南昌大学《概率论与数理统计》答案

x 2 （2）对 F ( x) 分段求导得 X 的概率密度为 f ( x) xe , x 0, 0, x 0; （3） P ( ln 4 X ln 9) F ( ln 9) F ( ln 4)
2
= (1 e

ln 9 2
) (1 e

ln 4 2
又 P(A∪B)≤1，则 P( A | B) a b 1
b
2
练习三（第一章）
一、1．B 2. A 3. C 4. D 5.B
二、A1、A2、A3 分别“甲、乙、丙击中飞机”，则 A1、A2、A3 相互独立 Bi：“有 i 个人击中飞机”（i=1,2,3） ，有： Bi ；B：“飞机被击落”
S A S阴 1 1 1 13(1 x 2 )dx 1 2 ln 2 2 9x 3 9 3
2
得P
SA 1 2 ln 2 S 3 9
1
练习二（第一章）
一、1．B 2. B 3. D 4. C
二、：“全厂的产品”；A、B、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产 品”，S：“次品”，则 (1)由全概率公式，得 P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C) =25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45% (2)由贝叶斯公式，得
1 x
当 x<－1 时， F ( x) 0dt 0

x
1 1 dt arcsin x 当－1≤x≤1 时， F ( x) 0dt 1 2 1 x2 1 1 x 1 当 x>1 时, F ( x) 0dt 综合即得 dt 0dt 1 1 1 1 x2 六、(1)P{2<≤5}=Φ( 5 3 )Φ( 2 3 )=Φ(1)Φ(0.5)=Φ(1)[1Φ(0.5)]=0.5328 10 3 43 P{4<<10}=Φ( )Φ( )=Φ(3.5) Φ(3.5)= 2Φ(3.5) 1=0.9996 2 2 23 23 P{||>2}=1P{2≤≤2}=1Φ( )+Φ( )=1Φ(0.5)+Φ(2.5)=0.6977 2 2 33 P{>3}=1P{≤3}=1Φ( )=1Φ(0)=10.5=0.5 2
练习一（第一章）
一、1．B 二.1.
8 A365 3658
2. A 2. 41/90 6.
2 15
3. C 3. 25/42
4. D 4.
1 1 2
5. 0.4 0.6
三、已知：P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.3，P(AB)=0.1，P(AC)=0.08， P(BC)=0.05，P(ABC)=0.03 (1) P( AB C ) P( A) P{ A( B C )} P( A) [ P( AB) P( AC) P( ABC)] 0.3 (2) P( ABC ) P( AB) P( ABC) 0.07 (3) P( AB C ) 0.3
= P( =

Leabharlann Baidu

2
X arc cos y或 arc cos y X 1

2
)
arccos y

2


dx 2
y y 1 2 2 f (e ) | e |, ∴ f Y ( y) X 2 0 , y 2
在(0,+)上有： (e

y 2
) 1 e 2

y 2
y 1 2 y0 e , y0 f Y ( y) 2 其它 其它 0, 1 / , x [ / 2, / 2] 三、 X 的概率密度为 f X ( x) 其它 0, 易知 Y 的取值区间为[0，1]；以下分三段求 Y 的分布函数 FY ( y ) P (Y y ) （1）当 y ＜0 时， FY ( y ) P ( ) 0 ； （2）当 0 y ＜1，如图所示， FY ( y ) P (Y y ) P (cos X y )
P ( AB) 1 10 3 P( B) 7 15 14
P ( AB) 1 10 3 P ( A) 4 15 8
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) 19 30
五、 P( A | B)
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( A B ) a b P ( A B ) P( B) P( B) b
i 1 3
由已知：P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.7
B1 A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 P ( B1 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 07 0.36 B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 P ( B2 ) 0.41
P ( A BC ) P ( B ) P{B ( A C )} P ( B ) [ P ( AB) P ( BC) P ( ABC)] 0.23 P ( A B C ) P (C ) P{C ( A B )} P (C ) [ P ( AC) P ( BC) P ( ABC)] 0.2
)
1 . 6 1
五、(1) f ( x)dx 1 1
1

1
A 1 x
2
dx 1 A 1 A

(2) P (
1 1 1 1 ) 21 dx 2 2 2 3 2 1 x
x
(3) F ( x) f (t )dt
P( A | S ) P ( A) P ( S | A) 25% 5% 125 25 36.23% P( S ) 3.45% 345 69
三、设 A = 从第一批产品中任取一件时，取到废品
B 先从第一批产品中任取一件放入第二批中，再从第二批
产品中任取一件，此时取得废品 由全概率公式知
三、Ai：“C 发生时第 i 只开关闭合”，由已知有：P(Ai)=0.96 (1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)=0.96+0.960.96×0.96=0.9984 (2)设需 k 只开关满足所需可靠性，在情况 C 发生时，k 只开关中至少 有一只闭合的概率为：
P ( A1 A2 Ak ) 1 P ( A1 A2 Ak ) 1 P ( A1 A2 Ak ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) 1 (1 0.96) k 1 0.04 k 0.9999 k min 3
四、(1) P5 (2) C52 0.3 2 (1 0.3) 3 0.3087 (2)A：“5 个样品中至少有 2 个一级品”，有：
i P ( A) P5 (i ) 1 P5 (i ) 1 C 5 0.3i 0.7 5i 0.47178 i 2 i 0 i 0 5 1 1
4
2 2
1
(2) P{>C}=1P{≤C}=P{≤C}P{≤C}=0.5Φ(
C 3 C 3 )=0.5 =0C=3 2 2
5. B
练习五（第三章）
一、1．A
2. B 1, x (0,1) 二、 f X ( x) 0, x (0,1) 3. C 4. B
(1)y=ex 在(0,1)严格单调增且可导，则 x=lny 在(1,e)上有：(lny)= 1 y f (ln y ) | 1 |, 1 y e 1 , 1 y e X y f Y ( y) y ∴ f Y ( y) 其它 其它 0, 0, (2)y= 2lnx 在(0,1)严格单调减且可导，则 x e
P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) 1 2 11 1 13 12 11 12 11 132 四、 P( A) 4 , P( B) 7 , P( AB) 1 15 15 10
=
有： P( A | B)
P ( B | A)
3
练习四（第二章）
2. D 3. A 4. B 一、1. D 二、(1)任掷两骰子所得点数和 i 有 212 共 11 种可能 令i 表示和数为 i 的样本点(i=2,3,…,12),则基本事件集={2, 3,…, 12 } (2)由已知,得：i，有(i)=2i (i=2,3,…,12）,则的可能值为 2i (i=2,3,…,12） (3){<4}=； {≤5.5}={=4}={2}； {6≤≤9}={=6}∪{=8}={3}∪{4}； {>20}={=22}∪{=24}={11}∪{12} (4)P{<4}=0；P{≤5.5}=P{2}=1/36；P{6≤≤9}=P{3}+P{4}=2/36+3/36=5/36； P{>20}= P{11}+P{12}=2/36+1/36=3/36=1/12 三、(1) 的所有可能值为 0，1，2 3 1 2 2 1 C13 C2 C13 12 C2 C13 22 1 P{=0}= 3 ； P{=1}= ； P{=2}= 3 3 35 35 C15 35 C15 C15 1 2 故的分布律为： 0 P 22/35 12/35 1/35 (2)F(x)=P{≤x} 当 x<0 时，{≤x}为不可能事件，得 F(x)=P{≤x}=0 当 0≤x<1 时，{≤x}={=0}，得 F(x)=P{≤x}=P{=0}=22/35 当 1≤x<2 时，{≤x}={=0}∪{=1}，又{=0}与{=1}是两互斥事件， 得 F(x)=P{≤x}=P{=0}+P{=1}=22/35+12/35=34/35 当 x≥2 时，{≤x}为必然事件，得 F(x)=P{≤x}=1 综合即得 四、 （1）由分布函数的性质 F () 1, F (0 ) F (0) 得 A 1, A B 0 B 1;
B3=A1A2A3P(B3)=0.14 又 P(B|B1)=0.2，P(B|B2)=0.6，P(B|B3)=1 由全概率公式，得：
P ( B ) P ( Bi ) P ( B | Bi ) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458
i 1 3
得 P P( AB C ) P( A BC ) P( A B C ) 0.73 (4) P P( ABC AB C A BC) P( AB ABC) P( AC ABC) P( BC ABC) 0.14 (5)P(A∪B∪C)=0.73+0.14+0.03=0.9 (6) P( A B C ) 1 0.9 0.1 四、令 x 、y 为所取两数，则={(x,y)|0<x<1, 0<y<1}； 令事件 A： “两数之积不大于 2/9，之和不大于 1” ， 则 A={(x,y)| xy≤2/9, x+y≤1, 0<x<1, 0<y<1} S=SOAED=1×1=1；