不等式恒成立能成立恰成立问题经典教程

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2

-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x

a

x x x f ++=

对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例

3、R

上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,

0πθ时，有()

()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.

例4、已知函数)0(ln )(4

4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法

例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围

例6、若对于任意1a ≤，不等式2

(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围

例7、已知函数32

3()(1)132

a f x x x a x =

-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．

3、分离参数法

（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

例9、已知函数3

21()33

f x ax bx x =

+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.

4、数形结合

例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________

例11、当x ∈(1,2)时，不等式2

(1)x -

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 例12、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______

例13、若关于x 的不等式32

-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．

例14、已知函数()2

1ln 22

f x x ax x =--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围

三、不等式恰好成立问题的处理方法

例15、不等式2

ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭

则a b ⋅=___________

例16、已知(),22x

a

x x x f ++=

当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.

例17、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2

+4x ，其中k 为实数。 （1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习

（请做在另外作业纸上）

1、若不等式2

(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围

2、已知不等式22

6

22

kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围 3、设函数3

29()62

f x x x x a =-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

5、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。求实数a 的取值范围。

6、对任意的[]2,2a ∈-，函数2

()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围

7、 若不等式2

log 0m x x -<在10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

内恒成立，则实数m 的取值范围 。

8、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

9、不等式2

20kx k +-<有解，求k 的取值范围。

10、对于不等式21x x a -++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，．

11、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围。

②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围。 ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围。

12、 ①若x,y 满足方程2

2

(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。 ②若x,y 满足方程2

2

(1)1x y +-=，0x y c ++=，求实数c 的范围。

13、设函数4

3

2

()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在

[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．

14、设函数3

21()(1)4243

f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。

15、已知向量=(2

x ，x+1)，= (1-x ，t)。若函数x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。