动力学平均场理论的发展及其应用
动力学平均场理论的发展及其应用
Issue-1: 关联效应的动量 k 依赖 动量空间各项异性的起源：正方晶格对称性
Kotliar 2006
低维电子系统
CDMFT、DCA、DGA， dual fermion DMFT Rubtsov 2008 DMFT+FRG Taranto 2015
DFG Forschergruppe 1346 Dynamical Mean-Field Approach with Predictive Power for Strongly Correlated Materials 15-19 September 2014, Forschungszentrum Jülich
压缩率κ、磁化率χ、比热 可以由微分得到。
CV
电子密度n 能量E
光电导
热电势Q
热力学巨势Ω
DMFT 的扩展
团簇DMFT —— D=∞ D=2, 1
晶格模型 有效团簇模型 部分 k-分辩的自能
求解团簇模型，自洽计算
开放边界条件
Cellular DMFT
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
团簇
周期边界条件 Dynamical Cluster Approximation
M. H. Hettler et al, PRB 58, 7475 (1998).
LDA ＋ DMFT —— 实际材料的电子结构
给定晶体的电子哈密顿量
LDA Hamiltonian
K. Held, Adv. Phys. 56, 829 (2007).
格点 Hamiltonian 等效外场（环境） 杂质格点： 通过自洽 方程间接 耦合
动力学的历史与发展
动力学的历史与发展在我们生活的这个世界中，从微观粒子的运动到宏观天体的运行，从简单的机械装置到复杂的生物系统，一切物体的运动都遵循着一定的规律。
而研究这些运动规律的学科，就是动力学。
动力学作为物理学的一个重要分支，其历史源远流长，并且在不断的发展和完善中，为人类认识世界和改造世界提供了强大的理论支持。
早在古希腊时期，哲学家们就开始对物体的运动进行思考和探讨。
亚里士多德是其中的代表人物之一，他提出了一些关于物体运动的观点，例如物体下落的速度与其重量成正比。
然而，这些观点在后来被证明是错误的。
直到 17 世纪，意大利科学家伽利略通过一系列的实验和观察，对亚里士多德的观点提出了质疑。
他发现，在没有空气阻力的情况下，物体下落的速度与重量无关。
伽利略的工作为动力学的发展奠定了重要的基础。
而真正将动力学推向一个新高度的是英国科学家牛顿。
牛顿在其巨著《自然哲学的数学原理》中，提出了著名的牛顿运动定律。
第一定律指出，任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止；第二定律表明，物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体的质量成反比；第三定律则阐述了作用力与反作用力大小相等、方向相反。
牛顿运动定律的提出，使得人们能够精确地描述和预测物体的运动，成为了动力学发展的里程碑。
在牛顿之后，动力学在各个领域得到了广泛的应用和发展。
在天文学领域，科学家们利用动力学原理来研究天体的运动。
例如，通过对行星运动的观测和分析，人们发现了海王星的存在。
在工程领域，动力学的知识被用于设计各种机械和结构，以确保其稳定性和可靠性。
19 世纪，热力学和电磁学的发展也为动力学带来了新的视角。
热力学中的能量守恒定律与动力学中的机械能守恒定律相互补充，使得人们对能量的转化和守恒有了更全面的认识。
而麦克斯韦方程组的建立，则将电磁现象与动力学联系起来，为研究带电粒子的运动提供了理论基础。
进入 20 世纪，相对论和量子力学的出现给动力学带来了革命性的变革。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复DMFT方法，全称为Dynamical Mean-Field Theory（动力平均场理论），是一种用于研究强关联电子系统的计算方法。
DMFT方法的提出与发展，为理解和解析复杂材料的物理性质提供了强有力的工具。
本文将一步一步回答有关DMFT方法的问题，详细介绍其原理、应用和发展。
一、什么是动力平均场理论（DMFT）？动力平均场理论是一种用于研究强关联系统的计算方法，它将原本复杂的电子系统转化为一个等效的单个电子在平均场下运动的问题。
该理论通过将决定电子系统行为的动力学效应纳入到平均场近似中，从而能较好地描述强关联电子体系中的物理现象。
二、DMFT方法的原理是什么？1. 平均场近似：DMFT方法的核心思想是将电子系统的相互作用效应平均对待，将其视为一个等效的平均场作用，因此DMFT方法着重研究无穷维强关联系统。
平均场近似的优势在于简化了计算，并能较好地描述电子系统的平均行为。
2. 动力学效应的引入：在传统的平均场理论中，电子系统被认为是静态的，忽略了时间演化的影响。
而DMFT方法通过引入动力学效应，将系统的非平衡、动态行为考虑在内。
这种引入动力学效应的方法是通过解决与一个介质相互作用的单个格林函数的方程来实现的。
3. 图像创建：DMFT方法将原子物理问题视为晶格中某个特定原子与其余部分的相互作用问题。
在这个基础上，构建了在图像中生成原子耦合格林函数的表达式，并通过动力学平均场近似来简化这些表达式。
三、DMFT方法的应用有哪些？DMFT方法的应用范围涵盖了许多强关联电子系统、包括金属-绝缘体转变、磁性、超导、电荷密度波等性质。
以下是该方法在几个具体领域的应用示例：1. 金属-绝缘体转变：DMFT方法可以用来研究金属-绝缘体转变，通过计算格林函数和自能来描述电子的强关联效应。
这有助于理解金属和绝缘体的不同电子行为和导电性质。
2. 磁性：DMFT方法对磁性现象的研究也取得了重要进展。
例如，通过考虑自旋自洽近似和Hubbard模型，可以揭示出某些金属中的磁性行为。
动力学平均场
动力学平均场动力学平均场是一种用于描述大规模复杂系统行为的理论方法。
它基于统计物理学中的平均场理论，将系统中的每个个体视为相互作用的单元，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
通过对整个系统进行平均处理，动力学平均场可以有效地描述系统的宏观行为。
在动力学平均场中，个体之间的相互作用被视为平均场的外部影响。
这些相互作用可以是物理上的相互作用，也可以是信息传递或认知影响等非物理因素。
通过对这些相互作用进行平均处理，可以得到系统的平均行为，并预测系统的动力学演化。
动力学平均场的应用非常广泛，涵盖了许多不同领域。
在生物学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、神经网络和生物化学反应等。
在社会科学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、市场竞争和社会网络等。
在物理学和化学中，动力学平均场可以用于研究相变、化学反应和自组织等。
动力学平均场的基本思想是将系统分解为许多个体，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
具体而言，动力学平均场将系统的状态表示为每个个体的状态的集合，并假设每个个体的状态变化仅依赖于平均场和个体自身的状态。
通过对每个个体的状态进行平均处理，可以得到系统的平均状态，并预测系统的演化。
动力学平均场的关键是建立个体之间的相互作用和个体自身的状态变化之间的关系。
这可以通过数学模型和计算方法来实现。
常用的动力学平均场模型包括Ising模型、Hopfield模型和Kuramoto模型等。
这些模型可以描述不同类型的相互作用和状态变化，并通过数值模拟和解析方法进行分析和预测。
动力学平均场的优点在于它可以有效地描述大规模复杂系统的行为。
由于平均场的影响，系统的行为可以由每个个体的状态和平均场的状态来表示，而不需要考虑个体之间的具体相互作用。
这使得动力学平均场可以简化系统的描述和分析，提供系统行为的整体性和一般性。
然而，动力学平均场也有一些局限性。
首先，它基于对系统的平均处理，可能会忽略个体之间的具体相互作用和异质性。
动力学的起源与发展
动力学的起源与发展动力学（Dynamics）是物理学中研究物体运动规律的学科，主要关注物体运动的原因、力的作用和影响以及其它相关的物理现象。
动力学的研究意义重大，不仅为解析力学、天体力学等物理学分支提供了基础理论，也为工程学、生物学以及其他领域的研究提供了重要参考。
一、动力学的起源动力学的起源可以追溯到古希腊时期。
古希腊的哲学家和科学家们开始关注物体运动的原因，并试图提出一种适用于所有物体运动的理论。
阿基米德、亚里士多德等古希腊学者在动力学的发展中做出了重要贡献。
古代中国的科学家也对动力学问题产生了浓厚的兴趣。
他们将力学与天文学相结合，研究了天体运动规律，并提出了一系列关于物体运动的理论。
这些理论在古代中国的科学发展中起到了积极的推动作用。
二、动力学的发展1. 牛顿力学的奠基17世纪末，英国科学家艾萨克·牛顿提出了著名的力学定律，奠定了现代动力学的基础。
通过提出质点力学、运动规律以及万有引力定律，牛顿开创了一个崭新的研究领域，解释了地球上物体运动的规律，并推广到天体运动的研究中去。
2. 拉格朗日力学的建立18世纪，法国物理学家约瑟夫·拉格朗日为了改进牛顿的力学理论，提出了拉格朗日力学。
拉格朗日力学从广义上看待物体运动，引入了广义坐标和拉格朗日方程，使得力学理论更加完善和深入。
这一理论为后续的动力学研究奠定了基础。
3. 哈密顿力学的发展19世纪，爱尔兰数学家威廉·哈密顿为了解决一些拉格朗日力学无法处理的问题，提出了哈密顿力学。
哈密顿力学通过引入广义动量和哈密顿正则方程来描述系统的运动规律，为动力学的深入研究提供了新的数学工具。
4. 现代动力学的发展随着科学技术的不断进步，动力学的研究领域也在不断扩大。
现代动力学包括流体力学、非线性动力学、混沌动力学等多个分支领域。
这些分支学科进一步拓展了动力学的应用范围，并在物理学、工程学以及生命科学等领域中发挥了重要作用。
结语动力学的起源与发展是科学文明进步的见证。
平均场理论
相对论重离子碰撞过程：
thanks
参与强作用的介子和重子统称强子，所以描 述相对论性原子核多体问题的理论框架应当 是 量子强子动力学 (QHD-QuantumHadron Dynamics)。QHD 比较成熟而常用的理论是 Walecka 模型。当前在Walecka 模型的框架内， 已建立起相对论性的原子核的平均场理论。 在这个理论中， 核子按照包含自洽平均场的 Dirac 方程运动，此时的平均场是由介子场产 生的，而产生介子场的源又是核子的各种密 度和流。 这样，核子与介子场就成为一个耦 合的自洽系统。
7、原子核的平均场理论：原子核的壳层 结构
A. 原子核中核子的独立粒子运动与幻数的存 在： 在量子核子动力学（ QND）的理论框架 内， 原子核是由质子、中子组成的费米子多 体系统，质子和中子统称核子；质子之间存 在着长程的库仓斥力，核子之间存在着短程 的核力。核力是强相互作用，总体表现为很 强的吸引力，但在极小距离也表现出斥力。
而且粒子之间的运动互相影响、相互关联这 也是所有多体体系的共同特点。（如前所述， 如果粒子之间没有相互作用、 没有关联， 相 应的问题总可以转化为单体问题来处理）。 现如今，非相对论量子多体理论的任务是求 解多体体系的薛定谔方程，通过研究多体系 统的物理，计算多体体系的各种物理性质。
3、平均场 的 本理论的基本思想 首先，平均场方法是最常见也最实用的 处理量子多体问题的手段。 其次，我们以多电子体系为例，用一个 （单体）有效场来代替电子所受到的其他电 的库仑相 作用子的库仑相互作用。这个有效 场包含了所有其他电子对该电子的相互作用。 利用有效场取代电子之间的库仑相互作用之 后，每一个电子在一个有效场中运动，电子 与电子之间的运动是独立的(除了需要考虑 泡利不相容原理)， 原来的多体问题就能转 化为单体问题。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复什么是DMFT方法？DMFT方法（Dynamical Mean-Field Theory，动力平均场理论）是一种用于描述复杂物质中电子行为的理论框架。
它是从数学物理学中的自由能最小化原理出发，通过将复杂系统简化为单个相互作用的动力学平均场来研究系统的行为。
首先，DMFT方法基于动力学平均场近似，它假设整个多体系统中的每个格点上的行为可以通过单个局部格点上的行为来近似。
所谓的“动力学平均场”是指系统的时间演化是通过自旋和轨道的动力学方程描述的。
这个近似对于自旋和轨道的强局域约束下的系统非常有效，而在远离局域约束的系统中则并不适用。
其次，DMFT方法将原来的复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题。
这是通过切断多体自能的虚线图来实现的。
自能是描述相互作用系统中电子行为的关键量，通过将自能近似为局域的函数来简化计算。
这里的关键是写出自能的表达式，必须包含所有以相互作用开头和结尾的图的贡献，同时将这些贡献在几何平均的自洽步骤中合并。
进一步，DMFT方法使用Green函数形式描述电子行为。
Green函数是描述系统中电子的传播和相互作用的重要工具。
通过计算格点上的Green函数，可以获得系统的电子束缚态和自能等重要信息。
DMFT将整个多体问题转化为求解一个由格点Green函数组成的动力学问题，通过解决这个动力学问题可以得到系统的电子行为。
最后，DMFT方法通常与其他理论和实验方法相结合，以完整地描述系统的行为。
例如，它常与输运理论和密度泛净汇方法（DFT）结合使用，以研究电子输运性质和材料的电子结构。
同时，通过与角分辨光电子能谱（ARPES）等实验方法的对比，可以验证DMFT方法的有效性。
总的来说，DMFT方法是一种基于动力学平均场理论的方法，通过将复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题来研究材料中的电子行为。
它在研究复杂材料的电子结构和输运性质方面具有重要的应用价值。
动力学平均场理论及其应用
动力学平均场理论及其应用中国人民大学物理系2012.04.18,北京理工大学提纲1、动力学平均场理论（DMFT）介绍2、DMFT理论框架3、DMFT的扩展4、DMFT的应用（总结）原始格点Hamiltonian原始格点Hamiltonian（2）DMFT 的推导方法（e ）动力学CPA（1）的特点∞=D （a ）要得到U ＝0 的正确结果，必须对hopping 做变化：动力学平均场理论的推导（历史）（b ）在此极限下，Gutzwiller 变分可以精确计算[ Vollhardt ，Metzner 1989 ]（c ）自能成为空间局域的)( )(n ij n ij i i ωδωΣ=Σ[ Mueller －Hartman 1989 ]（a ）微扰理论[ Metzner, Mueller －Hartman, Brandt, Mielsch 1989 ]（c ）Cavity 方法[ Georges, Kotliar 1996 ]（d ）自能泛函变分理论[ Potthoff 2003 ][ Kakehashi 1992]（b ）“Weiss 场”＋杂质模型[ Georges, Kotliar 1992]（1）小（a）U＝0严格解（εD∫+∞)(（3）中间U 区域最困难的区域：Hartree-Fock vs Heitler-LondonGutzwiller Appr. vs Hubbard-I、-II、-III Appr.U-exapansion vs t-expansionDMFT 可以给出统一的描述。
Hubbard -III 近似J. Hubbard, Proc. Roy. Soc.A 281, 401 (1964).☯W. F. Brinkman et al .,PRB 2, 4302 (1970).∑∑++−=n n U c c t HDMFT（IPT）DMFT（NRG）☯A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).随U 和空穴浓度的变化DMFT（ED）Gutzwiller近似DMFT（ED）（Ns＝6）DMFT（NRG）☯N. H. Tong et al., PRB 64, 235109 (2001).☯R. Bulla et al., PRB 64, 045103 (2001).作用量形式[]局域态密度−=1)(ερσ可以由微分得到。
动力学平均场 k.haule
动力学平均场理论（Kinetics Mean-Field Theory，简称KMFT）是一种研究材料中原子或分子在动力学过程中的平均行为的模型。
该理论是由美国加州大学伯克利分校的Haule教授提出，用于研究高温超导材料中的自旋涨落行为。
在动力学平均场理论中，原子或分子的相互作用被模型化为一系列哈密顿量，这些哈密顿量描述了原子或分子之间的相互作用。
然后，通过求解这些哈密顿量的时间演化方程，可以得到原子或分子的平均行为。
具体来说，动力学平均场理论包括以下步骤：
1.定义原子或分子的哈密顿量，包括自旋-自旋相互作用、自旋-轨道相互作用、电场等。
2.通过求解时间演化方程，得到原子或分子的平均行为。
3.将原子或分子的平均行为代入到哈密顿量中，得到新的哈密顿量。
4.重复步骤2和3，直到达到平衡态。
动力学平均场理论可以用于研究高温超导材料中的自旋涨落行为，以及其他涉及到原子或分子动力学行为的物理现象。
勒温的场动力理论
提高团队协作： 通过分析团队成 员的场动力，提 高团队协作效率
促进个人发展： 帮助个人了解自 己的场动力，提 高自我认知和自 我管理能力
优化组织结构： 根据场动力理论， 优化组织结构， 提高组织效能
场动力理论的局限性
理论的局限性
过于强调环境的影响，忽视了个体的内在因素 缺乏对个体差异的考虑，忽视了个体的独特性 过于强调行为的可预测性，忽视了行为的随机性和不确定性 缺乏对个体主观能动性的考虑，忽视了个体的主观意愿和选择
场动力理论的动态性
场动力理论的核心概念：生活空间、心理场、行为
生活空间的动态性：个体与环境之间的相互作用，不断变化和调整
心理场的动态性：个体的心理状态和行为反应，随着环境和事件的变化而 变化 行为的动态性：个体的行为选择和决策，受到心理场和生活空间的影响， 不断调整和变化
场动力理论的实践意义
指导组织变革： 帮助组织识别和 应对变革需求， 提高组织适应性
对社会工作的影响
社会工作理论：提供了新的理论视角和方法 社会工作实践：提高了社会工作的效率和质量 社会工作教育：丰富了社会工作教育的内容和方法 社会工作研究：推动了社会工作研究的深入和发展
勒温的场动力理论
勒温的生平和背景
场动力理论的主要 内容
场动力理论的影响 和启示
场动力理论的基本 概念
场动力理论的局限 性
勒温的生平和背景
勒温的生平
出生：1890年， 德国柏林
教育：柏林大 学，心理学专
业
职业生涯：柏 林大学教授， 美国康奈尔大
学教授
主要贡献：创 立了场动力理 论，提出了群 体动力学和组
添加标题
添加标题
添加标题
教育领域：分析学生的学习动力， 提高教育质量
动力学平均场理论及其应用
动力学平均场理论及其应用中国人民大学物理系2012.04.18,北京理工大学提纲1、动力学平均场理论（DMFT）介绍2、DMFT理论框架3、DMFT的扩展4、DMFT的应用（总结）原始格点Hamiltonian原始格点Hamiltonian（2）DMFT 的推导方法（e ）动力学CPA（1）的特点∞=D （a ）要得到U ＝0 的正确结果，必须对hopping 做变化：动力学平均场理论的推导（历史）（b ）在此极限下，Gutzwiller 变分可以精确计算[ Vollhardt ，Metzner 1989 ]（c ）自能成为空间局域的)( )(n ij n ij i i ωδωΣ=Σ[ Mueller －Hartman 1989 ]（a ）微扰理论[ Metzner, Mueller －Hartman, Brandt, Mielsch 1989 ]（c ）Cavity 方法[ Georges, Kotliar 1996 ]（d ）自能泛函变分理论[ Potthoff 2003 ][ Kakehashi 1992]（b ）“Weiss 场”＋杂质模型[ Georges, Kotliar 1992]（1）小（a）U＝0严格解（εD∫+∞)(（3）中间U 区域最困难的区域：Hartree-Fock vs Heitler-LondonGutzwiller Appr. vs Hubbard-I、-II、-III Appr.U-exapansion vs t-expansionDMFT 可以给出统一的描述。
Hubbard -III 近似J. Hubbard, Proc. Roy. Soc.A 281, 401 (1964).☯W. F. Brinkman et al .,PRB 2, 4302 (1970).∑∑++−=n n U c c t HDMFT（IPT）DMFT（NRG）☯A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).随U 和空穴浓度的变化DMFT（ED）Gutzwiller近似DMFT（ED）（Ns＝6）DMFT（NRG）☯N. H. Tong et al., PRB 64, 235109 (2001).☯R. Bulla et al., PRB 64, 045103 (2001).作用量形式[]局域态密度−=1)(ερσ可以由微分得到。
平均场理论
平均场理论
平均场理论是将随机过程模型中一个单体受到的所有影响近似为一个外部场，从而将多体问题）分解为多个单体问题进行求解的范式和理论。
平均场理论，是把环境对物体的作用进行集体处理，以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。
这一方法，能简化对复杂问题的研究，把一个高次、多维的难以求解的问题转化为一个低维问题，相当于把环境对研究对象的影响进行积分后再与研究对象发生作用，多用于运动状态混乱的气体，以及结构复杂的固体、液体的研究中，并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要的基础。
尽管平均场理论带来了研究的便利，但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落，因此在非平衡过程，强关联系统，以及瞬态过程中，平均场理论会带来巨大的误差。
平均场理论
倒点阵元胞的体积： b1 (b2 b3 ).
*
2 . 正倒点阵元胞体积关系：
* 3
布里渊区：波矢空间中的对称化元胞，具有倒点阵点群 布 渊 波矢空间中的对称化 胞 具有倒点阵点群 的全部对称性。可以证明同一晶体的正、倒点阵具有相 同的对称性。 , 2,3. , 波恩-卡曼边界条件： 波恩 卡曼边界条件 ( r ) ( r N i ai ), for i 1, 晶体的平移对称性
6
平均场近似下的多体波函数可以表示为单体 波函数的乘积形式：
( r1 , r2 , , rn ) 1 ( r1 ) 2 ( r2 ) n ( r2 ) ).
对于费密子体系 多体波函数应该是反对称的： 对于费密子体系，多体波函数应该是反对称的：
ˆ (r , r , , r ) A (r1 , r2 , , rn ) A n 1 2 1 P ( 1) P (r1 , r2 , , rn ) n! P 1 det 1 (r1 ) 2 (r2 ) n (r2 ) n!
二、 平均场理论 (Mean-field ( ea e d Theory) eo y)
1
多体问题的共同特征
采用 BOA之后，电子和核的运动可以分开处 采用了 之后 电 和核的运动 以分开处 理 原来的多体问题得到一定程度的简化。但是剩 理，原来的多体问题得到 定程度的简化。但是剩 下的多电子问题或者多原子核问题仍然是复杂的多 体问题，精确求解这些多体问题的薛定谔方程仍然 是不切实际的。 是不切实际的
《平均场理论》课件
平均场理论概述
基本原理
平均场理论基于平均场近似， 将复杂系统简化为一个效应 场，可以更容易地对系统行 为进行建模和理解。
方法和模型
平均场理论使用各种方法和 模型，包括自洽场方法、 Ising模型等，用于描述和计 算系统的平均行为。
优点限制
平均场理论在处理大规模系 统时具有高效性和可解性， 但在处理相互作用强烈的系 统时存在局限性。
平均场理论是一种强大的数学工具，它可以帮助我 们解释和预测复杂系统的行为，并找到解决实际问 题的有效方法。
展望
未来，平均场理论将继续在各个领域发挥重要作用， 并与其他理论和方法相结合，推动科学的发展和进 步。
平均场理论在经济学、社会网络分析等社会科学中也有应用，用于描述和预测人类行为 和社会系统的动态。
案例分析
自旋系统
平均场理论在研究磁性材料中的自旋系统方面具有 重要应用，可以解释和预测材料的磁性行为。
神经网络
平均场理论被应用于描述和分析神经网络的行为， 研究脑神经系统的动态和信息处理。
总结与展望
总结
《平均场理论》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨《平均场理论》。了解其背后的原理和 应用，带您走进这个神秘的数学领域，让您对这一理论有一个全面的了解。
简介
什么是平均场理论？
平均场理论是一种用于描述复杂系统行为的数学工 具，它基于平均场近似方法，可以有效地解决许多 实际问题。
为什么重要？
平均场理论不仅仅在物理学中有应用，还可以应用 于计算机科学、经济学、神经科学等各个领域，帮 助我们理解和解决实际问题。
统并考虑它们之间的相互作用，用于描
述复杂系统的行为。
理论的应用领域
1 物理学
关联电子系统的动力学平均场理论
关联电子系统的动力学平均场理论引言近些年来，关联电子系统的探究在凝聚态物理领域成为了一个热门的探究方向。
关联电子系统通常指的是一组电子之间存在强烈互相作用的体系，如超导体、强关联电子材料等。
探究关联电子系统的动力学行为对于理解和诠释其性质具有重要意义。
其中一种常用的理论框架是动力学平均场理论（Dynamical Mean-Field Theory, DMFT）。
本文将介绍及其在探究中的应用。
一、动力学平均场理论的基本原理动力学平均场理论是探究关联电子系统的一种自洽近似方法，在1989年由G. Georges和G. Kotliar提出。
该理论基于如下两个假设：（1）将系统看作由一其中心格点和与之互相作用的一维无序环境组成的晶体，这是一个平均场近似；（2）系统的动力学行为可以归结为多自由度中心格点与其环境的互相作用，此时系统的量子涨落可以用一个局域的有效作用量来描述。
详尽而言，动力学平均场理论认为关联电子系统可以近似为局域电子与其自旋、轨道、晶格震动等互相作用的中心格点。
通过建立动力学平均场自洽方程，可以确定这其中心格点的局域Green's函数。
而这个局域Green's函数则可以用来计算各种物理量，如电荷、自旋等，从而探究关联电子系统的性质。
二、动力学平均场理论的适用性与局限性动力学平均场理论在探究关联电子系统的动力学行为时具有许多优点。
起首，该理论能够准确描述一维状况下的关联电子系统。
其次，对于高维状况下的关联电子系统，动力学平均场理论提供了一个较为精确的近似方法，并可以通过适当选择动力学平均场自洽方程的近似形式来进一步提高精确度。
此外，动力学平均场理论还能够思量到温度、外磁场等外界条件对系统的影响。
然而，动力学平均场理论也存在一些局限性。
起首，动力学平均场理论是一种平均场近似方法，无法思量到系统的涨落效应。
其次，该理论只能在零温下进行计算，无法直接描述有限温下的系统动力学行为。
最后，动力学平均场理论对于低维系统的描述相对较精确，但在高维状况下，理论的精确度会有所下降。
dmft 动力学平均场 算法
dmft 动力学平均场算法DMFT (Dynamical Mean-Field Theory)动力学平均场理论是一种用于研究多体量子系统的强关联效应的算法。
它是一种可以处理强关联效应的方法，特别适用于凝聚态物理中的电子系统。
DMFT可以用来研究多种不同的物理问题，例如高温超导、金属-绝缘体相变、强关联电子系统的电子结构等。
在过去的几十年里，DMFT已经成为研究凝聚态物理中强关联效应的一个重要工具。
在DMFT中，多体系统被简化为一个单体问题加上一个平均场相互作用。
这种平均场近似的基本思想是将多体问题转化为单体问题，从而使问题的求解变得更为简单。
在DMFT中，平均场是动态的这意味着平均场相互作用是可以随时间变化的。
这种动态平均场相互作用的处理是DMFT与其他平均场理论的一个重要区别，它允许我们研究材料中的强关联效应，比如格林函数、自能等的时间演化。
在DMFT的框架下，我们可以使用一些计算技术，比如自洽迭代的方法来求解多体问题。
在每一步迭代中，我们需要求解一个单体问题，然后计算得到一个新的平均场相互作用，然后将其用于下一步迭代中。
通过这种迭代的方法，我们可以得到多体系统的基态性质以及激发态性质，比如能带结构、自能谱，光学性质等。
DMFT理论的一个重要应用是研究金属-绝缘体相变。
在一些强关联的电子系统中，由于电子的相互作用效应，可能会发生由金属态到绝缘体态的相变。
通过DMFT理论，我们可以研究这种相变的机制，并且可以得到一些与实验吻合的结果。
另外，DMFT还可以用来研究高温超导及其他凝聚态物理中的强关联问题。
近年来，随着计算机算力的不断提高，DMFT的计算技术也得到了很大的改进。
特别是随着并行计算技术的发展，我们可以用更大的系统大小和更高的精度来求解DMFT方程。
这使得DMFT可以被更广泛地应用于各种物理问题的研究。
同时，还有一些基于DMFT的改进算法被提出，比如非均匀DMFT、自洽DMFT等。
总之，DMFT是一种强关联效应的研究方法，它在凝聚态物理中有着广泛的应用。
Science述评：开辟强关联电子材料准确预测的理论之路
Science述评：开辟强关联电⼦材料准确预测的理论之路中科院青促会张秋菊（中科院宁波材料所）中科院青促会张骁骅（中科院苏州纳⽶所）评述论⽂：Toward a predictive theory of correlated materials （Science27 July 2018: Vol 361, Issue 6400）关联电⼦材料能够表现出从⾮常规超导到⾦属－绝缘体转变等⼀系列丰富特性。
然⽽，理论上的研究依然存在巨⼤的挑战，特别是针对强关联电⼦材料（主要指包含d和f电⼦），根本原因是基于第⼀性原理的理论和计算涉及到量⼦多体问题的求解。
早在量⼦⼒学诞⽣后的1929年，剑桥⼤学教授Paul Dirac就给出⼀段著名的评论：“把整个化学归结成⼀些数学⽅程的基本定律已经完全搞清楚了，唯⼀的问题是⽅程太复杂难于求解。
需要发展近似实⽤的求解⽅法，从⽽达到不需要太多计算量就可以揭⽰复杂原⼦体系的主要特性”。
近⼀个世纪以来，科学家们在探索理论预测之路上已经取得了长⾜的进步。
如1998年诺贝尔化学奖就颁发给了John Pople和Walter Kohn，⽤于奖励他们提出的电⼦波函数准确近似和电⼦密度函数构建。
密度泛函理论通过各种各样的近似，把难以解决的包含电⼦-电⼦相互作⽤的问题简化成⽆相互作⽤的问题，再将所有误差单独放进交换关联项，采⽤各种近似进⾏交换关联项的求解。
然⽽，对于强关联体系⽽⾔，半充满的d和f电⼦对电⼦、磁性和结构等性质等具有重要决定作⽤，⽽交换关联能的近似计算产⽣的任意⼩误差都会被放⼤，从⽽影响强关联体系的计算准确性。
在过去30多年⾥，强关联电⼦体系的计算⽅法取得了长⾜发展，这得益于新概念如量⼦嵌⼊，新算法的发展和计算能⼒的迅速增强。
发展了解决量⼦多体问题的两⼤互补⽅法：量⼦蒙特卡罗（QMC）和格林函数（Green’sfunctions）⽅法，从⽽推动了强关联电⼦体系的理论设计研究。
在本期《科学》杂志中，来⾃美国橡树岭国家实验室的Paul Kent以及来⾃布鲁克海⽂国家实验室和新泽西州⽴⼤学的Gabriel Kotliar针对这两种互补⽅法处理强关联体系的优缺点进⾏了批判性讨论，将近50多年来理论化学和分析⽅法在强关联电⼦材料中的应⽤进⾏了总结，并展望了强关联理论⽅法的未来发展趋势。
平均场理论
(10.20)
从而得到自洽场方程
si
M ~ Tc T N
2
T Tc
(10.9)
其中临界指数 1/ 8 （注意不是温度倒数的那个 ） 。 到目前为止还没有得到三维伊辛模型的解析解。数值模拟表明三维的临界温度 Tc 大致 是二维的两倍，在临界温度附近，有
CV ~ T Tc N
和
(10.10)
M ~ Tc T N
高等统计物理
王延颋 2017 年 2 月 24 日
10. 平均场理论
10.1. 伊辛（Ising）模型 伊辛模型是最简单的铁磁—顺磁相变的离散模型，每个格点的自旋取值 s 只能是+1 或 者-1，并且只与最临近的格点有相互作用。其哈密顿量为
H J si s j 0 h si
i, j i 1
I
1 2
0
(10.6)
昂萨格解显示二维伊辛模型的自由能不是解析函数。系统温度低于相变温度
Tc 2.269 J / kB
时，有自发磁化。在 Tc 点，热容表现为奇点
(10.7)
CV 8kB 1 2 ~ J ln N T Tc
磁化强度的表现为
(10.8)
4
的 Goldstone 玻色子（连续激发： k 0 0 ） 。 超导中的激发子和希格斯粒子源于类似的机制， 只是因为具有长程作用， 所以这些激发 子有质量（不连续激发） 。
10.4. 分子平均场理论 分子平均场理论的基本思想是研究某个给定的分子， 并且忽略涨落， 把周围的分子对给 定分子的作用看作是平均场， 从而把多体的统计问题简化成少体问题。 这一平均场方法对于 四维及以上的系统是正确的。 在三维及以下远离临界点时符合得比较好。 以下以伊辛模型为 例。 把伊辛模型的哈密顿量(10.1)对 si 求偏导，得到作用在 i 上的瞬时磁场
平均场方程
平均场方程摘要平均场方程是一种用于描述统计物理系统行为的数学工具。
它通过对系统中各粒子的平均行为进行建模，简化了复杂系统的描述。
本文将深入探讨平均场方程的原理、应用和局限性，并介绍一些相关的研究进展和应用案例。
引言在统计物理学中，研究多粒子系统的性质往往面临复杂的数学问题。
平均场方程提供了一种简化复杂系统描述的方法，通过对系统中各粒子的平均行为建模，将复杂的问题转化为更易处理的形式。
这种方法的核心思想是将粒子之间的相互作用近似为平均场，从而简化系统的统计描述。
平均场方程的原理平均场方程的原理建立在平均场理论的基础上。
平均场理论假设系统中的每个粒子在相互作用中受到来自其他粒子的平均场影响，而忽略了粒子之间的具体相互作用。
这样一来，整个系统的行为可以用一个平均场描述，从而简化了系统的统计描述。
具体而言，对于一个由N个粒子组成的系统，平均场方程可以表示为：N(r i)H eff=H ext+∑V effi=1其中H eff是系统的有效哈密顿量，H ext是外部场对系统的作用，V eff(r i)是粒子i受到的平均场势。
平均场方程的应用平均场方程广泛应用于各种统计物理系统的描述和研究。
以下是一些常见应用场景：自旋系统在自旋系统中，每个粒子的自旋状态受到相邻自旋的作用。
平均场方程可以描述自旋系统中各自旋之间的平均相互作用，从而研究系统的自旋结构和相变行为。
磁性材料磁性材料中的磁矩相互作用是平均场方程的典型应用。
通过平均场方程，可以研究磁性材料的磁相变行为和磁畴结构。
链和格点模型链和格点模型是一类常用的模型系统，可以用平均场方程描述。
这些模型广泛应用于解释复杂系统的行为，如聚合物物理学和相变等。
细胞自动机细胞自动机是一种由离散单元组成的计算模型，在平均场方程中得到广泛应用。
平均场方程能够描述细胞自动机中各细胞之间的平均相互作用，用于模拟和分析复杂的动态系统。
平均场方程的局限性尽管平均场方程在简化复杂统计物理系统的描述方面具有重要意义，但它也有一些局限性需要考虑。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复DMFT方法是一种常用于计算固体电子结构的一种方法。
在本文中，我们将一步一步地解释DMFT方法的原理、步骤和应用。
第一步：简介DMFT全称为动力学平均场理论（Dynamical Mean Field Theory），是一种计算固体材料电子结构的方法。
它的基本思想是将固体中的相互作用问题转化为单个格点上的平均场问题，通过求解这个平均场问题，可以获得材料的电子结构信息。
第二步：局域格点动作DMFT方法的第一步是局域格点动作（local lattice action）。
通常，我们将固体系统的哈密顿量分为局域（lattice）和非局域（bath）两部分。
局域部分包括了格点上的相互作用项，而非局域部分则包含了与格点相互作用的电子与其它电子的相互作用。
通过将系统分解为局域和非局域两个部分，我们可以把困难的相互作用问题简化为求解单个格点上的平均场问题。
第三步：自能近似在DMFT方法中，我们使用了自能近似的方法来求解平均场问题。
自能是一个描述电子与其它电子相互作用的概念，它反映了电子的单粒子激发过程。
通过求解自能的方程，我们可以获得电子的能谱和态密度等信息。
在DMFT方法中，自能被认为是动态的，它取决于频率和晶格的局域格点。
第四步：（格点）动力学平均场理论DMFT方法最基本的近似是动力学平均场理论。
它假设材料的局域格点上的自能是频率的函数，而不依赖于动量。
这个近似是合理的，因为在材料的局域格点上，电子通常只与最近的几个格点相互作用，而与其它格点的相互作用可以忽略不计。
通过这个近似，我们可以将求解全局平均场问题转化为多个局域格点的平均场问题。
第五步：傅立叶变换DMFT方法中的另一个重要步骤是傅立叶变换。
在动力学平均场理论中，我们需要求解格点自能的方程，而这个方程是在实空间中表示的。
为了将方程转化为频率空间中的方程，在DMFT方法中引入了傅立叶变换。
通过傅立叶变换，我们可以将格点自能的方程变成频率自能的方程，从而更方便地求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t- expansion
Insulator
Eint / Ekin
历史上的尝试：Edwards, dynamical CPA, ……
DMFT 理论框架
在空间维数 D＝∞ 极限下，空间涨落消失，而局域量子涨
落仍然存在：
。( Metzner & Vollhardt )
D＝∞时，自能成为局域量，与空间坐标无关。
1. 动力学平均场理论（DMFT）的发展
强关联电子材料
V2O3 —— 金属-绝缘体相变，反铁磁 La1-xCaxMnO3 —— 巨磁电阻效应，反铁磁，轨道有序 Fe, Co, Ni —— 巡游铁磁性 La2-xCaxCuO4 —— 高温超导， 反铁磁 ……
理论描述的困难：电子关联对基态有定性的修正， 基态不能用单个Slater行列式描述， 不能用微扰来处理。
近年来 DMFT 的发展方向
精确 计算 平均场
非均匀体系，无序 real space DMFT
Byczuk 2005
远离平衡态 nonequi DMFT
Freericks 2006
相互作用玻色子系统 bosonic DMFT
Byczuk 2008
DMFT 1989
材料的模拟 LDA+DMFT GW+DMFT
构造LDA＋DMFT的Hamiltonian
U —— 轨道内部Coulomb排斥
V —— 不同轨道之间Coulomb排斥 J —— Hund’s 交换作用 —— 配对跃迁项 —— Double Counting 修正
DMFT 的应用
巡游铁磁性
D. Vollhardt et al., Advances in Solid State Physics 38, 383 (1999).
团簇
周期边界条件 Dynamical Cluster Approximation
M. H. Hettler et al, PRB 58, 7475 (1998).
LDA ＋ DMFT —— 实际材料的电子结构
给定晶体的电子哈密顿量
LDA Hamiltonian
K. Held, Adv. Phys. 56, 829 (2007).
动力学平均场理论的发展及其应用
同宁华 中国人民大学物理系 2015. 12. 08, 中国科学院物理所
提 纲
1、动力学平均场理论（DMFT）的发展
DMFT 的基本理论
DMFT 的扩展理论 杂质/团簇模型 求解器
—— 与量子多体计算方法的结合
2、动力学平均场理论的应用
二维 Hubbard 模型掺杂导致的赝能隙和非费米液体
压缩率κ、磁化率χ、比热 可以由微分得到。
CV
电子密度n 能量E
光电导
热电势Q热力学来自势ΩDMFT 的扩展团簇DMFT —— D=∞ D=2, 1
晶格模型 有效团簇模型 部分 k-分辩的自能
求解团簇模型，自洽计算
开放边界条件
Cellular DMFT
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
例： Mott 金属－绝缘体相变
实验：
Hubbard-III 近似
Gutzwiller 近似
D. B. McWhan et al, PRB 7, 1920 (1973).
理论：Hubbard模型（半满、顺磁）
W. F. Brinkman et al., PRB 2, 4302 (1970). J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 281, 401 (1964).
格点 Hamiltonian 等效外场（环境） 杂质格点： 通过自洽 方程间接 耦合
自洽计算
H中局域项
自洽求解 DMFT 方程
动力学平均场理论结果
态密度随U 演化
DMFT（IPT）
A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).
计算物理量
局域态密度
高温超导（Cu基，Fe基）
Th. Maier et al., PRL 85, 1524 (2000). H. Park et al., PRL 107, 137007 (2011).
Mott 相变
A. Georges et al., Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).
理论上最困难的区域：动能 ~ 相互作用能
molecular orbital
H2 crossover
Heitler-London
H H
Gutzwiller Appr.
Fermi liquid
phase transition
Hubbard-III Appr.
Insulator
U- expansion
可以极大地简化计算。
D＝∞时，格点模型可以映射到等效量子杂质模型（Kotliar）
A. Georges et al, Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996). W. Metzner et al, Phys. Rev. Lett. 62, 324 (1989).
D＝∞的 Hubbard 模型：动力学平均场
Kotliar 2006
低维电子系统
CDMFT、DCA、DGA， dual fermion DMFT Rubtsov 2008 DMFT+FRG Taranto 2015
DFG Forschergruppe 1346 Dynamical Mean-Field Approach with Predictive Power for Strongly Correlated Materials 15-19 September 2014, Forschungszentrum Jülich
量子化学
N. Lin et al., PRL 106, 096402 (2011).
超冷原子
D. Cocks et al., PRL 109, 205303（2012）.
关联拓扑绝缘体
X. Deng et al., PRL 111, 176404 (2013)
idea of imbedding
巨磁电阻锰氧化物
A. J. Millis et al., PRL 77, 175 (1996).
重费米子体系
Q. Si et al., Nature 413, 804 (2001).
LDA + DMFT 计算
H. Held et al., Int. J. Mod. Phys. B 15, 2611 (2001).