高等代数2-2(数学类)--期末考试--2014级
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
高等代数2-2(数学类)--期末考试答案--2019级
100 010
011
四、设A是n阶非零实对称矩阵，记Rn的两个子空间为U = {X ∈ Rn|AX = 0}, V = {AX|X ∈ Rn}证明:U 是V 在Rn的正交补空间.
证：取Rn中的一组标准正交基，取∀α ∈ U, ∀Aβ ∈ V (令α和Aβ都表示该向量在标准正交基下的坐标)， 则有α Aβ = (Aα) β = 0,由此可知α ⊥ Aβ,所以U 是V 在Rn的正交补空间,证毕。
i=1
七、设A, B是n × n实对称矩阵，A正定.证明:AB相似于对角矩阵.又若B也正定，则AB的 特征值为正实数.
证：（1）因为A为正定的实对称矩阵，所以必定存在一个正交矩阵T1使得T1−1AT1 = E，记B1 = T1−1BT1。 由B是实对称矩阵，则B一定相似于对角阵，所以B1也相似于对角阵,并记该对角阵为B2。于是存在一 个T2有T2−1B1T2 = B2,而T2−1T2−1B1T2 = B2T2 = E,因此(T1T2)−1AB(T1T2) = (T1T2)−1A(T1T2)(T1T2)−1B(T1T2) = B2,可知AB与对角矩阵相似。 （2）而B正定，则B2的对角元都为正实数，所以B2的特征值都为实数。而AB相似于B2，所以特征值相 同，所以AB的特征值也都为正实数，得证。
J1
0
J
=
J2 ...
0
Jn
而Vi的维数与属于λi的特征向量的秩相同，所以要证明题目结论，即证A的若当标准型中Ji中若当块的 个数等于属于λi的特征向量的秩。 设Ji若当块个数为m,属于λi的特征向量的秩为n,而对∀(λE − Ji),设其秩为Ri.显然Ri=ri-m.考虑齐次方 程组JiX = 0,则解得X的基础解系为属于λi的特征向量的极大无关组，基础解系的秩为ri − Ri = m,而 特征向量秩为n，所以m=n,得证。
高等代数(二)期末考试
6.设 f x x 4 x3 4 x 2 4 x 1, g x x 2 x 1, 用辗转相除法求 f x , g x .
第4页
第5页
合计
学号
班
.
2.设 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ε5 是欧氏空间 V 的一个正交基,则 α V | α, ε1 α, ε2 0 . 3.设向量组 α1 , α2 , α3 线性无关, β1 可由 α1 , α2 , α3 线性表示, β2 不能由 α1 , α2 , α3 线性表 示,则常数 k 4. σ α 变换,若 σ 满足 时,向量组 α1 , α2 , α3 , β1 kβ2 线性 是线性空间 V 上的变换,若 σ 满足 ,则 σ 不是线性变换. ,实数域上的不 , 有理数域上的不可约多项 . . ,则 σ 是线性
0 a 22 2.证明： 数域 F 上所有形如 上的二阶方阵构成空间 F 的一个子空间,并 a 0
求该子空间的一个基.
3. σ 是线性变换, 如果 σ 3 α 0, 但 σ 4 α 0 ,证明： α, σ α , σ 2 α , σ 3 α 线性无 关.
专业 系
5.复数域上的不可约多项式只能是 可约多项式只能是 式可以是
a11 a12 6.设线性变换 σ 在 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵是 A a21 a22 a31 a32
阵是 .
a13 a23 ,则 σ 在基 ε1 , kε2 , ε3 下的矩 a33
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二、简答题
1.请举出两个线性空间的例子,并对它们进行比较讨论.
2.请谈谈现在所学的多项式与中学所学的多项式的关系.
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）北京大学数学学院期末试题2013－2014学年第二学期考试科目高等代数II 考试时间 2014年6月12日姓名学号一.（20分）设α 1 , α 2 , α 3是矩阵A =100210101的列向量, 设P 是沿< α 1 > 向< α 2 , α 3 > 所作的投影变换, Q 是欧氏空间R 3向< α 2 , α 3 > 所作的正交投影变换. 求 P , Q 在R 3标准基下的矩阵. 二（18分）已知R 3上的双线性函数f ( α , β ) 在基底α 1 , α 2 , α 3 下的度量矩阵为310121011.1) 证明: f ( α , β ) 是R 3上的一个内积;2) 求内积 f 下的一组标准正交基β1 , β2 , β3 , 使得β1 = α 1 ;3) 求内积 f 下的正交变换A , 使得W = < α 1 > 是A 不变子空间,且A 在商空间 R 3 / W 上的诱导变换α + W A α + W 将α 2 + W 变到k α 3 + W , k > 0 . (写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵).三（12分）设A 是酉空间V 上的线性变换, 满足条件( A α , β ) = ( α , A β ), ? α , β ∈ V (A 称为Hermite 变换).1) 证明: A 在复数域上的特征值都是实数;2) 证明: 若W 是A-子空间, 则W ⊥也是A-子空间.四（20分）设 A 是Q-线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = .1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 写出各个根子空间W i 的基底以及限制变换 A | W i 在此基底下的矩阵;3) 证明: 若线性变换B 与A 可交换, 则每个W i 也都是B -子空间.五（20分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 下的矩阵为 A = .1) 求A 的最小多项式;2) 求A 的特征子空间(写出基底);3) 求V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准型.六 ( 10分) 判断对错. 正确的命题请给出证明, 错误的请举出反例.1) 设 A 是n 阶正交矩阵, α , β ∈ R n . 若α + i β是A 的复特征向量, 且α + i β的特征值不等于± 1, 则一定有( α , β ) = 0 ;2) 如果A , B 是正定矩阵, 则A B + BA 一定也是正定矩阵. -100031122020103110000010001010001010101 01。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
2014下高等代数B
2014年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。
2、排列318742695的逆序数是 （ ）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必 ，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必 。
3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教师…………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ， 求*10)31(1A A --。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
2014-高等代数(下)期末复习
第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A k A k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα 使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα 线性表示，那么，12n ,,,ααα 就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα 是线性空间n V 的一个基。
高等代数13级数学系《高等代数2》(A)
井冈山大学数理学院2013 ~2014学年度第二学期 《高等代数 2》期末试卷（A 卷） 2014 年6 月一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 已知 3 阶方阵 12121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 1A -= . 2. 已知实二次型 222123123121323(,,)5224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+ 正定，则 λ 的取值范围是. 3. 设 123,,ααα 是 3 维线性空间 V 的一组基，11212,βαβαα==+，31βα=+ 23αα+，则基 123,,βββ 到基 123,,ααα 的过渡矩阵是 . 4. 在 22P ⨯ 中定义线性变换 ()a b X X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 在基 11122122,,,E E E E 下的矩阵是 . 5. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 ,2,3a ，且 6,A =- 则 a = ，tr A = . 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A 是 n 级可逆矩阵，下列命题错误的是( ). (A) 11()A A --=； (B) ()()A A **''=； (C) ()A A **=； (D) ()11()A A **--=. 2. 设 A 为 n 级实对称矩阵，下列条件中( ) 不是 A 为正定矩阵的等价条件. (A) A 的秩为 n ； (B) A 的顺序主子式全大于零； (C) A 的主子式全大于零； (D) A 的正惯性指数为 n . 3. 设123,,V V V 为n 维线性空间V 的子空间，则下列条件中( ) 不是 123V V V ++ 是直和的等价条件.(A) 零向量按子空间 123,,V V V 的表法唯一； (B) 123V V V {0}=；(C) 123123dim()dim dim dim V V V V V V ++=++；(D) 123,,V V V 的一个基合在一起是 123V V V ++ 的一个基.4. 设是线性空间 2 的线性变换，使得(1,1)(1,1),(3,2)(2,1)=-=，则 (4,2) 等于（ ）.(A) (2,4)； (B) (4,2)-； (C) (2,3)-； (D) (2,3)-.5. 设 1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在线性空间 22P ⨯ 中，定义一个变换 σ 为 (),A BA σ=则（ ）. (A) σ是22P ⨯的线性变换，但不是满变换；（B ）σ是22P ⨯的线性变换，但不是单变换；(C) σ 是 22P⨯ 的可逆线性变换； (D) σ 不是 22P ⨯ 的线性变换.三、计算题：（每题10 分，共50分）1. 设 101A 020100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001020101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知AX B A X -=+，求 X .2. 用非退化线性替换把下列二次型化为标准形：2212312121323(,,)3226f x x x x x x x x x x x =--+-并求相应的非退化线性替换.3. 在4P 中，11232123(,,),(,,)V L V αααβββ==，其中1(1,1,0,2)α=，2(1,1,1,3)α=-， 3(1,2,1,2)α=-，123(1,2,0,6),(1,2,2,4),(2,3,1,5)βββ=-=-=-.分别求 12,V V + 12V V 的一个基和维数.4. 判断矩阵 A 是否相似于对角阵，如果是，求可逆矩阵 P ，使 1P AP - 为对角阵： 100252241A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.5. 设 123,,ηηη 是 3 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，σ 是 V 的正交变换，且满足1123221()333σηηηη=+-， 2123212()333σηηηη=-+， 3123()a b c σηηηη=++，试求 ,,a b c 的值.四、证明题（ 10 分）设 ,A B 是 n 阶非零矩阵，且有 22,,0A A B B AB BA ====，证明：(1) 0,1 必是 ,A B 的特征值；(2) 若 X 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，则 X 也是 B 的属于特征值 0 的特征向量.。
(完整word版)高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
高等代数2-1(数学类)--期末考试--2019级
CD
CD
七、已知a, b, c不共面.求证:r
=
(r, b, c) a
+
(r, c, a) b
+
(r, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, b) c.
(a, b, c) (a, b, c) (a, b, c)
八、证明:设m × n矩阵A的秩为r,则有m × r的列满秩矩阵P 和r × n的行满秩矩阵Q,使A = P Q.
1
abcd 三、求行列式 −b a −d c .
−c d a −b −d −c b a
四、求点(2, 4, 3)在直线x = y = z上的投影点及到直线的距离.
124
五、已知A
+
B
=
2E
,
B∗
=
0
1
2 ,求矩阵X使得AX = B.
001
六、已知矩阵 A B ,A可逆.求证:秩(A)+秩(D − CA−1B)=秩 A B .
数学科学学院2015级高等代数2-1期末考试
命题人:耿薇 (回忆人:张万鹏)
一、[此处省略三个平面的方程(没记住)]讨论: (1)何时相交于一点,并求出该点的坐标; (2)何时相交于一条直线,并求出该直线的方程; (3)何时三个平面两两相交并且交线平行.
二、[此处省略两组直线方程,每组有两条直线(没记住)] (1)判断第一组的两直线共面还是异面,若异面则求出两直线的公垂线,若共面则求出平面方程; (2)同上,对第二组进行判断.
(完整word版)高等代数期末试卷
高 等 代 数 课程期末试卷命题人： 审题人：姓名 数 学 系 班 学号：一、是非题（每小题2分，共10分）1．f(x)=ax+b (a ≠0)在任意数域上不可约。
（ ） 2．行列式D=0，则行列式定有两行成比例。
（ ） 3. 两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（ ） 4. 若对于方阵A ，存在0021≠≠αα，满足2211αααα-==A A ，，则21αα、线性无关. ( ) 5. 设δ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，则δ关于V 的任一基的矩阵都为正交矩阵. ( ) 二、选择题 （每小题3分，共18分）1.设f(x)∈R[x],若对任意的首项系数为1的g(x) ∈R[x],都有（f(x),g(x)）=g(x),则f(x)必为( )A.零次多项式B.零多项式C.f(x)≡1D.不存在2.记 D= b a c a c b cb a ,A=a+b+c, B=a 2+b 2+c 2, C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（ ）A. A=0B. B-C=0C. A=0或B-C=0D. A,B,C 不确定 3.若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ） A.维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； B.维()21W W +=维()1W +维()2W ； C.维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； D.维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。
4.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）A.合同的；B.相似的；C.相等的；D.正交的。
5.设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） A 若()()γβγαβα=⇒=,,； B 若βαβα=⇒=； C 若()11,=⇒=ααα； D 若()βα,>βα=⇒0。
高等代数期末考试题库及答案解析 (2)
高等代数期末考试题库及答案解析1. 矩阵运算1.1 矩阵加法考察矩阵的相加，要求加法可交换。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)。
求 A + B 的结果。
答案解析：根据矩阵加法的定义，对应位置的元素相加，即有：\[ A + B = \begin{bmatrix} 3+5 & 1+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]1.2 矩阵乘法考察矩阵的相乘，要求乘法满足结合律。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)。
求 A * B 的结果。
答案解析：根据矩阵乘法的定义，对应位置元素相乘并求和，即有：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 8 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \]2. 矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义考察特征值和特征向量的定义和性质。
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，求 A 的特征值和特征向量。
(完整word版)高代下试卷期末
2014-2015学年第二学期《几何与高等代数（下）》期末试卷(2014级数学类专业)班级 学号 姓名 得分一、判断题（每小题3分，满分15分）1．线性变换A )(V End K ∈可对角化，当且仅当V 是A 的特征子空间的直和。
（ ）2．n 阶多项式矩阵)(λA 可逆的充分必要条件是)(λA 满秩。
（ ）3．设A 为欧氏空间V 上的对称变换，则A 的特征值都为实数，且属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
（ ）4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000003B ，则A 与B 相合且相似。
（ ）5．设n 阶矩阵B A 、相似，则B A 、具有相同的不变因子组，但反之不成立。
（ ）二、填空题（每小题3分，满分15分）1．以原点为顶点，准线为⎩⎨⎧0102=--=--z y z y x 的锥面方程是 。
2．设()()3213213,,,,,,y y y x x x R V ===βα，则V 上双线性函数3323322111322),(y x y x y x y x y x f +-+-=βα关于自然基321,,εεε的度量矩阵为 。
3．设3阶方阵A 的三个特征值为1，3，31， 则=+*||E A ____ 。
4．设1)(23-+-=x x x x f ，1)(4-=x x g ，则它们的最大公因式()=)(),(x g x f 。
5． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32)1(0000001)(λλλλA 的初等因子组为。
三、计算题（每小题10分，共40分）1. 化简二次曲线方程：012241254222=+--++y x y xy x ，并写出对应的坐标变换公式。
2．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111t t A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000020001B 相似，（1）求t 的值；（2）求正交矩阵T ，使得B AT T =-1。
3．设对称多项式：322232321221231221321),,(x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=（1）将),,(321x x x f 按字典序重新排列；（2）用初等对称多项式表示),,(321x x x f 。