广东省广州市真光中学2021届高三第一学期省考适应性测试数学试卷
2021年高三广州一模后联合适应性考试(数学理)
2021年高三广州一模后联合适应性考试（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则 （ ） A ．B ．DC ．D.2．已知函数，若，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.函数的图象的大致形状是 （ ）5. 设A 1、A 2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点，使得，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、6在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D.7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意、，定义运算，则的A.最小值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 若框图（图1）所给程序运行的结果，那么 判断框中可以填入的关于的判断条件是_ ____．10. 已知定义域为的函数满足①，②，若成等差数列，则的值为 ．11.若对一切R ，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 .12.设O 点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 .13.记集合，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第xx 个数是 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，，为的中点，的延长线交⊙O 于点，则线段的长为_______.15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程，直角坐标系中的点M 的坐标为（0，2），P 为曲线C 上任意一点，则的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题12分）已知()2312sin 2cos 3cos sin 322+⎪⎭⎫⎝⎛-+-=πωωωωx x x x x f （其中）的最小正周期为. (1) 求的单调递增区间;(2) 在中,分别是角的对边,已知求角.17.（本小题满分12分）在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.18.（本小题14分） 如图2,在四面体中,且(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值; (2)求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题14分） 在平面直角坐标系xoy 中，给定三点， 点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC距离的等比中项。
2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟数学试卷-学生用卷
2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟数学试卷-学生用卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第1题5分2018年北京石景山区高三一模理科第1题2018~2019学年北京东城区北京市第一七一中学高三上学期期中文科第1题5分设集合A={x|(x+1)(x−2)<0}，集合B={x|1<x<3}，则A∪B=（）．A. {x|−1<x<3}B. {x|−1<x<1}C. {x|1<x<2}D. {x|2<x<3}2、【来源】 2009年高考真题全国卷I理科第2题5分2015~2016学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二上学期期中理科第11题5分2019~2020学年3月四川成都成华区四川省成都华西中学高二下学期月考文科第1题5分=2+i，则复数z=（）．已知z1+iA. −1+3iB. 1−3iC. 3+iD. 3−i3、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第3题5分2020~2021学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期月考第3题4分2020年高考真题山东卷第3题5分2020年高考真题海南卷第3题5分2020~2021学年江苏常州溧阳市江苏省溧阳中学高三上学期开学考试第3题5分6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第4题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第4题5分2017~2018学年10月黑龙江哈尔滨阿城区阿城市朝鲜族中学校高三上学期月考第7题5分设{a n}是公差不为0的等差数列，满足a42+a52=a62+a72，则{a n}的前10项和S10=（）．A. −10 B. −5 C. 0 D. 55、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第5题5分2017~2018学年12月湖北武汉蔡甸区蔡甸区实验高级中学高一上学期月考第10题5分2017~2018学年安徽合肥包河区合肥市第一中学高一上学期期末第7题5分2017~2018学年福建漳州华安县华安县第一中学高一上学期期末第11题5分2019~2020学年广东佛山禅城区佛山市第一中学高三上学期期中文科第5题5分已知函数f(x)=x2⋅sin(x−π)，则其在区间[−π,π]上的大致图象是（）．A.B.C.D.6、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第6题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第6题5分设函数f(x)=−e x2+3+42+|x|，则不等式f(2x−5)<f(−3x)成立的x的取值范围是()A. (−1,5)B. (−∞,−1)∪(5,+∞)C. (−5,1)D. (−∞,−5)∪(1,+∞)7、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第7题5分2018年高考真题浙江卷2019~2020学年11月广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期月考理科第10题5分2020~2021学年江西赣州高三上学期期中理科（十五县市联考）第11题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第7题5分已知a→，b→，e→是平面向量，e→是单位向量：若非零向量a→与e→的夹角为π3，向量b→满足b→2−4e→⋅b→+ 3=0，则|a→−b→|的最小值是()A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√38、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第8题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第8题5分2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高一上学期期末第12题5分2020~2021学年四川广安高一上学期期末第12题5分已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2sin(π4x),2⩽x⩽10，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)且x1<x2<x3<x4，则(x3−1)(x4−1)x1x2+2x4−5x3的取值范围是（）．A. (14,17)B. (14,19)C. (17,19)D. (17,774]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第9题5分已知F1，F2是双曲线E：x 2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1倾斜角为30∘的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|=|MF1|，下列判断正确的是（）．A. ∠PF2F1=π3B. |MF2|=12|PF1|C. E的离心率等于√3D. E的渐近线方程为y=±√2x10、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第10题5分已知函数f(x)=sin(3x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π4对称，则（）．A. φ=−π4B. 若|f (x 1)−f (x 2)|=2，则|x 1−x 2|的最小值为 π3C. 将f(x)图象向左平移 π12 个单位得到g (x )=sin(3x +5π12)的图象 D. 若函数f(x)在[0,m]单调递增，则m 的最大值为π411、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第11题5分已知a =log 3π，b =log π3，c =log π13，则（ ）． A. ab <a +b <b +cB. ac <b +c <bcC. ac <bc <b +cD. b +c <ab <a +b12、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第12题5分2019~2020学年海南海口琼山区海南中学高二上学期期末第12题5分2020~2021学年3月江苏苏州吴中区江苏省苏苑高级中学高二下学期月考第12题2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第12题5分已知函数f (x )=e x ，g (x )=lnx 2+12的图象与直线y =m 分别交于A 、B 两点，则（ ）． A. |AB |的最小值为2+ln2B. ∃m 使得曲线f (x )在A 处的切线平行于曲线g (x )在B 处的切线C. 函数f (x )−g (x )+m 至少存在一个零点D. ∃m 使得曲线f (x )在点A 处的切线也是曲线g (x )的切线三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第13题5分过抛物线x 2=4y 的焦点F 作倾角为30∘的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点，则|AB|= ．14、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第14题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第14题5分求(x2−2x )4展开式中x5的系数为．15、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第15题5分2020年高考真题海南卷第16题5分2020年高考真题山东卷第15题5分某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2．16、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第16题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第16题5分2019~2020学年上海浦东新区高三上学期期中2020~2021学年12月天津河西区天津市第四中学高三上学期月考第11题5分如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第17题10分2020~2021学年北京海淀区北京实验学校高一下学期期末（3-7班）第18题10分2020~2021学年3月山东济南长清区济南大学城实验高级中学高一下学期月考第20题12分2020年高考真题北京卷第17题13分在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①：c=7，cosA=−17；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．(1) a的值．(2) sinC和△ABC的面积．18、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第18题12分2019~2020学年12月黑龙江哈尔滨宾县宾县第一中学高三上学期月考文科第18题12分2018~2019学年北京西城区北京市第八中学高三上学期期中文科第18题15分2018~2019学年北京海淀区首都师范大学附属中学高二下学期期末第17题13分设{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 求e a1+e a2+⋯+e a n．19、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第19题12分2020年高考真题江苏卷第24题10分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第19题在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．(1) 求直线AB与DE所成角的余弦值．BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的值．(2) 若点F在BC上，满足BF=1420、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第20题12分某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地（超过1亩）种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度（单位：dm），将测量结果按[0.6,0.8)，[0.8,1.0)，[1.0,1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6]分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1) 求a的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x（不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(2) 假设这批新品种豌豆豆荚的长度X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x，σ=0.23，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间(0.88,1.57)内的豆荚个数．(3) 如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求ξ⩽1的概率和ξ的数学期望．附：(1720)19≈0.046，若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545．21、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第21题12分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第21题2020年高考真题天津卷第18题15分2020~2021学年河北保定定州市高二上学期期中第18题12分(4分,8分)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(1) 求椭圆的方程．(2) 已知点C满足3OC→=OF→，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．22、【来源】 2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第22题12分已知函数f(x)=e x−1+lnx−ax(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)．(1) 讨论f′(x)的单调性．(2) 若x1x2>14，求证：f(x2)−f(x1)x2−x1<6−a．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;C;D;10 、【答案】 A;B;D;11 、【答案】 C;D;12 、【答案】 A;B;D;;13 、【答案】16314 、【答案】−8;π+4;15 、【答案】5216 、【答案】4;317 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;18 、【答案】 (1) a n=nln2(n∈N∗)．;(2) 2n+1−2(n∈N∗)．;19 、【答案】 (1) √15．15;(2) 2√39．13;20 、【答案】 (1) x=1.11．;(2) 1637个．;(3) P(ξ⩽1)≈0.1771;E(ξ)=3．;21 、【答案】 (1) x218+y29=1;(2) y=12x−3或y=x−3;22 、【答案】 (1) f′(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。
2021届广东省广州市高三上学期第一次调研测试理科数学试题Word版含解析
2021届广东省广州市高三上学期第一次调研测试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由中不等式变形得，解得或，即或，，，故选A.2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,选C.3. 在等差数列中，已知，前项和，则公差A. B. C. D.【答案】B【解析】因为等差数列中，已知，前项和，所以可得，故选B.4. 已知变量，满足则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】画出表示的可行域，如图，化为，由，可得，平移直线，当直线经点时，直线截距最大值为，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 的展开式中的系数为A. B. C. D.【答案】A【解析】的展开式的通项为，当时，，故选A.6. 在如图的程序框图中，为的导函数，若，则输出的结果是A. B. C. D.【答案】A【解析】执行程序框图，；；；；；，可得是周期的函数，当时，结束循环，输，故选A.7. 正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，将平移至为靠近的三个等分点处，，为的中点，也为中点，，根据四点共面，，，故选D.8. 已知直线与曲线相切，则实数的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.9. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有，故选B.10. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】，平移，平移作为奇函数，，，当时，，故选A.11. 在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为三角形为正三角形，所以，设双曲线左焦点为可得，，，根据双曲线的定义可得，，故选C.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件利用特殊直角三角形的性质．从而找出之间的关系，求出离心率．12. 对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为条件②，所以与同号，不符合②，不是“偏对称函数”；对于；，满足①②，构造函数，，在上递增，当，且时，都有，，满足条件③，是“偏对称函数”；对于，，满足条件①②，画出函数的图象以及在原点处的切线，关于轴对称直线，如图，由图可知满足条件③，所以知是“偏对称函数”；函数为偶函数，，不符合③，函数不是，“偏对称函数”，故选C.【方法点睛】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，若，则向量的模为________．【答案】10【解析】因为，所以，，，故答案为.14. 在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．【答案】4【解析】因为等比数列各项都为正数，所以，，故答案为.15. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．【答案】4【解析】设过抛物线：的准线与轴交于点，与直线交于，过作的垂线，垂足为，作于，根据相似三角形性质可得是中点，可得，，，故答案为.16. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】11π【解析】由三视图可知，三棱锥直观图，如图是的外心，平面，令，则是外接球球心，设，，，，，球半径，，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. △的内角，，的对边分别为，，，且满足，．（1）求角的大小；（2）求△周长的最大值．【答案】（1）（2）最大值为【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理以及两角好的正弦公式可得，从而可得角的大小；（2）由，利用余弦定理可得，配方后利用基本不等式可得，从而可得△周长的最大值．试题解析：（1）由已知，得．由正弦定理，得，即．因为，所以．因为，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，得，即．因为，所以．即（当且仅当时等号成立）．所以．故△周长的最大值为．18. 如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则即则所以．设平面的法向量为，则即令则所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式，参考数据，．【答案】（1）可用线性回归模型拟合与的关系（2）商家在过去50周周总利润的平均值为4600元【解析】试题分析：（1）先算出相关系数可得结论；（2）安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元，分别列出离散型随机变量的分布列，算出安装2台光照控制仪总利润为元，安装3台光照控制仪总利润为元，从而可得结果.试题解析：（1）由已知数据可得．因为．所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故的分布列为2000 60000．2 0．8所以元．③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故的分布列为1000 5000 90000．2 0．7 0．1所以元．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.20. 如图，在直角坐标系中，椭圆：的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为得，把点代人椭圆方程，结合，可求得的值，从而可得椭圆方程；（2）直线的方程为，由得，根据韦达定理及斜率公式，结合题设，且，可得，求得的值即可得结果.试题解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即．又，得，即，所以椭圆的方程为．把点代人中，解得．所以椭圆的方程为．（2）解法1：设直线的斜率为，则直线的方程为，由得．设，，则有，，所以．所以因为，所以在线段的中垂线上，所以，因为，所以，即．设，又直线垂直，所以，即．所以，即．又，所以，．因为，所以，解得．所以直线的方程为．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题. 利用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数．（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】试题分析：（1）讨论、两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数恰有一个零点时实数的取值范围；（2）对任意，有成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果.试题解析：（1）函数的定义域为．当时，，所以．①当时，，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以．）因为，所以，此时函数有一个零点．②当时，令，解得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．要使函数有一个零点，则即．综上所述，若函数恰有一个零点，则或．（2）因为对任意，有成立，因为，所以．因为，则．所以，所以．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，因为与，所以．设，则．所以在上单调递增，故，所以．从而．所以即，设，则．当时，，所以在上单调递增．又，所以，即为，解得．因为，所以的取值范围为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．【答案】（1）为圆心在原点，半径为2的圆，（2）取到最小值为最大值为【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线的普通方程，再利用放缩公式可得曲线方程，从而可判定是哪一种曲线，利用极坐标护互化公式可得的方程化为极坐标方程；（2）利用的参数方程设出点的坐标，利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），因为，则曲线的参数方程．所以的普通方程为．所以为圆心在原点，半径为2的圆．所以的极坐标方程为，即．（2）解法：直线的普通方程为．曲线上的点到直线的距离．当即时，取到最小值为．当即时，取到最大值为．23. 选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为，且，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）将函数化为分段函数，根据分类讨论思想结合分段函数的图象，求出分段函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可试题解析：（1）当时，．①当时，原不等式可化为，解得．②当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解．③当时，原不等式可化为，解得．综上可知，原不等式的解集为或．（2）解法：①当时，所以函数的值域，因为，所以解得．②当时，所以函数的值域，因为，所以解得．综上可知，的取值范围是．。
广东省2021届高三数学适应性考试试题 文(含解析)
广东省2021届高三数学适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A. ()(),10,-∞-+∞B. (]2,4C. ()0,2D. (]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）B. 13D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.如图是2021年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A. 与去年同期相比2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2021年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中, 与去年同期相比，2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，A 正确； 在B 中，2021年第一季度GDP 增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B 正确；在C 中，2021年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C 不正确；在D 中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2021年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D 正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A. 14n n a a b b --=B.14n n a a b b -=C.14n na ab b--=- D.14nnaabb-=-【答案】B【解析】【分析】由已知求得等比数列{b n}的通项公式，作比即可得到14nnaabb-=．【详解】∵等差数列{a n}的公差为2，数列{b n}是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)nnb b-=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n nn n nn nna aa a aa aab bb b---------⋅--===-=-=⋅--．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6.如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（）A.14B.16C.18D.116【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n个正方形的面积为112n-⎛⎫⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫=⎪⎝⎭. ∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝11818=，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系xOy中，抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR∠=︒，则NR=（）A. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题．8.已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ） A. 0OM BC •= B. 0OM AB •= C. //OM BC D. //OM AB【答案】D 【解析】 【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =， 可得AB =6OM ， 即OM ∥AB ，【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 285【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则1D M =（a ，﹣4，b ﹣4），CP =（﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4． 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ 4525==． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴S △BCM 的最小值为S △QBC 1458542=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ）A. 513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B. 713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C. 212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k n ω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=， ∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A.5 B.5 C.10 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率． 【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ）， 联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0， 设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t t b a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-， 即b 2a =，∴e 225ca b a+===． 故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题。
广东省广州市2021届高三12月模拟考试数学理试题(全WORD版)
2021届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页，23小题， 总分值150分。
考试历时120分钟。
第一卷一、选择题：此题共12小题，每题5分, 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，那么AB =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 〔2〕设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，那么2i x y +=〔A 〕1 〔B〔C〔D〔3〕等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设230a S +=，那么公比q = (A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2〔4〕双曲线：C 12222=-bx a y 〔0,0>>b a 〕的渐近线方程为x y 21±=, 那么双曲线C 的离心率为(A)25(B) 5 (C)26(D) 6〔5〕假设将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，那么ϕ的最小正值是 〔A 〕8π 〔B 〕4π〔C 〕38π 〔D 〕34π〔6〕GZ 新闻台做“一校一特色〞访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校当选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 〔A 〕140种 〔B 〕420种 〔C 〕840种 〔D 〕1680种〔7〕函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，那么函数()g x 的图象是〔8〕设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，那么,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << 〔9〕阅读如下程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11〔10〕抛物线:C x y 82=的核心为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，假设3=(Ａ)221 〔11〕如图, (A) π25 (C) π29 (12) 假设函数()x f =(A) (],1-∞ 本卷包括必考题和选考题两局部。
广东省2021届高三上学期新高考适应性测试(一)数学试题(解析版)
广东省2021届新高考适应性测试卷数学（一）本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上.2. 回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =.【详解】解：z =41i-=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i故选：D .【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 2. 已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y ==，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A. (]0,1B. (]1,4C. [)1,+∞D. [)4,+∞【答案】D 【解析】 【分析】 由AB A =可得出A B ⊆，可知B ≠∅，解出集合B ，结合题意可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】A B A =且{}12A x x =<<，则A B ⊆，B ∴≠∅.若0m <，则20m x -<，可得B =∅，不合乎题意； 若0m ≥，则{}{}2B x y m x x m x m ==-=-≤≤，所以，2m ≥，解得4m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)4,+∞. 故选：D.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.3. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ） A. 900斛 B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）.故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.4. 在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A. y a bx =+B. y c =+C. 2y m nx =+D. x y p qc =+（0q >）【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ． 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题. 5. 曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A. 2y x e =+ B. 2y x e =- C. y x e =+ D. y x e =- 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x =⇒=+，1ln 2x ey e ='=+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+6. ()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化条件得()()()()3331111x x x x x -+=+-+，再由二项式定理写出()31x +的通项公式，分别令3r =、2r ，求和即可得解.【详解】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，则3331rC C ==； 令2r，则2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7. 若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A. -1 B.12C. -1或12D. 12-或14【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式平方，可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为21sin 21sin 22αα+=-，解方程可求得结果. 【详解】由cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：222cos cos 21sin 24πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭即21cos 21sin 221sin 222πααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-，解得：sin 21α=-或12本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数值求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于sin 2α的方程，涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.8. 若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是( ) A. 2 B. 6C. 4D. 8【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得32px +=，28px =，解方程即可. 【详解】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =.故选：AC【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 10. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A. 1cos 223x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 1cos 226x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 1sin 223x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 1sin 223x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】BD 【解析】 【分析】根据最小值求得A ，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【详解】由图象可得12A =，3111341264T =-=，解得1T =，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x x πϕ=+，又()f x 的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos 2sin 226226f x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 223x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 223x ππ⎛--=⎫ ⎪⎝⎭. 故选BD【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ） A. 某学生从中选3门，共有30种选法B. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.【详解】6门中选3门共有3620C =种，故A 错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A =种排法，故B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A =种排法，故C 正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A +=种排法，故D 正确． 故选：CD【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基础题.12. 设三个函数22x y x =+-，2log 2y x x =+-和32331y x x x =-+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则有（ ） A. 123x x x < B. 123x x x >C. 1232x x x +=D. 1232x x x +≥【答案】AC将1x ，2x 分别看成2x y =与2log y x =两个函数分别于2y x =-的交点，结合2x y =，2log y x =的图象关于直线y x =对称，直线2y x =-与y x =垂直，可以得到1x ，2x 对应的点是关于2y x =-和y x =的交点对称的，得到1x ，2x 的关系．3x 可求，则问题可解．【详解】解：因为32331y x x x =-+-，所以()22363310y x x x '=-+=-≥，所以32331y x x x =-+-在R 上是增函数，又当1x =时321313110y =-⨯+⨯-=，所以31x =，作出2x y =，2log y x =，2y x =-三个函数的图像如图所示：其中()11,A x y ，()22,B x y 分别是两个函数2xy =与2log y x =的图像与直线2y x =-的交点，因为指数函数xy a =与log ay x =的图像关于直线y x =对称，且2y x =-也关于y x =对称，所以交点A ，B 关于直线y x =对称，所以121222x x y y ++=，即121222x x x x -+-=+，所以12322x x x +==，再由基本不等式得()21212312102x x x x x x x +⎛⎫<==<< ⎪⎝⎭.故选：AC.【点睛】本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，本题的关键与难点是分析出A 、B 两点关于直线y x =对称．属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()222,0,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，若()4f a =，则a =____. 【答案】1或-2分0a >和0a ≤两种情况，分别求出a 值即可． 【详解】令0224aa >⎧⎨+=⎩或204a a ≤⎧⎨=⎩，解得1a =或2a =-. 故答案为：1或-2【点睛】本题考查函数求值，考查分段函数，属于基础题．14. 已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值． 【详解】解：向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=， 可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=， 两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查向量的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考查运算能力，属于基础题．15. 已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为_____.或【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21252PA A A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而22101b e a =+=. 若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2e =. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.16. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______．【答案】{}32a 【解析】 【分析】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}32a 【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在①sin sin sin sin A C A B b a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；（2）若5c =，11a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2）32. 【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ； （2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①：由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=， 故ABC的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，28a =，且满足()*2(1)2n n n a S n N n-=+∈. （1）求证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)n n n a b n-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，2n n a n =⋅；（2）n T 16(23)2n n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩化简已知条件，从而证得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，先求得n a n ，然后求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得n T .【详解】（1）由题得112(1)2(2)221n nn n n n a n a S S a n n ----⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，2n ≥， 整理得1(2)2(2)1n n n a n a n n ---=-，2n ≥. 因为112S a ==，28a =，所以当2n =时，21221a a =⋅， 当2n >时，121n n a a n n -=-， 所以当2n ≥时，有121n n a a n n -=⋅-， 因此n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以1222n n n a n-=⋅=， 所以2n n a n =⋅.（2）由（1）知(21)2n n b n =-⋅，则23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ① ①×2，得23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅， ②②-①，得()()23122222212n n n T n +=--++++-⋅()1141222(21)212n n n -+-=--⨯+-⋅-21282(21)2n n n ++=-+-+-⋅16(23)2n n +=+-⋅.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查错位相减求和法，属于中档题.19. 如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且AB =2AD =2.（1）求证：EA EC ⊥；（2）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）21. 【解析】【分析】 (1) 由面面垂直的性质可证得BC EA ⊥.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) ∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为,AB BC ⊆平面,ABCD BC AB ⊥， ∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，又BC BE E =，∴EA ⊥平面EBC ，∴EA EC ⊥.(2)如图， 以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC ， 知6BAE π∠=， ∴3BOE π∠=，∴31,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，由题设可知 ()0,1,1D -，()0,1,1C ，∴33,12DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,12CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCE 的一个法向量为()000,,p x y z =，由00DE p CE p ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即000000302102x y z x y z +-=--= 得0032z x =，00y =，取02x =，得0=z ∴(2,0,3p =.又平面AEB 的一个法向量为()0,0,1q =，∴2,||||2pq cos p q p q ⋅<>===+. 平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7. 【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题.20. 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率． 【答案】（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318. 【解析】试题分析： （Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为1718. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318.试题解析：（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117133218P A =-⨯⨯=. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()11111033218P X =-=⨯⨯=, ()2112023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212103329P X ==⨯⨯=, ()11112033218P X ==⨯⨯=, ()21123023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212403329P X ==⨯⨯=. 随机变量X 的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为23A ，B 在椭圆C 上，且220AF BF +=.1AEF △的周长为 8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P ，求OMP 的面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）14. 【解析】【分析】（1）根据220AF BF +=判断出AB x ⊥轴，结合1AEF △的周长求得a ，根据短轴求得b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和椭圆C 的方程，根据0∆=求得,t k 的关系式，求得OP 、MP ，进而求得OMP 的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值.【详解】（1）由220AF BF +=，可知A ，B ，2F 三点共线，且AB x ⊥轴，由1ABF 的周长为8，得48a =，所以2a =，且b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩， 得()2223484120k xktx t +++-=， 且()()2222644344120k t kt ∆=-+-=， 得2243t k =+，所以()284234M kt k x t k =-=-+. 联立1y x k y kx t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21P kt x k =-+，22111P kt t y k k k ⎛⎫=-⨯-= ⎪++⎝⎭.所以OP ====，()322244411k kt k k kt t k t k MP --+=-+=++=，所以1122OMP S MP OP =⋅⋅=△2111112124k k k k=⋅=⋅≤++， 当且仅当1k =±时取等号.所以OMP 的面积的最大值为14. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.22. 设函数()24xx f x e x =--. （1）证明：函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增；（2）当0x <时，()f x a <恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）利用导数证明函数的单调性即可.（2）首先利用导数求出函数()f x 在(),0-∞的最大值，再根据()f x a <恒成立，即可得到答案.【详解】（1）因为()'12xx f x e =--， 记()()'h x f x =，所以()1'2x h x e =-. 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在区间()0,+∞内单调递增，所以()()00h x h >=，所以当()0,x ∈+∞时，()0f 'x >恒成立， 所以函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增.（2）由（1）知()1'2x h x e =-， 令()'0h x =，解得ln2x =-，当(),ln 2x ∈-∞-时，()'0h x <，即()h x 单调递减；当()ln 2,0x ∈-时，()'0h x >，即()h x 单调递增.又()10h -<，()20h ->，所以在区间()2,1--内，()h x 存在唯一零点0x ，满足()00h x =，即()0'0f x =.当()0,x x ∈-∞时，()0f 'x >，即函数()f x 在区间()0,x -∞内单调递增；当()0,0x x ∈时，()'0f x <，即函数()f x 在区间()0,0x 内单调递减，所以当0x <时，()020max00()4x x f e x f x x ==--. 由()0'0f x =，可得0012x x e =+， 所以()2200max 015()114244x x f x x =--+=-++， 由()02,1x ∈--，可得max 5()1,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()f x a <恒成立，且a Z ∈，所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题第一问考查利用导数证明函数的单调性，第二考查利用导数解决恒成立问题，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.。
广东省三校(广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学)2021届高三数学上学期第一次联考试题 理
广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.A.2 B.32C.10D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”；D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P827 49m127则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为. A. 1718B. 1718-C. 1819D. 1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R 上的偶函数()()3sin()cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.13 C.12D.3210．在如图直二面角ABDC 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3()nx x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。
2021年广东省广州市真光中学高中部高一数学理联考试卷含解析
2021年广东省广州市真光中学高中部高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．解答：∵f（x）=2x+x﹣2在R上单调递增又∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）故选C点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．2. 等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.4B. 3C. 2D.1参考答案：C略3. 已知，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B4. 函数的定义域为（）A、 B、 C、 D、参考答案：D5. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A. B. C. D.参考答案：A略6. 若A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}参考答案：A7. 如果|x|≤，那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是 ( )A、B、－ C、－1 D、参考答案：D略8. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=x2和f（x）=（x+1）2 B．f（x）=和f（x）=C．f（x）=log a x2和f（x）=2log a x D．f（x）=x﹣1和f（x）=参考答案：B【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可．【解答】解：对于A，f（x）=x2和f（x）=（x+1）2的对应关系不同，不是同一函数；对于B，f（x）==1（x＞0）和f（x）==1（x＞0），定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，f（x）=log a x2=2log a|x|（x≠0）和f（x）=2log a x（x＞0），定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，f（x）=x﹣1（x∈R）和f（x）==|x﹣1|（x∈R），对应关系不同，不是同一函数；故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．9. 函数的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设=t，t≥0，则x=t2+2，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设=t，t≥0，则x=t2+2，则函数等价于：y=2t2+t+3，t≥0，∵y=2t2+t+3在[0，+∞）上是增函数，∴y min=2×02+0+3=3．∴函数的最小值是3．故选A．【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题．10. 数列{a n}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10=（）A．5B．﹣1C．0D．1参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据题意，得出a1=a3=a2，数列{a n}是常数列；由此求出a10的值．【解答】解：根据题意，得，∴a1?a3=，整理，得=0；∴a1=a3，∴a1=a3=a2；∴数列{a n}是常数列，又a5=1，∴a10=1．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 无穷数列中，，，，是首项为10，公差为-2的等差数列；是首项为，公比为的等比数列(其中并且对于任意的,都有成立.若，则m 的取值集合为__________．参考答案：【分析】由知等比数列部分最少6项，即,由，对k 进行赋值，可求得m 的取值集合. 【详解】∵，，，是首项为10，公差为-2的等差数列，∴，是首项为，公比为的等比数列，∴，，则,，时，，故答案为.【点睛】本题考查分段数列，以及数列的周期性，考查等差和等比数列的应用，考查了逻辑推理能力和运算能力, 属于中档题.12. 已知对恒成立，则的取值范围是参考答案：13.log21= ．参考答案：考点：对数的运算性质．专题： 规律型．分析： 根据非0的0指数次幂为1及指数式化对数式得结果． 解答： 解：由指数函数定义20=1，所以log 21=0．故答案为0．点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．14. 若则的最小值是参考答案：，即，，当且仅当即时取等号.15. 已知数列，都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且，则=__________.（用最简分数做答）参考答案：16. 给出两条平行直线，则这两条直线间的距离是参考答案：17. 已知锐角△ABC 的面积为3，BC=4，CA=3，则角C 的大小为 ．参考答案：60°【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的大小．【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案为60°．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市长堤真光中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析
广东省广州市长堤真光中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内(C) 只有一条，且在平面α内 (D) 有无数条，一定在平面α内参考答案：C2. 已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=﹣kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=kx+y得y=﹣kx+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y﹣kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），即直线y=﹣kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=﹣kx+z的右上方，此时只要满足直线y=﹣kx+z的斜率﹣k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1，∴﹣k＞1，所以k＜﹣1．故选：B 3. 已知条件；条件，则是成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A略4. 如果执行右面所示的程序框图，那么输出的（A）2352（B）2450（C）2550（D）2652参考答案：C5. 已知，则（）A． B．C．D ．参考答案：C略6. 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．7. 对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )A①②B①③C②③D①②③参考答案：B8. 给出下列命题：（1）存在实数使.（2）直线是函数图象的一条对称轴.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，则.其中正确命题的题号为（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）参考答案：C【分析】（1）化简求值域进行判断；（2）根据函数的对称性可判断；（3）根据余弦函数的图像性质可判断；（4）利用三角函数线可进行判断.【详解】解：（1），（1）错误；（2）是函数图象的一个对称中心，（2）错误；（3）根据余弦函数的性质可得的最大值为，，其值域是，（3）正确；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函数线有，（4）正确.故选.【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，以及三角函数线定义，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．9. 下列命题中，真命题是A.函数的周期为2πB.，C.“”的充要条件是“”D.函数是奇函数参考答案：D10. 某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，表示[0,1]内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（）A. ， B. ，C. ，D. ，参考答案：D分析：本题求阴影部分面积时，根据自变量的范围，确定在程序框图中初值，从程序框图中可以看出，一共随机模拟了1000次，落入阴影部分的次数为，根据矩形的面积，求出的表达式。
2021年广东广州高三一模数学试卷-学生用卷
2021年广东广州高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2021年广东广州高三一模第1题5分在复平面内对应的点在（）．复数z=2−i1−iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、【来源】 2021年广东广州高三一模第2题5分已知集合A={x|(x−1)(x+2)<0}，则∁R A=（）．A. {x|−2<x<1}B. {x|−1<x<2}C. {x|x⩽−2或x⩾1}D. {x|x⩽−1或x⩾2}3、【来源】 2021年广东广州高三一模第3题5分2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）．A. 2900mB. 4350mC. 5800mD. 8700m4、【来源】 2021年广东广州高三一模第4题5分“a>b+1”是“2a>2b”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、【来源】 2021年广东广州高三一模第5题5分函数f(x)=x3−sinx在[−1,1]上的图象大致为（）．A.B.C.D.6、【来源】 2021年广东广州高三一模第6题5分2020~2021学年5月江西南昌东湖区南昌市第二中学高二下学期月考理科第7题5分2020~2021学年3月江苏苏州吴中区江苏省苏苑高级中学高二下学期月考第3题如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）．A. 30B. 40C. 44D. 707、【来源】 2021年广东广州高三一模第7题5分已知A(−1,0)，B(0,2)，直线l：2x−2ay+3+a=0上存在点P，满足|PA|+|PB|=√5，则l的倾斜角的取值范围是（）．A. [π3,2π3]B. [0,π3]∪[2π3,π)C. [π4,3π4]D. (0,π4]∪[3π4,π)8、【来源】 2021年广东广州高三一模第8题5分已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a=√3−3e ，b=√2−2e，c=e√2−1−ln2，则（）．A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2021年广东广州高三一模第9题5分已知点O为坐标原点，直线y=x−1与抛物线C:y2=4x相交于A，B两点，则（）．A. |AB|=8B. OA⊥OBC. △AOB的面积为2√2D. 线段AB的中点到直线x=0的距离为210、【来源】 2021年广东广州高三一模第10题5分已知函数f(x)=sin2x+2cos2x，则（）．A. f(x)的最大值为3B. f(x)的图象关于直线x=π8对称C. f(x)的图象关于点(−π8,1)对称D. f(x)在[−π4,π4]上单调递增11、【来源】 2021年广东广州高三一模第11题5分已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）．A. PQ与EF一定不垂直B. 二面角P−EF−Q的正弦值是√1010C. △PEF的面积是2√2D. 点P到平面QEF的距离是常量12、【来源】 2021年广东广州高三一模第12题5分2021年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三二模第12题5分在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，⋯；⋯；第n(n∈N∗)次得到数列1，x1，x2，x3，⋯，x k，2，记a n=1+x1+x2+⋯+x k+2，若数列{a n}的前n项和为S n，则（）．A. k+1=2nB. a n+1=3a n −3C. a n =32(n 2+3n)D. S n =34(3n+1+2n −3)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年广东广州高三一模第13题5分设向量a →=(1,m )，b →=(2,1)，且b →⋅(2a →+b →)=7，则m = ．14、【来源】 2021年广东广州高三一模第14题5分某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^=0.67x +54.9，则a 的值为 ．15、【来源】 2021年广东广州高三一模第15题5分已知圆(x −1)2+y 2=4与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次为M ，N ，P ，Q ，且|MN |=2|PQ |，则C 的离心率为 ．16、【来源】 2021年广东广州高三一模第16题5分已知三棱锥P −ABC 的底面ABC 是边长为6的等边三角形，PA =PB =PC =√21，先在三棱锥P −ABC 内放入一个内切球O 1，然后再放入一个球O 2，使得球O 2与球O 1和三棱锥P −ABC 的三个侧面都相切，则球O 1的体积为 ，球O 2的表面积为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年广东广州高三一模第17题10分已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，cos2B=cos(A+C)，asinA+ csinC=6sinB．(1) 求B．(2) 求△ABC的周长．18、【来源】 2021年广东广州高三一模第18题12分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5=25．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 若数列{b n}满足b n+b n+1=S n，求b2−b20．19、【来源】 2021年广东广州高三一模第19题12分在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1−BCDE（如图2）．(1) 证明：平面A1BE⊥平面BCDE．(2) 若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20、【来源】 2021年广东广州高三一模第20题12分某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为23和12，且各次投篮的结果互不影响．(1) 若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？(2) 若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21、【来源】 2021年广东广州高三一模第21题12分已知点A(1,0)，点B是圆O1:(x+1)2+y2=16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．(1) 求E的方程．(2) 过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8√3时，求直线l1的方程．22、【来源】 2021年广东广州高三一模第22题12分已知函数f(x)=xlnx−ax2+x（a∈R）．(1) 证明：曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l恒过定点．(2) 若f(x)有两个零点x1，x2，且x2>2x1，证明：√x12+x22>4．e1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;C;10 、【答案】 B;C;11 、【答案】 B;C;D;12 、【答案】 A;B;D;13 、【答案】−1;14 、【答案】68;15 、【答案】2√63;16 、【答案】43π;49π;17 、【答案】 (1) π3．;(2) 9．;18 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) −189．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2114．;20 、【答案】 (1) 3个．;(2) 1118．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) y=±√32(x+1)．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。