数理逻辑与集合论试卷
高三数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析
高三数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.若集合，，则中元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】略2.已知人订合，则M∩N=" " （）A．B．C．D．【答案】D；【解析】略3.设全集是实数集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】Venn图表示的是,因为，，所以，故选B．【考点】集合的交集、补集运算．4.已知集合，，且，则等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，所以，故选C.【考点】子集的概念.5.命题“存在，为假命题”是命题“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意为恒成立，即，解得，所以为充要条件，故选A．【考点】充要条件的判断．6.已知全集，集合，，则（）A．{1}B．{1，5}C．{1，4}D．{1，4，5}【答案】D【解析】∵，，∴，∵，∴．【考点】集合的交集补集运算．7.已知集合A=，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可以求得，，根据交集中元素的特点，可以求得，故选B．【考点】集合的运算．8.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．B．若命题:所有幂函数的图像不过第四象限，命题:存在，使得，则命题且为真．C．“”是“函数的最小正周期是”的必要不充分条件．D．命题“所有能被整除的数都是偶数”的否定是：“所有能被整除的数都不是偶数”．【答案】B【解析】根据或的否定为且，所以A不对，C中应该是充分不必要条件，所以C不对，根据全称命题的否定是特称命题，所以D不对，因为在B中，两个命题都是真命题，所以命题且为真，故选B．【考点】逻辑．9.已知集合则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，集合，因为，所以，所以，故应选．【考点】1、集合间的基本关系；10.已知定义在R上的奇函数满足，且时，，给出下列结论：①；②函数在上是增函数；③函数的图像关于直线x=1对称；④若，则关于x的方程在[-8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为_________．【答案】①④【解析】根据题意有函数为周期函数，且最小正周期为，根据函数为奇函数，从而有，从而有函数图像关于直线是对称的，所以③不正确，且有，故①正确，结合函数的性质，画出函数的草图，可知函数在上是减函数，故②错误，结合函数图像的对称性，可知关于x的方程在[-8，16]上的所有根之和为，故④是正确的，故答案为①④．【考点】函数的性质的综合应用．11.设是定义在上的函数，则“函数为偶函数”是“函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，当为偶函数时，，所以为奇函数；当为奇函数时，则有，即有，所以为偶函数，所以函数为偶函数是函数为奇函数的充分必要条件，故选C．【考点】1、充分条件与必要条件的判定；2、函数的奇偶性．12.“”是“数列为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当数列为等比数列时，一定成立，但成立时，数列不一定为等比数列，如数列，其中，但该数列不是等比数列，所以“”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选B．【考点】充分条件与必要条件、充要条件．13.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，选A.【考点】集合运算【名师】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．14.集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】或，，所以，故选A．【考点】集合的运算15.已知集合，，则A．B．C．D．【解析】因为集合，所以由交集的定义可知：，故应选．【考点】集合间的基本运算．16.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，当时，可以求得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分必要条件的判断．17.设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}【答案】A【解析】∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．【考点】交、并、补集的混合运算．18.已知命题p：对于，恒有成立，命题q：奇函数的图象必过原点.则下列结论正确的是（）A．为真B．为真C．为真D．为真【答案】C【解析】命题：对于，恒有成立，显然是真命题；命题：奇函数的图象必过原点，例如，函数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，是真命题，为真是正确的，故选C.【考点】1、全称命题的否定与真值表；2、函数的奇偶性.19.已知集合，则________．【答案】【解析】由，所以．【考点】集合的运算．20.设集合，则集合中所有元素之积为（）A．48B．C．96D．192【解析】由题意得，且，令分别等于，解得，所以集合中所有元素之积为，故选C．【考点】集合的新定义运算．21.“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，方程即为其中，即表示双曲线，但“方程表示双曲线”时可得“或”，故“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件，选A【考点】充要条件22.已知全集,集合,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由及可得,所以,故选A.【考点】集合的交集与补集运算.23.已知集合M={x|x2﹣3x﹣4≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3）C．（﹣∞，﹣4]D．（﹣∞，﹣4]∪[1，﹣3）【答案】A【解析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥4，即M=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞），∵N=[﹣3，3），∴M∩N=[﹣3，﹣1]，故选：A．【考点】交集及其运算．24.已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由题意得，，∴，故选B．【考点】集合的运算．25.已知集合，若，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．2【解析】,得子集个数为，故选B.【考点】1、集合的运算；2、子集.26.下列叙述中正确的是（）A．若，则“”的充分条件是“”B．若，则“”的充要条件是“”C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D．是一条直线，是两个平面，若，则【答案】D【解析】在中，满足，当不恒成立，故A错误；当时，由不能得到，故B错误；命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，故C错误；由线面的垂直关系和面面平行的判定，可知选项D正确；故选D．【考点】1.充分条件和必要条件的判定2.全称命题的否定；3.空间中线面关系的转化．27.已知集合，，则 .【答案】【解析】因为集合中只有一个元素3在集合中，所以.【考点】集合的运算．28.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，故选A.【考点】集合的运算.29.设集合，且，则（）A．1B．0C．—2D．—3【答案】C【解析】由可得【考点】集合的关系30.已知集合,则集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，∴.故选D．【考点】集合运算．31.命题：“”；命题：“对任意的，不等式恒成立”，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在平面直角坐标系中，表示的是正方形，表示的是单位圆，如下图所示，故是的充分不必要条件.【考点】充要条件.32.设集合，，则A．{1,3}B．{3,5}C．{5,7}D．{1,7}【答案】B【解析】集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【考点】集合的交集运算【名师】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.33.设集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，；故选C．【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合以及集合的运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意其代表元素的意义，如表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数的图象.【考点】1.集合的表示；2.集合的运算．34.若集合,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以，选C.【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．35.已知实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时，，故若，则不成立；若，则不成立；故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项为D.【考点】充分，必要条件的判定.36.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，故，选项为C.【考点】集合间的关系.37.若非空集合，，则能使成立的所有的集合是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设可得,解之得,故能使成立的所有的值构成的集合为,故应选B.【考点】子集的概念及不等式的解法.38.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】1、不等式解法；2、集合的交集运算．39.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,又，所以,即实数的取值范围是,故选C.【考点】集合的运算.40.已知集合，在区间上任取一实数，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，集合，集合，得，由几何概型可知的长度为，而的长度为，则概率为，故选C．【考点】1.集合的交并集运算；2.几何概型.41.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，故，故选D．【考点】集合的运算．42.已知函数，给出下列两个命题：命题，方程有解．命题若，则．那么，下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，当时，，所以命题为假命题，当时，，所以，所以命题为真命题，所以为真命题，故选B.【考点】1.分段函数的表示；2.逻辑联结词与命题.43.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设,解之得,故应选C.【考点】不等式的解法与充分必要条件的判定.44.已知集合,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,,所以，故选D.【考点】集合的运算.45.若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得“，”是真命题，因此【考点】命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x)成立即可，否则就是假命题.46.下列五个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题，使得，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；（4）已知正态总体落在区间的概率是，则相应的正态曲线在时，达到最高点；（5）曲线与所围成的图形的面积是.A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】（1）命题，使得所以，，均有；（2）直线与直线互相垂直的充要条件为; （3）由题意得满足回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为的回归直线方程为; （4）由于正态总体落在区间的概率是,所以相应的正态曲线在时，达到最高点; （5）解出两曲线交点,因此所围成的图形的面积是命题正确的有（3）（4）（5）这三个,选B.47.已知集合,集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，集合，所以，故选B。
数理逻辑与集合论试卷
数理逻辑与集合论试卷2006年的考题一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X?A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。
二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={|3x≤y},求R-1, R2, r(R), t(R)。
三、R和S是集合A上的等价关系，A/R={{1,2},{3,4},{5}},A/S={{1},{2,3,4,5}},求①(A/R)∩(A/S) ②∪(A/R) ③R∩S ④A/(R∩S)。
四、用谓词逻辑公式表示下列命题：任何两个不同的有理数之间必有另一个有理数。
五、设R是A上的关系，证明：R是拟反对称的（即R[imasym]）当且仅当R既是反自反的（即R[irref]）又是反对称的（即R[asym]）。
六、请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。
①A⊕C=B⊕C当且仅当A=B。
②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。
七、R是非空集合A上的关系且满足自反性（即R[ref]）和传递性(即R[tra])，S是A上的关系且S={|存在A中元素x和y使得∈R且∈R}, 证明：S是A上的等价关系。
八、是偏序，如果D?A，且满足以下条件：x?y((x∈D & y∈D)??z(z∈D & x≤z & y≤z))，则称D是有向集。
①证明：如果D是有限的有向集，则D有最大元。
②举例说明如果D是无限的有向集，则D中不一定有最大元。
2005年的考题一、A={2,3,4}，R是A上的关系，R={|x+y=6},①R是否具有自反性？是否具有传递性？说明理由。
②求R-1，R2，ts(R)。
二、A={a,b,c,d,e,f},R={,,,,,,}, R’=tr(R),画出的哈斯图，求{c,d,e}的最大元、极小元、上界、下界和最大下界。
三、A={a,?}，B=?∪{?},求A⊕B，P(A-B)，A×A。
四、用谓词逻辑公式表示下列命题：1) 存在最小的自然数。
离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={a，b，{a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024B．10C．100 D．17．集合A={1, 2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x,y∈A}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A ．0B ．2C ．1D ．310．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}， S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如图一所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B 的（）． A ．下界 B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2,3,4,5,6,7,8}，R 是A 上的整除关系，B ={2,4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )． A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2 C ．6、2、6、2D ．8、1、6、113．设A ={a ,b }，B ={1,2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>,<b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ ）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 3二、填空题1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为． 2．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是． 应该填写：{∅,{a ,b },{a },{b }}3．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且 则R 的有序对集合为．4．设集合A ={0,1,2}，B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的关系矩阵M R ＝ ．5．设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系R ={<a ,b >,<c .a >}，S ={<a ,a >,<a ,b >,<c ,c >}则(R •S )－1=．5图一6．设集合A =｛a ,b ,c ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是．7．若A ={1,2}，R ={<x ,y >|x ∈A ,y ∈A ,x +y =10}，则R 的自反闭包为． 8．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 ．9．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断 结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否 成立？并说明理由．3．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示， 则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． 4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示， 则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．5．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N →R ，f (x )=x +6，则f 是单射．四、计算题1．设集合A ＝{a , b , c }，B ={b , d , e }，求（1）B ⋂A ； （2）A ⋃B ； （3）A －B ； （4）B ⊕A ．2．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）． 3．设集合A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．4．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．5．设A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，R 是A 上的整除关系，B ={2,4, 6}．（1）写出关系R 的表示式；（2）画出关系R 的哈斯图； （3）求出集合B 的最大元、最小元． 6．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的关系图 如图三所示．图一图二ad bc图三（1）写出R 的表达式； （2）写出R 的关系矩阵；（3）求出R 2．7．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x ,y ∈A ；|x -y |=1或x -y =0}，试 （1）写出R 的有序对表示； （2）画出R 的关系图； （3）说明R 满足自反性，不满足传递性．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．4．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．参考解答一、单项选择题1．A2．B3．C4．B 5．C6．A 7．B8．B 9．B 10．C 11．C12．B13．B二、填空题 1．2n2．{∅,{a ,b },{a },{b }}3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>4．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011000011 5．{<a .c >,<b ,c >} 6．反自反的7．{<1,1>,<2,2>}8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >} 9．8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．解：错．设A={1, 2}，B={1}，C={2}，则A∪B=A∪C，但B≠C．2．解：成立．因为R1和R2是A上的自反关系，即I A⊆R1，I A⊆R2。
清欠考试--2009-2010第二学期《集合论与数理逻辑》试题
南京邮电大学 2009/2010 学年 第 二 学期《 集合论与数理逻辑 》清欠考试试卷院(系) 班级 学号 姓名注意：1. 2. 试卷和答题纸上均填写完整的班级、学号和姓名。
3. 考试结束后将试卷、答题纸、草稿纸交监考老师方可离开考场。
一、填空题 (每空2分，共20分)1．设{2,,{3},4},{{},3,4,1}A a B a ==，请在下列集合中间填入适当的符号：{}a ;{,4,{3}}B a A 。
2．设集合{1,2,3},{2,3},{3,4}A B C ===，则A B A C ⨯-⨯= B C ⊕=3．设{1,2,3,4,2,2}f =<><><>，{4,2,2,5,3,1}g =<><><>，则f g =1()f g -=4．公式P Q →的逆换式是 。
5．集合{}A a =的幂集()A ρ为 。
6．))())()(((x R z Qy P z y x →→∀∃∃中y ∃的作用域是 。
7．设N 为自然数集合，R 为实数集合，则[]K N []K R 。
装订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚信 考 试，绝 不 作 弊二、判断题，正确的打√，错误的打×。
(每题2分，共20分)1．“这朵花多好看啊！”是命题。
( ) 2．如果A B A C ⋂=⋂，则B C =。
( )3．设{,,}A a b c =，则A 上的二元关系{,,,,,,,}R a c b b b c c c =<><><><>具有传递性。
( ) 4．空集是任何集合的子集。
( ) 5．关系{,|,,10}f n m n m N n m =<>∈+<是函数。
( ) 6．凡是陈述句都是命题。
( ) 7．五个连接词的运算优先次序为,,,,⌝∨∧→ 。
清欠考试--2009-2010第二学期《集合论与数理逻辑》答案
南京邮电大学 2009/2010 学年 第 二 学期 《 集合论与数理逻辑 》清欠考试标 准 答 案一、填空题 (每空2分，共20分)1．设{2,,{3},4},{{},3,4,1}A a B a ==，请在下列集合中间填入适当的符号：{}a ∈ ;{,4,{3}}B a ⊂⊆或 A 。
2．设集合{1,2,3},{2,3},{3,4}A B C ===，则A B A C ⨯-⨯= {1,2,2,2,3,2<><><>B C ⊕= {2,4}3．设{1,2,3,4,2,2}f =<><><>，{4,2,2,5,3,1}g =<><><>，则 f g = {1,5,3,2,2,5}<><><>1()f g -= {5,1,2,3,5,2}<><><>4．公式P Q →的逆换式是 Q P → 。
5．集合{}A a =的幂集()A ρ为 {,{a}}Φ 。
6．))())()(((x R z Q y P z y x →→∀∃∃中y ∃的作用域是 P (y )Q (z →。
7．设N 为自然数集合，R 为实数集合，则[]K N < []K R 。
二、判断题，正确的打√，错误的打×。
(每题2分，共20分)1．“这朵花多好看啊！”是命题。
( × )2．如果A B A C ⋂=⋂，则B C =。
( × )3．设{,,}A a b c =，则A 上的二元关系{,,,,,,,}R a c b b b c c c =<><><><>具有传递性。
( √ )4．空集是任何集合的子集。
( √ )5．关系{,|,,10}f n m n m N n m =<>∈+<是函数。
暨南大学离散数学周密试卷数理逻辑与集合论 — 参考试卷
暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 设命题 p ：罗素悖论的真值为假，q ：暨南大学的校训是信敏廉毅，r ：离散数学是计算机科学不可分割的一门基础课程，则复合命题:()()()()()p q r q p r p ⌝∧⌝∨∧⌝↔⌝→∨的真值为 ;2. 下列各式中为永真式的有： (1) Q Q P P →→∧))(( (2) Q Q P →→)( (3) )(Q P P ∨→(3) Q Q P P →∨∧⌝))(((5) )(Q P Q ∧→3. A 是个10元集合，B 是个2元集合，则集合A B 中元素的个数为4. 设M(x)：x 是人，C(x)：x 很聪明，则命题：“尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
”可符号化为：5. 设R(x)：x 是实数；L(x, y)：x 小于y ，则谓词公式：(()(()(,)))x R x y R y L x y ∀→∃∧用自然语言表述就是：6. 设个体域为A={a, b, c}，消去公式()()xP x xQ x ∀→∃中的量词得到的与之等值的谓词公式为：7. P(A)表示集合A 的幂集，则((()))P P P ∅ =8. ())(B A B B A ⋃-⋂⋃=9. 设D 为同一平面上直线的集合，并且 // 表示两直线的平行关系，⊥表示两直线间的垂直关系，则 20// ＝ ，21⊥＝10. 设{}c ,b ,a A =，{},,,A R a b b a I =<><>⋃是A 上的等价关系,设自然映射,R /A A :g →,那么()=a g二、简答题（共4小题，每小题6分，共24分）1.(1)求公式()()⌝∨⌝→↔⌝P Q P Q 的主析取范式（要有过程）；（4分） (2)根据主析取范式直接写出该公式的主合取范式；（2分）2. 求与下面谓词公式等值的前束范式（要有过程）：(()())(()())x F x G x xF x xG x ∀→→∃→∃3. 设A ={1,2,3,4}，在A ?A 上定义二元关系R ：< <x , y >, <u , v > >?R ? x+y = u+v ，求R 导出的划分。
高三数学集合与逻辑100道真题(含答案)
xxx 学校2016-2017学年度3月同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共72道小题，每小题0分，共0分） 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.1303.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝6.16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件7.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A.()()p q ⌝∨⌝B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.p q ∨9.已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =I （ ）A.{}|0x x ≤B.C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或10.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]11.（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 12.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i13.4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈14.1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅15.2、命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A 、对任意x R ∈，都有20x <B 、不存在x R ∈，都有20x <C 、存在0x R ∈，使得200x ≥D 、存在0x R ∈，使得200x <16.1、已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B U ð（ ）A 、{}134，，B 、{}34，C 、 {}3D 、 {}417."0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件18.10. 设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,19.2.已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件21.设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=A (1,4)B (3,4)C (1,3)D (1,2)∪（3,4）22.“ϕπ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”（ ）（A ）充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件23.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =I （ ）（A ）{0} （B ）{1,0}- （C ）{0,1} （D ）{1,0,1}-24.已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A ∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B25.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）626.给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件27.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.928.（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =(） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3}（D ）{0，1，2，3} 29.设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( ) A . {}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 30.设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 31.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=125|,2)3(log |21x x B x x A ＞，则A I B =（ ）A ．()3,1-B ．[)+∞,3C ．[]3,1-D ．)1,2(--32.设∈b a ,R ，则使b a ＞成立的一个充分不必要条件是 （ ）A ．33b a ＞B ．0)(log 4＞b a -C ．22b a ＞D ．ba 11＜ 33.已知集合}{01|=-=ax x A ，∈≤=x x x B ,2log 12＜｛N ｝，且A B A =I ，则a 所有可能组成的集合是 （ ）A ．φB ．｝｛31C ．｝｛41,31D ．｝｛41,31,0 34.下列四个命题：（Ⅰ）∈∀n ，n n ≥2； （Ⅱ）∈∃n ，n n ＜2； （Ⅲ）∈∀n ，∈∃m ，n m ≤2； （Ⅳ）∈∃n ，∈∀m ，m n m =⋅．请在①自然数集N ；②整数集Z ；③有理数集Q ；④实数集R ；⑤区间(]1,0，中任选一个填在上面四个空中，使其中至少有三个命题为真命题的是 (把所有符合题意的序号都填上)．35.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]={5n+k n ∈Z}，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“b a -∈[0]”.其中正确的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．436.设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数t 和向量M a ∈ρ,都有M a t ∈ρ,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①2{(,)|}x y x y ≥；②0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭； ③22{(,)|20}x y x y x +-≥； ④22{(,)|3260}x y x y +-<；上述为“点射域”的集合的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．437.在四棱锥V-ABCD 中，B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 上的点，则命题P ：“若B 1，D 1分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体AB 1CD 1的体积与四棱锥V-ABCD 的体积之比为1：4”和它的逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．438.对于数列{}n a ，“)3,2,1(,,21⋯=++n a a a n n n 成等比数列”是“221++=n n n a a a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件39.已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，试求[1,1]x ∀∈-，ax x f ≥|)(|成立的充要条件（ ）A ．(][)+∞--∞∈,01,Y aB ．[]0,1-∈aC ．[]1,0∈aD ．[)0,1-∈a40.设有两个命题，命题p ：对a ρ，b ρ均为单位向量，其夹角为θ，＞b a ρρ+1是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈32,0πθ的充要条件，命题q ：若函数28y kx kx =--的值恒小于0，则320k -<<，那么 （ ）A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题 41.在下列结论中，正确的结论为 （ ）①“q p 且”为真是“q p 或”为真的充分不必要条件;②“q p 且”为假是“q p 或”为真的充分不必要条件;③“q p 或”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件;④“p ⌝”为真是“q p 且”为假的必要不充分条件.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④42.已知平面向a ρ，b ρ满足1=a ρ，2=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο60，则1=m 是()a b m a ρρρ⊥-的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条43.若三角方程cos 0x =与cos20x =的解集分别为E,F ，则 （ ）A ．E ⊃≠FB ．E ⊂≠FC ．E=FD ．φ=FE I 44.下列命题中的真命题是 （ ）A ．3是有理数B ．22是实数C ．2e 是有理数D ．{}R x x =是小数|45.下列特称命题中，假命题是 （ ）A ．∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数46.非负整数a ,b 满足1=+-ab b a ，记集合(){}b a M ,=，则M 的元素的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个47.若集合22310.5|25|1{|3},{|log (44)0},{|2}252x x x A x B x x x C x x -+-=<=-+>=<-，则“B A x I ∈”是“C x ∈” （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件48.命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是 （ ）A ．所有不能被5整除的数都是偶数B ．所有能被5整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被5整除的数都是偶数D ．存在一个能被5整除的数不是偶数49.定义集合}{n x x x A ,...,,21=，{}()+∈=N m n y y y B m ,,,...,21，若m n y y y x x x +++=+++......2121则称集合A 、B 为等和集合。
高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析
高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.设全集为R，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，【考点】1．解不等式；2．集合的子集关系2.已知集合，，若，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】集合A化简得若，【考点】集合的子集关系3.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．都是奇数B．都是偶数C．至少有两个偶数D．至少有两个偶数或者都是奇数【答案】D【解析】否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为“至少有两个偶数或者都是奇数”．【考点】反证法．4.（本小题16分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为Pk．（1）求P1，P2;（2）求P1+P2+…+Pn．【答案】（1）P1=， P2=（2）n（n+1）·2n-2【解析】（1）及时定义的题目，关键从定义出发：P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=（2）类似得Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1试题解析：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}，则P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=．（2）易得数集P的k（1≤k≤n，k∈N*）元子集中，每个元素均出现次，故Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1=n（n+1）·2n-2．【考点】新定义题目，组合数性质5.（本小题满分10分）已知集合．（Ⅰ）若的充分条件，求的取值范围；（Ⅱ）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】先解集合中的不等式,将集合化简．讨论集合中方程两根的大小,从而可得的解集即集合,（Ⅰ）根据的充分条件可知,根据可得关于的不等式,从而可求得的范围．（Ⅱ）根据画数轴分析可得关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）①当时，，不合题意；②当时，，由题意知③当时，，由得，此时无解,综上：（Ⅱ）当时，，合题意．当时，，由得当时，，由得综上述：时【考点】1一元二次不等式；2集合的关系．6.设集合，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，故选B.【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的运算.7.（本小题10分）命题：实数满足，其中；命题：实数满足或；若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】实数的取值范围为．【解析】先由命题和是真命题，解出每个不等式的解集；再根据是的必要不充分条件，由命题的等价性，得到或，即可解得实数的取值范围．试题解析：方程对应的根为，；由于，则的解集为，故命题成立有；由得，由得，故命题成立有若是的必要不充分条件，所以或，即或．【考点】1、一元二次不等式的解法；2、逻辑与命题．8.已知命题则命题的否定形式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，需将结论加以否定，因此命题的否定为【考点】全称命题与特称命题9.若命题，则命题为．【答案】【解析】非P命题只需把P命题中的特称改为全称，把大于改为小于等于．其他内容与顺序不变．【考点】特称命题的否定．10.已知命题，则命题的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由全称命题的否定为特称命题可知，所求命题的否定为，故应选B.【考点】特称命题的否定.11.已知p：存在x∈R，．q：任意，若或为假命题，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵存在x∈R，，∴，∵任意，∴，∴，∵为假命题，∴为假命题，也为假命题，∵为假命题，则，为假命题，则或，∴实数的取值范围是，即，故选A．【考点】复合命题的真假判断．12.已知，设命题函数是上的单调递减函数；命题：函数的定义域为．若“”是真命题，“”是假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】要使“”是真命题，“”是假命题，应有p,q一真一假即“p真q假”或“P假q真”两种情况，可分情况讨论，解题时可先分别求出“p真”、“q真”时的取值范围，其补集即为使“p假”、“q假”的的范围．试题解析：解：若为真，则若为真，则或为真命题，为假命题，一真一假当真假时，当假真时，综上所述：实数的取值范围为【考点】简易逻辑中“”、“”形式符合命题真假判断的应用及分类讨论数学思想的应用．13.命题“若”的逆否命题是（）A．若B．C．若D．【答案】D【解析】一个命题的逆否命题是把原命题的假设和结论否定并且交换位置，所以命题“若”的逆否命题是，故选D．【考点】四种命题14.下列结论中，正确的是（）①命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；②已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③是周期函数，是周期函数，则是真命题；④命题的否定是：．A．①②B．①④C．①②④D．①③④【答案】C【解析】①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；，所以是正确的；②中，乙：，根据向量的数量积公式，能推出甲：的等价条件是，反之推不出，所以是正确的；③中，不是周期函数，所以是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题的否定是：，所以是正确的．【考点】全称命题与存在命题；命题的否定．15.下列四个命题申是真命题的是______（填所有真命题的序号）①“为真”是“为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成的角：④动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹为一个椭圆．【答案】①③④．【解析】：①“为真”，则p，q同时为真命题，则“为真”，当p真q假时，满足为真，但为假，则“为真”是“为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，③设正三棱锥为，顶点在底面的射影为，则为的中心，为侧棱与底面所成角,如图：∵正三棱锥的底面边长为3，∵侧棱长为2，∴在直角△POC中，∴侧棱与底面所成角的正切值为,，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点和定圆的圆心的距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，故答案应填：（1），（2），（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【方法点晴】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，复合命题真假的判断、立体几何中的线面角、解析几何中圆与圆的位置关系及轨迹问题，综合性较强，难度中等．对于这种多个命题真假的判断，宜采用逐个判断的方法进行，利用相关知识逐个判断即可．16.设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或【解析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜5、．由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可试题解析：命题为真时：，即:命题为假时:命题为真时:命题为假时:由为真，为假可知: 、一真一假①真假时:②假真时:综上所述: 或【考点】1．命题的真假判断与应用；2．椭圆的定义；3．双曲线的简单性质18.有下列四个命题：（1）“若，则”的否命题；（2）“若，则”的逆否命题；（3）“若，则”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于（1）中，命题“若，则”的逆命题为“若，则”是假命题，所以命题的否命题也为假命题；（2）中命题“若，则”为假命题，所以它的逆否命题为假命题；（3）中，命题“若，则”的否命题为“若，则”是假命题；（4）中，命题“对顶角相等”的逆命题为“相等角为对顶角”，所以也为假命题，故选A．【考点】四种命题及命题的真假判定．19.5．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，在区间内单调递增，当时,结合二次函数的图像可得函数在区间内单调递增，当时，函数图像如图所示，在区间内有增有减【考点】二次函数及充要条件．20.（2015秋•运城期末）命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【答案】D【解析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x＞2或x ＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【考点】复合命题的真假．21.（2015春•咸阳校级期中）“m=1”是复数z=m2﹣1+（m+1）i为纯虚数的（）A．充分不必要条件B．必要不从分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据复数的概念进行求解即可．解：若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，必有：m2﹣1=0且m+1≠0，解得，m=1，∴“m=1”是复数z=m2﹣1+（m+1）i为纯虚数的充要条件，故选：C．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．22.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【考点】命题的否定．23.已知命题函数在定义域上单调递减；命题不等式对任意实数恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．【答案】－2<a ≤2【解析】由对数函数的性质知0＜a＜1；由不等式分类讨论求恒成立，从而解出a，再求并集即可试题解析：命题P函数y＝loga （1+2x）在定义域上单调递减；∴0<a<1又∵命题Q不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对任意实数x恒成立；当a＝2时，不等式化简为－4< 0，成立当a ≠ 2时∴当－2<a ≤ 2时原不等式恒成立∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a ≤2【考点】1．复合命题的真假；2．函数与不等式的应用24.“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解方程“（x﹣2）•（x+5）=0”，进而结合充要条件的定义可得答案．解：当“x=2”时，“（x﹣2）•（x+5）=0”成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分条件；当“（x﹣2）•（x+5）=0”时，“x=2”不一定成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的不必要条件，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分不必要条件，故选：B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．25.已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）[，]（Ⅱ）m≥3或m≤﹣3【解析】（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，则，即，即m2≤3，解得≤m≤，即m的取值范围是[，]．（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．26.已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围.【答案】或.【解析】首先将集合进行化简，再根据命题是命题的充分条件知道，利用集合之间的关系，就可以求出实数的取值范围.试题解析：解：化简集合，由，配方，得.，，.，化简集合，由，，命题是命题的充分条件，.，解得，或.实数的取值范围是【考点】1、充分条件；2、二次函数的值域；3、集合之间的关系.27.已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．【答案】（0，]∪[1，+∞）【解析】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）【考点】复合命题的真假．28.设命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）1≤x＜2（2）3＜a【解析】（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，解得，由a=2，可得；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得x范围．利用p∧q为真即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，即可得出．解：（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，化为＜0，解得，∵a=2，∴；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3．∵p∧q为真，∴，解得1≤x＜2．∴实数x的取值范围是1≤x＜2．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，∴，解得3＜a．∴实数a的取值范围是3＜a．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．29.命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【答案】D【解析】试题分析:根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【考点】四种命题．30.给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么；③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；④函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为．其中真命题的序号是________．【答案】③④【解析】对于①中，命题“”的否定是“”，所以是错误的；对于②，在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么与的关系是或或与相交，所以不正确；对于③中，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以是正确的；对于④中，函数的定义域为，且，当时，函数；当时，函数，当时，，类比有，，也就是说，的部分是将的部分，周期性向右平移个单位长度得到的，若方程有两个不同实根，则的取值范围为，所以是正确的．【考点】命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定与应用，着重考查了分段函数的解析式的而求解和三角函数的图象变换、直线与平面位置关系的判定、全称命题与存在性命题的关系的综合应用，训练了函数的零点的判定方法，属于中档试题，本题④的解答中，由分段函数的解析式得到函数在的部分是将的部分，周期性向右平移个单位长度得到的，确定方程有两个不同实根，则的取值范围为是解答的一个难点，充分体现了转化的思想方法和数形结合思想的应用．31.若“”，“”，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知：，所以是的充分不必要条件.故选A.【考点】充分条件和必要条件.32.直线的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（）A．B．C．且D．且【答案】B【解析】直线的图像经过第一、二、四象限，则，所以，故A，C错误，D是充要条件，B是必要不充分条件．故选B．【考点】充分必要条件．33.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【答案】D【解析】命题为: “甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”.所以表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米.故D正确.【考点】复合命题.34.已知命题关于的方程有实数根，命题．(Ⅰ) 若是真命题，求实数的取值范围；(Ⅱ) 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)为真命题,则方程无实根,所以其判别式小于0.从而可求得的范围. (Ⅱ)命题为真,则其判别式大于等于0.是的必要非充分条件,则命题中取值的集合是命题中取值集合的真子集,从而可得关于的不等式.试题解析：解法一：(Ⅰ) 当命题是真命题时，满足则解得或是真命题，则是假命题即实数的取值范围是.(Ⅱ) 是的必要非充分条件则是的真子集即或解得或实数的取值范围是.解法二：(Ⅰ) 命题：关于的方程没有实数根是真命题，则满足即解得实数的取值范围是.(Ⅱ) 由 (Ⅰ)可得当命题是真命题时，实数的取值范围是是的必要非充分条件则是的真子集即或解得或实数的取值范围是.【考点】1命题;2充分必要条件.35.对于任意实数、、、，下列真命题是( )A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】A中当时才成立；B中当时才成立；C中由已知可知，所以命题成立；D 中时不成立【考点】不等式性质36.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1) (2,3) (2) (1,2]【解析】分别化简命题p：a＜x＜3a；命题q：实数x满足，解得2≤x≤3．（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，由p∧q为真，可得p与q都为真；（2）￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出试题解析：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0. ……2分又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时，2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)因为非p是非q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，于是满足解得1<a≤2，故所求a的取值范围是(1,2]．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断37.若集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】集合的补集及对数不等式解法．38. “a=”是“直线l 1：（a+2）x+（a ﹣2）y=1与直线l 2：（a ﹣2）x+（3a ﹣4）y=2相互垂直”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，两条直线分别化为：，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，此时两条直线不相互垂直，舍去；当且时，由于两条直线相互垂直，∴，解得．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：或．∴“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．39. 已知集合，函数的定义域为集合，若，求实数的值． 【答案】． 【解析】先将集合明确化,再借助建立方程分类求解即可.试题解析：由且得：，即.当即时，，不满足； 当即时，，由得， 此时无解； 当即时，，由得，解得. 故所求实数的值为.【考点】集合相等的条件及运用．40. 已知：函数f （x ）对一切实数x ，y 都有f （x+y ）﹣f （y ）=x （x+2y+1）成立，且f （1）=0． （1）求f （0）的值． （2）求f （x ）的解析式． （3）已知a ∈R ，设P ：当时，不等式f （x ）+3＜2x+a 恒成立；Q ：当x ∈[﹣2，2]时，g （x ）=f （x ）﹣ax 是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求A∩∁R B （R 为全集）．【答案】（1）﹣2；（2）f （x ）=x 2+x ﹣2；（3）A∩C R B={a|1≤a ＜5}．【解析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=﹣1，y=1求出f （0）； （2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f （x ）的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合A ，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B ． 解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f （0）﹣f （1）=﹣1（﹣1+2+1） ∴f （0）=﹣2（2）令y=0，则f （x ）﹣f （0）=x （x+1） 又∵f （0）=﹣2 ∴f （x ）=x 2+x ﹣2（3）不等式f （x ）+3＜2x+a 即x 2+x ﹣2+3＜2x+a 也就是x 2﹣x+1＜a ．由于当时，，又x 2﹣x+1=恒成立，故A={a|a≥1}，g （x ）=x 2+x ﹣2﹣ax=x 2+（1﹣a ）x ﹣2 对称轴x=，又g （x ）在[﹣2，2]上是单调函数，故有，∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，C R B={a|﹣3＜a ＜5} ∴A∩C R B={a|1≤a ＜5}．41. 设集合，那么“”是“”的____________条件.【答案】必要不充分【解析】 由于集合M 真包含集合N ，所以“”是“”的必要不充分条件.【考点】充要条件42. 设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【考点】集合运算 43. “”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】由可得到，反之由可得到，所以“”是“”的充分非必要条件【考点】充分条件与必要条件 44. 是直线与圆相切的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线与圆相切等价于,由可推出,即直线与圆相切,充分性成立；反之,解得或,必要性不成立.故选A. 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题通过直线与圆的位置关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.45. 设集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知【考点】集合运算46.给出下列四个命题：（1）若为假命题，则、均为假命题；（2）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是；（3）已知函数则；（4）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是.其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】（1）根据复合命题的真假关系可知，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，正确（2）命题“”为真命题，则，∵x∈[1，2），∴∈[1，4），则a≥4，则a≥1是命题为真命题的一个必要不充分条件，故（2）错误，（3）已知函数，则，则f（2）=6；故（3）正确，（4）若函数的定义域为R，则等价为，当m=0时，不等式，等价为3≠0，此时满足条件，故则实数m的取值范围是错误．故（1）（3）正确【考点】命题的真假判断与应用47.设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠的集合S的个数是（）A．57B．56C．49D．8【答案】B【解析】若满足，那么的个数为个，但其中有的子集不满足条件，所以的子集个数为个，所以共有个，故选B．【考点】集合的子集48.全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】或，，，那么，故选C.【考点】集合的运算M）等于（）49.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩（CUA．{1,3}B．{1,5}C．{3,5}D．{4,5}【答案】C【解析】，所以。
集合与数理逻辑用语测试题3份
测试一填空：(每空2分，共30分)1.用适当的符号(、、、＝、)填空：(1)0_______；(2)5______{质数}；(3){，}______{，，}；(4){1，3}_____{|－4＋3＝0}；(5){0，－1}_____{|＋＝0}.2.用列举法表示9的平方根的全体构成的集合________.3.用性质描述法表示大于－2的整数全体构成的集合________.4.用充分条件、必要条件、充要条件填空(1)＞0是，都是正数的________；(2)＝4是＝－2或＝2的________；(3)＞5是＞4的________；(4)sin＝是＝45°的___________.5.已知＝，＝{|≥－4}，＝{|＜6}，则∪＝_________，∩＝________，＝_______，＝_________.选择题:(每题5分，共25分)6.设，＝{|＜3}，则正确结论是( ).(A)(B)(C){}(D){}7.{正实数}∩{整数}等于( ).(A){正有理数} (B){整数} (C){正整数} (D){自然数}8.下列句子不是命题的是( ).(A)5＋1－3＝4 (B)正数都大于0(C)＞5 (D)9.下列命题是真命题的是( ).(A)8≤8(B)3＋4＝5或2＞3(C)(－2)＝－8，且|－1|＝－1.(D)如果2≠3，则1＝210.“，至少有一个是正数”的否定是( ).(A)，都是正数(B)，都不是正数(C)，都是负数(D)，不都是正数解答题：(共45分)11.写出下列集合之间的关系，并用图形表示：＝{有理数}，＝{偶数}，＝{奇数}，＝{|是能被4整除的数}.(8分)12.设全集＝{绝对值不大于3的整数}，＝{－1，1，2}，＝{－2，－1}.求∪，∩，∩，∪.(12分)13.写出集合{，}的所有子集和真子集.(8分)14.写出下列命题的否定，并判断真假.(12分)(1)是无理数；(2)对实数，都有－4＋4＞0；(3)实数，使得＋1＝0；(4)15能被3整除或能被7整除.15.用充分条件和必要条件叙述下面的真命题：如果是整数，则(＋1)是偶数.(5分)答案、提示和解答：1.(1) ；(2)(3)；(4)＝；(5)＝.2.{－3，3}.3.{|＞－2}.4.(1)必要条件；(2)充要条件；(3)充分条件；(4)必要条件.5.∪＝；∩＝{|－4≤＜6}；＝{|＜－4}；＝{|≥6}.6.D7.C.8.C .9.A .10.B. 11.； C.图示如下：(第11题)12.＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∪＝{－2，－1，1，2}；∩＝{－1}；∩＝{－3，0，3}；∪＝{－3，－2，0，1，2，3}.13.{，}的所有子集有，{}，{}，{，}.真子集有，{}，{}.14.(1)不是无理数(假)；(2)实数，使得－4＋4≤0 (真)；(3)对实数，都有＋1≠0 (真)；(4)15不能被3整除，且不能被7整除(假).15.“是整数”是“(＋1)是偶数”的充分条件，“(＋1)是偶数”是“是整数”的必要条件.测试二填空:(每空2分，共30分)1．用适当的符号(，，，＝，)填空：(1)0_______；(2)－4_______；(3)｛｝_______｛，｝；(4)｛1，3，5｝_______；(5)｛｜＝＋1｝_______｛｜＜0｝.2．用列表法表示方程－5＋4＝0的解集为_______.3．正奇数的全体构成的集合用性质描述法可表示为_______.4．用充分条件、必要条件、充要条件填空：(1)＝0或＝0是＝0的_______；(2)－2＝0是＋－6＝0_______；(3)＞1是＞4的_______；(4)“＋是整数”是“、都是整数”的____________.5．已知全集＝｛｜≤5，｝，＝｛2，4｝，＝｛1，4，5｝，则∪__________；∩__________；__________；∪__________.选择题：(每小题5分，共25分)6．下列关系式中，正确的一个是( ).(A)0(B)｛0｝(C)｛0｝(D)｛0｝7．已知命题：(1)或＝｛｝(2)｛0｝，且.(3)9是奇数，且是质数(4)如果2＞7，则3＞5.其中为假命题的是( ).(A)(1)、(3) (B)(2)、(4) (C)(2)、(3)、(4) (D)(2)、(3)8．是∪＝的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件9．“，，都不等于0”的否定是( ).(A)，，都等于0 (B)，，不都等于0(C)，，中至少有一个不等于0 (D)，，c中至少有一个等于010．已知集合＝｛(，y)｜2＋＝3｝，＝｛(，)｜－4＝6｝，则∩等于( ).(A)｛(2，－1)｝(B)(2，－1) (C)｛(－2，1)｝(D)解答题：(共45分)11．(8分)写出集合｛2，3，4｝的所有子集和真子集.12．(8分)已知全集＝，＝｛｜－2＜＜3｝，＝｛｜＜－1｝，求∪，∩，，13．(8分)判定下列集合、之间的关系：(1)＝｛｜＜2｝，＝｛｜＜4｝(2)＝｛｜是6的倍数｝，＝｛｜是偶数，且是3的倍数｝.14．(12分)写出下列命题的否定，并判断否定的真假：(1)3不是质数；(2)实数，使＋1＝0；(3)对实数，都有－2＋1＜0；(4)3＜2或1＋1＝3.15．某班学生期中考试数学得优秀的有19人，物理得优秀的有15人，其中数学，物理两科中至少有一科优秀的有24人，求两科都优秀的学生人数.(9分)答案、提示和解答：1．(1)；(2)；(3)；(4) ；(5)＝. 2．｛0，1，4｝. 3．｛｜＝2＋1，｝. 4．(1)充要条件；(2)充分条件；(3)必要条件；(4)必要条件.5．｛1，2，4，5｝；｛4｝；｛0，1，3，5｝；｛0，1，2，3，5｝. 6．C．7．D．8．A. 9．D. 10．A.11．子集有，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛2，3，4｝.真了集有，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝.12．∪＝｛｜＜3｝；∩＝｛｜－2＜＜－1｝；＝｛｜≤2或≥3｝；＝｛｜≥－1｝.13．(1)∵＜2＜4，∴. (2)∵是6的倍数是偶数，且是3的倍数，∴＝.14．(1)3是质数，(真)；(2)对实数，使＋1≠0(假)；(3)实数，都有－2＋1＞0(真)；(4)3≥2或1＋1≠3(真).15．设＝｛｜是数学得优秀的学生｝，设＝｛｜是物理得优秀的学生｝，则Card()＝19，Card()＝15，Card(∪)＝24，∵Card(∩)＝Card()＋Card()－Card(∪)＝19＋15－24＝10.∴数学、物理两科得优秀的学生有10人.测试三选择题:(每题5分，共50分)1．设集合＝｛－1，0，1｝，＝｛0｝，则( ).(A)为空集(B)(C)(D)2．下列各式中，正确的个数是( ).(1)0＝｛0｝；(2)0 ｛0｝；(3)0｛0｝；(4)0＝；(5)｛0｝＝；(6)｛0｝；(7)｛0｝；(8)0(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．由，0，1，2构成的集合的真子集总共有( )个.(A)8个(B)7个(C)6个(D)5个4．设集合＝｛｜＝2＋1，Z｝，＝｛｜＝4±1，｝，那么与的关系是( )(A)＝(B)(C)(D)5．设全集＝｛1，2，3，4，5｝，＝｛2，3，4｝，＝｛1，2，5｝，＝｛2，4｝. 则集合｛1，3，5｝应是( ).(A)(∩)∪(B)(∪)∩(C)∩(D)(∪)∩6．如果＝｛｜0≤＜2｝，＝｛｜－1＜＜1｝，则∩＝( ).(A)｛｜0≤＜1｝(B)｛｜－1≤＜2｝(C)｛｜0≤≤1｝(D)7．设命题：｛｝，：3＝5，则在下列命题中：(1),(2),(3),(4),(5), (6) ,其中真命题的个数是( ).(A)2 (B)3 (C)4 (D)58．已知，为实数，那么＝0是＋＝0的( ).(A)充要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件9．设表示男、女生同班的高一(1)班全体学生构成的集合.＝｛高一(1)班的男学生｝，＝｛高一(1)班参加运动会的学生｝，则集合｛不参加运动会的高一(1)班女学生｝可表示为( ).(A)∩(B)∩(C)∪(D)(∪)10．“是等腰直角三角形”的否定是( ).(A)是直角三角形但不是等腰三角形(B)是等腰三角形但不是直角三角形(C)不是等腰三角形，且不是直角三角形(D)△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形填空题.(每空5分，共35分).11．集合＝｛1，3，5，7｝用性质描述法表示为___________.12．设＝｛(，)｜＜0，∈，∈｝，则为第________象限的点集. 13．用适当的符号填空：(1)｛2｝______｛｜＝4｝；(2)0_______｛｜＋2＝0｝；(3)｛｜(－2)(＋3)＝｛｜－2＝0｝_______｛｜＋3＝0｝；(4)｛｜(＋1)(－4)≠0｝＝｛｜＋1≠0｝_______｛｜－4≠0｝；(5)＝25_______＝－5或＝5三、解答题：(14题8分，15题7分)14．已知、、C是全集的子集(如图)，用阴影表示下列集合：(1)(∩)∪；(2)(∪)∩.(第14题）15．已知全集含有10个元素，它的子集含有5个元素，子集含有4个元素，∩含有2个元素，求集合∪含有元素的个数.答案、提示和解答：1．D. 2．C. 3．B. 4．A. 5．D. 6．A. 7．B. 8．C. 9．D. 10．D.11．｛｜＝2＋1，，＜4｝. 12．二或四.13．(1)(也可以填)；(2)；(3)∪；(4)∩；(5).14．(1)(2)（第14题）15．∪中含有元素的个数是5＋4－2＝7(个)，∩中含有元素的个数是4－2＝2(个)，∪含有元素的个数是：10－2＝8(个).（第15题）。
线性代数-数理逻辑与集合练习
数理逻辑与集合练习1.下列是两个命题变元p,q 的小项是()A.p∧┐p∧qB.┐p∨qC.┐p∧qD.┐p∨p∨q2.令p:今天下雪了,q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为()A.p→┐qB.p∨┐qC.p∧qD.p∧┐q3.下列语句中是命题的只有()A.1+1=10B.x+y=10C.sinx+siny<0D.x mod 3=24.下列等值式不正确的是()A.┐( ?x)A ?( ?x)┐AB.( ?x)(B→A(x)) ?B→( ?x)A(x)C.( ?x)(A(x)∧B(x)) ?( ?x)A(x)∧( ?x)B(x)D.( ?x)( ?y)(A(x)→B(y)) ?( ?x)A(x)→( ?y)B(y)5.谓词公式( ?x)P(x,y)∧( ?x)(Q(x,z)→( ?x)( ? y)R(x,y,z)中量词(?x)的辖域是()A.( ?x)Q(x,z)→( ?x)( ?y)R(x,y,z))B.Q(x,z)→( ?y)R(x,y,z)C.Q(x,z)→( ?x)( ?y)R(x,y,z)D.Q(x,z)6.设R 为实数集,函数f:R→R,f(x)=2x,则f 是()A.满射函数B.单射函数C.双射函数D.非单射非满射7.设A={a,b,c,d},A 上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A,则对应于R 的A 的划分是()A.{{a},{b,c},{d}}B.{{a,b},{c},{d}}C.{{a},{b},{c},{d}}D.{{a,b},{c,d}}8.设A={?},B=P(P(A)),以下正确的式子是()A.{?,{?}}∈BB.{{?,?}}∈BC.{{?},{{?}}}∈BD.{?,{{?}}}∈B9.设X,Y,Z 是集合,下列等式不正确的是()A.(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B.(X-Y)-Z=(X-Z)-YC.(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D.(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)二、填空题10.前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)…(QnVn)A,其中Qi(1≤i≤n)为______________,A 为_____________的谓词公式。
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案数理逻辑考试题及答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━一、命题逻辑基本知识（5分）1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。
共1分）（0）A：((pq)((pq) (pq))) r（1）B：(p(qp)) (rq)（2）C：(pr) (qr)（3）E：p(pqr)（4）F：(qr) r解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E 为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共2分）（0）设y=2|x|，x为实数。
推理如下：如y在x=0处可导，则y 在x=0处连续。
发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。
令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。
由此，p为假，q为真。
本题推理符号化为：(pq) qp。
由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。
2是素数，3也是素数。
所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。
由此，p=1，q=1，r=1，s=0。
本题推理符号化为：((p q) →s) p q) →(r s)。
数理逻辑期末考试题及答案
数理逻辑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个命题与“所有猫都怕水”是等价的？A. 没有猫不怕水B. 所有不怕水的都不是猫C. 有些猫不怕水D. 有些猫怕水2. 如果命题P：x > 0，命题Q：x^2 > 0，那么P是Q的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 逻辑运算符“与”（AND）的真值表中，当两个输入都为真时，输出是什么？A. 假B. 真C. 随机D. 无定义4. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二B. 如果今天是星期一，那么明天是星期三C. 如果今天是星期一，那么明天是星期五D. 如果今天是星期一，那么今天是星期二5. 以下哪个命题是真命题？A. 2 + 2 = 5B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 > 4D. 2 + 2 < 46. 以下哪个命题与“如果今天是星期五，那么明天是星期六”是逆命题？A. 如果明天是星期六，那么今天是星期五B. 如果明天不是星期六，那么今天不是星期五C. 如果今天是星期五，那么明天是星期六D. 如果明天是星期六，那么今天是星期六7. 以下哪个命题与“所有的狗都是哺乳动物”是矛盾命题？A. 有些狗不是哺乳动物B. 所有的狗都是哺乳动物C. 所有的哺乳动物都是狗D. 有些哺乳动物不是狗8. 以下哪个命题是假命题？A. 0是自然数B. 1是最小的正整数C. 0是最小的自然数D. 1是最小的正整数且0是最小的自然数9. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的偶数都是整数B. 所有的整数都是偶数C. 所有的奇数都是整数D. 所有的整数都是奇数10. 以下哪个命题与“如果今天是星期三，那么明天是星期四”是同一律命题？A. 如果今天是星期三，那么明天是星期四B. 如果明天是星期四，那么今天是星期三C. 如果今天是星期四，那么明天是星期三D. 如果明天不是星期四，那么今天不是星期三答案：1. A2. B3. B4. A5. B6. A7. A8. D9. A10. A二、填空题（每空2分，共20分）1. 命题逻辑中的“或”运算符可以表示为________。
数理逻辑考试题及答案
③(1) ~ (5)构成的合取式为：
A= (pq)(su)((qr)(qr))((rs)(rs))(u(pq))
(pqrsu)(pqrsu)
由此可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。
解：(p→(pq))rp(pq)r(ppqr)1
m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.
2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x)→I(x))，F(a)，H(a)。
结论：I(a)
证明：①F(a)【前提引入】
②x(F(x)→G(x))【前提引入】
③F(a)→G(a)【②-】
④G(a)【①③假言推理】
证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。
解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。
前提：(pq)r，sp，q
结论：sr
证明：①q【前提引入】
②sq【①附加规则】（这是证明的关键）
③sq【②置换】
④sp【前提引入】
⑤(sq）q（sp）【③④合取】
⑥s(pq)【⑤置换】
⑦(pq)r【前提引入】
⑧sr【⑥⑦假言三段论】
证毕。
四、一阶逻辑的基本概念（5分）
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)B. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬R) → (P → R)C. (P → Q) ∧ (¬Q → R) → (P → ¬R)D. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬P) → (P → ¬Q)答案：A2. 谓词逻辑中的量词“∀”表示什么？A. 存在B. 任意C. 所有D. 唯一答案：C3. 以下哪个命题是命题逻辑中的矛盾命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A4. 在谓词逻辑中，下列哪个量词是存在量词？A. ∀xB. ∃xC. ∀yD. ∃y答案：B5. 以下哪个命题是命题逻辑中的等价命题？A. P → QB. ¬P → ¬QC. P ↔ QD. P ∨ Q答案：C6. 以下哪个命题是命题逻辑中的蕴含命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：C7. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示存在量词？A. ∀B. ∃C. ¬D. →答案：B8. 以下哪个命题是命题逻辑中的析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：B9. 在命题逻辑中，以下哪个命题是永假命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A10. 在谓词逻辑中，以下哪个命题是全称量化？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∀x P(x)D. ¬∃x P(x)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，命题“如果P，则Q”的符号表示为______。
数理逻辑与集合论前两章作业答案
第一章命题逻辑的基本概念作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：(1)火星上有生命存在.(2)12是质数。
(3)香山比华山高。
(4)x+y=2。
(5)这盆茉莉花真香！(6)结果对吗？(7)这句话是错的。
(8)假如明天是星期天，那么学校放假。
解答：(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；(2)“12是质数”是命题，其真值为假；(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。
点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。
作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：(1)如果正在下雪，那么今天很冷。
(2)今天很冷当且仅当正在下雪。
(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。
用自然语言叙述下列公式：¬(p∧q)¬p∨¬q p→q¬p∨q¬¬p¬p↔q解答：(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符号化为p↔q；(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。
对于公式的自然语言叙述，我们有：(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；(6)公式¬p↔q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。
数理逻辑期末试题及答案
数理逻辑期末试题及答案1. 选择题1.1. 下列哪个符号表示逻辑“与”关系？a) ∨b) ⊕c) ¬d) ∧答案: d) ∧1.2. 如果命题p为真，命题q为假，那么命题“p→q”为：a) 真b) 假c) 不确定d) 无法确定答案: a) 真1.3. 下列哪个逻辑符号表示“或”关系？a) ∨b) ∧c) ¬d) ⊕答案: a) ∨1.4. 命题“¬(p∨q)”的否定形式是：a) p∧qb) ¬p∧¬qc) p∨qd) ¬p∨¬q答案: c) p∨q1.5. 命题“p∨q→r”与下列哪个命题等价？a) (p→r)∧(q→r)b) (p∧q)→rc) p∨(q→r)d) p∧(q∨r)答案: a) (p→r)∧(q→r)2. 填空题2.1. 命题“¬(¬p∧q)”的双重否定形式是________。
答案: p∨¬q2.2. 命题“p∧(¬r∨q)”的否定形式是________。
答案: ¬p∨(r∧¬q)2.3. 命题“p∧¬q∧r”的析取范式是________。
答案: (p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)2.4. 命题“p→(q→r)”的否定形式是________。
答案: p∧q∧¬r2.5. 下列命题中，为可满足的命题是________。
a) ¬(p∧q)b) p∨(¬q∧r)c) ¬(p∧¬p)d) (p→q)∨(q→p)答案: b) p∨(¬q∧r)3. 简答题3.1. 什么是数理逻辑？答案: 数理逻辑是研究形式逻辑和符号逻辑的数学分支学科。
它通过使用符号和规则来研究命题和推理的规律性质，并利用数学方法来分析和解决逻辑问题。
3.2. 解释命题逻辑中的蕴含关系。
答案: 在命题逻辑中，蕴含关系表示一个命题是否能从另一个或一组命题中推导出来。
集合与简易逻辑试卷及详细答案
集合与简易逻辑一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}3．已知∁Z A＝{x∈Z|x＜6}，∁ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是( )A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．∁Z A∁Z B4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( )A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)7．下列命题中，真命题是( )B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件，则( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假9．命题p：∀x∈R，x2＋1>0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝，则下列命题中真命题是( )A．p∧q B．(非p)∧qC．(非p)∨q D．p∧(非q)10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为( )A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤512．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．14．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m ∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋6>1}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|x－2x－3a＋1<0}，B＝{x|x－a2－2x－a<0}．(1)当a＝12时，求(∁U B)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．答案C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．故选C项．2解析依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．答案A4． D．既不充分也不必要条件答案B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.6．答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．答案D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1⇒ab>1. 8．答案A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成立，故命题q是真命题．因此选A.9．答案D解析易知p为真，q为假，非p为假，非q为真．由真值表可知p∧q假，(非p)∧q假，(非p)∨q假，p∧(非q)真，故选D.10．答案A解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.11．答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．答案充要解析∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.故为充要条件．15．答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．16．答案 (0，12]解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)2。
试题汇编(第一章集合与数理逻辑)
6、（2013-1-2）全集 ，集合 ，则 =
A、 B、 C、 D、
7、（2013-12-2）条件“ ”是结论“ 所表示的曲线为圆”的（）
A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要
8、（2014-1-2）已知集合 ，则含有元素 的所有真子集个数有（）
B、甲是乙的充分条件，但甲不是乙的必要条件
C、甲不是乙的充分条件，且甲也不是乙的必要条件
D、甲是乙的充分条件，且甲也是乙的必要条件
4、（2012-1-2）集合 ，则下面式子中正确的是（）
A、 B、 C、 D、
5、（2012-8-2）设 ： ， ： ，则下面表述正确的是（）
A、 是 的充分不必要条件，B、 是 的必要不充分条件
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充分且必要条件D、既不充分也不必要条件
12、（2016-1-2）已知集合 ， ，则 =（）
A、 B、 C、 D、
13、（2016-3-2）命题甲“ ”是命题乙“ ”的（）
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充分且必要条件D、既不充分也不必要条件
14、（2017-1-2）已知集合 ，则 =
2010年到2019年浙江高职考试
试题汇编
（集合与数理逻辑）
1、（2010-1-3）已知全集 ， ， ，则集合 是（）
A、A、 B、 C、 D、
2、（2011-1-2）设集合 ， ，则集合 等于（）
A、 B、 C、 D、
3、（2011-4-2）甲： ；乙： ，则命题甲和命题乙的关系正确的是
A、甲是乙的必要条件，但甲不是乙的充分条件
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2006年的考题
一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X⊆A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。
二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={<x,y>|3x≤y},求R-1, R2, r(R), t(R)。
三、R和S是集合A上的等价关系，A/R={{1,2},{3,4},{5}},A/S={{1},{2,3,4,5}},
求①(A/R)∩(A/S) ②∪(A/R) ③R∩S ④A/(R∩S)。
四、用谓词逻辑公式表示下列命题：
任何两个不同的有理数之间必有另一个有理数。
五、设R是A上的关系，证明：R是拟反对称的（即R[imasym]）当且仅当R
既是反自反的（即R[irref]）又是反对称的（即R[asym]）。
六、请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反
例。
①A⊕C=B⊕C当且仅当A=B。
②如果A×B=A×C且A≠∅，则B=C。
七、R是非空集合A上的关系且满足自反性（即R[ref]）和传递性(即R[tra])，
S是A上的关系且S={<x,y>|存在A中元素x和y使得<x,y>∈R且<y,x>∈R}, 证明：S是A上的等价关系。
八、<A,≤>是偏序，如果D⊆A，且满足以下条件：
∀x∀y((x∈D & y∈D)⇒∃z(z∈D & x≤z & y≤z))，则称D是有向集。
①证明：如果D是有限的有向集，则D有最大元。
②举例说明如果D是无限的有向集，则D中不一定有最大元。
2005年的考题
一、A={2,3,4}，R是A上的关系，R={<x,y>|x+y=6},
①R是否具有自反性？是否具有传递性？说明理由。
②求R-1，R2，ts(R)。
二、A={a,b,c,d,e,f},R={<a,c>,<b,c>,<a,d>,<b,d>,<c,e>,<e,f>,<d,e>}, R’=tr(R),画
出<A,R’>的哈斯图，求{c,d,e}的最大元、极小元、上界、下界和最大下界。
三、A={a,∅}，B=∅∪{∅},求A⊕B，P(A-B)，A×A。
四、用谓词逻辑公式表示下列命题：
1) 存在最小的自然数。
2) 每个自然数都有唯一的后继。
五、R⊆A×A，证明：R是反对称的当且仅当R∩R-1⊆I A。
六、R是A上的等价关系，证明：A/R是A上的划分。
七、R是实数集，f:RXR→RXR，f(<x,y>)=<x+y，x-y>,请问f是否为单射？是
否为满射？证明或举反例。
八、R⊆AXA,证明：s(R)=∩{R’|R⊆R’且R’是A上的对称关系}。
九、已知B∩C=∅,证明：P(B∪C)与P(B)XP(C)等势。