例谈构造平行六面体解立体几何题

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用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。

更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。

向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是。

向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离（1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。

探索立体几何多面体练习题汇总

探索立体几何多面体练习题汇总在学习立体几何的过程中，掌握各种多面体的性质和计算方法是非常重要的。

本文将为大家梳理一些立体几何多面体的练习题，帮助大家巩固这一知识点。

一、正方体正方体是具有六个面都是正方形的多面体。

假设正方体的边长为a，则它的表面积为6a^2，体积为a^3。

练习题一：一个正方体的表面积是96平方厘米，求其边长和体积。

解答：设正方体的边长为a，则有6a^2=96。

解得a=4。

所以该正方体的边长为4厘米，体积为4^3=64立方厘米。

二、长方体长方体是具有六个面都是矩形的多面体。

假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积为2(ab+ac+bc)，体积为abc。

练习题二：一个长方体的表面积为144平方厘米，其长、宽、高分别为3厘米、4厘米和x厘米，求x的值以及体积。

解答：根据表面积的计算公式2(ab+ac+bc)=144，代入a=3、b=4，得到2(12+3x+4x)=144。

化简得到30x=108，解得x=3.6。

所以该长方体的高为3.6厘米，它的体积为3×4×3.6=43.2立方厘米。

三、正六面体正六面体是具有六个面都是正六边形的多面体。

设正六面体的边长为a，则它的表面积为6a^2，体积为(√2a)^3。

练习题三：一个正六面体的表面积为54√3平方厘米，求其边长和体积。

解答：根据表面积的计算公式6a^2=54√3，化简得到a^2=9√3。

解得a=3√3。

所以该正六面体的边长为3√3厘米，体积为(√2×3√3)^3=54√2立方厘米。

四、正四面体正四面体是具有四个面都是正三角形的多面体。

设正四面体的边长为a，则它的表面积为√3a^2，体积为(a^3)/(6√2)。

练习题四：一个正四面体的表面积为12√3平方厘米，求其边长和体积。

解答：根据表面积的计算公式√3a^2=12√3，化简得到a^2=16。

解得a=4。

所以该正四面体的边长为4厘米，体积为(4^3)/(6√2)=16√2/3立方厘米。

巧用平面向量解立体几何问题

=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6　求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1　如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2　正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3　如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4　如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1　在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

立体几何知识点和例题(含有答案)

【考点梳理】一、考试内容1.平面。

平面的基本性质。

平面图形直观图的画法。

2.两条直线的位置关系。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

对应边分别平行的角。

异面直线所成的角。

两条异面直线互相垂直的概念。

异面直线的公垂线及距离。

3.直线和平面的位置关系。

直线和平面平行的判定与性质。

直线和平面垂直的判定与性质。

点到平面的距离。

斜线在平面上的射影。

直线和平面所成的角。

三垂线定理及其逆定理。

4.两个平面的位置关系。

平面平行的判定与性质。

平行平面间的距离。

二面角及其平面角。

两个平面垂直的判定与性质。

二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。

对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。

对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。

能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。

（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

第二十一章平行六面体的性质及应用

第二十一章平行六面体的性质及应用【基础知识】平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质．性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心．推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5）性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和．推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍．推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一．推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和．性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍．性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分．性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍．推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和．性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则111122222AC A C BD B DS l l l l +++≤．性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分．推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一．推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一．性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积．推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为V abc ==若记()12θαβγ=++，则2V =．性质9()11113/22222124AC A C BD BDV l l l l +++≤；3/26S V ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大．推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大．性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．性质10在平行六面体1111ABCD A B C D -中，截面分别与AB 、AD 、1AA 、1AC 交于0B 、0C 、0A 、0D 各点，则11000AC AA AB AD AC AB AD AA =++．下面介绍平行六面体与四面体的密切关系． 1．对应关系作四面体的外接平行六面体，且使四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线．此时，四面体与其外接平行六面体是一一对应的．特别地，一个正四面体对应着一个正方体，一个等腰四面体（三对对棱分别相等的四面体）对应着一个长方体，一个两对对棱分别相等的四面体对应着一个直平行六面体，一个对棱均互相垂直的四面体（直角四面体或正三棱锥四面体）对应着一个菱形六面体等等．当四面体的共一顶点的三棱成为平行六面体的共顶点的三棱时，一个四面体对应着四个外接平行六面体，特别地，一个正四面体对应着一个一顶点面角均为60︒的菱形六面体，一个等腰四面体对应着两个一顶点面角之和为180︒的平行六面体等等． 2．隐显关系从本世纪初开始，人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题解答起来非常费劲，甚至未能解决．下面的例题将启示我们：四面体某些数量关系的发现及几何特征的显露，借助于其外接平行六面体的性质的运用是一种方便的重要途径．因此，可以说四面体的一些性质可以利其外接平行六面体来显现，平行六面体隐含了四面体的一些重要性质．【典型例题与基本方法】例1在四面体ABCD 中，AB m =，CD n =，AD p =，BC q =，AC u =，BD u =．若AB 与CD 所成的角为θ，则()()2222cos 2p q u v mn+--=．证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-，使四面体的棱都成为平行六面体的侧面对角线．A'B'C 'D '图21-1DA C显然，AB 与CD 所成的角θ就是A B ''与CD 所成的角，于是 ()()2222221/21/24cos 112222m n B D m n B D mn m n θ'+-⎡⎤⎡⎤'+-⎣⎦⎣⎦==⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222242222A D B D B D A D B D mn mn'''''+--==()()22222222222222p q u v A D D D D D B D mn mn+--''''---==．例2若四面体的六条棱长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，体积为V ，则有333333a b c d e f +++++≥(Weisenbock 不等式的一种三维推广)．证明如图211-，将四面体ABCD 补成平行六面体，则3ABCD V V =平行六面体．设平行六面体共顶点A 的三条棱长为l 、m 、n ，由前面的性质2的推论1，即有()2222222224a b c d e f l m n +++++=++．又由V l m n ⋅⋅平行六面体≤及幂平均值不等式，有113333332222223266a b c d e f a b c d e f ⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．于是()322224212ABCD l m nV ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦①()32222222112a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦()312233333331612a b c d e f ⎧⎫⎪⎪⎡⎤+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤②)333333a b c d e f =+++++．故333333a b c d e f +++++≥．其中等号当且仅当①、②中满足l 、m 、n 互相垂直且l m n ==，即平行六面体为正方体，亦即a b c d e f =====时成立．类似上例，并运用前面的性质5的推论，可证明Weisenbock 不等式的另一种三维推广：若四面体各顶点A 、B 、C 、D 所对的面的面积分别为A S 、B S 、C S 、D S ，体积为V ，则33332A B C D S S S S +++ 例3空间四平面互相平行，相邻两面间距离都是h ．今有一正四面体，它的四个顶点分别在这四个面上．求正四面体的棱长．解设正四面体ABCD 的外接正方体为'AC BD A CB D '''-．又设过棱D D '及B C '中点F 的截面为3α，过棱C C '及A D '中点E 的截面为2α，过棱A A '，过棱B B '且与3α、2α平行的平面分别为1α、4α，这样这四个平面即为两相邻距离都相等的互相平行的四平面．又设过A B ''的中点O '与CE 垂直的直线为l ，l 与4α、3α、2α、1α的交点分别为B ''、D ''、C ''、A ''，如图21-2(b)，则4α、3α、2α、1α两相邻平面间距离为B D ''''、D C ''''、C A ''''．DEGO 'B"A"C "D "A'B'C 'D (b)(a)D图21-2CF当A C h ''''=时，可求得A E '=，从而A B ''=．这就是我们所要求的正四面体的棱长．例4四面体ABCD 中，若AB CD ⊥，AC BD ⊥，则AD BC ⊥．（1957年天津市、1979年上海市中学竞赛题）证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-．由平行六面体每一侧面两对角线所夹的角（锐角）的余弦值等于这侧面两相邻棱的平方差的绝对值除以这两条侧面对角线长的乘积，即()22cos A D DB A B CD A B CD''-'=''⋅．由AB CD ⊥，则()cos cos()0AB CD A B CD ''==，从而A D DB ''=，即侧面A DB C ''为菱形，同理，由AC BD ⊥．有侧面A CC A ''为菱形，从而侧面A DD A ''也为菱形，故AD BC ⊥．例5求证四面体的三双对棱中点连线必交于一点，且互相平分．证明如图213-，设E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是四面体ABCD 的六条棱的中点．作四面体的外接平行六面体1A C ，则E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是其六侧面对角线的交点．图21-3G N EH OCDBAC 1A 1D 1B 1MF在11AAC C 中，连EF ，则11EF AA CC ∥∥，且过六面体对角线1A C 的中点O ，同时被O 平分．因六面体的四条对角线共点O ，于是同理可证GH 、MN 过O ，且被O 平分．例6立方体八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点．求出立方体的表面积与四面体的表面积之比．（1980年美国中学生竞赛AHSME 第16题）解设立方体表面积为S ，四面体表面积为0S ，由平行六面体所有三角形截面（三角形的边由六面体侧面对角线组成）面积的平方和等于所有侧面面积的平方和，有2206/4264S S ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0/S S =【解题思维策略分析】1．善于将四面体问题转化为平行六面体问题例7若A 、B 、C 、D 表示空间四点，AB 表示A 、B 两点间的距离，AC 表示A 、C 两点间的距离，⋯．证明：222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．（第4届美国中学生竞赛题）证明以空间四边形的边为侧面对角线构造平行六面体，由平行六面体所有侧面对角线的平方和等于所有棱的平方和的两倍及图213-，有222222222111444AC BD AD BC AB CD AD AA A B +++++=++()22242AD AB CD =++故222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．当A 、B 、C 、D 共面时，10AD =，上式取等号．此时，可看作是压扁了的四面体．例8在四面体ABCD 中，BDC ∠是直角，由D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足H 是ABC △的垂心，证明：()()22226AB BC CA AD BD CD ++++≤．（IMO 12-试题）证明如图214-，平行六面体1111AC BD B D AC -为四面体ABCD 的外接平行六面体．由题设，D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足是ABC △的垂心，知这个四面体的对棱互相垂直，又BDC ∠是直角，即知四面体ABCD 的三面角D ABC -是直三面角，故此平行六面体为长方体．CDBAC 1A 1D 1B 1图21-4H由()2222AD BD CD ++()()()222222AD BD BD CD CD AD =+++++222AB BC AC =++．故()()22222263AD BD CD AB BC AC ++=++222222AB BC CA AB BC BC CA AB CA +++⋅+⋅+⋅≥ ()2AB BC CA =++．例9若a 、b 、c 是四面体共顶点的三条棱的长，α、β、γ，是这三条棱组成的面角，ω是这三个面角和的一半，则四面体的体积为：13V abc =四面体证明如图21-4，设DA a =，DB b =，DC c =，BDC α∠=，ADC β∠=， ADB γ∠=．由平行六面体的体积公式()V abc S A =⋅平行六面体，其中()S A= 有16V V =四面体平行六面体1=3abc 2．善于构造平行六面体解答有关问题例10已知a 、b 、c +∈R ，且2221a b c ++=3a b c ++>．证明由2221a b c ++=3a b c ++>．参见图212- (a)，构作长方体AB '．设对角线1AB '=，AD a '=，AC b '=，AA c '=，则A B ''B C ''=，B D ''．在A AB ''△中，A A A B B A ''''+>，即1c >．同理，1b >1a >．以上三式相加，即证．例11锐角α．β、γ满足222sin sin sin 1αβγ++=，求证：π3π24αβγ<++<．证明构造长方体D AC B DA CB ''''-，参见图212- (a)，使其长、宽、高分别为sin D A α'=，sin AC β'=，sin C C γ'=，则1AB D C ''===，D B A α''∠=，C B A β''∠=，C D C γ''∠=，且AB BA '>．sin sin sin D A D AD B A D BA B A BA α'''''∴=∠=<=∠'， sin sin sin AC AC C B A C BA B A BAβ'''''=∠=<=∠'．从而D BA α'<∠，C BA β'<∠． 1π2D BA C BA αβ''∴+<∠+∠=．同理，π2βγ+<，π2αγ+<，即3π4αβγ++<．设B A '与D C '相交于O ，则知2D OA α'∠=，2AOC β'∠=，2C OC γ'∠=．由于三面角的任意两个面角的和大于第三个面角，则 22D OA AOC D OC αβ'''+=∠+∠>∠． ()2πD OC C OC αβγ''∴++=∠+∠=．故π3π24αβγ<++<． 3．注意特殊平面体的性质的运用例12正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求正方体底面ABCD 内切圆周上的点与过顶点1A 、C 和1B 的圆周上的点之间的最小距离．（第19届全苏奥林匹克题）图21-5C1A B解如图215-，考察两个圆周分别在以正方体的对称中心为球心的两个同心球面上，即与正方体各棱都）上，这两个球面上的点之间的最小距离是它们的半径之差12d =．如果两圆周上各有一点恰好在球心O 发出的同一射线上，那么d 即为最小值．考察在以O 为位似比的变换下，小球面变为大球面，而小球面上的圆周的象集为大球面上的圆周．注意到ABCD 的内切圆1O 与线段BD 的交点E 和F 在该位似变换下的象在平面1AB C 的两侧（因11145O OF BB O ∠=︒>∠，故射线OF 不与平面1AB C 相交），因此，1O 的象集（圆周）将与过顶点A ，C 和1B 的圆周相交．设一交点为N ，而N 的原象为M，那么M ，N 之间的距离就是考察的两圆周上的点之间的距离的最小值，其值为12d =．【模拟实战】习题A1．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是面ABCD 的中心，1O 是面11ADD A 的中心．求异面直线1D O 与1BO 所成角的余弦值．2．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于口α，求α的值．3．能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面是否为正五边形？4．设一个平面截棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1C ，交1A D 1中点于E ，1A A 距A 较近的一个三等分点于F ，AB 于G ，BC于H ．求截面1C EFGH 的周长．5．已知一个平面截棱长为1的正方体所得截面是—个六边形．证明：此六边形周长≥． 6．正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于多少？7．已知111ABC A B C -是直三棱柱，90BAC ∠=︒，点1D ，1F 分别是11A B ，11B C 的中点．若1AB CA AA ==，求1BD 与1CF 所夹角的余弦值．8．已知ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且2GC =．求点B 到面EFG 的距离．9．在四面体SABC 中，已知SA BC a ==，SC AB b ==，SB AC c ==，求此四面体的体积． 10．在四面体1234A A A A 中，相应对棱中点的三条连线分别为1m ，2m ，3m ，顶点i A 所对侧面的重心为i G ，其四面体体积记为V ，则（Ⅰ）1233m m m V ⋅⋅≥；（Ⅱ）421412716i j i i i j i A A AG =-∑∑≤≤≤≥（Ⅲ）421i i i AG =∑ 11．已知α，β，γ是锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=．求证：（Ⅰ）tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （Ⅱ）3ππ4αβγ<++<． 12．已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．习题B1．有一立方体，中心和边长为a b c <<的长方体的对称中心重合，诸界面与长方体各界面平行，求立方体的棱长，使得它与长方体的并的体积减去它与长方体的交的体积的差最小．（1979年捷克竞赛题） 2．证明：在棱长为a 的立方体内部可以作两个棱长为a 的正四面体，使得它们没有公共点．（1983年民主德国竞赛题）。

空间向量立体几何(绝对经典)

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。

n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

在平行六面体中巧解四面体问题

OA B C D E C BA SFz 四面体问题求解中的“嵌”与“补”江苏省姜堰中学张圣官（225500）四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。

有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。

本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。

1．将四面体“嵌入”到平行六面体中我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。

例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都分成3：1的两部分。

下面看几例这种“嵌入”的应用。

例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。

分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个面都相切。

易知正方体棱长为a 22，所以球半径为a 42，故（图1）球的体积为363334a R ππ=。

例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A 900 B 600 C 450 D 300分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。

而 SA 与该侧棱所成角是450，故异面直线EF 与SA 所成的角等于450，选（C ）。

立体几何的综合问题专题

立体几何的综合问题A组1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．(1)证明：AD⊥BA1；(2)若AD＝DA1＝4，BA1＝26，求多面体BCD-A1B1C1D1的体积．2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点(不包括端点)．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1-QC1D的体积．3.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2．(1)求证：DE⊥平面PCD；(2)求点B到平面PDE的距离．4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，AD＝3BC＝6，PB＝62，点M在线段AD上，且MD＝4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD．(1)求证：平面PCM⊥平面PAD；(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求四棱锥P-ABCD的表面积．B组1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝π3，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2．(1)求证：平面DEF⊥平面BDF；(2)若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求三棱锥H-DEF的体积．2.如图，四棱锥E-ABCD中，平面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE的中点．(1)证明：CN∥平面AME；(2)若△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE⊥BE，BE＝CE＝2，求三棱锥N-AME的体积．3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．(1)求证：直线BE∥平面A1FC1；(2)平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B-EFM 的体积．4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AB＝AA1＝2，∠AA1B1＝60°，E，F分別为棱A1B1，BC的中点．(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；(2)在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．答案A组3．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．(1)证明：AD⊥BA1；(2)若AD＝DA1＝4，BA1＝26，求多面体BCD-A1B1C1D1的体积．(1)证明：取AD中点O，连接OB，OA1．∵AA1＝DA1，∴AD⊥OA1．∵在▱ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°．又∵AB＝BC，则AB＝AD，∴△ABD是正三角形，∴AD⊥OB，∵OA1⊂平面OBA1，OB⊂平面OBA1，OA1∩OB＝O，∴AD⊥平面OBA1，∴AD⊥A1B．(2)解：由题设知△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形．∴A1O＝OB＝23．∵A1B＝26，∴A1O2＋OB2＝A1B2，∴A1O⊥OB，∵A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的高，又S ABCD＝AD·OB＝4×23＝83，∴V＝VABCD-A1B1C1D1＝S ABCD·A1O＝83×23＝48，V1＝VA1-ABD＝13S△ABD·A1O＝13×12×23×4×23＝8，∴VBCD-A1B1C1D1＝V－V1＝40，即几何体BCD-A1B1C1D1的体积为40．2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA 1＝3，D ，D 1分别是BC ，B 1C 1上的中点，P 是线段AD 上的一点(不包括端点)．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1-QC 1D 的体积．解：(1)在平面ABC 内作直线l ∥BC ，则直线l 与平面A 1BC 平行，即图中的直线PQ .AB ＝AC ＝2, D 是BC 上的中点，则AD ⊥BC ，即l ⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABC ，则l ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ，故直线l ⊥平面ADD 1A 1． (2)VA 1-QC 1D ＝VD -A 1QC 1＝13S △A 1QC 1·h ，因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，过D 作线段DE ⊥AC 于E ，则DE ⊥平面AA 1C 1C ，即DE 为D -A 1QC 1的高，由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝120°，得DE ＝32，则VD -A 1QC 1＝13S △A 1QC 1·h ＝13×12×2×3×32＝32．3．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2．(1)求证：DE ⊥平面PCD ； (2)求点B 到平面PDE 的距离．(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC ⊥DE ．由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE ．又PC ∩CD ＝C ，故DE ⊥平面PCD ．(2)解：由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝CF ＝EF ＝1，又DE ⊥平面PCD ，所以DE ⊥PD ，PD ＝PC 2＋CD 2＝11，设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B -PDE 的高，由V B -PDE ＝V P -BDE得 13S △PDE ·h ＝13S △BDE ·PC ，即13·12·PD ·DE ·h ＝13·12·BE ·DF ·PC ，即11×2×h ＝1×1×3，所以h ＝32222，所以点B 到平面PDE 的距离为32222． 4．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝3BC ＝6，PB ＝62，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．(1)求证：平面PCM ⊥平面PAD ；(2)当四棱锥P -ABCD 的体积最大时，求四棱锥P -ABCD 的表面积． (1)证明：由AD ＝6，DM ＝4可得AM ＝2，易得四边形ABCM 是矩形，∴CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ，又PM ∩AD ＝M ，PM ，AD ⊂平面PAD ， ∴CM ⊥平面PAD ，又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．(2)解：四棱锥P -ABCD 的体积为V ＝13·12·(AD ＋BC )·AB ·PA ＝43AB ·PA ，要使四棱锥P -ABCD 的体积取最大值，只需AB ·PA 取得最大值．由条件可得PA 2＋AB 2＝PB 2＝72，∴72≥2PA ·AB ，即PA ·AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ·AB 取得最大值36． PC ＝219，PD ＝62，CD ＝213，cos ∠CPD ＝PC 2＋PD 2－CD 22·PC ·PD ＝2219，则sin ∠CPD ＝1119， ∴S △PCD ＝12PC ·PD ·sin ∠CPD ＝622，则四棱锥P -ABCD 的表面积为12×(6＋2)×6＋⎝⎛⎭⎫12×6×6×2＋12×2×62＋622＝6(10＋22＋2)．B 组2．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝π3，其对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形OAEF为矩形，平面OAEF ⊥平面ABCD ，AB ＝AE ＝2．(1)求证：平面DEF ⊥平面BDF ；(2)若点H 在线段BF 上，且BF ＝3HF ，求三棱锥H -DEF 的体积． (1)证明：∵ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD ． ∵四边形OAEF 为矩形，∴AO ⊥FO ，EF ∥AO ， ∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥FO ，又∵BD ∩FO ＝O ，∴EF ⊥平面BDF ．又EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ． (2)解：连接EH ，DH ，EB ，则由(1)可知EF ⊥平面BDF ，又△BDF 中，BD ＝OF ＝2，EF ＝AO ＝3，故三棱锥E -BDF 的体积为13×12×2×2×3＝233，又BF ＝3HF ，所以V E -BDF ＝V B -DEF ＝3V H -DEF ＝233，故V H -DEF ＝239． 2．如图，四棱锥E -ABCD 中，平面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为BC ，DE 的中点．(1)证明：CN ∥平面AME ；(2)若△ABE 是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，CE ⊥BE ，BE ＝CE ＝2，求三棱锥N -AME 的体积．(1)证明：取AE 中点F ，连接MF ，FN ．因为△AED 中，F ，N 分别为EA ，ED 的中点，所以FN 綊12AD ．又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC 綊AD ．又M 是BC 中点，所以MC 綊12AD ，所以FN 綊MC ．所以四边形FMCN 为平行四边形，所以CN ∥MF ，又CN ⊄平面AEM ，MF ⊂平面AEM ，所以CN ∥平面AEM ． (2)解：取BE 中点H ，连接AH ，则AH ⊥BE ，因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ∩平面BCE ＝BE ，AH ⊂平面ABE ，所以AH ⊥平面BCE ．又由(1)知CN ∥平面AEM ，所以V N -AEM ＝V C -AEM ＝V A -MEC ．又因为M 为BC 中点，所以V A -MEC ＝13S △MEC ·AH ＝13·12S △BEC ·AH ＝13×12×12×2×2×3＝33．所以三棱锥N -AEM 的体积为33． 3．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，AA 1⊥面ABC ，E ，F 分别为棱A 1B 1，BC 的中点．(1)求证：直线BE ∥平面A 1FC 1；(2)平面A 1FC 1与直线AB 交于点M ，指出点M 的位置，说明理由，并求三棱锥B -EFM 的体积．(1)证明：取A 1C 1的中点G ，连接EG ，FG ，于是EG 綊12B 1C 1，又BF 綊12B 1C 1，所以BF 綊EG ．所以四边形BFGE 是平行四边形．所以BE ∥FG ，而BE ⊄面A 1FC 1，FG ⊂面A 1FC 1，所以直线BE ∥平面A 1FC 1． (2)解：M 为棱AB 的中点．理由如下：因为AC ∥A 1C 1，AC ⊄面A 1FC 1，A 1C 1⊂面A 1FC 1，所以直线AC ∥平面A 1FC 1，又面A 1FC 1∩平面ABC ＝FM ，所以AC ∥FM .又F 为棱BC 的中点．所以M 为棱AB 的中点．三角形BFM 的面积S △BFM ＝14S △ABC ＝14×⎝⎛⎭⎫12×2×2×sin 60°＝34，所以三棱锥B -EFM 的体积V B -EFM ＝V E -BFM ＝13×34×2＝36． 4．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝AA 1＝2，∠AA 1B 1＝60°，E ，F 分別为棱A 1B 1，BC 的中点．(1)求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积；(2)在直线AA 1上是否存在一点P ，使得CP ∥平面AEF ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．解：(1)三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝AB ．因为AB ＝AA 1＝2，所以A 1B 1＝AA 1＝2．又因为∠AA 1B 1＝60°，连接AB 1，所以△AA 1B 1是边长为2的正三角形．因为E 是棱A 1B 1的中点，所以AE ⊥A 1B 1，且AE ＝3，又AB ∥A 1B 1，所以AE ⊥AB ，又侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，且侧面ABB 1A 1∩底面ABC ＝AB ，又AE ⊂侧面ABB 1A 1，所以AE ⊥底面ABC ，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC ·AE ＝12AB ·AC ·AE ＝12×2×2×3＝23．(2)在直线AA 1上存在点P ，使得CP ∥平面AEF ．证明如下：连接BE 并延长，与AA 1的延长线相交，设交点为P ，连接CP ．因为A 1B 1∥AB ，故PE PB ＝PA 1PA ＝A 1EAB ．由于E 为棱A 1B 1的中点，所以A 1E AB ＝12，故有PE ＝EB ，又F 为棱BC 的中点，故EF 为△BCP 的中位线，所以EF ∥CP ．又EF ⊂平面AEF ，CP ⊄平面AEF ，所以CP ∥平面AEF ．故在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．此时，PA1＝AA1＝2.所以AP＝2AA1＝4．。

2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课立体几何中的翻折轨迹及最值范围问题含解析

立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围）问题知识拓展1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。

解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试。

2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件,善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑,注意特定情况下的动点的位置,然后对任意情形加以分析判定,也可转化为平面问题。

对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.3.立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节）或(面积)体积的最值的问题。

其一般方法有：(1）几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2）代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式,利用函数的单调性、有界性,以及不等式的均值定理等，求出最值.题型突破题型一立体几何中的翻折问题【例1】（2019·全国Ⅲ卷）图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②。

(1）证明：图②中的A，C，G，D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE；（2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C,G，D四点共面。

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。

平行六面体

2、掌握平面的基本性质，两条直线所成角和距离的概念，直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理，斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理，二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。
3、能够画出空间两条直线、直线和平面、两个平面的各种位置关系的图形。
证明面面垂直的方法：
（1）定义（2）面面垂直的判定定理
例1：如图所示，PA 矩形ABCD所在平面，M , N分别是AB, PC的中点（1）求证：MN // 平面PAD; （2）求证: MN CD;
(3)若PDA 45 求证：MN 平面PCD
P
K
N
D
LC
o
AM
B
（四）空间的角
A
C
D B
A 1
C1
E
B1
F
（五）空间图形的距离
1、点与直线的距离：自该点向直线引垂线（通常利用三垂线定理或逆定理），该点与垂足间的距离即是。
2、点与面的距离：自该点向平面引垂线（通常利用平面与平面垂直的性质定理）该点与垂足间的距离即是
3、异面直线间的距离：异面直线的公垂线段的长度。 4、直线与平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离。 5、平行平面间的距离：平面上任意一点到另一个平面的距离
平行与垂直关系图请按箭头
定义
定义
定义
公理4
线线平行
线面平行面面平行
三垂线线线垂直线面垂直面面垂直
定义
定义
定义
一、学习内容
1、平面 2、空间直线 3、直线和平面平行 4、直线和平面垂直 5、两个平面平行 6、两个平面垂直

立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。

(2)利用三角形中位线的性质。

(3)利用平行四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。

(5)利用面面平行，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。

构造平行六面体化难为易

理地去构造解题过程中的平行六面体这座桥
例
R
二
分析
:
四面体四个面
、
的边长都为 a
1
.
西
、
`
的三角形也就是说
,
:
四
证明直角四而体外接球半径
“
面体的对棱相等
,
.
这就告诉我们它的外接平
。
爪丫七
+
b
Z
、
一
`
·
1 3)
, 。 ,
=
上
。一 , 。 : 。 ,
=
`
·
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D
·
所成角为
a r e
。
。
去h 于B D
·
·
/
DHale Waihona Puke :5in
匕刀D D
`
,
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(侧了 / 5 )
.
去. h 士训灭
h
h
·
了了侧 I 二 (不帝而户
例5
月丑
`
在长方体 A
`
B C 刀一一
1, B B
/
=
.
古训丽
6召丽
a
。
,
总比讨论平行六面体的线
,
已知四面体的
a
、
,
因此我们把某些有关四面体的这是化难为易而这种转化
,
四个面都是边长为
b
、
弓二咋不

立体几何探究性试题的求解策略.

立体几何探究性试题的求解策略探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就各类问题来探讨一下求解的策略。

一、探究两条异面直线所成的角例 1 （2004浙江）如图1已知正方行ABCD 和矩行ACEF所在平面互相垂直，1AB AF =，试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60 ，并加以证明。

分析：设(02)AP x x =≤≤，利用PF 与BC 所成的角是60来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置。

解法1：如图2， ABCD2AC ∴=设(02)AP x x =≤≤作PQ AB ⊥交AB 与Q ，则PQ //BC ，相交直线PF PQ 与所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角。

平面ABCD ⊥平面ACEF,ACEF 矩行，,AF AC AFABCD ∴⊥⊥平面AF PQ ⊥，AB AF A ⋂=，,PQ ABF PQ FQ ∴⊥⊥平面要使P F B C 与所成角是60，只需使60FPQ ∠= ，只需使2P F P Q =，22PQ AP x == ，∴只需使P Fx =，又在Rt APF 中，2P F x =+，，1x ==，所以当P 点是线段AC 的中点时PF BC 与所成的角为60。

解法2：如图3 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，,AF AC ∴⊥AF ABCD ⊥平面，又1,2,AB AF AC ===设(02)AP x x =≤≤以A 为坐标原点，直线,,AB AD AF 分别为,,x y z 角坐标系，则(0,0,0),A B C (0,0,1),F P (,,1)22BC PF x x ∴==-- ，要使PF BC 与所成角是60只需使cos 60BC PF BC PF ∙=∙ 1,12x =∴=，所以当P 点是线段AC 的DABC EFPA B C DE FPQ中点时PF BC 与所成的角为60。

高中数学立体几何解题技巧及常见题型详解

高中数学立体几何解题技巧及常见题型详解立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形和体积。

在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，也是考试中难度较大的部分之一。

本文将介绍一些高中数学立体几何解题技巧，并详细解析几种常见的立体几何题型，帮助读者更好地应对这一考点。

一、平行六面体的体积计算平行六面体是高中数学中常见的立体几何题型之一。

解决这类题目的关键是确定底面积和高，进而计算体积。

例如，有一平行六面体的底面积为A，高为h，求其体积。

解题技巧：首先，我们需要明确平行六面体的定义，即六个面都是平行的。

其次，根据平行六面体的性质，我们可以将其看作一个长方体，因为长方体是一种特殊的平行六面体。

因此，平行六面体的体积可以通过底面积乘以高来计算，即V = Ah。

举例说明：假设有一个平行六面体，其底面积为5平方厘米，高为10厘米。

那么，它的体积可以通过计算5乘以10得到，即V = 5 × 10 = 50立方厘米。

二、正方体的表面积计算正方体是高中数学中常见的立体几何题型之一。

解决这类题目的关键是确定正方体的边长，进而计算表面积。

例如，有一个正方体的边长为a，求其表面积。

解题技巧：首先，我们需要明确正方体的定义，即六个面都是正方形。

其次，根据正方体的性质，我们可以将其看作一个立方体，因为立方体是一种特殊的正方体。

因此，正方体的表面积可以通过边长的平方乘以6来计算，即S = 6a²。

举例说明：假设有一个正方体，其边长为3厘米。

那么，它的表面积可以通过计算6乘以3的平方得到，即S = 6 × 3² = 54平方厘米。

三、棱柱的体积计算棱柱是高中数学中常见的立体几何题型之一。

解决这类题目的关键是确定底面积和高，进而计算体积。

例如，有一个棱柱的底面积为A，高为h，求其体积。

解题技巧：首先，我们需要明确棱柱的定义，即底面是一个多边形，顶面与底面的对应点通过直线相连。

其次，根据棱柱的性质，我们可以将其看作一个长方体，因为长方体是一种特殊的棱柱。

平行六面体与长方体

二、知识应用与解题研究：
例：长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长。练习：已知以长方体的一个顶点为端点的三条棱长为3、4、5，则它的对角线长为_____ 5 2
三、小结
通过本节学习，我们必须： 1、正确理解几种特殊的四棱柱及它们之间的关系。 2、掌握几种特殊的四棱柱的性质。 3、理解事物之间相互转化、互为统一的辩证关系。 4、学会运用整体化思维方法去分析、探究和解决问题。
一、特殊四棱柱的一些性质
1、平行六面体的一些性质：（1）平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分。
D A1
D1 B1
C1
C B
（2）相对两个面平行且全等; 四条对角线的平方和等于各棱的平方和。
A
2、长方体的一些性质：
（1）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
C1
D1 A1
B1
C D

A
B
（2）如果长方体的一条对角线与这一对角线交于一点的三条棱所成的角分别为 , , ，则
cos2 cos2 cos2 1
（3）如果长方体的一条对角线和经过这条对角线的一端点的三个面所成的角分别为 , , ， 2 则 cos2 cos2 cos2 ______
1、什么叫棱柱？如果一个多面体有两个面互相平行，而其余相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
2、棱柱的分类：棱柱按侧棱与底面是否垂直分为 __________，按底面多边形的边数可分为_______ 底面是________________称为正棱柱。 3、棱柱的性质：棱柱的侧棱______；侧面是 _________；两个底面与平行于底面的截面是 __________；过不相邻的两条侧棱的截面是 ___________。

高中简单立体几何体(附例题详解)

2. 简单几何体知识网络简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。

两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高的乘积, 即, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C1与侧棱长的乘积,即, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.[活用实例][例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=，(1)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的表面积.[题解](1) 如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON. ∴点O在∠BAD的平分线上.(2),侧面AB1和侧面DC1的面积都等于4=6,侧面AD1和侧面BC1的面积都等于5=7.5,又ABAD，两底面面积都等于4=20，平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2] 如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作.(1)判定直线A1C1和的位置关系,并加以证明;(2)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线的距离.[题解](1)根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有∥A1C1.(2)解法一:过点A1作A1E⊥于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又∥A1C1, ∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,从而AE=BD=在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,故点A1到直线的距离为.解法二:同解法一得∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,, 以下同解法一.[例3] 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[题解](1)∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.又平面DBC1, DE平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.(2)作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1, 则DC=∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,CF=取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC. 在Rt△BEF中,AC=1,又BF=BC-FC=, GF=,, 即EF=.∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示.例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。

求平行六面体的体积

求平行六面体的体积平行六面体是由六个平行的矩形面构成的立体图形，它具有特定的体积计算公式。

本文将详细介绍如何求解平行六面体的体积。

一、平行六面体概述平行六面体是一种特殊的几何体，它的六个面都是平行的矩形。

平行六面体具有以下特点：1. 六个面都是平行的矩形，相邻面共享一条边。

2. 六个面两两互相平行且相等。

3. 相邻两个面的面积与其共边的长度之积为一个定值。

二、求解平行六面体体积的公式平行六面体的体积可以通过以下公式进行计算：V = S * h其中，V表示平行六面体的体积，S表示底面的面积，h表示底面到上底的高度。

这个公式的推导原理是：平行六面体的体积等于底面的面积乘以高度。

三、求解平行六面体体积的步骤求解平行六面体体积的步骤如下：1. 确定底面的形状，计算底面的面积。

2. 测量底面到上底的高度。

3. 使用公式V = S * h计算平行六面体的体积。

四、实例演示下面以一个具体的实例来演示如何求解平行六面体的体积。

例题：已知一个平行六面体的底面为一个边长为5cm的正方形，高度为8cm，求其体积。

解题步骤：1. 计算底面的面积：底面为正方形，边长为5cm，所以底面的面积为：S = 5 * 5 =25cm²。

2. 测量底面到上底的高度：高度为8cm。

3. 使用公式V = S * h计算平行六面体的体积：V = 25cm² * 8cm = 200cm³。

答案：该平行六面体的体积为200cm³。

五、总结通过以上步骤，我们可以准确地求解平行六面体的体积。

首先确定底面的形状，计算底面的面积，然后测量底面到上底的高度，最后使用公式V = S * h进行计算。

掌握这个计算方法，我们可以轻松求解平行六面体的体积。

注意，平行六面体的体积计算公式只适用于六个面都是平行的情况。

对于其他几何体，体积的计算方法是不同的。

六、拓展应用除了求解平行六面体的体积，我们还可以利用平行六面体的性质进行其他应用，比如计算平行六面体的表面积、判断两个平行六面体是否相等等。