晶面和晶向课件

a∗ // a b∗ // b c∗ // c
a∗= 1 a
b∗ = 1 b
c∗ = 1 c
a=d 100
b=d 010
c=d 001
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什么是倒格矢量？
量称由为倒倒易易点矢阵量的(或原称点倒到格其矢中量任)何，一用个→H结hk点l 表Ph示kl的。矢
倒格矢量
H =ha∗+kb∗+lc∗
晶格矢量 T =ma+nb+ pc
关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向[hkl]恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。
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在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所组成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中h＋k＝－ i；h＋k＋i＝0。
=
a
⋅
cos
a2
⋅
⎡⎢⎣(
b
)(
c
)
sin
a1⎤⎥⎦
=
OP
∗
⎡⎣OBCD的面积⎤⎦
＝单位平行六面体的体积＝体积V
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a∗ = b×c = A = 1 = 1 V A⋅OP OP d 100
同理有
b∗= 1 d 010
c∗= 1 d 001
在任何晶轴正交的晶体点阵(正交、四方、立方)中， 三个晶轴方向与晶胞的三个棱方向是一致的，那么有
倒易点阵的空间称倒易空间。 已知晶体点阵求解未知倒易点阵 已知倒易点阵求解未知晶体点阵
4.4.1 倒易点阵的几何分析 倒格子中的每一个结点和原来晶体点阵中各个
相应的晶面有倒易关系
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对应关系：如果两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个 共同的原点
(1) 晶体点阵中的(hkl)晶面在倒易点阵中用一点Phkl来表示， Phkl点和原点O间的连线垂直于晶体点阵中的(hkl)晶面；
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密勒指数 是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比
确定密勒指数的三个步骤： 1) 该晶面与x, y, z 轴相交的长度r, s, t(表示相交长度分别 为a、b、c 的r、s、t 倍)，分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t； 2) 对这三个分数进行通分，用分母的最小公倍数做分母； 3) 通分后三个分数的分子就是晶面指数(h k l)
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轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个 相邻的因子，要改变乘积的符号。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A×B ⋅C = B×C ⋅ A= C×A ⋅B = − B×A ⋅C = − C×B ⋅ A= − A×C ⋅B
⎡ ⎣
A⋅B⋅C
⎤ ⎦
=
⎡ ⎣
B⋅C⋅
A⎤⎦
=
⎡⎣C⋅
a∗a=b∗b=c∗c=1
(决定倒易矢量的大小，长短)
a∗= 1 a cos a⋅a∗
b∗= 1 b cosb⋅b∗
c∗= 1 c cos c⋅c∗
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倒易矢量的另外一种定义
a∗= b×c ab×c
b∗= c×a ab×c
c∗= a×b ab×c
a
⋅b×c
=
a
⋅ε
⎡⎢⎣(b
)(
c
)
sin
a 1
⎤ ⎥⎦
间距等问题； (3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方
法； 倒易点阵的实质： 倒易点阵本身是一种几何构图，
是一种数学抽象，是一种数学变换。
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倒易点阵是由许多点子构成的虚点阵；
倒易点阵是由具有晶格常数a、b、c的晶体点 阵(或称正点阵、真点阵)经过一定的数学变换转化 而来的一种虚拟点阵。
晶体点阵(正格子) 倒易点阵(倒格子)
(2) 如果倒易点阵中的Phkl点和原点O间的距离OP＝Hhkl，则 Hhkl＝1/dhkl, 式中dhkl是(hkl)晶面族的晶面间距。
图4.4.1 正点阵与倒易点阵的转化图示
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由上述方法变换得到的倒易点阵结点集合起来具有点阵性质。
图示一个普通单斜 晶系的四个晶胞的ac 晶面，b轴垂直于纸 面，o点是正格子和 倒格子的公共原 点。
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4.2 晶面及晶面指数
什么是晶面？连结同一层质点的平面 什么是晶面间距？相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度？晶面上质点的密度 在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成 许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一 定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、 价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面 指数来标志(密勒指数)。
2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指
数上加以负号，如（110）、（121） ，{h k l } 表示一个
晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。
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{100} 包含 (100),(010),(100),(010),(001),(001)共六个晶面
{110} 包含共十二个晶面
在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即[uvw]， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。
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在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 u＋v＋t＝0 来确定。
∴d
=
a
⋅n=
a⋅
H
=
⎛ a ⋅⎜⎝
ha∗ + k b∗
+lc∗
⎞ ⎟⎠
=
1
hkl h h H h
H
H
∴H = 1 d hkl
以上证得的关系式与本节对倒易点阵的几何关系的规 定是一致的。
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4.5 晶面间距、晶面夹角及晶带 4.5.1 晶面间距 什么是晶面间距？
凡是一组平行晶面中最相邻的两个晶面间的距离。 (hkl)晶面, dhkl最相邻的晶面间距。
A⋅B⎤⎦
=
−
⎡ ⎣
B⋅
A⋅C ⎤⎦
=
−
⎡⎣C⋅B⋅ A⎤⎦
=
−
⎡ ⎣
A⋅C⋅B⎤⎦
( ) ( ) A×B ⋅C = A⋅ B×C
( ) ( ) ( ) A×B ⋅ A= B×A ⋅ A= A×A ⋅B = 0
几何意义：
( ) 矢量的混合积 ⎣⎡ ABC⎤⎦= A×B iC 是这样的一个数，它的
绝对值表示以矢量 A、B、C 为棱的平行六面体的体积。 如果矢量 A、B、C 组成一个右手系，那么积的符号是正的，
(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011)
{111} 包含 (111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 共八个晶面
110 表示一个晶面； (110)表示一组平行晶面； {110}表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。
<110>包含 [110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011] 共十二个晶向
<111>包含 [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 共八个晶向
在立方晶系中，由于 (a,b,c,α,β ,γ ) 晶轴参数的特殊
2，2，3→ 1，1，1 → 3，3，2 →（332） 223 666
8
9
两种特殊情况：
1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无 穷 远 处 相 交 ， 截 距 ∞ ， 1/∞=0 ， 因 此 晶 面 在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行 的 晶 面 ， (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 ， (001)表示平行于XY平面的晶面。
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
指数；用 [μνω ] 表示
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1,1,1 ⎯1⎯2→[463]→[μνω ]
324
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由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用<uvw>来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系
<100> 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向；
2 2 22
22
5
金刚石的晶胞：(0,0,0)
(1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) ( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
(1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 2 2 2 2
22
也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。
11
立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
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4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
( ) ( ) ( ) a∗ ⋅b∗ = b∗ ⋅c∗ = c∗ ⋅ a∗ = 0
其它晶系作为了解，一般不常用。
( ) ∴
1 dhkl
2
= h2 + k2 + l2 a2