矩阵分析样题
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nn
, A2 I , 则 exp( At ) ___________ ，其中 ，t 为复数， I 为 n 阶单位阵
2.设 A 为 2 阶矩阵，使得 e
A
e 3 0 , 则 A 的谱半径 ( A)=________. 3 e e e
1 0 1 3.设 A 0 0 则 A 的 QR 分解可以写为 A =________________. 1 ， 0 1 0
,若 mn
Z AX T B, 计算
阵。
df , 其中， A Rm p , X Rq p ， B Rqn ， A, B 为和 X 无关的常数矩 dX
1 1 3. 设 A 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 ， 0 1
（1） 求 A 的 Hermite 标准形； （5 分） （2） 利用（1）的结果求出 A 的满秩分解； （5 分） （3） 利用（2）的结果求出 A .（5 分）
B.对任何 m 维向量 x ，数列 x H ( An A) x 百度文库0, C. 对任何 m 维向量 x ，数列 An x Ax
H
0, 其中 为向量范数
D. ( An ) H An AH A, 其中 A 为矩阵 A 的共轭转置 E. 数列 ( An A) x 0, 其中 ( A) 表示方阵 A 的谱半径 3.下列陈述肯定正确的有：_________ A. 任意实对称矩阵都存在 LU 分解 B. 坐标原点不属于可逆矩阵的任何一个 Gerschgorn 圆 C. 任何一个 Householder 矩阵都可以化为一系列 Givens 矩阵的乘积 D. 任何一个 Givens 矩阵都可以化为一系列 Householder 矩阵的乘积 E. 对两个任意 n 阶实对称正定矩阵 A, B ，则存在可逆矩阵 Q ，使得 Q AQ, Q BQ 同时对 角化 4.下列陈述肯定正确的有：_________ A. 设 F , G Crnm , 则矩阵 FG 和 F G 的秩都为 r
H H
T
T
B. 若 n 阶矩阵 A 的 n 个 Gerschgorn 圆互不相交，则 A 可以对角化 C. 若矩阵 A, B 都可以正交相似于对角矩阵，则 A B 也可以正交相似对角矩阵 D. ( A B) B A
E. 两个正交投影算子相等的充分条件为它们的值域相同 二、填空题（ 5 3=15 分） 1.设 A C
三、计算题（35 分）
1 1 1 计算矩阵 A 的从属范数 ，其中 p 1, 2, 1.（10 分）已知矩阵 A -1 0 1 ， p 0 1 0
2. （10 分）设 Z Rmn ，已知矩阵的数量函数 f ( Z ) 关于 Z 的导数为
df df dZ dzij
一、 选择题（20 分） 1. 下列哪些方阵一定可以酉相似于对角矩阵：______ A. 正规矩阵 B. A A
2
C.严格对角占优矩阵
D. Householder
E.非奇异矩阵
2.对于 m 阶方阵序列， An A 成立的充分条件为：________ A.
An A 0, 其中 为广义矩阵范数
a13 a22 a23 a12
a21 a23 , 验证 S 为 T 的不变子空间 （5 a11 a13
分） ，从而 T 可以看作 S 的一个线性变换，给出 S 的一组基（5 分） ，求出 T 在给出的这组基 下的矩阵表示（5 分） 。 （共 20 分） 五、 （10 分）设矩阵 P Cn
+
四、 （共 20 分）已知实矩阵 A R 23 的全体按照普通的矩阵加法和数乘构成实数域 R 上的 线性空间，定义集合 S {A : a12 a21 0, A R23}, 验证 S 为 R23 的子空间（5 分） 。定义
a11 a12 R23 的线性变换 T 为 T a21 a22
mn
, X C mn , 定义 Q I PXP H , 其中 I 为 m 阶单位矩阵。
H H
证明 Q 为酉矩阵的充要条件为 X ( X ) X XP PX X （提示： 利用矩阵的奇异值分 解）
, A2 I , 则 exp( At ) ___________ ，其中 ，t 为复数， I 为 n 阶单位阵
2.设 A 为 2 阶矩阵，使得 e
A
e 3 0 , 则 A 的谱半径 ( A)=________. 3 e e e
1 0 1 3.设 A 0 0 则 A 的 QR 分解可以写为 A =________________. 1 ， 0 1 0
,若 mn
Z AX T B, 计算
阵。
df , 其中， A Rm p , X Rq p ， B Rqn ， A, B 为和 X 无关的常数矩 dX
1 1 3. 设 A 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 ， 0 1
（1） 求 A 的 Hermite 标准形； （5 分） （2） 利用（1）的结果求出 A 的满秩分解； （5 分） （3） 利用（2）的结果求出 A .（5 分）
B.对任何 m 维向量 x ，数列 x H ( An A) x 百度文库0, C. 对任何 m 维向量 x ，数列 An x Ax
H
0, 其中 为向量范数
D. ( An ) H An AH A, 其中 A 为矩阵 A 的共轭转置 E. 数列 ( An A) x 0, 其中 ( A) 表示方阵 A 的谱半径 3.下列陈述肯定正确的有：_________ A. 任意实对称矩阵都存在 LU 分解 B. 坐标原点不属于可逆矩阵的任何一个 Gerschgorn 圆 C. 任何一个 Householder 矩阵都可以化为一系列 Givens 矩阵的乘积 D. 任何一个 Givens 矩阵都可以化为一系列 Householder 矩阵的乘积 E. 对两个任意 n 阶实对称正定矩阵 A, B ，则存在可逆矩阵 Q ，使得 Q AQ, Q BQ 同时对 角化 4.下列陈述肯定正确的有：_________ A. 设 F , G Crnm , 则矩阵 FG 和 F G 的秩都为 r
H H
T
T
B. 若 n 阶矩阵 A 的 n 个 Gerschgorn 圆互不相交，则 A 可以对角化 C. 若矩阵 A, B 都可以正交相似于对角矩阵，则 A B 也可以正交相似对角矩阵 D. ( A B) B A
E. 两个正交投影算子相等的充分条件为它们的值域相同 二、填空题（ 5 3=15 分） 1.设 A C
三、计算题（35 分）
1 1 1 计算矩阵 A 的从属范数 ，其中 p 1, 2, 1.（10 分）已知矩阵 A -1 0 1 ， p 0 1 0
2. （10 分）设 Z Rmn ，已知矩阵的数量函数 f ( Z ) 关于 Z 的导数为
df df dZ dzij
一、 选择题（20 分） 1. 下列哪些方阵一定可以酉相似于对角矩阵：______ A. 正规矩阵 B. A A
2
C.严格对角占优矩阵
D. Householder
E.非奇异矩阵
2.对于 m 阶方阵序列， An A 成立的充分条件为：________ A.
An A 0, 其中 为广义矩阵范数
a13 a22 a23 a12
a21 a23 , 验证 S 为 T 的不变子空间 （5 a11 a13
分） ，从而 T 可以看作 S 的一个线性变换，给出 S 的一组基（5 分） ，求出 T 在给出的这组基 下的矩阵表示（5 分） 。 （共 20 分） 五、 （10 分）设矩阵 P Cn
+
四、 （共 20 分）已知实矩阵 A R 23 的全体按照普通的矩阵加法和数乘构成实数域 R 上的 线性空间，定义集合 S {A : a12 a21 0, A R23}, 验证 S 为 R23 的子空间（5 分） 。定义
a11 a12 R23 的线性变换 T 为 T a21 a22
mn
, X C mn , 定义 Q I PXP H , 其中 I 为 m 阶单位矩阵。
H H
证明 Q 为酉矩阵的充要条件为 X ( X ) X XP PX X （提示： 利用矩阵的奇异值分 解）