2017年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)
2017年山东省莱芜市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A ．﹣16
B ．1
6
C ．﹣6
D ．6
2．（3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）
A ．7.8×10﹣7
B ．7.8×10﹣8
C ．0.78×10﹣7
D ．78×10﹣8 3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A ．2x 2﹣x 2=1
B ．x 6÷x 3=x 2
C ．4x•x 4=4x 5
D ．（3xy 2）2=6x 2y 4
4．（3分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ）
A ．30x ﹣1=40x−25
B ．
30x
﹣1=
40x+25
C ．
30x
+1=
40x−25
D ．
30x
+1=
40x+25
5．（3分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切与点A ，DO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=21°，则∠ADC 的度数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（3分）对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b}，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，
b}=b ；当a ＜b 时，min{a ，b}=a ．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x 的函数y=min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A ．2
3 B ．1
C ．43
D ．
53
12．（3分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，连结AC 、AD 、BE ，BE 分别与AC 和AD 相交于点F 、G ，连结DF ，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣√5；
③（S 四边形CDEF
）2
=9+2√5；④DF 2
﹣DG 2
=7﹣2√5．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）
13．（4分）（﹣1
2
）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+
√8=
．
14．（4分）圆锥的底面周长为
2π
3
，母线长为2，点P 是母线OA 的中点，一根细
绳（无弹性）从点P 绕圆锥侧面一周回到点P ，则细绳的最短长度为 ．
15．（4分）直线y=kx+b 与双曲线y=﹣6
x
交于A （﹣3，m ），B （n ，﹣6）两点，
将直线y=kx+b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △
ADE
= ．
16．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y
1），Q（
5
2
，y
2
）是函数图象上的两点，则y
1
＞
y
2；③a=﹣
1
3
c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣
2√7
3
．其中正确的有（请
将结论正确的序号全部填上）
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE= ．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）先化简，再求值：（a+
6a
a−3
）÷（a+
9a+9
a−3
），其中a=√3﹣3．
19．（8分）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目学生数（名）百分比（%）
袋鼠跳4515
夹球跑30c
跳大绳7525
绑腿跑b20
拔河赛9030
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；
（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．
20．（9分）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）
（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
21．（9分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
22．（10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．
（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？
（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500
袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的4
5
，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，
乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？
23．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．
（1）求证：D是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AC=6，求BD的长；
（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=19
4
，tan∠BAD=
3
4
，
求⊙O的半径．
24．（12分）抛物线y=ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若满足DE AE =√5
2
，求点D 的坐标；
（3）如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似，若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．
2017年山东省莱芜市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）
1．（3分）（2017•莱芜）﹣6的倒数是（ ）
A ．﹣16
B ．1
6
C ．﹣6
D ．6
【考点】17：倒数．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣6的倒数是﹣16
．
故选：A
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2017•莱芜）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）
A ．7.8×10﹣7
B ．7.8×10﹣8
C ．0.78×10﹣7
D ．78×10﹣8
【考点】1J ：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00000078用科学记数法表示为7.8×10﹣7．
故选A ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2017•莱芜）下列运算正确的是（ ）
A ．2x 2﹣x 2=1
B ．x 6÷x 3=x 2
C ．4x•x 4=4x 5
D ．（3xy 2）2=6x 2y 4
【考点】4I ：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A 、原式=x 2，不符合题意；
B 、原式=x 3，不符合题意；
C 、原式=4x 5
，符合题意；
D 、原式=9x 2y 4，不符合题意，
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2017•莱芜）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ）
A ．30x ﹣1=40x−25
B ．
30x
﹣1=
40x+25
C ．
30x
+1=
40x−25
D ．
30x
+1=
40x+25
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据电动车每小时比自行车多行驶了25千米，可用x 表示出电动车的速度，再由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列出方程．
【解答】解：
设自行车的平均速度为x 千米/小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，
由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列方程
30x
﹣
1=40x+25
，
故选B ．
【点评】本题主要考查列方程解应用题，确定出题目中的等量关系是解题的关键．
5．（3分）（2017•莱芜）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）
A． B．C．D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据左视图的定义，画出左视图即可判断．
【解答】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．
故选C．
【点评】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键．
6．（3分）（2017•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，DO 交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（）
A．46°B．47°C．48°D．49°
【考点】MC：切线的性质．
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BCO，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AOD=∠B+∠BCO，根据切线的性质可得∠OAD=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO=21°，
∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，
∵AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，
∴∠OAD=90°，
∴∠ADC=90°﹣∠AOD=90°﹣42°=48°．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
7．（3分）（2017•莱芜）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】L3：多边形内角与外角；L2：多边形的对角线．
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180=360°×2+180°，
解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，
七边形的对角线条数为7×(7−3)
2
=14，
故选C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
8．（3分）（2017•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）
A ．π
2
B ．（2﹣
√3）π
C ．2−√32
π D ．π
【考点】MO ：扇形面积的计算；KO ：含30度角的直角三角形；R2：旋转的性质．
【分析】解直角三角形得到AC ，AB ，根据旋转推出△ABC 的面积等于△ADE 的面积，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AC=2
√3，AB=4，
∵将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到Rt △ADE ，
∴△ABC 的面积等于△ADE 的面积，∠CAB=∠DAE ，AE=AC=2√3，AD=AB=4，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴阴影部分的面积S=S 扇形BAD +S △ABC ﹣S 扇形CAE ﹣S △ADE
=90π×42360+12
×2×2√
3﹣90π×(2√3)2360﹣12
×2×2
√3=π．
故选D ．
【点评】本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的旋转，勾股定理等知识点的
应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．
9．（3分）（2017•莱芜）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）
A ．√72
B ．2√73
C ．3√55
D ．
√26
4
【考点】PA ：轴对称﹣最短路线问题；L8：菱形的性质．
【分析】如图，连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．当D 、P 、M 共线时，P′B +P′M=DM 的值最小，利用勾股定理求出DM ，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，B 、D 关于AC 对称，
∴PB+PM=PD+PM ，
∴当D 、P 、M 共线时，P′B +P′M=DM 的值最小，
∵CM=1
3
BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC 是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3
√3，
在Rt △DMH 中，DM=√DH 2+HM 2=√(3√3)2+12=2√7，
∵CM ∥AD ，
∴P′M DP′=CM AD =26=13，
∴P′M=14DM=√7
2
．
故选A ．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、
勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）（2017•莱芜）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=5，CD=3，
sinA=sinB=1
3
，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自
点A 出发，沿着边AD ﹣DC ﹣CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为s ，则s 关于t 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】过点Q 做QM ⊥AB 于点M ，分点Q 在线段AD 、DC 、CB 上三种情况考虑，
根据三角形的面积公式找出s 关于t 的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：过点Q 做QM ⊥AB 于点M ．
当点Q 在线段AD 上时，如图1所示，
∵AP=AQ=t （0≤t ≤5），sinA=1
3，
∴QM=13
t ，
∴s=1
2
AP•QM=
1
6
t2；
当点Q在线段CD上时，如图2所示，
∵AP=t（5≤t≤8），QM=AD•sinA=5 3，
∴s=1
2
AP•QM=
5
6
t；
当点Q在线段CB上时，如图3所示，
∵AP=t（8≤t≤20√2
3
+3（利用解直角三角形求出AB=
20√2
3
+3），BQ=5+3+5﹣t=13
﹣t，sinB=1 3，
∴QM=1
3
（13﹣t），
∴s=1
2
AP•QM=﹣
1
6
（t2﹣13t），
∴s=﹣1
6
（t2﹣13t）的对称轴为直线x=
13
2
．
综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积，分点Q在线段AD、DC、CB上三种情况找出s关于t的函数关系式是解题的关键．
11．（3分）（2017•莱芜）对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b}，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b}=b ；当a ＜b 时，min{a ，b}=a ．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x 的函数y=min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A ．23
B ．1
C ．43
D ．
53
【考点】F5：一次函数的性质．
【分析】根据定义先列不等式：2x ﹣1≥﹣x+3和2x ﹣1＜﹣x+3，确定其y=min{2x ﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
【解答】解：由题意得：
{y =2x −1
y =−x +3，解得：{x =43y =
53
，
当2x ﹣1≥﹣x+3时，x ≥4
3
，
∴当x ≥4
3时，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}=﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为5
3；
当2x ﹣1＜﹣x+3时，x ＜4
3
，
∴当x ＜4
3时，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}=2x ﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为5
3
；
综上所述，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}的最大值是当x=4
3所对应的y 的值，
如图所示，当x=43时，y=5
3
，
故选D ．
【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
12．（3分）（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②
FG=3﹣√5；③（S四边形CDEF）2=9+2√5；④DF2﹣DG2=7﹣2√5．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】MM：正多边形和圆；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣360°
5
=108°，由等
边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠
CFD=180°−72°
2
=54°，可得∠FDG=18°；
②证明△ABF∽△ACB，得AB
AC
=
EG
ED
，代入可得FG的长；
③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：
（S
四边形CDEF ）2=EF2•DM2=4×
10+2√5
4
=10+2√5；
④如图2，▱CDEF 是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+
√
5，由S 四边形CDEF =1
2
FD•EC=2×
√10+2√54
，可得FD 2
=10﹣2√5，计算可得结论．
【解答】解：①∵五方形ABCDE 是正五边形，
∴AB=BC ，∠ABC=180°﹣360°5
=108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE ， ∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC ， ∵BC=CD ， ∴CD=CF ，
∴∠CDF=∠CFD=
180°−72°
2
=54°，
∴∠FDG=∠CDE ﹣∠CDF ﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF ，
∴△ABF ∽△ACB ，
∴AB AC =EG ED
， ∴AB•ED=AC•EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF ﹣FG=2AB ﹣FG=4﹣FG ，EG=BG ﹣FG=2﹣FG ，
∴22=（2﹣FG ）（4﹣FG ），
∴FG=3+
√5＞2（舍）
，FG=3﹣√5；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF ∥CD ，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF 是平行四边形，
过D 作DM ⊥EG 于M ，
∵DG=DE ，
∴EM=MG=12EG=12（EF ﹣FG ）=1
2
（2﹣3+
√
5）=√5−12
，
由勾股定理得：DM=
√DE
2
−EM 2
=
√2
2
−(
√5−1
2
)2
=
√
10+2√5
4
，
∴（S 四边形CDEF ）2=EF 2•DM 2=4×10+2√5
4
=10+2√5；
所以③不正确；
④如图2，连接EC ，
∵EF=ED ，
∴▱CDEF 是菱形，
∴FD ⊥EC ，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣
√5）=1+√5，
∴S 四边形CDEF =1
2
FD•EC=2×
√
10+2√5
4
，
1
2
×FD ×（1+√5）=√10+2√5，
FD 2=10﹣2
√5，
∴DF2﹣DG2=10﹣2√5﹣4=6﹣2√5，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）
13．（4分）（2017•莱芜）（﹣1
2
）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+√8= ﹣7+√2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣8﹣√2+1+2√2=﹣7+√2，
故答案为：﹣7+√2
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）（2017•莱芜）圆锥的底面周长为2π
3
，母线长为2，点P是母线OA的
中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为2√3．
【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题；MP：圆锥的计算．
【分析】连接AA′，根据弧长公式可得出圆心角的度数，由勾股定理可得出AA′．【解答】解：如图，连接AA′，
∵底面周长为2π3
，
∴弧长=nπ×2
180
=
2π
3
，
∴n=60°即∠AOA′=60°，
∴∠A=60°，
作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，
∵OA=2，
∴OB=1，
∴AB=√3，
∴AA′=2√3．
故答案是：2√3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣路径最短问题，注意“数形结合”数学思想的应用．
15．（4分）（2017•莱芜）直线y=kx+b 与双曲线y=﹣6
x
交于A （﹣3，m ），B （n ，
﹣6）两点，将直线y=kx+b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE = 16 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】利用待定系数法求出平移后的直线的解析式，求出点D 、E 的左边，再利用分割法求出三角形的面积即可．
【解答】解：由题意A （﹣3，2），B （1，﹣6），
∵直线y=kx+b 经过点A （﹣3，2），B （1，﹣6），
∴{−3k +b =2k +b =−6
，
解得
{
k =−2b =−4
，
∴y=﹣2x ﹣4，向上平移8个单位得到直线y=﹣2x+4，
由
{
y =−
6
x
y =−2x +4
，解得{
x =3
y =−2和{
x =−1
y =6
，
不妨设D （3，﹣2），E （﹣1，6），
∴S △ADE =6×8﹣12×4×2﹣12×6×4﹣1
2
×8×4=16，
故答案为16．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握
待定系数法，学会利用分割法求三角形的面积．
16．（4分）（2017•莱芜）二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：
①16a ﹣4b+c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （5
2
，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞
y
2；③a=﹣
1
3
c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣
2√7
3
．其中正确的有①③（请
将结论正确的序号全部填上）
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点；KH：等腰三角形的性质．
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x=﹣1，
可得：（﹣4.5，y
3）与Q（
5
2
，y
2
）是对称点，所以y
1
＜y
2
；
③根据对称轴和x=1时，y=0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x=﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，
∵P（﹣5，y
1），Q（
5
2
，y
2
），
﹣1﹣（﹣5）=4，5
2
﹣（﹣1）=3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y
3）与Q（
5
2
，y
2
）是对称点，
∴则y
1＜y
2
；
故②不正确；
③∵﹣
b
2a
=﹣1，
∴b=2a，
当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，
a=﹣1
3 c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=√7，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣2√7 3
；
同理当AB=AC=4时
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=√15
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣2√15 3
；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故⑤错误．
综上所述，正确的结论是①③．
故答案是：①③．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线
的对称轴为直线x=﹣
b
2a
；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为
（x
1，0）、（x
2
，0）．
17．（4分）（2017•莱芜）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、
E，若AD=1，AB=CF，则AE= √5−1
2
．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
【分析】利用互余先判断出∠ABE=FCB，进而得出△ABE≌△FCB，即可得出BF=AE，BE=BC=1，再判断出∠BAF=∠AEB，进而得出△ABE∽△FBA，即可得出AE=AB2，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，∠BAF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠FCB，
在△ABE 和△FCB 中，{
∠EAB =∠BFC =90°
AB =CF
∠ABE =∠FCB
，∴
△ABE ≌△FCB ，
∴BF=AE ，BE=BC=1，
∵BE ⊥AC ，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵∠ABF+∠AEB=90°， ∴∠BAF=∠AEB ， ∵∠BAE=∠AFB ， ∴△ABE ∽△FBA ，
∴AB BF =BE AB ， ∴AB AE =1AB
，
∴AE=AB 2，
在Rt △ABE 中，BE=1，根据勾股定理得，AB 2+AE 2=BE 2=1，
∴AE+AE 2=1， ∵AE ＞0，
∴AE=
√5−1
2
．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出AE=AB 2．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）（2017•莱芜）先化简，再求值：（a+6a
a−3）÷（a+9a+9
a−3
），其中a=
√3
﹣3．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先将原分式化简成
a
a+3
，再代入a的值，即可求出结论．
【解答】解：原式=a(a−3)+6a
a−3
÷
a(a−3)+9a+9
a−3
，
=a2+3a
a−3
×
a−3
a+6a+9
，
=a(a+3)
a−3
×
a−3
(a+3)
，
=
a
a+3
．
当a=√3﹣3时，原式=
a
a+3
=
√3−3
√3−3+3
=
√3−3
√3
=1﹣√3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，将原分式化简成
a
a+3
是解题的关键．
19．（8分）（2017•莱芜）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目学生数（名）百分比（%）
袋鼠跳4515
夹球跑30c
跳大绳7525
绑腿跑b20
拔河赛9030
根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）a= 300 ，b= 60 ，c= 10 ．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；
（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和
拔河赛可分别记为A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据学生数和相应的百分比，即可得到a的值，根据总人数乘以百分比，即可得到b的值，根据学生数除以总人数，可得百分比，即可得出c 的值；
（2）根据b的值，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据最喜欢绑腿跑的百分比乘以该校学生数，即可得到结果；
（4）根据树状图或列表的结果中，选到“C”和“E”的占2种，即可得出恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．
【解答】解：（1）由题可得，a=45÷15%=300，
b=300×20%=60，
c=30
300
×100=10，
故答案为：300，60，10；（2）如图：
（3）3000×20%=600（名）；
（4）树状图为：
共20种情况，其中选到“C”和“E”的有2种，
∴恰好选到“C”和“E”的概率是
2
20
=
1
10
．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（9分）（2017•莱芜）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）
（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AE与BE的长即可；
（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，在直角三角形GMF中，利用锐角三角函数定义表示出GM与GD，设甲乙两楼之间的距离为xm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，BE=AB•tan31°=31•tan31°≈18.60，
AE=
AB
cos31°
=
31
cos31°
≈36.05，
则甲楼的高度为18.60m，彩旗的长度为36.05m；
（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，
在Rt△GMF中，GM=FM•tan19°，
在Rt△GDC中，DG=CD•tan40°，
设甲乙两楼之间的距离为xm，FM=CD=x，
根据题意得：xtan40°﹣xtan19°=18.60，
解得：x=37.20，
则乙楼的高度为31.25m，甲乙两楼之间的距离为37.20m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
21．（9分）（2017•莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD ≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）AE=DB，AE⊥DB，
证明：∵△ABC 与△DEC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，EC=DC ，
在Rt △BCD 和Rt △ACE 中，
{AC =BC
∠ACE =∠BCD CE =CD
，
∴Rt △BCD ≌Rt △ACE ，
∴AE=BD ，∠AEC=∠BDC ，
∵∠BCD=90°，
∴∠DHE=90°， ∴AE ⊥DB ；
（2）DE=AF ，DE ⊥AF ，
证明：设DE 与AF 交于N ，
由题意得，BE=AD ，
∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC ，
∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC ， ∴∠EBD=∠ADF ， 在△EBD 和△ADF 中，
{BE =AD
∠EBD =∠ADF DE =DF ，
∴△EBD ≌△ADF ，
∴DE=AF ，∠E=∠FAD ，
∵∠E=45°，∠EDC=45°， ∴∠FAD=45°，
∴∠AND=90°，即DE ⊥AF ．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）（2017•莱芜）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．
（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？
（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500
袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的4
5
，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，
乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？
【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可；
（2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩
的数量大于乙种口罩的4
5
，得出不等式求出后，根据m的取值，得到5种方案，
设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，求出即可．
【解答】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，
根据题意得：
{x −y =5
2x +3y =110， 解这个方程组得：
{x =25
y =20，
故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元； （2）设该网店购进甲种口罩m 袋，购进乙种口罩（500﹣m ）袋，
根据题意得
{
m ＞
4
5
(500−m)
22.4m +18(500−m)≤10000
，
解这个不等式组得：222，2＜m ≤227.3，
因m 为整数，故有5种进货方案，分别是：
购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；
购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋； 购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋； 购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋； 购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；
设网店获利w 元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m ）=0.6m+1000，
故当m=227时，w 最大，
w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），
故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
23．（10分）（2017•莱芜）已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，如图①．
（1）求证：D 是⊙O 的切线；。