中考几何之三角形梯形的中位线

中考数学一轮复习之三角形、梯形的中位线

知识考点：

掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。 精典例题：

【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。求证：MD ⊥MC 。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB 的延长线交于E 点进行证明。

例1图

N

M D

C

B A

【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

例2图

Q

P M

D

C

B

A

分析：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM ＝6

探索与创新：

【问题一】 E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(2

1

CD AB +，问：ABCD 为什么四边形？请说明理由。

问题图

G F

E

D

C

B

A

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC ，取AC 的中点G ，连EG 、FG ，则EG ∥

21CD ，FG ∥21AB ，∴EG ＋FG ＝)(2

1

CD AB +，即EG ＋FG ＝EF ，则G 点在EF 上，EF ∥CD ，EF ∥AB ，故AB ∥CD 。

（1）若AD ∥BC ，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形。 评注：利用中位线构造出21CD 、2

1

AB ，其关键是连AC ，并取其中点G 。

跟踪训练

一、填空题：

1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。

2、一个等腰梯形的周长为100cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm ，那么这个梯形的面积是 。

3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。

4、直角梯形的中位线长为a ，一腰长为b ，且此腰与底所成的角为600

，则这个梯形的面积

为 。

5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，G 是BC 上任意一点，如果

22=∆GEF S cm 2，那么梯形ABCD 的面积是 。

第5题图

G

F

E

D

C

B

A

第6题图

N M

F

E

D

C

B

A

第7题图

G Q P

F

E D

C

B

A

6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300

，∠C ＝600

，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。

7、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、

DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ 。

8、如图，直角梯形ABCD 的中位线EF ＝a ，垂直于底的腰AB ＝b ，则 图中

阴影部分的面积是 。

9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 是对角线，EF 为中位线，若ABD S ∆∶BDC

S ∆ ＝1∶2，则AEFD S 梯形∶EBCF S ∆＝ 。

二、选择题：

1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ）

A 、4 cm

B 、24cm

C 、8cm

D 、28cm

填空第8题图

2、已知等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，它的中位线长为28cm ，周长为104cm ，AD 比AB 少6cm ，则AD ∶AB ∶BC ＝（ ） A 、8∶12∶5

B 、2∶3∶5

C 、8∶12∶20

D 、9∶12∶19

3、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、

2003

1

B 、

2004

1

C 、

2003

2

1 D 、

2004

2

1

选择第3题图

C

B A

选择第4题图

T

H

G

D E

F B A

4、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，又AB ＝DC ，下列结论：①EFGH 为矩形；②FH 平分EG 于T ；③EG ⊥FH ；④HF 平分∠EHG 。其中正确的是（ ） A 、①和② B 、②和③ C 、①②④ D 、②③④

三、解答题：

1、如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8cm ，AC 与BD 交于O ，M 、N 分别为OA 、OD 的中点。

（1）求证：四边形BCNM 是等腰梯形； （2）求这个等腰梯形的中位线长。

解答第1题图