第七章 直梁的弯曲

M1 qLx1
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Fy = qLQ2 q ( x2- a ) 0
Q2 q(x2 a L)
y
M B (F) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q
(
x2
a
)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
4. 剪力图和弯矩图
1.集中力:
2.集中力偶:
3.分布载荷(均 布载荷)
第二节 梁弯曲时横截面的内力
1. 基本概念
y
aa
FF bb
A
11 c c
B
x
A
1
B
x
FA
1
LL
FB
(b)(a)
y
F
1
Q＇ 1
a-x
b
M
M＇
A
O
O
FA
1Q x
(c)
1
(d)
x B
FB
梁的弯曲内力有与横截面平行的剪力Q和使梁的轴线 发生弯曲的弯矩M。
外载荷正负号规定： 左上右下生正剪，左顺右逆生正弯
[例7.1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
1a
2b
y x
qL A
x1Q1
图（a）
M1
图（b
）
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
如图（b）示。
Fy qL Q1 0
Q1 = qL
M A (F) qLx1 M1 0
第七章 直梁的弯曲
第一节 弯曲的概念 第二节 梁弯曲时横截面的内力 第三节 梁纯弯曲时的正应力 第四节 梁弯曲时正应力的强度计算
第一节 弯曲的概念
1.基本概念
桥板 墙
楼板
7-1
F
杆件受到与轴向垂直的力的作用发生变形，称为 弯曲变形。
梁：通常将只发生弯曲变形（或以弯曲变形为主 ）的构件称为梁。
以截面离梁的某一端（左端）的距离x来表示 截面的位置，剪力Q就是一个x的函数Q=Q（x）， 这个关系式称为剪力方程。
相应地，表示弯矩的方程M=M（x）则称为弯 矩方程。
剪力图和弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线变 化的图形。
实际上，只有在梁的跨度很小的情况下，剪力 才能对梁的强度和刚度产生较明显影响，而绝大 多数的梁，弯矩是强度、刚度的决定因素。
常用梁截面
平面弯曲：当梁具有纵向对称平面时，如果作 用在梁上的所有外力和力偶都在纵向对称平面之 内，则变形后梁的轴线将是该平面内的一条平面 曲线，这种弯曲变形形式称为平面弯曲。这是弯 曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式。
y
F1
F2
M
FA 对称面
x
FB
2.梁的基本形式
（l）简支梁 梁的两端均有约束，一端可简化
为固定链支座，另一端可简化为活动铰支座的梁
称为简支梁。 XA A
P1
P2
B
YA
YB
（2）悬臂梁 一端为固定端、另一端自由的
梁称为悬臂梁。
A
P1
P2
XA
B
MA
YA
（3）外伸梁 若简支梁有一端或两端伸出支 座之外，则为外伸梁。
P1
P2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
XA
A
B
C
YA
YB
梁的计算简图
在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上 的载荷，一般可以简化为三种形式:
• 3 绘制剪力、弯矩图
三、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
dQx
dx
qx
即：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
dM (x) dx
Q(x)
即：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
无变化
Q
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M2 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M229 m
bF L
FA
1Q x
(c)
MO F 0,M FAx 0
M
FA x
bF L
x
若取右段梁（图d）为研 究对象，同样可求得剪力Q 和弯矩M为：
Q bF L
M bF x L
计算弯曲内力－剪力与弯矩的一般步骤是：先 根据梁的外载荷求出约束反力；然后用截面法， 根据外载荷和约束反力，利用平衡方程求出剪力 和弯矩。
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例7.4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
qa
q
A
a
a
Q
– qa
qa2 –
M
左端点：Q qa; M 0
线形：根据
因此，一般只着重于弯矩的分析计算。
【例7.2】简支梁AB受集中力P作用，如下图所示 ，试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和 弯矩图。
Q
O
x
O
x
M
[例7.3]如下图所示的简支梁跨度为l，试建立自重 q作用下梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力 图和弯矩图。
• 1 计算支座反力 • 2 建立剪力、弯矩方程
2.剪力和弯矩的计算
以图a所示的简支梁为例，用截面法来计算梁
横截面上的弯曲内力。
a
Fb
A
1
c
B
1 x
L
(a)
先用平衡方程求出约束反力
FA
bF L
FB
aF L
再取左段梁（图c）为研究对象，取横截面的
形心O为矩心，列平衡方程，计算弯曲内力：剪
力Q和弯矩M。
y
1
Fy 0,FA- Q 0
A
M
O
Q
FA
3.剪力与弯矩的符号规定
对剪力和弯矩的正负作出如下规定： ⑴截面上的剪力使所取梁段有顺时针方向转动 趋势时为正；反之为负；
dx
dx
Q
dx
dx
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q为“+”
(a)
Q Q
Q Q为“-”
⑵截面上的弯矩使所取梁段产生向下凸的变形 时为正；反之为负。
dx dx MM
dx
dx
MM
M
MM
M
M
MM
M
M为“+”
(b)
M为“-”
一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定， 假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡 方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则 说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、 剪力为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实 际方向相反，即为负。
或者：
横截面上的剪力，在数值上等于其左段或右 段梁上所有外力的代数和；横截面上的弯矩， 在数值上等于其左段或右段梁上所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。
dQx
dx
qx
；
x
dM (x) dx
Q(x)；
dM 2(x) dx2
q(x)
及集中载荷点的规律确定。
3 2
qa2