初三数学总复习函数及其图象相关定理

初三数学总复习教案（五）

函数及其图象相关定理

1. 一一对应：

① 数轴上的点与实数一一对应。

② 坐标平面上的与有序实数对一一对应。

2．特殊位置的点的坐标特征：

① 横坐标上的点⇔纵坐标为零。

② 纵坐标上的点⇔横坐标为零。

③ 平行于x 轴的直线上的点⇔纵坐标相等。

④ 平行于y 轴的直线上的点⇔横坐标相等。

⑤ 第一、三象限角平分线上的点⇔横、纵坐标相等[设A 点的坐标为（x,y ）

有x=y].

⑥ 第二、四象限角平分线上的点⇔横、纵坐标互为相反数[设A 点的坐标

为（x,y ）有x= - y].

2. 每一象限内点的坐标特征：设A （x,y ）有

① 第一象限内的点⇔x ＞0,y ＞0.

② 第二象限内的点⇔x ＜0,y ＞0.

③ 第三象限内的点⇔x ＜0, y ＜0.

④ 第四象限内的点⇔x ＞0, y ＜0.

3. 设平面上点A （x A ,y A ）,点B （x B ,y B ）：

① AB 在x 轴上或平行于x 轴⇔AB=｜x A - x B ｜。

② AB 在y 轴上或平行于y 轴⇔AB=｜y A - y B ｜。

③ 点A 到原点的距离⇔OA=22A A y x +。

④ 平面上任意两点AB 的距离⇔AB=22)()(B A B A y y x x -+-。

4. 对称的点的坐标特征：

① 点P （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标P 1（a,-b ）。即：点P 、P 1关于x

轴对称⇔横坐标相同、纵坐标互为相反数。

② 点P （a,b ）关于y 轴的对称点的坐标P 2（-a,b ）。即：点P 、P 2关于x

轴对称⇔纵坐标相同、横坐标互为相反数。

③ 点P （a,b ）关于原点对称的点的坐标P 3（-a,-b ）。即：点P 、P 3关于原

点对称⇔横、纵坐标均互为相反数。 5.

函数：设在一个变化过程中有两个变量x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它相对应，则y 叫做x 的函数。其中x 是自变量。 6.

函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。 7.

一次函数⇔一条直线⇔y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)。 8.

正比例函数⇔直线过原点⇔y=kx(k 是常数，k ≠0)。 9. 反比例函数⇔双曲线⇔y=x

k (k 是常数，k ≠0) ⇔y=kx 1-(k 是常数，k ≠0) ⇔xy=k(k 是常数，k ≠0)

10. 二次函数⇔抛物线⇔y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)。

11. 一次函数y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)的性质：

① 一次函数与y 轴的交点为（0，b ）,与x 轴的交点为（-k

b ,0）。 ② k ＞0时⇔y 随x 的增大而增大，减小而减小。⇔从左到右在上坡。 ③ k ＜0时⇔y 随x 的增大而减小，减小而增大。⇔从左到右在下坡。 ④ b ＞0时⇔直线与y 轴的交点在原点的上方。

⑤ b ＜0时⇔直线与y 轴的交点在原点的下方。

⑥ b=0时⇔直线经过原点。

⑦ 直线m ∥n ⇔k 1=k 2

⑧ 直线m 、n 交于x 轴上同一点⇔（2

211k b k b =,0） 12. 一次函数y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)的图像：

⇔ k ＞0, b ＞0⇔图像过一、二、三象限。 ⇔ k ＞0, b=0⇔图像过

一、三象限。

④

0⇔图像过一、三、四象限。 0⇔图像

⑥

x x

⇔ k ＜0, b=0⇔图像过二、四象限。 ⇔ k ＜0, b ＜0⇔图像过二、三、四象限。

13. 自变量的取值范围：

① 自变量所在的式子为整式时，自变量取全体实数。

② 自变量所在的式子含有分式时，则要求分母不为零。

③ 自变量所在的式子含有二根式（偶次方根）时，则要求二次根式（偶次

方根）的被开方数为非负数。

④ 自变量所在的式子含有奇次方根时，则奇次方根的被开方数自变量取全

体实数。

14. 反比例函数的性质：

① k ＞0⇔图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小。 ② k ＜0⇔图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。 ③ 反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称。

15. 二次函数y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的性质，设抛物线与x 轴的

交点为A （x 1,0）、B （x 2,0）;与y 轴的交点C （0,c ）有：

① a ＞0⇔抛物线的开口方向向上。

② a ＜0⇔抛物线的开口方向向下。

③ ｜a ｜越大⇔抛物线的开口越小; ｜a ｜越小⇔抛物线的开口越大。 ④ c ＞0⇔抛物线与y 轴的交点在原点的上方。

⑤ c ＜0⇔抛物线与y 轴的交点在原点的下方。

⑥ c=0⇔抛物线过原点。

⑦ a 、b 共同确定对称轴的位置的情况：（1）a 、b 同号，对称轴在y 轴的

左边；（2）a 、b 异号，对称轴在y 轴的右边。简记：同号左，异号右。 ⑧ △＞0⇔抛物线与x 轴有两个交点。

⑨ △=0⇔抛物线与x 轴有一个交点。

⑩ △＜0⇔抛物线与x 轴没有交点。

⑪ 二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2)2a b +a

b a

c 442

-的顶点坐标为（a b 2-,a

b a

c 442-）,对称轴为x=a b 2-。 ⑫ a ＞0有：x ＞a b 2-⇔y 随x 的增大而增大; x ＜a

b 2-⇔y 随x 的增大而