双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用

新课标高一数学在“基本不等式

ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x

x y 1

+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习

课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习

x

b

ax y +

=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x

b

ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）

的直线为渐近线的双曲线．

首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x

b

的值比较，当x 很大很大的时候，

x

b

的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b

ax y +=（ab ≠0）表示

的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇

函数，它的图象应该关于原点成中心对称．

由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．

例1．若函数x

x y 3

233+=

是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲

线的定义．

分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3

3

=

和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,

由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a

b

=tan30o,

得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,

x

x 3

233+）满足3421=-PF PF 即可；

34)323

23

2()323232()323

23

()2()32323

(

)2(222221=++--+

=++++--+

+-=-x x x x x x x x x x PF PF

所以，函数x

x y 3

233+=

表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）

2．2五种表现形式

表现 1：函数x

b

ax y +

= （a >0,b >0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在

???-

-∞a b ,(和),+∞???a

b

上函数分别是单调递增的，在???????-0,a b 和???

??a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=a

b

处

有极小值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab Y ．

表现 2：函数x

b

ax y += （a <0,b <0）

的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在???--∞a b ,(和

),+∞???a b 上函数分别是单调递减的，在???????-0,a b 和??

?

??a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -

处有极小值，在x=a

b

处有极大值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab Y ．

表现1图

表现 3：函数x

b

ax y +

= （a >0,b <0）的双曲线大概图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x

b

a y -

='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．

表现 4：函数x

b

ax y +

= （a <0,b >0）的双曲线图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2

x b

a y -

='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R

特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．

表现 5：函数 x

b

y = (x ≠0) 是等轴双曲线，以轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数

2、3应用举例与重点推广

这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．

例2．已知x >y >0 , xy=1 ,求y

x y x -+2

2的最小值及此时x 、y 的值

解：∵x >y >0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，

∴y x y x -+22=

222

)(2)(2≥-+-=-+-y

x y x y x xy y x ； 解混合式????

?????

-=-=y x y x xy y x 210

φφ得：???????-=+=226226y x

所以当：???

????-=+=22

6226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．

例3．求y=2

10

1122+---x x x (x ≥0)

解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+

-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=t

t y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞- 例11．已知2)(-?-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间

（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围

解：()2f x x x a =--=???

????≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2

22

2

当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2

a

a -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ??????

．

（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2

x x

-＜a ＜2+x x ，

令 (](]22

(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-

∈=+∈ 则1

22()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-

122

()1h x x

=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==

此时a 的范围是（—1，3）

综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）

从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或c

bx ax n

mx y +++=2

（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤

其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．

重点推广：到此我们来看看函数b

ax d

cx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与

性质呢？

它可以通过变形化为)

()(a

b x a a b

c a

d a b x c y +-+

+=，继续

化为2

))((a

bc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2

a bc ad xy -=的图象通

过平移而来的，从而b

ax d

cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象

也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，a

c

y =的两条直线，

在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2

a bc

ad ->0时都是单调递减，

2

a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x b

ax y +

= （a >0,b >0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，

要熟练理解和应用，．

例4．已知正项数列{}n a 满足a 1

=a (0

n+1≤

n

n

a a +1, 求证 a

n a

a n )1(1-+≤

分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 a

k a

a k )1(1-+≤

结论成立

则n=k+1时候， a k+1≤

k k a a +1,而a

k a

a k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=

x x +1=1-x

+11

在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）

?),1(+∞-，所以f(x)=x

x

+1在0，1）也是递增函数，从而，

a k+1≤k k a a +1a

k a a

k a a

k a

)11(1)1(11)1(1-++=-++

-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．

综上所述，a

n a

a n )1(1-+≤

对任意n 是正的自然数都成立．

这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，a

c

y =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b

两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，

它是函数x

b

ax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．