实变函数(复习资料_带答案)资料

sup
n
fn ( x)
是可测函数（ C） inf n
fn ( x) 是可测函数 ; （ D）若
fn (x) f (x) , 则 f ( x) 可测
5、设 f(x) 是 [ a,b] 上有界变差函数，则下面不成立的是
（
）(A) f ( x) 在 [ a, b] 上有界 (B) f ( x) 在 [ a, b] 上几
ln( x n) n x ln( x n) n x ln 3 ln 3 (1 x) …… 4 分
n
n xn
n3 3
从而使得 | fn ( x) |
ln 3 (1
3
x)e x ……………………… 6 分
但是不等式右边的函数，在 0, 上是 L 可积的，故有
lim f n( x)dx lim fn (x)dx 0 ………………… 8 分
集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
lim mE(| f | n) mE(| f |
n
) 0…… 2 分
据积分的绝对连续性，
0,
0, e E, me ，有
f ( x)在 x点连续，
f ( x)
lim
n
f Leabharlann Baidu xn )
a
x E ……………… 5 分
E是闭集 . ………………………… .6 分
3.
对 1 ， 0 ，使对任意互不相交的有限个
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
xi
b
所以 V ( f ) 1,从而 V ( f ) m，因此， f (x) 是 [ a,b] 上的有界
xi 1
a
变差函数……… ..6 分
4、 f (x) 在 E 上可积
(A) M (B)
N (C) M N (D)
2. 下列说法不正确的是 ( )
(A) P0 的任一领域内都有 E 中无穷多个点，则 P0 是 E 的聚点
(B) P0 的任一领域内至少有一个 E 中异于 P0 的点，则 P0 是 E
的聚点
(C) 存在 E 中点列 Pn ，使 Pn P0 ，则 P0 是 E 的聚点
(D) 内点必是聚点
3. 下列断言 ( ) 是正确的。
（A）任意个开集的交是开集； (B) 任意个闭集的交是
闭集；
(C) 任意个闭集的并是闭集； (D) 以上都不对；
4. 下列断言中 ( ) 是错误的。
（A）零测集是可测集；
（B）可数个零测集的并是
零测集；
（C）任意个零测集的并是零测集； （D）零测集的任意子集是
）
（A）P c (B)
mP 0 (C) P ' P (D) P P
3、下列说法不正确的是（
）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可
测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设 fn (x) 是 E 上的 a.e. 有限的可测函数列 , 则下面不成立的
是( ) （A）若 fn (x) f ( x) , 则 fn ( x) f ( x) (B)
《实变函数》试卷一
一、单项选择题 （ 3 分×5=15 分）
1、下列各式正确的是（
）
（ A） lim An
Ak ; （B） lim An
Ak ;
n
n 1k n
n
n 1k n
（
C）
lim
n
An
n 1 k n Ak ;
（ D）
lim
n
An
n 1 k n Ak ;
2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
5. 若 f ( x)是可测函数 ，则下列断言（
）是正确
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2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、 a.e.收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。
五. 证明题 (6 分× 3+ 8 2 =34 分 ) 1.(6 分) 1、设 f(x) 是 ( , ) 上的实值连续函数，则对任意
（第 5 页，共 19 页）
又 m( E F ) 0, 所以 f (x) 是 E F 上的可测函数， 从而是 E 上
的 可测函数…………………… ..10 分
《实变函数》试卷二
一 . 单项选择题 （3 分× 5=15 分）
1．设 M , N 是两集合，则 M ( M N ) =（
）
的 (A) f ( x) 在 a,b L 可积 | f ( x) | 在 a, b L 可积； (B) f ( x)在 a, b R 可积 | f (x) | 在 a,b R 可积 (C) f ( x)在 a, b L 可积 | f ( x) | 在 a,b R 可积 ; (D) f ( x)在 a, R 广义可积 f ( x)在 a,+ L 可积
一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D
二、 1．
2 、 0,1 ； ； 0,1 3 、
m* T m* (T E) m* (T CE)
n
4、充要 5 、 | f ( xi ) f (xi 1) | 成一有界数集。
i1
三、1．错误 2 分例如： 设 E 是 0,1 上有理点全体， 则 E 和 CE
使 _____________________________________则, 称 f ( x) 为
a, b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立 ?若成立 , 则证明之 ; 若不成立 , 则举反 例说明 . (5 分× 4=20 分 ) 1、设 E R1 ，若 E 是稠密集，则 CE 是无处稠密集。
(ai ,bi ) ( a, b)
n
当 (bi ai )
i1
n
时，有 f (b)i f (ai ) 1……………… 2 分
i1
n
将 [a,b] m 等分，使 xi xi 1
i1
，对
T : xi 1 z0 z1
k
zk xi ，有 f ( zi ) f (zi 1) 1 ，所以
i1
| f ( x) | dx ……… .4 分
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
n0
0n
则 | f ( x) |是 a,b 上的可测函数， 但 f (x) 不是 a,b 上的可测函 五、 1．设 E [0,1], A E Q, B E (E Q).
数… 4．错误 mE 0时，对 E上任意的实函数
f ( x)都有 f (x)dx 0
E
四、1． f ( x) 在 0,1 上不是 R 可积的， 因为 f ( x) 仅在 x 1 处
__________________________________________ 5、设 F ( x) 为 a, b 上的有限函数，如果 _________________则
称 F ( x) 为 a, b 上的绝对连续函数。 三. 下列命题是否成立 ?若成立 , 则证明之 ; 若不成立 , 则说明 原因或举出反例 . (5 分× 4=20 分) 1、由于 0,1 0,1 0,1 ，故不存在使 0,1 和 0，1 之间 1 1 对 应的映射。
都在 0,1 中稠密 5 分
连续，即不连续点为正测度集…… ..3 分因为 f ( x) 是有界可测
函数， f (x) 在 0,1 上是 L 可积的… 6 分
因为 f ( x) 与 x2 a.e.相等，进一步， 分
f ( x)dx
0,1
1 x2dx 1 … 8
0
3
2．解：设 fn (x) ln( x n) e x cos x ，则易知当 n n
k , x n k F,n n , k x Fn () f x
又对任意 k , m E F
m[ E
( n
k
Fn )]
m[ (E nk
Fn )]
m( E
nk
Fn )
1 2k
…………………………
.6 分
f ( x) 在 [ xi 1, xi ] 上是有界变差函数……………… .5 分
故 m( E F ) 0, f ( x) 在 F E 连续………… ..8 分
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
e
对上述 0, k, n k, mE(| f | n)
，从而
n men
| f ( x) | dx
en
，即 lim n
n me n 0
………………… 6 分
5． n N , 存在闭集 Fn 续………… 2 分
E , m E Fn
1 2n , f (x) 在 Fn 连
令F
Fn ，则 x F
k 1n k
在 F 连续……… 4 分
2、若 mE 0 ，则 E 一定是可数集 .
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3、若 | f (x) |是可测函数，则 f (x) 必是可测函数
2、（8分）求 lim
ln( x
n) e
x cos xdx
n0
n
4．设 f (x) 在可测集 E 上可积分，若 x E, f ( x) 0 ，则 f ( x) 0
常数 c ， E { x | f (x) c} 是一开集 .
四. 解答题 (8 分× 2=16 分)
x, x为无理数
1、设 f ( x)
，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R 可积，
1,x为有理数
是否 L 可积，若可积，求出积分值。
lim
n
1
01
nx n2
x2
sin
3
nxdx
.
2、求极限
2.(6 分) 设
B是无限集， 可数子集 M B ……………… 2 分
A是可数集， A M M . ……………………………… .3 分
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B M ( B M ), E A B A M ( B M ), ……… ..5 分
且(A M ) (B M ) , M (B M ) ,
E B, B c.………………………… 6 分
0，
3、（ 6 分）在 a,b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 存在闭子集 F E ，使 f ( x) 在 F 上连续，且 m( E F ) ，
两个增函数之差。
证明： f (x) 是 E 上的可测函数。 ( 鲁津定理的逆定理
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试卷一 （参考答案及评分标准）
________________________________，_则称 E 是 L 可测的 4、 f ( x) 可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极 限函数 . （填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设 f ( x) 为 a, b 上的有限函数， 如果对于 a, b 的一切分划，
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2、（ 6 分）设 f ( x) 是 , 上的实值连续函数， 则对于任意 常数 a, E { x | f ( x) a} 是闭集。
4、（6 分）设 mE lim n men 0 .
n
, f ( x) 在 E 上可积， en E(| f | n) ，则
5、（10分）设 f (x) 是 E 上 a.e.有限的函数，若对任意
乎处处存在导数 （C） f ' (x) 在 [ a, b] 上 L 可积 (D)
b
f '(x)dx f (b) f (a)
a
二. 填空题 (3 分× 5=15 分 ) 1、 (Cs A CsB) ( A ( A B)) _________
2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则
o
E' =______, E =______, E =______. 3、设 E 是 Rn 中点集，如果对任一点集 T 都
时，
fn ( x) 0 2 分
'
又因 ln t t
1 ln t t2
0，( t
3 ) ，所以当 n
3, x 0 时，
2．错误 2 分例如：设 E 是 Cantor 集，则 mE 0 ，但 E c ， 故
其为不可数集
5
分
3．错误例如：设 E 是 a, b 上的不可测集，
x, x E; f ( x)
x, x a,b E;