5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时：不等式关系与不等式知识点一 不等关系思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？答案 v ≤40.梳理 试用不等式表示下列关系：(1)a 大于b a ＞b(2)a 小于ba <b(3)a 不超过ba ≤b(4)a 不小于b a ≥b知识点二 作差法思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？答案 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x .梳理作差法的理论依据：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0； a<b ⇔a －b <0.知识点三 不等式的基本性质不等式性质：(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；第三节.不等关系与基本不等式基本不等式(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ＋)；(8)a >b >0n ∈N ＋)．类型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm 钢管数量的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4000，3x ≥y ，x ≥0，x ∈N y ≥0，y ∈N .类型二 比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 反思与感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x . 类型三 不等式的基本性质例3 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b. 考点 不等式的性质题点 不等式的性质证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0. 于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c b. 反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．跟踪训练3 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd .考点 不等式的性质题点 不等式的性质证明 ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0 ⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .第二课时：基本不等式知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，|AQ |＝a ，|BQ |＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 交圆O 于点P ，连接AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？答案 |PO |＝|AB |2＝a ＋b 2.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么|PQ |2＝|AQ |·|QB |，即|PQ |＝ab . 梳理 如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，又称为均值不等式．其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)．当a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论： (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)； (3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．知识点三 用基本不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2.以上说法对吗？为什么？答案 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明曲线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 的上方，仅在x ＝1时有公共点，但该点不是y ＝x 2＋1的最低点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．梳理 基本不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．引申探究证明不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号． 反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．类型二 用基本不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋x y≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，y x>0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋x y≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc .考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc .即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．类型三 基本不等式与最值例3 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2处取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥2y x ·9x y＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1，x >0，y >0，可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练3 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值； (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.(2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.类型四 基本不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y )m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40. 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立． 所以这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81， 当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为81m 2.反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练4 以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积．考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 如图，设Rt △ABC 的斜边AB ＝2，AC ＝b ，BC ＝a ，CD 为斜边上的高，则CD ＝AC ×BC AB ＝ab 2，且a 2＋b 2＝4.则以AB 所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V ＝13π·CD 2×AD ＋13π×CD 2×DB ＝13π·CD 2×AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫ab 22×2＝π6(ab )2. 由a 2＋b 2＝4与a 2＋b 2≥2ab 得ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时，取“＝”．所以V ＝π6(ab )2≤π6×22＝2π3.即当a ＝b ＝2时，V max ＝2π3. 此时该几何体的表面积为S ＝π·CD ×AC ＋π·CD ×BC ＝π·CD ×(AC ＋BC )＝π×2×22(2＋2)＝22π. 即几何体的表面积为22π.命题角度2 生活中的最优化问题例5 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2.则⎝⎛⎭⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎫9x 2＋900x 2＋10809 ＝9(x 1－x 2)＋900⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225，∴(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0， 即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数． ∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少．反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练5 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时．不等关系1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax考点 不等式的性质题点 不等式的性质答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2.2．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 考点 不等式的性质题点 不等式的性质答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >c ，则ab >ac . 3．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b考点 不等式的性质题点 不等式的性质答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1. 4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．考点 不等式的性质题点 利用不等式性质求表达式取值范围答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.5．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0， ∴x1＋x 2≤12. 6．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞e b －d. 考点 不等式的性质题点 不等式的性质证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1b －d ， 又∵e <0，∴ea －c ＞eb －d . 基本不等式1．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14×(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72B ．4C.92D ．5 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C 解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b； ④a b ＋b a≥2.其中恒成立的不等式是________． 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 ①②解析 由基本不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．5．设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为___________________．考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号． ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.6．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000x＋3000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20000x ＋3000≥250x ·20000x＋3000＝5000(元)． 当且仅当50x ＝20000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5000元．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元．。