三角函数图像变换顺序详解

《图象变换的顺序寻根》

题根研究

一、图象变换的四种类型

从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换：

1.纵向平移——m 变换

2.纵向伸缩——A变换

3.横向平移——变换

4.横向伸缩——变换

一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.

以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.

【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到

【解法1】第1步，横向平移：

将y = sin x向右平移，得

第2步，横向伸缩：

将的横坐标缩短倍，得

第3步：纵向伸缩：

将的纵坐标扩大3倍，得

第4步：纵向平移：

将向上平移1，得

【解法2】第1步，横向伸缩：

将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x

第2步，横向平移：

将y = sin 2x向右平移，得

第3步，纵向平移：

将向上平移，得

第4步，纵向伸缩：

将的纵坐标扩大3倍，得

【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变

换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.

【质疑】对以上变换，提出如下疑问：

（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变

（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——

如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——

如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”

【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式

(y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.

如将例1中的变成

它们的变换“方向”就“统一”了.

对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.

故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；

但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.

【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中，采用如下顺序：

（1）横向平移：x→

（2）横向伸缩：x+→

（3）纵向伸缩：sin () →A sin ()

（4）纵向平移：A sin () →A sin () + m

这正是例1中解法1的顺序.

二、正向变换与逆向变换

如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.

因为正向变换的一般顺序是：

（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.

所以逆向变换的一般顺序则是：

（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.

如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x－)，再将纵坐标缩小

一半得y=sin(2 x－),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x－),最后将图象左移得函数y= sin x.

【例2】将y= f (x)·cos x的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.

【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.

【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），

得y = 2sin2 x－1，再将 2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）

得

令f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x

【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.

因为2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移1个单位得sin(2 x－),左移得sin2x.

三、翻折变换使> 0

平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.

强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x)左移而得.

其实，x或y的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由x→ - x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) → - f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.

【例3】求函数的单调减区间.

【分析】先变换 -3x→3x,即沿y轴的翻折变换.

【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间

令≤≤

≤x ≤（f(x)减区间主解）

又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为

≤x ≤

【解析2】的减区间为

≤≤

即是≤x ≤

【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:

(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤

(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.

【思考】本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组

将会使你陷入歧途，不防试试！