高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1

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类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
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二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
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【知识点拨】 1.平面直角坐标系的选取原则 (1)以已知定点为原点. (2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴). (3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中 点为原点. (4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴.
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(5)如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以对称中心为原点. (6)如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对称轴为坐标轴(x轴或 y轴). (7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在 坐标轴上.
x2 化简得: +y2=1y(x≠±y2). 1
x 2 x2 x2 4
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【拓展提升】 1.直接法求点的轨迹方程的两个关键 关键一:建立恰当的平面直角坐标系. 关键二:找到所求动点满足的关系式.
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2.“轨迹方程”与“轨迹”的辨析
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【变式训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍,求 点M的轨迹方程. 【解析】设动点M的坐标为(x,y),则点M到x轴、y轴的距离分 别为|y|,|x|.由题意知 |y|=2|x|,整理得y=±2x. ∴点M的轨迹方程为y=±2x.
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【解析】1.设M(x,y).由题意,得 x2=22|yx2+1|,
化简得-3x2-12x+y2=0,即y2=3x2+12x.
答案:y2=3x2+12x
2.设点P(x,y),
直线AP的斜率kAP= (x≠-2),
y
直线BP的斜率kBP=x
(x≠2),
2
根据已知,有:
y (x≠±2),
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(3)在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免 “失解”或“增解”. (4)第五步的说明可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方 程中x(或y)的取值.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,由于建系的方法不同,求得的方程也不同. (2)一般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是 (x,y),而不设成(x0,y0)或(x1,y1). (3)化简方程时,一般将方程f(x,y)=0化成关于x,y的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.
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2.对求曲线方程的五个步骤的四点说明 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先要建立适当 的坐标系,坐标系建立得当,可使运算过程简单,所得的方程也 较简单. (2)第二步是求方程的重要一环.要仔细分析曲线的特征,注意 揭示隐含条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出 几何等式.此步骤也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标 表示.
(1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_______________. 表示曲线的方程
(2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究___________. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条曲件线是的什性么质?
提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直
角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
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提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志. (2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=±x. (3)错误.一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,但是在求 解、化简过程中极易产生增解或漏解,检验这一步骤是应该有 的,故此说法不正确. 答案:(1)√ (2)× (3)×
2.1.2 求曲线的方程
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一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_坐__标__法__研究几何图形 的知识形成的学科.
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3.解析几何研究的主要问题:
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【解析】1.设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点, Q(x1,y1),
则又∵ (xy x1-⇒xy122 11 ),2+y12xy=11 1 ,22∴yx(.,2x-1)2+4y2=1(0<x≤1).
答案:(2x-1)2+4y2=1(0<x≤1)
2.题2哪些点的坐标已知,哪些点满足已知曲线的方徎,借助什
么方法可用这些点表示点P的坐标?
探究提示:
1.据中点坐标公式知中点P的坐标为(
).
2.从题目的已知条件可知,点M与点O的x1坐标x2已, y知1,点y2N满足已 知曲线的方程,可借助中点坐标公式,OP的2中点坐2标与MN的
中点坐标相同表示出点P的坐标.