初三数学总复习函数及其图象相关定理

初三数学总复习教案（五）函数及其图象相关定理1. 一一对应：① 数轴上的点与实数一一对应。

② 坐标平面上的与有序实数对一一对应。

2．特殊位置的点的坐标特征：① 横坐标上的点⇔纵坐标为零。

② 纵坐标上的点⇔横坐标为零。

③ 平行于x 轴的直线上的点⇔纵坐标相等。

④ 平行于y 轴的直线上的点⇔横坐标相等。

⑤ 第一、三象限角平分线上的点⇔横、纵坐标相等[设A 点的坐标为（x,y ）有x=y].⑥ 第二、四象限角平分线上的点⇔横、纵坐标互为相反数[设A 点的坐标为（x,y ）有x= - y].2. 每一象限内点的坐标特征：设A （x,y ）有① 第一象限内的点⇔x ＞0,y ＞0.② 第二象限内的点⇔x ＜0,y ＞0.③ 第三象限内的点⇔x ＜0, y ＜0.④ 第四象限内的点⇔x ＞0, y ＜0.3. 设平面上点A （x A ,y A ）,点B （x B ,y B ）：① AB 在x 轴上或平行于x 轴⇔AB=｜x A - x B ｜。

② AB 在y 轴上或平行于y 轴⇔AB=｜y A - y B ｜。

③ 点A 到原点的距离⇔OA=22A A y x +。

④ 平面上任意两点AB 的距离⇔AB=22)()(B A B A y y x x -+-。

4. 对称的点的坐标特征：① 点P （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标P 1（a,-b ）。

即：点P 、P 1关于x轴对称⇔横坐标相同、纵坐标互为相反数。

② 点P （a,b ）关于y 轴的对称点的坐标P 2（-a,b ）。

即：点P 、P 2关于x轴对称⇔纵坐标相同、横坐标互为相反数。

③ 点P （a,b ）关于原点对称的点的坐标P 3（-a,-b ）。

即：点P 、P 3关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数。

5.函数：设在一个变化过程中有两个变量x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它相对应，则y 叫做x 的函数。

其中x 是自变量。

6.函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

7.一次函数⇔一条直线⇔y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)。

8.正比例函数⇔直线过原点⇔y=kx(k 是常数，k ≠0)。

9. 反比例函数⇔双曲线⇔y=xk (k 是常数，k ≠0) ⇔y=kx 1-(k 是常数，k ≠0) ⇔xy=k(k 是常数，k ≠0)10. 二次函数⇔抛物线⇔y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)。

11. 一次函数y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)的性质：① 一次函数与y 轴的交点为（0，b ）,与x 轴的交点为（-kb ,0）。

② k ＞0时⇔y 随x 的增大而增大，减小而减小。

⇔从左到右在上坡。

③ k ＜0时⇔y 随x 的增大而减小，减小而增大。

⇔从左到右在下坡。

④ b ＞0时⇔直线与y 轴的交点在原点的上方。

⑤ b ＜0时⇔直线与y 轴的交点在原点的下方。

⑥ b=0时⇔直线经过原点。

⑦ 直线m ∥n ⇔k 1=k 2⑧ 直线m 、n 交于x 轴上同一点⇔（2211k b k b =,0） 12. 一次函数y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)的图像：⇔ k ＞0, b ＞0⇔图像过一、二、三象限。

⇔ k ＞0, b=0⇔图像过一、三象限。

④0⇔图像过一、三、四象限。

0⇔图像⑥x x⇔ k ＜0, b=0⇔图像过二、四象限。

⇔ k ＜0, b ＜0⇔图像过二、三、四象限。

13. 自变量的取值范围：① 自变量所在的式子为整式时，自变量取全体实数。

② 自变量所在的式子含有分式时，则要求分母不为零。

③ 自变量所在的式子含有二根式（偶次方根）时，则要求二次根式（偶次方根）的被开方数为非负数。

④ 自变量所在的式子含有奇次方根时，则奇次方根的被开方数自变量取全体实数。

14. 反比例函数的性质：① k ＞0⇔图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小。

② k ＜0⇔图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。

③ 反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称。

15. 二次函数y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的性质，设抛物线与x 轴的交点为A （x 1,0）、B （x 2,0）;与y 轴的交点C （0,c ）有：① a ＞0⇔抛物线的开口方向向上。

② a ＜0⇔抛物线的开口方向向下。

③ ｜a ｜越大⇔抛物线的开口越小; ｜a ｜越小⇔抛物线的开口越大。

④ c ＞0⇔抛物线与y 轴的交点在原点的上方。

⑤ c ＜0⇔抛物线与y 轴的交点在原点的下方。

⑥ c=0⇔抛物线过原点。

⑦ a 、b 共同确定对称轴的位置的情况：（1）a 、b 同号，对称轴在y 轴的左边；（2）a 、b 异号，对称轴在y 轴的右边。

简记：同号左，异号右。

⑧ △＞0⇔抛物线与x 轴有两个交点。

⑨ △=0⇔抛物线与x 轴有一个交点。

⑩ △＜0⇔抛物线与x 轴没有交点。

⑪ 二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2)2a b +ab ac 442-的顶点坐标为（a b 2-,ab ac 442-）,对称轴为x=a b 2-。

⑫ a ＞0有：x ＞a b 2-⇔y 随x 的增大而增大; x ＜ab 2-⇔y 随x 的增大而减小。

y ≥ab ac 442-有最小值。

⑬ a ＜0有：x ＞a b 2-⇔y 随x 的增大而减小; x ＜ab 2-⇔y 随x 的增大而增大。

Y ≤ab ac 442-有最大值。

⑭ AB=｜x 1－x 2｜=aac b 42-。

⑮ 对称轴⇔过最低点或最高点的直线⇔过顶点的直线（平行于y 轴）。

⑯ 顶点横坐标⇔对称轴所在的直线⇔最值⇔顶点纵坐标。

16. 二次函数的三种表示方法：① y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)。

② y=a(x －h)2+k(a 、h 、k 是常数，且a ≠0)。

③ y=a(x — x 1)(x －x 2)(a 是常数，且a ≠0)。

17. 二次函数y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的图象,设抛物线与x 轴的交点为A （x 1,0）、B （x 2,0）,并设x 1＜x 2有：xx xx x x①⇔△＞0,a ＞0,b ＜0,c ＜0。

y=ax2+bx+c ＞0⇔x ＜x 1或x ＞x 2;y=ax 2+bx+c ＜0⇔ x 1＜x ＜x 2. ④⇔△＞0,a ＜0,b ＞0,c ＞0。

y=ax 2+bx+c ＞0⇔x 1＜x ＜x 2; y=ax 2+bx+c ＜0⇔ x ＜x 1或x ＞x 2.②⇔△=0, a ＞0,b ＜0,c ＞0。

y=ax2+bx+c ＞0⇔x ≠ab 2-的实数;y=ax 2+bx+c ＜0⇔无实数解。

⑤⇔△=0, a ＜0,b ＞0,c ＜0。

y=ax 2+bx+c ＞0⇔无实数解;y=ax 2+bx+c ＜0⇔x ≠a b 2-的实数。

③⇔△＜0，a ＞0,b ＜0,c ＞0。

y=ax 2+bx+c ＞0⇔全体实数; y=ax 2+bx+c ＜0⇔无实数解。

⑥⇔△＜0，a ＜0,b ＞0,c ＜0。

y=ax 2+bx+c ＞0⇔无实数解;y=ax 2+bx+c ＜0⇔全体实数。

18. 设f （x ）= ax 2+bx+c,一元二次方程ax 2+bx+c=0.的根的分布（a ＞0）：① 一根为零⇔过原点⇔c=0。

② 有一个正根和一个负根⇔f （0）＜0。

③ 有一根大于a,一根小于a ⇔f （a ）＜0。

④ 有两个正根⇔△≥0，ab 2-＞0, f （0）＞0。

⑤ 有两个负根⇔△≥0，ab 2-＜0, f （0）＞0。

⑥ 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值大于负根的绝对值⇔△≥0，ab 2-＞0, f （0）＜0。

⑦ 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值小于负根的绝对值⇔△≥0，ab 2-＜0, f （0）＜0。

⑧ 两根都大于ｍ⇔△≥0，ab 2-＞m, f （ｍ）＞0。

⑨ 两根都小于ｍ⇔△≥0，ab 2-＜m, f （ｍ）＞0。

⑩ 一根在a 、b 之间，另一根在c 、d 之间（a<b<c<d ）⇔f (a) ＞0,f (b) ＜0,f (c) ＜0,f (d) ＞0.⑪ 两根互为相反数⇔对称轴为x=0⇔b=0。

19. 绝对值不等式的解法：①｜x ｜＞a （a>0）⇔x<－a 或x > a ，若a<0则x 取全体实数。

②｜x ｜< a （a>0）⇔－a<x<a,若a<0则x 无解。

20.练习：① 抛物线通过（1,1）,（－1,3）,（2,23）三点，求解析式。

② 抛物线的顶点是（1,3）,且抛物线通过点（2,1）,求解析式。

③ 抛物线通过（－2,0）与（3,0）两点，并且与y 轴的交点的纵坐标为－2，求解析式。

④ 一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象相交于点A （1,2）,此一次函数的图象还经过点B （3,2）。

求这两个函数的解析式。

⑤ 已知ｙ＋5与ｘ＋3成正比例，且当ｘ＝1时，y=3。

（1）求ｙ与ｘ的函数关系式；（2）作出此函数的图象。

⑥ 已知抛物线y=ax 2+bx+c 与ｙ轴交于点C ，与ｘ轴交于点A （x 1，0）,B （x 2,0）（x 1＜x 2,顶点M 的纵坐标为－4，若x 1，x 2是方程x 2－2（m －1）x+m 2－7的两根，且x 12+x 22=10. （1）求A 、B 两点的坐标; （2）求抛物线的解析式及点C 的坐标;（3）在抛物线上是否存在点P ，使三角形PAB 的面积等于四边形ACMB 的面积的2倍？若存在，求出符合条件的点的坐标若不存在，说明理由。

⑦ 已知抛物线y=－x 2+2x+3与x 轴的交点为A,B,与y 轴的交点为C ，顶点为P 。

（1） 求经过P ，C 的直线与x 轴交点Q 的坐标；（2） 求tan ∠PQB 的值。

⑧ 已知抛物线y= x 2+5x+k 与x 轴两个交点间的距离等于3，与y 轴交点为点C 。

直线y=kx+10与抛物线交A,B 两点。

求三角形ABC 的面积。

⑨ 已知二次函数y=（m+2）x 2－（2m －1）x+m －3.（1） 求证：无论m 取任何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点。

（2） 当m 取何值时，二次函数的图象与x 轴两个交点之间的距离等于2。

（3） 当m 取何值时，二次函数的图象与x 轴两个交点分布在y 轴两侧。

⑩ 已知抛物线y= x 2－（m 2+8）x+2 m 2+12,（1） 这个抛物线与x 轴有几个交点？如果没有交点，请说明理由；如果有交点，能否判断交点的位置。

（2） 由（1）中若能得出抛物线与x 轴有两个交点A,B 且与y 轴交于点C,如果△ABC的面积=80，能否求出m的值？（3）抛物线顶点为点P，是否存在实数m使△APB为等腰直角三角形？如果不存在，请说明理由。