)—图3如图3，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x2 4＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.解：(1)由题设知：a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝－22－1＝22.图4(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得x24＋4x22＝1，#解得x＝±23，因此P(23，43)，A(－23，－43)．于是C(23，0)，直线AC的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)证法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )， A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk 32＋k 2)．于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k 2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k .因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .证法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .（。

2012高考数学复习专题------直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)(精选练习题和答案)

2012高考数学复习专题------直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)(精选练习题和答案)

2012高考数学复习专题------直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)（精选练习题和答案）学生巩固练习 1 斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( ) A 2 B 554 C 5104 D 5108 2 抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( ) A x 3=x 1+x 2 B x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C x 1+x 2+x 3=0 D x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________4 已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值5 已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论6、、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0由方程组⎩⎨⎧=+=xy m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0,解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m -点A 到直线l 的距离为d∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128 ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）,l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y m y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m ,∴S △=1211(5)||(522m y y m --=- ＝451()22m -≤=∴S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为参考答案: 1 解析 弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104 答案 C 2 解析 解方程组⎩⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=a k ,x 1x 2=－a b ,x 3=－k b ,代入验证即可 答案 B 3 解析 设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 答案18或50 4 解 (1)设直线l 的方程为 y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0 ∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p ∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a 4p (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ),由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p ,则有x =222,2212121a x x y y y p a x x -+=+=+=+=p ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+ 从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p 时，S 有最大值为2p 2 5 解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,166********=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34 ∴l 的方程为y =34 (x －2)+2, 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在 课前后备注。

(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

=，得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类1．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.2．（2021·全国高考真题（文））已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>.（1）证明：a =；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【解析】（1）3c e a =====，3b a ∴=，因此，a =；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，2229331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得10b >.设点()11,P x y 、()22,Q x y，则12129210210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.4．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a ==2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y +=，即0x y -=.5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN ．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN =所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k=+=化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x =y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()10F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2p =；（2）【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：5514d ==+，由两点之间距离公式可得22||(24)335AM ++=.所以△AMN 的面积的最大值：1125351825⨯.9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.第二部分模拟训练一、单选题1．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且12FA FB ⋅=，则AB =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由26y x =得3p =，所以3(,0)2F ，准线为32x =-，设直线3:2AB x ty =+，联立2326x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则126y y t +=，129y y =-，所以21212()363x x t y y t +=++=+，222121212()966364y y y y x x =⨯==，因为13||2AF x =+，23||2BF x =+，12FA FB ⋅=，所以1233()()1222x x ++=，所以()1212391224x x x x +++=，所以()1293912424x x +++=，所以125x x +=，所以121233||||||3822AB AF BF x x x x =+=+++=++=.故选：C2．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则AOB (O 为坐标原点)的面积为（）A ．32B．2C ．3D．【答案】D【解析】由题意，抛物线2y =的焦点坐标为F ，设直线AB为x my =，()11,A x y ，()22,B x y ，因为2AF FB =，可得122y y =-，由2y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩280y --=，所以128y y =-，又由121282y y y y =-⎧⎨=-⎩，可得224y =，解得22y =-或22y =，当22y =-时，14y =，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==；当22y =时，14y =-，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==.故选：D.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线(2)y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B ，所以||452pFB =+=．故选：C ．4．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】解：因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．5．已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ 的斜率的取值范围是（）A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()(),22,-∞-+∞ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由双曲线的方程2214y x -=可得其渐近线方程为2y x =±，故当点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上时，直线PQ 的斜率的取值范围是()2,2-.故选：A.6．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若:2:1MF NF =，2NF =，则抛物线C 的方程为（）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x=【答案】B【解析】由题意，抛物线()2:20C y px p =>，可得焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，作MA 垂直于y 轴交y 轴于点A ，因为:2:1MF NF =，2NF =，所以F 为线段MN 的三等分点，且24MF NF ==，由NFO NMA △△∽，得13OF MA =，即332p MA OF ==，所以32422p pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：B.二、填空题7．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【答案】2【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为：2.8．已知抛物线C ：y 2＝x ，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点．弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．【答案】54【解析】抛物线的焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，则可设直线AB 为：()104x ky k =+≠，联立2y x ＝，消x 得，2104y ky --=，设()()1122,,,A x y B x y ，12y y k +=,212121111122442AB x x ky ky k ⎛⎫⎛⎫=++=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1k =±，当1k =时，得12122y y +=，所以AB 中点坐标为31,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB 的中垂线方程为1324y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则与x 轴的交点的横坐标为54；同理，当1k =-时，线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为54.故答案为：549．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点B ，与x 轴正半轴交于点D ，且线段BD 交双曲线于点C ，3DC CB =，则双曲线的离心率是______．【解析】由题意知(),0A a 、()2,0D a ，以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为()222x a y a -+=．不妨设点B 在第一象限，联立()2220x a y a b y x a x ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得322222a x ca by c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点322222,a a b B cc ⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),C m n ，()2,DC m a n =- ，322222,a a bCB m n c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，可得322222323a m a m c a b n n c ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2231232a m e bn e ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，根据点C 在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上，得22223314e e ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22e =，所以，e =..10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右顶点为()2,0A ，上顶点为B ，该椭圆上一点P 与A 的连线的斜率114k =-，中点为E ，记OE 的斜率为OE k ，且满足140OE k k +=.若C 、D 分别是x 轴、y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则三角形COD 面积的最大值是______.【答案】3-【解析】解：设()11,P x y ，()22,A x y ，PA 中点()00,E x y ，则有2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，则212OEb k k a⋅=-，由()2,0A 为椭圆右顶点，所以2a =，又114k =-，140OE k k +=，得到1OE k =，1b =.设(),0C m -，()0,D n -，0m >，0n >，则由四边形ABCD 的面积为2，又B 为上顶点，则()()12122m n ++=，即22mn m n ++=，由基本不等式得2mn ≥+2≤，所以三角形COD 的面积(2112322S mn =≤=-，当且仅当2m n =，即2m =-，1n =时取等号.故答案为：3-。

【精品含答案】高考一轮复习8.4直线与圆锥曲线的位置关系基础训练题(理科)

【精品含答案】高考一轮复习8.4直线与圆锥曲线的位置关系基础训练题(理科)

2009届高考一轮复习8.4 直线与圆锥曲线的位置关系基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （易错警示题）直线01k y kx =++-与椭圆116y 25x 22=+公共点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）随k 值而改变2. 设双曲线2222by a x -1=（0a >，0b >）的半焦距为c ，离心率为45，若直线kx y =与双曲线的一个交点的横坐标恰为c ，则k 等于（ ）（A ）54± （B ）53± （C ）209± （D ）259±3. 如图，过抛物线px 2y 2=（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BF |2|BC |=，且3|AF |=，则此抛物线的方程为（ ）（A ）x 9y 2=（B ）x 6y 2=（C ）x 3y 2=（D ）x 3y 2=4. 抛物线)0a (ax y 2≠=的准线与x 轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）]4,0[π（B ）],43[]4,0[πππ（C ）]43,4[ππ（D ）]43,2(]2,4[ππππ5. （2007·四川高考）已知抛物线3x y 2+-=上存在关于直线0y x =+对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）23 （D ）246. 椭圆1by ax 22=+与直线x 1y -=交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为︒30，则ba的值为（ ） （A ）43（B ）33（C ）23 （D ）3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

圆锥曲线30道基础题

圆锥曲线30道基础题

一．解答题（共30小题）1．（2015•徐汇区一模）已知椭圆γ：=1的右焦点为F，左顶点为R，点A（2，1），B（﹣2，1），O为坐标原点．（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（t，0），t∈（2，5），求的取值范围；（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆γ于C，D两点，交y轴于点E，若，，试探究λ1+λ2是否为定值，说明理由．2．（2015•洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y﹣2=0对称．（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．3．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．4．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．5．（2014•北京模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．6．（2013•曲靖二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（，﹣2）．（1）求椭圆C方程；（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求•的取值范围．7．（2011•厦门模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的长轴长为12，右顶点为A，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，且|AF1|=5|AF2|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P是椭圆E上任意一点，线段CP交圆C于点Q，求线段PQ长度的最小值．8．（2006•天津）如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．（I）求双曲线的方程；（II）设A（m，0）和（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．9．已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．10．已知A，B是⊙0：x2+y2=4与x轴的两个交点，C是⊙O上异于点A，B的任意一点，过点B作直线l的垂线BP，且与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程．11．设F1，F2，分别是椭圆+=1的左右焦点，已知定点A（0，﹣1），B（0，3），C（3，3），以点C为焦点作过A，B两点的椭圆．（1）求另一焦点D的轨迹G的方程；（2）过点A的直线l交曲线G于P，Q两点，若=3，求直线l的方程．12．已知直线x+y﹣1=0与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=x上．（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程；（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．13．已知点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．（2）设抛物线方程的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于AB两点，且交准线l于点M，已知=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（2，0）（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），点A到焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程及m的值．（2）是否存在斜率为﹣2的直线l，使得l与C有公共点，且l与直线y=﹣2x的距离为？若存在，求出l的方程：若不存在，说明理由．17．已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．18．过双曲线﹣=1的右焦点F2作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点．（1）求线段AB的长；（2）若△AF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F1为左焦点）．19．如图，若F1，F2是双曲线﹣=1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．20．如图所示，椭圆过点，点F、A分别为椭圆的右焦点和右顶点且有．（1）求椭圆的方程．（2）若动点P（x，y），符合条件：，当y≠0时，求证：动点P（x，y）一定在椭圆内部．21．设椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足AF1=2F1B，且AB=3，△ABF2的周长为12．（1）求AF2；（2）若cos∠F1AF2=﹣，求椭圆E的方程．22．已知抛物线y2=4x，椭圆+=1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：（1）m的值；（2）P、Q两点的坐标；（3）△PF1F2的面积．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．24．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．25．已知双曲线x2﹣=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．26．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为．（1）求抛物线的方程和椭圆C的方程；（2）若双曲线与椭圆C共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线的方程．27．已知椭圆C1：+=1，其左准线为l1，右准线为l2，抛物线C2以坐标原点O为顶点，l2为准线，C2交l1于A，B两点．（1）求抛物线C2的标准方程；（2）求线段AB的长度．28．P是椭圆=1上一点，F1，F2是焦点．（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积和P点坐标；（2）求|PF1||PF1|的最大值．29．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，|PF1|•|PF2|的最大值为4，且椭圆C的离心率是双曲线﹣=1的离心率的倒数．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若O为坐标原点，B为椭圆C的右顶点，A，M为椭圆C上任意两点，且四边形OABM为菱形，求此菱形面积．30．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线l：mx+ny+n=0（m，n∈R）交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•徐汇区一模）已知椭圆γ：=1的右焦点为F，左顶点为R，点A（2，1），B（﹣2，1），O为坐标原点．（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（t，0），t∈（2，5），求的取值范围；（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆γ于C，D两点，交y轴于点E，若，，试探究λ1+λ2是否为定值，说明理由．）把），得时，时，最小值为综上所述：的取值范围为，得，得，同理==2．（2015•洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y﹣2=0对称．（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．=1，此时切线长取最小值3．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．：﹣，，﹣﹣t=的方程为+=1上，故有+=1代入上式，得：c=a+2+．）=4．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．，可得，解得即可．：，点CDF1=（，由数形结合知x∴的方程为+和，点，化为（．=CDF1=t=SCDF1==t=时等号成立．n=CDF1=（，，=﹣5．（2014•北京模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．+椭圆的离心率等于a=，代入中，+kd=|AB|d=||=||的最大值为6．（2013•曲靖二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（，﹣2）．（1）求椭圆C方程；（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求•的取值范围．，根据椭圆的定义点（，从而求得．）椭圆焦距是∴，所以的方程是；则点，=，所以7．（2011•厦门模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的长轴长为12，右顶点为A，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，且|AF1|=5|AF2|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P是椭圆E上任意一点，线段CP交圆C于点Q，求线段PQ长度的最小值．c=；，则∴=时，有最小值8．（2006•天津）如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．（I）求双曲线的方程；（II）设A（m，0）和（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．满足，解得．，得，于是的方程为．）两点坐标满足．于是，得）两点坐标满足．9．已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．+10．已知A，B是⊙0：x2+y2=4与x轴的两个交点，C是⊙O上异于点A，B的任意一点，过点B作直线l的垂线BP，且与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程．1+，，））（11．设F1，F2，分别是椭圆+=1的左右焦点，已知定点A（0，﹣1），B（0，3），C（3，3），以点C为焦点作过A，B两点的椭圆．（1）求另一焦点D的轨迹G的方程；（2）过点A的直线l交曲线G于P，Q两点，若=3，求直线l的方程．，结合=3，∴=3，∴得k=的方程：12．已知直线x+y﹣1=0与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=x上．（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程；（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．=1（，x（，），联立（y=∴⇒由对称性知∴+椭圆的标准方程为=；，联立，又），λ∴=，∴⇒+2=＜＜，解得＜13．已知点M到点F（1，0）和直线x=﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．，以﹣代入，可得，∵+p=代入，可得∴．14．已知抛物线的顶点在原点，图象关于y轴对称，且抛物线上一点N（m，﹣2）到焦点的距离为6（1）求此抛物线的方程；（2）设抛物线方程的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于AB两点，且交准线l于点M，已知=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值．，可得：，由，=1，2，，=+=015．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（2，0）（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．∴16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），点A到焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程及m的值．（2）是否存在斜率为﹣2的直线l，使得l与C有公共点，且l与直线y=﹣2x的距离为？若存在，求出l的方程：若不存在，说明理由．的距离为，求出1+=2的距离为∴，17．已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R（x R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．yy2+=3．18．过双曲线﹣=1的右焦点F2作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点．（1）求线段AB的长；（2）若△AF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F1为左焦点）．）作出双曲线﹣，得∴|AB|=e=19．如图，若F1，F2是双曲线﹣=1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．的面积为|PF×=1620．如图所示，椭圆过点，点F、A分别为椭圆的右焦点和右顶点且有．（1）求椭圆的方程．（2）若动点P（x，y），符合条件：，当y≠0时，求证：动点P（x，y）一定在椭圆内部．，再由c满足条件∵a=b=．）符合条件得：公共点仅为21．设椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，满足AF1=2F1B，且AB=3，△ABF2的周长为12．（1）求AF2；（2）若cos∠F1AF2=﹣，求椭圆E的方程．﹣∴，c=椭圆的方程为：22．已知抛物线y2=4x，椭圆+=1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：（1）m的值；（2）P、Q两点的坐标；（3）△PF1F2的面积．即得）解得，∴∴23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．，代入，，3px+24．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．，得，由弦长公式的直线为=，恒25．已知双曲线x2﹣=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．∴a的方程是）则××26．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为．（1）求抛物线的方程和椭圆C的方程；（2）若双曲线与椭圆C共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线的方程．∵∴，∴由于点（﹣，解得，∴则设双曲线的方程为，∴27．已知椭圆C1：+=1，其左准线为l1，右准线为l2，抛物线C2以坐标原点O为顶点，l2为准线，C2交l1于A，B两点．（1）求抛物线C2的标准方程；（2）求线段AB的长度．：+．因此，解得）联立+，∴）联立，解得28．P是椭圆=1上一点，F1，F2是焦点．（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积和P点坐标；（2）求|PF1||PF1|的最大值．椭圆+，cost×﹣）的斜率是=的斜率是∴，﹣，，10，29．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，|PF1|•|PF2|的最大值为4，且椭圆C的离心率是双曲线﹣=1的离心率的倒数．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若O为坐标原点，B为椭圆C的右顶点，A，M为椭圆C上任意两点，且四边形OABM为菱形，求此菱形面积．代入椭圆方程得）而双曲线=1的离心率为，故椭圆的离心率为=c=+y，代入椭圆方程得±面积为|OB||AM|=××=30．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线l：mx+ny+n=0（m，n∈R）交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）．，所以，），由此可知所求）点．当y+=．由a=，∴a=，故所求椭圆方程为）点．y+=﹣，又因为==﹣= =0。

圆锥曲线大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

圆锥曲线大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切．(1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线1l 的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线22:1C ax by +=过点1,2⎛ ⎝⎭和1,2⎛- ⎝⎭．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x －y －2＝0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积（其中O 是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,A B 两点，且3AB =，如图．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点(0,1)的直线l 与椭圆Γ相交于,P Q 两点，求证：射线AO 平分PAQ ∠．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，求||||AB CD +的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C ；()220y px p =>，F 为抛物线的焦点，直线x m =和抛物线交于不同两点A ，B ，直线2p x =-和x 轴交于点N ，直线AF 和直线BN 交于点()00,M x y ．(1)若m p =，求三角形AMN 的面积AMN S （用p 表示）；(2)求证：点M 在抛物线C 上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,2P ，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为12,F F ，且过点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 是椭圆C 上的点，且123F PF π∠=，求三角形12F PF 的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆221169x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ､B 两点.（1）求2ABF ∆的周长；（2）若直线l 的倾斜角为45 ，求2ABF ∆的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左焦点为()12,0F -，点(在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线()():20=+≠l y k x k 和椭圆交于,A B 两点，设点T 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，求线段OT 长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3⎫⎪⎪⎭．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆22:1O x y +=相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FM FN 为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求OPM 面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为()1,0F -，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求ABF △的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2.（1）椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B两点，且AB =m 的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得12311k k k λ+=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为2，点P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线2222C :1x y a b-=(a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<(1)若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；(2)若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22163x y +=，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左，右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆2C 的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：12A H PA ⊥30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．。

圆锥曲线：第五讲 直线与圆锥曲线(1)

圆锥曲线：第五讲 直线与圆锥曲线(1)

第五讲 直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝ ． (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算． 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系． 无论哪种方法都不能忽视对判别式的考虑． 【答案】1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合 平行或重合 2．(1)－b a ca1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k2b 2－4ac||a【基础自测】1 双曲线x 24－y 2＝1与直线y ＝kx ＋1有惟一公共点，则k 的值为( )A ．22B ．－22C ．±22D ．±22或±12解得k ＝±22.综上知D 正确，故选D.2 已知直线x ＝1过椭圆x 24＋y 2b 2＝1的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A ．k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．k ∈⎣⎡⎦⎤－22，22 D ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－22∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞解：易知椭圆中c 2＝a 2－b 2＝4－b 2＝1，即b 2＝3，∴椭圆方程是x 24＋y 23＝1.联立y ＝kx ＋2可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ≤0可解得k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12.故选A. 3 已知两点M ⎝⎛⎭⎫1，54，N ⎝⎛⎭⎫－4，－54，给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1.在曲线上存在点P 满足|MP |＝|PN |的所有曲线方程是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④解：∵点P 满足|MP |＝|PN |，∴点P 在线段MN 的垂直平分线l 上，l 的方程为y ＝－2x －3. 解法一：曲线①是直线，且与直线l 平行，故点P 不在曲线①上； 曲线②是圆心(0，0)，半径为3的圆，圆心到直线l 的距离为d ＝35＜3，即直线l 与圆相交，故存在点P在曲线②上；将直线l 的方程代入曲线③的方程得9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝0，即存在点P 在曲线③上； 将直线l 的方程代入曲线④的方程得7x 2＋24x ＋20＝0，Δ＞0，即存在点P 在曲线④上． 综上所述：曲线②③④满足题意．解法二：易知曲线①是直线；曲线②是圆心为(0，0)，半径为3的圆；曲线③是椭圆；曲线④是双曲线．作出它们的图形，用数形结合来验证．故选D.4 过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则这样的直线有________条．解：注意到点(2，4)是抛物线上的点，用数形结合知满足题意的直线有两条，其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线．故填2.5 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．【典例】类型一 弦的中点问题例一 (1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，求直线AB 的方程．解法一：设通过点M (1，1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得 (9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝－9k （1－k ）9k 2＋4＝1，解之得k ＝－49. 故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0. 解法二：设A (x 1，y 1)． ∵AB 中点为M (1，1)， ∴B 点坐标是(2－x 1，2－y 1)．将A ，B 点的坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①－②，得16x 1＋36y 1－52＝0，化简为4x 1＋9y 1－13＝0. 同理可推出4(2－x 1)＋9(2－y 1)－13＝0.∵A (x 1，y 1)与B (2－x 1，2－y 1)都满足方程4x ＋9y －13＝0， ∴4x ＋9y －13＝0即为所求．解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36， ②(2)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝2，则直线l 的斜率等于________．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k ，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k，即Q ⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2－12＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.故填±1. 【评析】(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去x 1，x 2，y 1，y 2时，要求灵活性高，整体意识强．(2)本题解答看似正确，但细想会发现：缺少对“直线与抛物线相交于A ，B 两点”这一几何条件的检验(这是易出错的地方，切记)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，而当k ＝±1时，直线l 恰好与抛物线相切，似与题意不符．本节课时作业第8题对本题已知条件数据作了修改，使满足题意的直线l 是存在的，进而可求得直线l 的斜率．变式 已知双曲线2x 2－y 2＝2.(1)求以M (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2)过点N (1，1)能否作直线l ，使直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，且点N 是弦P 1P 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设以M (2，1)为中点的弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 两点在双曲线上，∴2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 由双曲线的对称性知x 1≠x 2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝4. ∴所求直线的方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.类型二 定点问题例二 已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，||O 1A ＝||O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于点H ，则H 是MN 的中点，||MH ＝12||MN ＝4，∴||O 1M ＝x 2＋42.又||O 1A ＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)；当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝(2kb －8)2－4k 2b 2＝64－32kb >0，得kb <2.由根与系数的关系知x 1＋x 2＝8－2kbk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， 化简得k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，且过定点(1，0)．【评析】第(1)问设动圆圆心坐标，利用圆的半径、弦的一半和弦心距组成的直角三角形求解，第(2)问设直线方程y ＝kx ＋b 和轨迹方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，导出k 和b 的关系，最后应用方程特点证明直线过定点．解析几何解答题的一般命题模式是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程与所求曲线方程把问题引向深入，其中的热点问题有：参数范围、最值、直线或曲线过定点、某些量为定值等．在直线与圆锥曲线交于不同两点的相关问题中，一般是设出点的坐标，然后确定点的坐标之间的关系(特别是直线是动直线时这个方法是必需的)，再进行整体处理(通常是利用韦达定理处理这类问题)．变式 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．式得（4m 2－12）（k 2＋1）4k 2＋3－8km （km －2）4k 2＋3＋4＋m 2＝0，整理得7m 2＋16mk ＋4k 24k 2＋3＝0，即（7m ＋2k ）（m ＋2k ）4k 2＋3＝0.解得m ＝－27k 或－2k .当m ＝－27k 时，y ＝kx －27k ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，过定点⎝⎛⎭⎫27，0； 当m ＝－2k 时，y ＝kx －2k ，过定点(2，0)，即过椭圆右顶点，与题意矛盾． 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 类型三 定值问题例三 已知直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，且△OPQ 的面积S ＝62，其中O 为坐标原点．证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值．证明：当直线l 垂直于x 轴时，设直线l 的方程为x ＝a (|a |＜3)，代入椭圆C 的方程得a 23＋y 22＝1，即y 1，2＝±2⎝⎛⎭⎫1－a23，∴|PQ |＝|y 1－y 2|＝22⎝⎛⎭⎫1－a 23. ∵△OPQ 的面积S ＝62， ∴12|a |·22⎝⎛⎭⎫1－a 23＝62，解之得a 2＝32. ∴x 21＋x 22＝2a 2＝3，y 21＋y 22＝2.由韦达定理得x 1＋x 2＝－6km3k 2＋2， x 1x 2＝3（m 2－2）3k 2＋2.∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋2）2－12（m 2－2）3k 2＋2＝1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2.∵原点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2，△OPQ 的面积S ＝62，∴12·1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2·|m |1＋k 2＝62. 令3k 2＋2＝t ，化简得t ＝2m 2，即3k 2＋2＝2m 2.x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－6km 3k 2＋22－6（m 2－2）3k 2＋2 ＝3.y 21＋y 22＝(kx 1＋m )2＋(kx 2＋m )2 ＝k 2(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝3k 2－12k 2m 23k 2＋2＋2m 2＝2.综上知，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，即均为定值．【评析】(1)繁难的代数运算是定值问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算；(2)对题目的两个几何特征的代数形式要有合理的预判，以便设计解题思路，优化解题过程．变式 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线． (1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，证明：λ2＋μ2 为定值．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －c ，代入椭圆方程得(a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(2)由(1)知，a 2＝3b 2，故椭圆方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.设M (x ，y )，则OM →＝(x ，y )，由已知得(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2.∵M (x ，y )在椭圆上，∴(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，即λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2，①由(1)知，x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝38c 2.∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－c )(x 2－c ) ＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝0.∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，代入①式得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值1.类型四 与弦有关的范围与最值问题例四 已知曲线C ：y 2＝－4x (x ＞－3)，直线l 过点M (1，0)交曲线C 于A ，B 两点，点P 是AB 的中点，EP 是AB 的中垂线，E 点的坐标为(x 0，0)，试求x 0的取值范围．解：由题意可知，直线l 与x 轴不垂直，可设l ：y ＝k (x －1)，代入曲线C 的方程得k 2x 2＋2(2－k 2)x ＋k 2＝0(－3＜x ≤0)，①由方程①得x A ＋x B ＝2（k 2－2）k 2，x P ＝12(x A ＋x B )＝k 2－2k 2，y P ＝k (x P －1)＝－2k， ∴直线EP 的方程为y ＋2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －k 2－2k 2.令y ＝0，得x 0＝－1－2k 2.∵34＜k 2＜1， ∴－113＜x 0＜－3，即x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－113，－3. 【评析】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题．变式 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，得c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当AB 与x 轴垂直时，|AB |＝ 3. 当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（1＋k 2）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（1＋k 2）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上所述：|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值 S ＝12×|AB |max ×32＝32. 类型五 对称问题例五 已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．解：设A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)为抛物线y ＝ax 2－1上的关于直线x ＋y ＝0对称的两相异点，则y 1＝ax 21－1，y 2＝ax 22－1.联立直线AB 与抛物线的方程并消去y ，得 ax 2－x ＋1a－1＝0.依题意，上面的方程有两个相异实根， ∴Δ＝1－4a ⎝⎛⎭⎫1a －1＞0，解得a ＞34. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，＋∞. 【评析】应用判别式法解决此类对称问题，要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点，故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程，再与曲线方程联立，由判别式不等式求出参数范围．变式 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上符合条件的两点，M (x ，y )是PQ 的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12， 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ . ∵k PQ ＝－14，∴y ＝3x .【名师点睛】1．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m (或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程．2．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线或共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决. 以“求直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1(k 为参数)是否过定点？”为例，有以下常用方法：①待定系数法：假设直线l 过点(c 1，c 2)，则y －c 2＝k (x －c 1)，即y ＝kx －c 1k ＋c 2，通过与已知直线方程比较得c 1＝－2，c 2＝1.所以直线l 过定点(－2，1)．题中“k”不仅可以是一个参数，还可以是一个由参数组成的表达式．②赋值法：令k＝0，得l1：y＝1；令k＝1，得l2：y＝x＋3，求出l1与l2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k＋2k＋1恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程．③参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得y＝k(x＋2)＋1，令k的系数为0，得x＝－2，y＝1，k的取值是任意的，但l的方程对点(－2，1)恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．3．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．4．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．5．要重视对数学思想、方法进行归纳提炼，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的．(1)方程思想解析几何题不少以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就能简化运算．(2)函数思想对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a，b，c，e，p之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．(3)对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．(4)参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，把圆、椭圆、双曲线上的点用参数形式设为(x0，y0)，即可将参数视为常量，以相对静止来控制变化，实现变与不变的转化；另外，对于有些参数，视具体情况可在解题过程中将其消去，达到“设而不求”的效果．(5)转化思想解决圆锥曲线问题时要充分注意直角坐标方程与参数方程的联系及转化，达到优化解题的目的．除上述常用思想方法外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可忽视的思想方法，复习时也应给予足够的重视．【针对训练】1．若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为2，则a＋b＝()A ．－12B ．12C ．±12D ．±1解：由点到直线的距离公式得|a －b |2＝2，即|a －b |＝2. 又点P (a ，b )在双曲线的右支上，∴P 点在直线y ＝x 的下方，a －b ＞0.∴a －b ＝2. 又a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝12.故选B.2．设斜率为2的直线过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OF A (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解：焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则A 点纵坐标为－a2，△OF A 的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪－a 2＝ a 216＝4，解得a ＝±8.故选B. 3．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2||x (k ∈R ，且k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：将y ＝2k 代入9k 2x 2＋y 2＝18k 2||x ，得9k 2x 2－18k 2||x ＋4k 2＝0，∵k ∈R ，且k ≠0，∴9||x 2－18||x ＋4＝0，即9(||x －1)2－5＝0，解得||x ＝1±53，x ＝1±53或－1±53，因此公共点的个数为4.故选D.4．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn ＝( ) A ．22B ．322C ．1D ．25．若直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，则过点P (m ，n )的一条直线与椭圆x 27＋y 25＝1的公共点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．1或2解：由已知得5m 2＋n 2＞5，即m 2＋n 2＜5.又m 27＋n 25≤m 25＋n 25＜1，所以点P 在椭圆内，因此过点P 的一条直线与椭圆有两个公共点．故选C.6．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，34 B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1解：由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则其纵坐标y ＝32·4－x 2，由P A 2的斜率知-2≤32·4－x 2x －2≤－1，∵2－x >0，2＋x >0，∴上式可化为1≤32·2＋x 2－x ≤2，即23≤2＋x 2－x ≤43.∴P A 1的斜率k ＝32·4－x 2x ＋2＝32·2－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤38，34.故选B. 7．已知P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点，则直线l 的方程为________．解：线段两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝23，则直线l 的斜率等于________．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k ，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k，即Q ⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2－12＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝23，解得k ＝±22.故填±22.9．如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值．证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ， ∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k （x －y 20），y 2＝x ，消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝（1－ky 0）2k 2.同理，y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝（1＋ky 0）2k 2.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k （1－ky 0）2k 2－（1＋ky 0）2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值． 10．设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E ：x 24＋y 23＝1有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由．解：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，即x 1＝－4km，代入直线l 的方程得y 1＝－4k 2m ＋m ＝3m.由图形的对称性，假设存在点M (t ，0)，则MP →·MQ →＝0，根据题意得Q (4，4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )．∴MP →·MQ →＝ －4（4－t ）k m －t (4－t )＋12k m ＋3＝ （4t －4）k m －t (4－t )＋3＝4k （t －1）m ＋(t －1)(t －3)＝0，当t ＝1，等式恒成立．∴坐标平面内存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA ，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，直线l 为C 在P 点处的切线，求O 点到直线l 的距离的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，∵MB ∥OA ，∴B (x ，－3)． 又∵A (0，－1)，∴MA →＝(－x ，－1－y )， MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)． ∵MA →·AB →＝MB →·BA →， ∴(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即－x 2＋(－4－2y )·(－2)＝0， 即y ＝14x 2－2.∴曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.∴O 点到直线l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.∵y 0＝14x 20－2，∴d ＝12x 2＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2(当且仅当x 0＝0时等号成立)． ∴O 点到直线l 的距离的最小值为2.12 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (2，1)，离心率为22，过点B (3，0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)求BM →·BN →的取值范围；(3)设直线AM ，AN 的斜率分别为k AM ，k AN ，求证：k AM ＋k AN 为定值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，解之得a ＝6，b ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由题意显然直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －3)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x 26＋y 23＝1消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋6(3k 2－1)＝0. ∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴Δ＝144k 4－24(1＋2k 2)(3k 2－1)＝24(1－k 2)＞0， 解之得－1＜k ＜1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝6（3k 2－1）1＋2k 2，∴BM →·BN →的取值范围是(2，3]． (3)证明：由(2)知k AM ＝y 1－1x 1－2， k AN ＝y 2－1x 2－2，则 k AM ＋k AN ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（kx 1－3k －1）（x 2－2）＋（kx 2－3k －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝2kx 1x 2－（5k ＋1）（x 1＋x 2）＋4（3k ＋1）x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝)21(424)13(6)21()13(412)15()13(62222222k k k k k k k k k ++--+∙++∙+--∙ ＝－4k 2＋42k 2－2＝－2.∴k AM ＋k AN 为定值－2.。

潍坊一中学案编号27编号27直线与圆锥曲线的位置关系

潍坊一中学案编号27编号27直线与圆锥曲线的位置关系

编号27直线与圆锥曲线的位置关系编者：丁秀芬 审核：张兴东题型一：直线与圆锥曲线的位置关系的判断：例1：直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=1，讨论直线与椭圆的位置关系变式：1若直线m x y +-=与椭圆)0(152022≥=+y y x 有一个公共点，则m____________ 2.若曲线ax y =2与1)1(-+=x a y 恰有一个公共点，则实数a =________3.已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 的右支相交于A ，B 两点，求a 的取值范围题型二：弦长问题：例2： .已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。

变式：已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，它的弦PQ 所在直线的方程为12+=x y ，弦长等于15，求抛物线C 的方程.题型三：中点弦和对称问题：例3： 若抛物线2x y =上存在关于直线)3(-=x m y 对称的两点，求m 的范围.变式：中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程例4.已知椭圆22:143x y C +=和点(4,0)P ,垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点,连PB 交椭圆C 于另一点E .(Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)证明：直线AE 与x 轴相交于定点.变式：过点)0,2(T 的直线2:+=my x l 交抛物线x y 42=于B A 、两点，当直线l 交y 轴于点M 且，，→→→→==BT MB AT MA 21λλ当m 变化时，求21λλ+的值例5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．变式．一动圆过定点)0,2(-A ，且与定圆12)2(22=+-y x 相切。

繁昌一中直线与圆锥曲线专项训练(教师版)

繁昌一中直线与圆锥曲线专项训练(教师版)

直线与圆锥曲线专项训练例1 讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数． 解：联立方程2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x = ．当1k ≠±时，22248(1)84k k k ∆=+-=-， 若0∆>，则k < 若0∆=，则k =若0∆<，则k <或k >综上所述，当k =时，直线与双曲线相切于一点；1k =±时，直线与双曲线相交于一点；k <或k >时，直线与双曲线没有公共点；1k <<或11k -<<或1k <-时，直线与双曲线有两个公共点．例 2. 已知点(1,1)E ，在22194x y +=上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。

解：假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足 1()2OE OM ON =+ ，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有12121212122212x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上 ∴ 22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=∴ 121249MN y y k x x -==-- ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为49130x y +-=1若直线:l y kx m =+与椭圆C 221.43x y ∴+=相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），（1）以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标； （2）若B AF 2∠为锐角，求m k 和满足的关系式。

直线与圆锥曲线基础题组(根据课本改编)

直线与圆锥曲线基础题组(根据课本改编)

直线与圆锥曲线基础题组一、1．已知直线2l y x m =+：，椭圆22142x y C +=：，试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： ⑴有两个不重合的公共点；⑵有且只有一个公共点；⑶没有公共点？2．已知直线2l y kx =+：，椭圆2222C x y +=：，试问当k 取何值时，直线l 与椭圆C ： ⑴相交；⑵相切；⑶相离？3．已知直线l 过点()24P ，，且与过抛物线28y x =只有一个公共点，求直线l 的方程二、1．已知点()02A ，和抛物线26C y x =：，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程2．垂直于x 轴的直线与抛物线24y x =交于A B ，两点，且AB =AB 的方程3．已知抛物线28y x =的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，求弦AB 的长4．已知斜率为2的直线AB 与抛物线24y x =相交于A B ，两点，，如果线段AB 的长等于5， 求直线AB 的方程5．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，它的的弦PQ 所在直线的方程为21y x =+，C 的方程6．过抛物线()220y px p=的焦点的一条直线与它相交于A B ，两点。

求证：这两个交点到x 轴的距离的乘积是常数7．过抛物线()220y px p=的焦点的一条直线与它交于P Q ，两点，过点P 和此抛物线顶点的直线与准线交于点M ，求证直线MQ 平行于此抛物线的对称轴8．已知正三角形AOB 的顶点A B ，在抛物线26y x =上，O 是坐标原点，求AOB ∆的边长9．过抛物线的顶点O 作两条互相垂直的弦OA OB ，，求证：弦AB 与此抛物线的对称轴相交于定点。

10．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A B ，两点，O 是坐标原点， 如果OA OB ⊥，求a 的值11．已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆相交于A B ，两点， 求弦AB 的长12．已知双曲线2222x y -=，它的弦PQ 的长是实轴长的2倍，如果弦PQ 所在的直线l过点)A，求直线l 的方程三、1．有一椭圆形溜冰场，长轴长100m ，短轴长60 m 。

直线与圆锥曲线经典例题及练习

直线与圆锥曲线经典例题及练习

直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 【例题】【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.【例2】 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82.【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。

高考数学 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系练习

高考数学 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系练习

课时提升作业(五十六) 直线与圆锥曲线的位置关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )11A. 2B.C. 4D.216----【解析】选 D.由y=2x2得x2=12y,其焦点坐标为1F(0,),8取直线y=18,则其与y=2x2交于121111111A(,),B(,),x x ()().48484416-=-=-g 所以【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2015·重庆模拟)已知双曲线C:2222x y ab -=1(a>0,b>0),方向向量为d=(1,1)的直线与C 交于两点A,B,若线段AB 的中点为(4,1),则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y=0B.x ±2y=0C.2x ±y=0D.x ±2y=0【解析】选 B.设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,与双曲线方程2222x y 1a b -=联立,消去y,得:(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB 的中点为(4,1),x1+x2=2222a mb a -=8,y1+y2=8+2m=2,解得m=-3,所以2226a b a --=8,即a=2b,所以双曲线C 的渐近线方程是x ±2y=0.【加固训练】双曲线C 的方程为2222x y a b -=1(a>0,b>0),l1,l2为其渐近线,F 为右焦点,过F 作l ∥l2且l 交双曲线C 于R,交l1于M,若=λ,且λ∈12(,),23则双曲线的离心率的取值范围为( )((A.2B.2,3 C.3,5 D.(5,)+∞【解析】选B.由题意得令l1:y=-b a x,l2:y=b a x,l:y=ba (x-c),由l 交双曲线C 于R,令()2222b y x c ,a x y 1,a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解此方程组得2222a c b a c R(,),2c a 2c +-⨯故有=2222a cb ac (,),2c a 2c --⨯由l 交l1于M,令()b y x c ,a b y x,a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解此方程组得故有由所以22a c c ,2c 2-λ=-整理得a2=(1-λ)c2,即e2=1,1-λ又λ∈12(,),23所以e2∈(2,3),即e ∈2,33.(2015·丽水模拟)斜率为1的直线l 与椭圆2x 4+y2=1相交于A,B 两点,则|AB|的最大值为( ) 45410810【解题提示】设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解.【解析】选C.设A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l 的方程为y=x+t,由22x 4y 4,y x t ⎧+=⎨=+⎩消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.4.已知抛物线y2=8x 的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q 两点,则=( )A.12B.1C.2D.4 【解析】选A.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则,联立直线与抛物线方程消去y 得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故.故选A.【加固训练】过点A(1,0)作倾斜角为4π的直线,与抛物线y2=2x 交于M,N 两点,则|MN|= . 【解析】斜率k=tan 4π=1,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线方程y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式Δ=16-4>0,所以设它的两根分别为x1,x2. 于是x1+x2=4,x1x2=1. 故()2212121k x x 4x x 21642 6.++-=-=答案:65.(2015·杭州模拟)F为椭圆2x 5+y2=1的右焦点,第一象限内的点M 在椭圆上,若MF ⊥x 轴,直线MN 与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( )【解析】选 A.因为MF ⊥x 轴,F 为椭圆2x 5+y2=1的右焦点,所以F(2,0),5M(2,),设lMN:y-5=k(x-2),N(x,y),则O 到lMN 的距离25|2k |5d 1,k 1-+==+解得k=25(负值舍去).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N 的坐标分别为 .【解题提示】因为M,N 两点关于直线y=x+3对称,所以kMN=-1,且M,N 的中点在直线y=x+3上,亦即直线y=x+3是线段MN 的垂直平分线.【解析】设直线MN 的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,所以b>-14.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,,由11(,b)22-+在直线y=x+3上,即12+b=-12+3,解得b=2,联立得12212y x 2,x 2,x 1,y 4,y 1.y x ,=-+=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩解得 答案:(-2,4),(1,1)【加固训练】已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于( ) A.3B.4C.32D.42【解析】选C.设直线AB 的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),2212y x 3,x x b 30x x 1,y x b ⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩由得AB 的中点11M(,b).22--+又11M(,b)22--+在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=()()22111423 2.+--⨯-=g7.已知曲线22x y a b -=1(a ·b ≠0,且a ≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q 两点,且·=0(O 为原点),则11a b-的值为 .【解析】将y=1-x代入22x y a b -=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2aa b -,x1x2=a ab a b +-.·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)·(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以2a 2ab 2a 10,a b a b +-+=--即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以11a b -=2.答案:28.已知椭圆2x 4+y2=1,过点M(m,0)作圆x2+y2=1的切线l 交椭圆于A,B 两点.若M 为圆外一动点,则|AB|的最大值为 .【解析】由题意知,|m|>1,设切线l 的方程为y=k(x-m),由()22y k x m ,x y 14⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得,(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0,设A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=22212228k m 4k m 4,x x 14k 14k -=++,又l 与圆x2+y2=1相切,所以2kmk1+=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|=,当且仅当m=±3时取等号,所以|AB|的最大值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·合肥模拟)已知椭圆T:2222x ya b+=1(a>b>0)的离心率e=6,A,B是椭圆T上两点,N(3,1)是线段AB 的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C,D两点.(1)求直线AB的方程.(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由离心率e=6,可得椭圆T:x2+3y2=a2(a>0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.①Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,②x1+x2=()26k3k13k1-+,由N(3,1)是线段AB的中点,得12x x2+=3.解得k=-1,代入②得,a2>12,直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.(2)因为CD垂直平分AB,所以直线CD的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0,代入椭圆方程,整理得4x2-12x+12-a2=0.又设C(x3,y3),D(x4,y4),所以x3+x4=3,x3x4=212a4-,y3y4=(x3-2)(x4-2)=24a4-,假设存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O,则x3x4+y3y4=0得a2=8,又a2>12,故不存在这样的椭圆.【加固训练】已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-42y的焦点是它的一个焦点,又点2在该椭圆上.(1)求椭圆E 的方程.(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B,C,当△ABC 的面积最大时,求直线l 的方程.【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为(0,-2),故设椭圆方程为2222y x a a 2+-=1(a>2). 将点A(1,2)代入方程得2221a a 2+-=1,整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),故所求椭圆方程为22y x 42+=1. (2)设直线l 的方程为2x+m,B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由22y 2x m,y x 1,42⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2mx+m2-4=0,则Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,所以0≤m2<8.由x1+x2=-22m,x1x2=2m 44-, 得2123162m BC 3x 2-=-=g 又点A 到BC 的距离为m3()()2222ABCm 162m 2m 162m 1S BC d 2,2242-+-==≤=V g g 故当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号.当m=±2时,满足0≤m2<8. 故直线l 的方程为2x ±2.10.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程.(2)过B1作直线l 交椭圆于P,Q 两点,使PB2⊥QB2,求直线l 的方程.【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为2222x y ab +=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0). 因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b=c2,又c2=a2-b2,所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率c 25e .a 5==在Rt △AB1B2中,OA ⊥B1B2,故=12·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=c2·b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为22x y 204+=1. (2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0, 故可设直线l 的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=24m m 5+,y1·y2=-216m 5+.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.(20分钟 40分)1.(5分)已知抛物线y2=8x 的焦点F 到双曲线C:2222y x ab -=1(a>0,b>0)渐近线的距离为45,点P 是抛物线y2=8x 上的一动点,P 到双曲线C 的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )【解析】选C.由题意得,抛物线y2=8x 的焦点F(2,0),双曲线C: 2222y x ab -=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x 的焦点F 到双曲线C: 2222y x ab -=1(a>0,b>0)渐近线的距离为45, 所以22455a b =+,所以a=2b.因为P 到双曲线C 的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3, 所以|FF1|=3,所以c2+4=9,所以c=5, 因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1.所以双曲线的方程为2y 4-x2=1,故选C.2.(5分)(2015·银川模拟)在抛物线y=x2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6)【解题提示】由x1=-4,x2=2可求出割线的斜率,然后根据割线与切线平行以及导数与切线斜率的关系求出直线与抛物线的切点坐标,进而求出切线方程,根据直线与圆相切即可求出a 的值,从而求出抛物线的顶点坐标.【解析】选A.当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k=114a 2a 142--+--=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x0+a,所以2x0+a=a-2,所以x0=-1.所以直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d()26.a 21=-+由题意得()266,5a 21=-+即(a-2)2+1=5.又a ≠0, 所以a=4,此时,y=x2+4x-5 =(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).3.(5分)已知椭圆M:22x y 63+=1,直线x+y-3=0交椭圆M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.C,D 为椭圆M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线满足CD ⊥AB,则四边形ACBD 面积的最大值为 .【解析】因为CD ⊥AB,直线AB 的方程为x+y-3=0,所以可设直线CD 的方程为y=x+m,将x+y-3=0代入22x y 63+=1得,3x2-43x=0,不妨设A(0,3),B 433(,)33-,所以|AB|=463;将y=x+m 代入22x y 63+=1得,3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=()22343442x x 4x x 9m ,3⨯+-=-又Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,|CD|取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB|·|CD|=863. 答案: 864.(12分)(2015·衡水模拟)如图,椭圆C:2222x y ab +=1(a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的距离为10,不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程.(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程.【解析】(1)左焦点(-c,0)到点P(2,1)=解得c=1.又离心率为12,可得a2=4,则b2=3,所以椭圆C 的方程为22x y 43+=1.(2)由题意可知,直线l 不垂直于x 轴,故可设直线l:y=kx+m,交点A(x1,y1),B(x2,y2),由22y kx m,xy 1,43=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=212228km 4m 12,x x ,4k 34k 3--=++所以AB 的中点为而点P(2,1)到直线l:y=-32x+m 的距离为,所以△ABP 的面积为S=12|AB|·d其中m∈(-23,0)∪(0,23),令f(m)=(12-m2)(4-m)2,m∈(-23,0)∪(0,23),则f′(m)=4(m2-2m-6)(4-m)=4(m-1-7)(m-1+7)(4-m),所以当且仅当m=1-7时,f(m)取得最大值,即S取得最大值, 此时直线l:3x+2y+27-2=0.5.(13分) (能力挑战题)如图,椭圆E:2222x ya b+=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因为1c1e,,2a2==即所以c=1,所以22a c 3. -故椭圆E的方程是22x y43+=1.(2)由22y kx m,x y 1,43=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m ≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0.(*)00024km4k3x ,y kx m ,4k 3m m 4k 3P(,).m m =-=-=+=+-此时所以由x 4,y kx m,=⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上.设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k 恒成立.因为=14k3(x ,)m m --,=(4-x1,4k+m),由·=0,整理,得(4x1-4)km +-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k 恒成立,所以12114x 40,x 4x 30,-=⎧⎨-+=⎩解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:由22y kx m,x y 143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m ≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时00024km4k3x,y kx m ,4k 3m m =-=-=+=+所以4k3 P(,).m m -由x4,y kx m,=⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=3,此时P(0,3),Q(4,3),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-3)2=4,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取k=-12,m=2,此时P(1,32),Q(4,0),以PQ为直径的圆为225345(x)(y)2416-+-=,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0). 以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=4k3(1,)m m--,=(3,4k+m),从而·=12k12k330,m m--++=故恒有⊥,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.。

圆锥曲线小题+大题训练(基础)

圆锥曲线小题+大题训练(基础)

圆锥曲线小题+大题训练一、圆锥曲线的定义方法指导：三种圆锥曲线的定义要熟悉，在解题过程中要有定义意识，定义很有可能是某个题目的解题突破口！1.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=______. 2．已知双曲线221259x y -=的左右焦点分别为12,F F ， 若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2MF 中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ）A ．23B ．1 C. 2 D ．4 3．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝()A ．6B ．4C ．3D ．24．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2， 则曲线Γ的离心率等于( )A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 5.已知点F 是椭圆92522y x +=1的右焦点，M 是这椭圆上的动点，A(2,2)是一个定点，求|MA|+|MF|的 最小值为 ，求|MA|+|MF|的最大值为 .二、圆锥曲线的方程方法指导：求曲线的方程首先是根据要求设出方程，方程中有需求的若干量，然后利用条件列出这些量满足的相应等式，再由这些等式组成方程组解出这些量，常常需要考虑：数形结合、圆锥曲线的定义、待定系数法、方程的求解等等。

1.已知椭圆的中心为原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝12．已知mn≠0，则方程mx 2+ny 2=1与mx+ny 2=0在同一坐标系下的图形可能是 ( )3．双曲线()222214x y m Z m m +=∈-的离心率为( )A ．3B ． 2 C. 5 D ．34．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为 .5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为3，其渐近线与圆2260x y y m +-+=相切，则m = ．x y O x y O x y O x y O ABCD三、圆锥曲线的焦点三角形方法指导：在椭圆（或双曲线）上任取一点，与两焦点所组成三角形称之为焦点三角形。

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直线与圆锥曲线练习一1.若直线y=mx+1与椭圆x 2+4y 2=1只有一个公共点，那么m 2的值是( )A ．1/2B ．3/4C ．2/3D ．4/52.直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．5>mB ．50<<mC ．1>mD ．1≥m 3.直线6x-3y-4=0被抛物线y 2=6x 所截得的弦长为（）A ．5B ．25C ．255 D ．2254.直线l ：kx －y －k ＝0与椭圆x 24＋y 22＝1的位置关系是()A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定5.设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为()A ．p2B ．pC ．2pD ．无法确定6.如下图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是()7.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B ．5 C.52D. 5 8.已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是()A ．(1，3]B ．[3，＋∞)C(1,2] D ．[2，＋∞)9.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA＝3FB ，则|AF |＝()A ． 2B ．2C ．3D ．310.若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为()A ．2B ．1C ．0D ．0或111.若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为()A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对12.与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x 2的切线方程是( )A 2x-y+3=0B 2x-y-3=0C 2x-y+1=0D 2x-y-1=0 13.直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．14.若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________15.已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．16.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为|PF |＝_________.17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．18.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．19.椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．20.过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．21.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝__________.22.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是__________ 23.已知直线l ：2y x m =+与椭圆：1222=+y x 相交于B A 、两点， 1）若1m =，求弦AB 的长； 2）若弦AB 的长为2，求直线l 的方程；24.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625.求椭圆方程．25.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求抛物线x 2＝4y 上到直线y ＝x －3距离最短的点及最短距离．26.已知ABC ∆的顶点,A B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线:2l y x =+上，且//AB l ． (1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积； (2)当090ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．27.椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率．(1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程．直线与圆锥曲线练习一答案BDCAC CDBAA CD 8.解析：依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0＜m ≤4，又e ＝1＋b 2a2＝1＋8m，所以e ≥ 3.13. ⎝⎛⎭⎫－178，158；14. . ±10；15. 823；16. 8 17.解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0，∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 18.6；19. 3－1；20.2221.解析：如图，过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM →=MB →，∴M 为AB 的中点，∴|BM|=12|AB|.BAE=30°，∴|BE|=12|AB|，∴|BM|=|BE|，∴M 为抛物线的焦点，∴p=2. 22.2222.解：已知直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组222 (1)2 2 (2)y x m x y =+⎧⎨+=⎩将（1）代入（2）整理得22982(1)0 3x mx m ++-=（）27280m ∆=->设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121282(1),99m m x x x x -+=-= 2222212121212404085()()(12)[()4](9)881819AB x x y y x x x x m =-+-=++-=-=⋅=2）解：已知直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组222 (1)2 2 (2)y x m x y =+⎧⎨+=⎩将（1）代入（2）整理得22982(1)0 3x mx m ++-=（）27280m ∆=->设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121282(1),99m m x x x x -+=-= 222221212121240()()(12)[()4](9)28131010AB x x y y x x x x m m =-+-=++-=-=∴=±∴直线l 的方程为310310221010y x y x =+=-或. 23.解：∵a ＝2b ，∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴⎩⎨⎧Δ＝162－2016－4b 2＝165b 2－4>0，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.∴|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16.∴b 2＝4，即b ＝2，满足Δ>0.∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.24.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．则抛物线x 2＝4y 上A 到直线y ＝x －3的距离最短，最短距离为|2－1－3|2＝ 2.25.解： (1) 因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设，两点坐标分别为，．由得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离． 所以，所以(2) 设所在直线的方程为，由得 因为，在椭圆上，所以设，两点坐标分别为，，则所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长（这时），此时所在直线的方程为26.解： (1) 设椭圆的方程为．由，得所以将代入，有解得所以椭圆的方程为(2) 由(1)知，，所以直线的方程为即直线的方程为．由椭圆的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数．设为的角平分线所在直线上任一点，则有若，得其斜率为负，不合题意，舍去．于是即所以的角平分线所在直线的方程为。

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