数学物理方法-第七章-定解问题共63页PPT资料
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《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
数学物理方法13
x1 + x2 ( x1 ≤ x ≤ ) 2 x1 + x2 ( ≤ x ≤ x2 ) 2 x ∉(x1,x2 )
1 1 u(x, t) = ϕ(x + at) + ϕ(x − at) 2 2
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第7章 数学物理定解问题
例2 设初始位移为零即
ϕ(x) = 0
x ∈(x1, x2 ) x ∉(x1, x2 )
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结束
第7章 数学物理定解问题 2．当判别式 ． 时：这时方程重根
dy a12 = dx a11
特征线为一条实特征线 特征线为一条实特征线 作变换
φ(x, y) = C0
η =ψ (x, y)
ξ = φ(x, y)
彼此独立， ξ = φ(x, y) 彼此独立，即雅可比式
任意选取另一个变换， 任意选取另一个变换， 只要它和
第7章 数学物理定解问题
第三节 数学物理方程的分类
一、分类基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 含有未知多元函数及其偏导数的方程，
∂u ∂u ∂2u ∂2u ∂2u F(x, y,⋅⋅⋅, u, , ,⋅⋅⋅, 2 , 2 , ,⋅⋅⋅) = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y
泛定方程、 泛定方程、定解条件都是线性
定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加， 定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些 部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠 加正好是原来的泛定方程和定解条件。 加正好是原来的泛定方程和定解条件。
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第7章 数学物理定解问题 2，二阶偏微分方程的化简 ， 引入变换 为使变换非奇异， 为使变换非奇异，其雅克比行列式满足
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
数学物理方法第七章数学物理定解问题
同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的是 物理过程变化的规律。
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问 题和这些问题的几种常见解法。
二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
描写微观粒子运动的 Schrodinger方程和 Dirac 方程
等等
第七章
数学物理定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
u
例1 弦在阻尼介质中振动，单位长 T1
度的弦所受的阻力为
a1
B
F=-Rut 推导弦的振动方程。
dsRu t
a2
T2
x x+dx
x
解：如图 选坐标系,以dx段为研究对象，弦无纵向振动
X 方向：T 2 cosα2 T1 cosα1=0
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问 题和这些问题的几种常见解法。
二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
描写微观粒子运动的 Schrodinger方程和 Dirac 方程
等等
第七章
数学物理定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
u
例1 弦在阻尼介质中振动，单位长 T1
度的弦所受的阻力为
a1
B
F=-Rut 推导弦的振动方程。
dsRu t
a2
T2
x x+dx
x
解：如图 选坐标系,以dx段为研究对象，弦无纵向振动
X 方向：T 2 cosα2 T1 cosα1=0
数学物理方法 第7章 定解问题
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
T sin 2 T 2 cos
2 2
T1 cos 1 0 u
2
T1 sin 1 F ( x , t ) ds ( ds )
t
2
其中 为单位长度弦的质量， ( x , t ) 为单位 F
长度的弦所受的横向外力，ds 为 B 段弦的长度。 因研究的弦振动为微小振动， 所谓微小振动是指 弦 上 质 点离 开平 衡 位置 的 最大 位移 远 小于 波 在 弦中传播的波长，
2
【讨论】
数学物理方程导出的主要步骤： (1)选取一个坐标系，选择适当物理量。 (2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好 的数学性质，如“柔软的弦”表明 u ( x , t ) 具有连续的 偏导数。 (3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代 表，将物理规律应用于该微元，列出方程。 (4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的 数学物理方程。 (5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演 绎、推导只表明理论的自恰
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
数学物理方法课件第七章
数学物理方法课件第七章第二篇数学物理方程第七章数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+??+??+??++??22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
07_定解问题
叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定 解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所 满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的 泛定方程和定解条件即可。 I 2 I
例：下面的定解问题
utt a u xx f ( x, t ) I u |x 0 0; u I |x l 0 u I | 0; u I | 0 t t 0 t 0
2
sin 1 tan 1 ux ( x0 0, t ) sin 2 tan 2 ux ( x0 0, t )
h
x0
0
x
u( x0 0, t ) u( x0 0, t )
衔接条件
Tux ( x0 0, t ) Tux ( x0 0, t ) F (t )
kun |xa h u |xa u |media (u Hun ) |xa u |media
左端点x=0，(u Hux ) |x0 u |media .
( 右端点x=a， u Hux ) |xl u |media .
例2：纵振动杆，端点x=a处与弹性体连接到固定物上
u u , t n
(1) 第一类边界条件 例：弦两端固定
u( x, t ) x0 u( x, t ) xl 0
u( x, t ) xa f (t )
细杆导热，x=a端温度为f(t)
一维杂质浓度扩散，x=0, l端浓度保持为N0
1 B1u B2u Cu F . u 2 A12
i Re ( ) / 2 , or . i Im ( ) / 2i
北京大学数学物理方法经典课件第七章——数学物理方程的定解问题.ppt
数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程
物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础 ①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律
②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体 V为研究对象，分析浓度变化规律。
参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方
程》 2020/1/31 （原书第四版），机械工业出版社，2007
1
2020/1/31
2
一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。
物理现象数学语言描述 物理量u 在空间和时间中的变
z
扩散（裴克）实验定律：
(x dx, y dy, z dz)
dz
qx
y
dy
(x, y, z) dx
2020/1/31
q xdx
x
q Du
D
u x
i
u y
j
u z
k
扩散系数
15
下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。
z
考察沿x-方向扩散流情况：
qn qn
面元范围内热流强度近似为常量。
dS nˆ
那么在dt时间内从dS流入V的热量为( nˆ 向为正)： M
u
V
dQ qn
u unˆ
dSdt
qn
dSdt
k
n
dSdt
n
S
定解问题完整PPT
定沿回路顺时针方向的电动势和电流都为正，反之为
n
n
负)．即 Ik Rk k
k 1
k 1
(10)Faraday 电磁感应定律 不论任何原因使通过回路面 积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通 量对时间的变化率的负值成正比。即 N d 其中，N 为
dt 感应回路串联线圈的匝数．此即法拉第电磁感应定律。由 该定律知，当闭合回路(或线圈)中的电流发生变化而引起
c
为杆的导热率（与材料有关），c 为杆的比热容(即，单位物质
升高单位温度所需的热量。与材料有关）， 为杆的体密度，
F 为热源密度(即，单位时间内单位体积所放出的热量)。
2 建立(导出)方程时常用到的物理学定律
（1）Newton 第二定律：F ma
（2）Fourier 实验定律（即热传导定律） 当物体内存在温
自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为 L dI
dt 其中， L为自感系数．
(11)Hooke 定律 在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体
的形变量成正比。即 f kx 其中，k 为弹性体的劲度系 数．负号表示弹力的方向和形变量的方向相反．
应力＝杨氏棋量×相对伸长
(三)定解条件
定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数， 使解具有惟一性的充分而且必要的条件。它又分为初始条 件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组 成的，则在两种介质的交界面上定解条件还应当有衔接条 件。
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过 单 位 横 截面 积 的 热量 ），与 温 度 的下 降 率成 正 比 。 即
q ku 其中， k 为热传导系数，负号表示温度下降的方
向．写成分量式即 qx
数学物理方法第七章
•
小振动很小, cos 1, T1 T2 T
sin
• • •
T1
x
X X+ΔX
2 变为 :
1 3 u tg . 3! x
u 2u u T x 2 .3 t x x x x x 2 2u 2 u 当x 0, 3变为 2 a 0.4 2 t x 2 T a
2u 可得 : 0.3
解得 ; u x, t f1 x at f 2 x at , 4
x at x at
1 1 u x, t x at x at 2 2a
d .5
•
得出 : j 0.1 t
• ν为单位体积单位时间内的产生率.
(三) 输运方程
• 输运现象主要包括：热传导与扩散现象. • 对热传导与扩散现象由实验得出的唯象理论 是相同的,对扩散问题其物质浓度u(x,y,z,t)与 扩散的物质流q之间关系为: • q =－D▽u (1) （其中D为常数） • 同样对热传导问题其温度分布u(x,y,z,t)与热流 q之间关系为: • q =－k ▽u (2) （其中k为常数） • 且在仅是热传导与扩散时,热能与某种物质的 质量守恒,把（1）与（2）代入连续性方程可 得出输运方程. • ut －a2Δu= 0 （3）
• (5)式为达朗贝尔公式.
方程解的稳定性
• 当方程的初始条件有一个很小的偏差 时,最终方程解的变化也是很小的.则称方程 的解是稳定的. • 设方程有两组初始条件 ut |t 0 1 x . u |t 0 1 x . vt |t 0 2 x . v |t 0 2 x . 当 2 x 1 x , 2 x 1 x , 两组解之差 : u x, t vx, t
小振动很小, cos 1, T1 T2 T
sin
• • •
T1
x
X X+ΔX
2 变为 :
1 3 u tg . 3! x
u 2u u T x 2 .3 t x x x x x 2 2u 2 u 当x 0, 3变为 2 a 0.4 2 t x 2 T a
2u 可得 : 0.3
解得 ; u x, t f1 x at f 2 x at , 4
x at x at
1 1 u x, t x at x at 2 2a
d .5
•
得出 : j 0.1 t
• ν为单位体积单位时间内的产生率.
(三) 输运方程
• 输运现象主要包括：热传导与扩散现象. • 对热传导与扩散现象由实验得出的唯象理论 是相同的,对扩散问题其物质浓度u(x,y,z,t)与 扩散的物质流q之间关系为: • q =－D▽u (1) （其中D为常数） • 同样对热传导问题其温度分布u(x,y,z,t)与热流 q之间关系为: • q =－k ▽u (2) （其中k为常数） • 且在仅是热传导与扩散时,热能与某种物质的 质量守恒,把（1）与（2）代入连续性方程可 得出输运方程. • ut －a2Δu= 0 （3）
• (5)式为达朗贝尔公式.
方程解的稳定性
• 当方程的初始条件有一个很小的偏差 时,最终方程解的变化也是很小的.则称方程 的解是稳定的. • 设方程有两组初始条件 ut |t 0 1 x . u |t 0 1 x . vt |t 0 2 x . v |t 0 2 x . 当 2 x 1 x , 2 x 1 x , 两组解之差 : u x, t vx, t
第七章定解问题
第七章数学物理定解问题引言1. 数理方程：是物理问题及其他科学问题导出函数方程,如偏微、积分、微积分方程。
2.本书主要研究：1）波动方程；2）热传导、扩散方程；3）L方程（稳定场）方程。
3.处理问题的方法1）把物体问题归结为数学上的定解问题;2）求解定解问题并研究适定性（存在性、唯一性、稳定性）；3）对解做出物理解释与实验结果比较、验证理论，认识自然规律。
§7.1 数理方程的导出步骤：1）确定研究哪个物理量u;2）在系统中划出一小部分，研究其遵循的物理规律;3）抓住主要因素，略去次要作用化简即得。
例1. 均匀弦的微小横振动。
1）问题：细弦，长l，平衡时沿x轴拉紧，除受重力外，单位长度外力F（x，t）。
假定：10弦作微小横振动，即u任意时刻总是在包含x轴的平面内运动；20弦是柔软有弹性的。
2）确定研究横向位移u取x —x+dx ，长度ds ，密度ρ，受力T 1，T 2，Ｆds ，ρgdsT 1T 2Ｆdsρgds xx+dxα1α2u 2211221122sin sin 0cos cos tuds Fds gds T T T T ∂∂ρ=+ρ-α-α=α-αdxdx dx tg dx x u du dx ds xutg tg tg ≈α+≈α+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=∂∂=αα≈αα≈αα≈≈+α-=α222222211221111)()(,sin ,sin cos 1!21cosdx t u Fdx gdx x u xuT T T x dx x ρ∂∂=+ρ-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-+22120),(22222t x f xu a t u +∂∂=∂∂),,,(2222t z y x f u a tu +∇=∂∂所以有：一维波动方程(略去g)三维波动方程dx tu Fdx gdx dx x u x T ρ∂∂=+ρ-∂∂∂∂22),(,),(222222ρ=ρ=-+∂∂=∂∂Ff T ag t x f xu a t u 2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇例2. 热传导方程。
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p0 0
s
vt
p0 0
s
st v0
stt a22s0
a2
p0 0
4. 真空电磁波方程
电磁学的麦克斯韦方程（微分形式）
D
,
真空时：
E
Bt,
0 ,j 0 ,B 0 H ,D 0 E B 0 ,
H j Dt
H t 0E tt
E 0,
E 0 H t,
沿x-方向，不出现平移
T 2co2 s T 1co 1 s0
沿垂直于x-轴方向
f mdd2t2ymtyt mutt
T 2si2 n T 1 si1 n (d)u tx t
T 2co2 s T 1co 1 s0
T 2si2 n T 1 si1 n (d)u tx t 小振动： 1 0 ,2 0 ,c1 o 1 ,c s2 o 1 .s
B.运动方程
x
L
xdx
dL
f
S
d L(ud)u udu
f YSdduxYSux
x
u
udx
更长的dx，两端的 相对伸长和应力将 不同，杆受力
ffx d xfx Yx S d xu Yx S Y ux S d x u x
牛顿定律：
f (Sd)uxtt
即 utt a2uxx0
a2 Y / 为波速
1. 直接从方程出发
1.目标：建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述→选取物理量， 物理量的微分表示它的变化； 物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定 律等） →建立微分方程。
二、几种基本的方程 1.均匀弦的微小横振动
u(x,t)
y
x xx
x
y(x,t)u(x,t)
u(xx,tt)
变 化
y ( x x ,t t) u ( x x ,t t)
E tt a 2 ( )E 0
H tt a 2 ( )H 0
5. 扩散方程
A. 扩散现象 系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处 到低浓度处的转移，叫扩散。
B.菲克定律
浓度梯度： u
u(x)
u(xdx)
x
扩积的散物流质强的度量：单q位时间通过单位面
dx
q D u
C. 扩散方程 连续性方程 ut x(uvx)0 quv
B.拉普拉斯假定 声传播为绝热过程：
过程方程 p p00
C.方程 s,v 小量,f=0
1
vt 0 p
st
t 0
t (v ) t 0 v 0
st
v0
p p 00 p p 0 ( ) p 0 ( 1 s ) p 0 ( 1 s ) 0
vt
1
0
p
pp0(1s)
vt
例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有 压强 P 0 和密度 0 。当振动出现时，介质中各处有介 质的振动速度 v ，振动的传播速度－声速；显然， v<<声速，并且设密度的相对变化 s 为 s 0
0
欧拉方程（流体动力学方程） vt (v)v1pf
连续性方程
(v) 0
t
物态方程 pf()
带入菲克定律 u t x (u x ) v u t q x x u t x (D u x ) 0
D 均匀
u t
a2
2u x2
0
a2 D
三维 u(D u )(D u )(D u ) 0ua2()u0
t x x y y z z t
建立微分方程的两类方法
sin 1 tan 1 u xxuxx
sin2 tan2uxx x
T2T1 0
T 2uxxdx T 1uxx(d)u xtt
T 2uxxdx T 1uxx(d)u xtt
Hale Waihona Puke Tuxxdxux dx
x
utt
波动方程。
Tuxxutt0
utt a2uxx0
a2 T /
x at
t 1 x x t at
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x)
uu C
u(x)
B
1
T1
A
0
x
xx
T2 2
x
u(x)
uu C
u(x)
B
1
T1
A
0
x
xx
T2 2
x
弦长 ds (dx)2 dx
质量密度
B段的质量
m d x
E
0H t,
H 0,
E 00 E tt 0
H
0E t
( A B ) ( B ) A B ( A ) A ( B ) ( A ) B
A ,B E
( E ) ( E ) E ( ) ( E ) ( ) E ( ) E
最后得受迫振动方程
utta2uxxf(x,t)
2.均匀杆的纵振动
A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律
f YS dL L
Y：杨氏模量，单位面积上的应力。
dL
杆中选 L=dx 长一段
时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一
f 端位移 u+du。
L
杆的伸长 d L(ud)u udu
S
f YSdduxYSux
补充 连续性方程
连续分布的某种物理量，
如介质：建立座标
密度：单位容积中物理量的多少
u(x, y,z,t)
z
流强度：单位时间通过单位面积
(xd,yxd,zyd)z的该物理量（v 为流速）
dz qx
y
quv
q xdx 单位时间沿 x- 方向净流入量
dy
(x, y,z) dx
q (qxdxqx)dy dzxdxd x
z
单位时间净流入量
(xd,yxd,zyd)z
等于由密度增加的量
dz qx
y
q xdx
u dxdydz
t
dy
(x, y,z) dx
二者相等得连续性方程
x
qdxdydzudxdydz
x
t
ut x(uvx)0 表示物质的总量守恒
3.流体力学与声学方程 A.连续介质性质：
当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传 播振动的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以 定义介质在此的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起 密度的疏密变化。
utt
a2
1 a2
utt
0
a 波速
D.受迫振动
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运 动为受迫振动。
设单位长度上弦受力 F(x,t) ，则 dx 受力
为 f(x,t)F(x,t)/。
T 2 u xx d x T 1 u xx F (x ,t)d x (d)u tx t