最新考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
变上限定积分及微积分基本定理
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
x
x
f (t)dt xf ( x) xf ( x) f (t)dt
1
1
第6页/共15页
推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [ ( x )] ( x )
dx a
推导：设( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
a
d du f (u)( x)
a
f [ ( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x )] ( x) f [ ( x )] ( x)
1 e t 2 dt
lim
x0Biblioteka cos xx2(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x)
2x
1 2e
(
lim x
x et2dt)2
0
x e2t2dt
0
()
lim x
2
x et2dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
第8页/共15页
定理1（p119）（微积分基本定理）
证
x x
( x x) a f (t)dt
( x x) ( x)
( x)
关于积分上函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
关于积分上限函数的小结
对积分上限函数的理解积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
变上限积分函数是关于上限中x 的函数；积分变量是被积函数的自变量，但不是变上限积分的自变量计算定积分时，积分变量用另一个变量替换后结果不会变化，换不换都是一样，如∫(1,2)tdt=∫(1,2)xdx=3/2 （括号内代表积分区间）但换了可以更清楚上限中的x 和积分变量的x 意义的不同1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续. 定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F x a=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d b x-=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ 推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()( (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-x x x x dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0000)()()()(的形式，再对x 求导。
变上限积分 指数与三角函数
变上限积分指数与三角函数在高中数学的学习中，变上限积分、指数与三角函数是常见的知识点。
本文将围绕这几个知识点进行介绍和讲解。
一、变上限积分变上限积分也叫做定积分，是微积分中的一个重要概念。
变上限积分的意义是求某个函数在一个区间内的定积分。
具体来说，就是将函数在这个区间内的值点乘区间的长度求和，得到的结果就是积分的值。
根据定积分的定义，我们可以得到定积分的计算公式：∫abf(x)dx = F(x)|ba其中，F(x)是f(x)的不定积分。
二、指数指数是数学中一个基本概念。
指数也称为幂，表示一个数自乘若干次的结果。
指数有很多性质，例如指数相加的结果等于底数不变的乘积等。
在指数的运算中，还有一个重要的概念叫作指数函数。
指数函数是以自然对数e为底的函数。
指数函数的表达式为：y = ex其中，e ≈ 2.71828。
三、三角函数三角函数是数学中的另一个重要概念。
三角函数是指根据角度大小计算出的一系列数学函数。
最常见的三个三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在三角学、物理学等领域都有广泛的应用。
除了这三个常见的三角函数之外，还有其他一些变体。
例如，反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
四、变上限积分中的指数与三角函数在变上限积分计算中，经常会遇到指数和三角函数。
例如，下面这个常见的变上限积分：∫0π/2sinxdx该积分求的是正弦函数在[0, π/2]区间内的定积分。
我们可以先求出正弦函数的不定积分：∫sindx = -cosx + C根据变上限积分的定义，我们可以得到：∫0π/2sinxdx = [-cosx]|π/20将这个式子代入计算，我们可以得到：∫0π/2sinxdx = [-c os(π/2) + cos(0)] = 1所以，正弦函数在[0, π/2]区间内的定积分是1。
类似地，我们可以使用相同的方法计算出其他指数和三角函数在不同区间内的定积分。
总结：本文介绍了变上限积分、指数和三角函数这几个常见的数学概念。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
积分上限函数小结
小结积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1．关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ 推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2．积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
关于积分上函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdtt f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
第11讲 积分变上限函数及性质
则
x tf (x2 t2 )dt
0 f (u)( du ) 1
x2
f (u)du
0
x2
2 20
所以原式 (1 x2 f (u)du) f (x2 ) x 。
20
题型 2：有关积分变上函数极限与连续的命题：
例 1：求正常数 a 与 b ，使等式 lim 1
x t2 dt 1 成立。
0
x
x
x
F(0) lim F (x) F (0) lim
x0 x 0
x0
0
f (u)du x2
lim
x0
f (x) 2x
1
题型 4：有关积分变上函数导数的应用问题：
例 1：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，在区间 (a, b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明函
x0 bx sin x 0 a t 2
解： 由罗比塔法则得
x2 原式 lim a x2
x0 b cos x 由于分子极限为零，且原式极限为1，所以 b 1，从而有
x2
原式 lim a x2 1 lim x2 2 1
x0 b cos x
a x0 1 x2
a
2
所以 a 4 。
例 2：设 f ( x )
dx g (x)
公式 2： d
(
x g(x) f (t)dt) g(x)
x
f (t)dt g(x) f (x) ；
dx a
a
公式 3：
d
(
x
f ()dt) ，其中 是 x, t 的二元函数，一般通过换元，即令 u ，最
dx a
终转化为公式 1 的形式。
题型 1：直接对积分变上函数求导：
积分上限函数在考研数学中的考察
积分上限函数在考研数学中的考察来源：文都教育积分上限函数是考研数学的一个高频考点，经常和求极限、求导数、求解微分方程一起以综合题的形式出现。
文都数学老师分析归纳积分上限函数相关知识希望对学员有所帮助。
一、知识回顾1.积分上限函数设()C[]f x a,b ∈，令()()d xa x f t t φ=⎰，则()x φ为()f x 的一个原函数，即()()x f x φ'=.注：该知识点要求熟练掌握，要求会证明，真题中曾经考察过证明。
2.积分上限函数求导数()d ()x ad f t t f x dx =⎰ 21(x)(x)2211(x)()d ((x))(x)()d ((x))(x)((x))(x)a d f t t f dx d f t t f f dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'=''=-⎰⎰ 二、典型例题分析题型一、积分上限函数求极限【例1】 设()f x 在0x =处一阶可导，0()lim 2x f x x→=，求22040()d lim x x tf x t t x →-⎰【分析】经过分析可以使用洛必达法则，但是要注意积分上限函数求导数，自变量含有x ，一定要注意分离变量。
【解析】由0()lim 2x f x x →=得，(0)0,(0)2f f '==. 由222222200011()d ()()()22x x x tf x t t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰，得222220044320000220()d ()112()1()lim lim lim lim 22441()(0)11lim (0)442x x x x x x x tf x t t f u du xf x f x x x x x f x f f x →→→→→-===-'===⎰⎰题型二、变积分限函数求导数【例2】设202cos()x y x t dt =⎰，求dy dx ，22d y dx【分析】被积函数函数中含有x ，但是对t 积分，x 可看成常数，因此可考虑函数乘积的导函数。
高等数学-变限积分
⾼等数学-变限积分⾼等数学 - 变限积分说明：积分上限的函数连同复合函数总是不熟悉，特总结于此。
⽬录1 前驱1.1 积分上限的函数的性质性质1 如果函数f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则其积分上限的函数Φ(x)=∫x a f(t)d t在 [a,b] 上可导，且满⾜Φ′(x)=f(x) 。
证明：ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫x+Δxaf(t)d t−∫x a f(t)d t=∫x a f(t)d t+∫x+Δxx f(t)d t−∫x+Δxxf(t)d t=∫x+Δxxf(t)d t由积分中值定理，有ΔΦ=f(ξ)Δx其中, ξ∈[x,x+Δx]即ΔΦΔx=f(ξ)两边取极限x→0 ，则有lim Δx→0ΔΦΔx=limΔx→0f(ξ)=f(x)即Φ′(x) 存在且为f(x) 。
性质2 如果f(x) 在 [a,b] 上连续，则Φ(x)=∫x a f(t)d t是f(x) 的⼀个原函数。
这个性质可以直接有性质1推导出来。
1.2 复合函数的求导性质1：如果u=g(x) 在点x可导，⽽y=f(u) 在点u=g(x) 可导，那么复合函数y=f[g(x)] 在点x可导，且其导函数为d yd x=d yd u⋅d ud x证明：由可导条件，有ΔyΔu=f′(u)+α(Δu)，即 Δy=f′(u)Δu+α(Δu)Δu 两边同时除以 Δx，有ΔyΔx=f′(u)ΔuΔx+α(Δu)ΔuΔx考虑 Δx→0 ，有limΔx→0α(Δu)=limΔu→0α(Δu)=0故limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f′(u)ΔuΔx即y′(x)=f′(u)u′(x)或者d yd x=d yd u⋅d ud x2 积分上限为复合函数的函数求导如果理解了复合函数的求导，此时就很简单了。
题⽬原型：记⽬标函数为y=∫g(x)af(x)d x，求其导数y′(x)解：⽬标函数可写作y=∫g(x)af(t)d t，改写成复合函数的形式，即：y=∫u a f(t)d tu=g(x)则有：y′(x)=y′(u)u′(x)=f(u)g′(x)=f(g(x))g′(x)扩展：记⽬标函数为f(x,y)=∫g(x,y)a f(x,y)d x，求∂2f∂x∂y解：⟹∫g(x,y)af(t,y)d t，写成复合函数的形式：u=g(x,y)f(x,y)=∫u a f(u,y)d u故∂f∂x=∂f∂u⋅∂u∂x=f(u,y)u′(x)=f(g(x,y),y)g′x(x,y) ，然后再求∂f∂y。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数(2009.12)积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1．关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dx d x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2．积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
考研积分上限的函数知识点全面总结
考研积分上限的函数知识点全面总结1.变上限积分的定义变上限积分是确定了一个变量作为积分上限的积分形式，记作\(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\)，其中\(f(t)\)是被积函数，\(a\)是积分下限，\(x\)是积分上限。
2.变上限积分的性质变上限积分具有以下性质：- 可加性：\(\int_a^x f(t) \, dt + \int_x^b f(t) \, dt =\int_a^b f(t) \, dt\)- 导数性质：\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)- 积分性质：\(\int_a^x f'(t) \, dt = f(x) - f(a)\)- 形式不变性：\(\int_a^x f(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt\)，其中\(a \leq x \leq b\)3.变上限积分的计算方法变上限积分的计算方法与定积分类似，需要先找到原函数\(F(x)\)。
具体方法如下：-先求导得到\(f(x)\)；-对\(f(x)\)进行积分，得到\(F(x)+C\)，其中\(C\)为常数；-最后将\(F(x)\)的上限替换为\(x\)即可。
4.变上限积分的应用变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如：-平均值定理：根据变上限积分的导数性质，可以推导出平均值定理，用于求函数在一些闭区间上的平均值；-曲线长度：通过变上限积分可以计算曲线的长度；-物理学应用：变上限积分可以用于描述物体在不同时间段内的速度、加速度等物理量。
总结起来，变上限积分是定积分的一种形式，它的自变量是积分上限。
变上限积分具有可加性、导数性质、积分性质和形式不变性等性质。
计算变上限积分时，需要找到原函数并替换上限。
变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如平均值定理、曲线长度和物理学应用。
第11讲 积分变上限函数及性质
x
偶函数，证明 f (t)dt 是奇函数. 0
证：令 F (x) x f (t)dt . 0 若 f(t)为奇函数,则 f(-t)=- f(t),从而
F (x) x f (t)dtt u x f (u)du x f (u)du F (x) ,
0
0
0
所以 F (x) x f (t)dt 是偶函数. 0 若 f(t)为偶函数,则 f(-t)=f(t),从而
I (e2 ) e2
ln t
dt
e2
ln td (
1
)
e (t 1)2
e
t 1
ln t e2 e2 dt 1 ln e 1
t 1 e e t(t 1) e 1
e
x
例 3：设 f (x) 在 (, ) 内连续，且 F (x) (x - 2t) f (t)dt ,试证：若 f (x) 单调不 0
则
x tf (x2 t2 )dt
0 f (u)( du ) 1
x2
f (u)du
0
x2
2 20
所以原式 (1 x2 f (u)du) f (x2 ) x 。
20
题型 2：有关积分变上函数极限与连续的命题：
例 1：求正常数 a 与 b ，使等式 lim 1
x t2 dt 1 成立。
减，则 F (x) 单调不增.
证： F(x)
x
x 0
f
(t)dt
x 0
2tf
(t)dx
x f (t)dt xf (x) 2xf (x)
0
x f (t)dt xf (x) f ( )x xf (x) x[ f ( ) f (x)] , 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
>推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰ <上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。
>题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
分离后左边的部分要按照(uv)＇=u ＇v + uv ＇进行求导！（重点） （2）比如 ⎰-=xdt x t tf x F 0)()(( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数：⎰⎰⎰---+=+=0)()()()()(xxxdu u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。
( 3 ) 比如 ⎰=1)()(dt xt f x F(这是含参数x 的定积分,在求)(x F '时，时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：⎰=xdu u f x x F 0)(1)(，然后再对x 求导。
有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题： 例1 ⎰⎰-→x x x dtt t t tdt23)sin (sin lim2（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）例2 xdt t xx ⎰+∞→0sin lim（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。
答：π2）例3 已知极限1sin 1lim00=++-⎰→x x x dt ct t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a（答：.1,1,1==-=c b a ） （2） 求导问题例4 已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰.sin ,)cos 1(00tt udu y du u x 求.dx dy (参数方程，你懂的！答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0=+⎰⎰xyyt tdt dt e 求.dxdy(答: )cos()cos(xy x e xy y y+-)例6 求⎰-xdt t x dx d 02)sin( (答: 2sin x )例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）（3） 最大最小值问题例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=exxdt t tdt x A )ln 1(ln )(1, 然后求出)(x A ',再求出其驻点. 答:e =ξ.)例9 设0≥x ，n 为正整数. 证明 ⎰-=xn tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)32)(22(1++n n(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)(4) 积分问题例10 计算⎰10)(dx x xf ，其中⎰=21sin )(x dt ttx f .(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取)(x u 为积分上限函数. 答: ).11(cos 21-)例11 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 证明.])([))((0⎰⎰⎰=-x uxdu dt t f du u x u f(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)例12 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.2,00,212,10)(x x x x x x x f 求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的x , 积分变量t 在],0[x 内变动.答: .21,21)2(211,1021,00)(22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤≤<=Φx x x x x x x )(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例13 设函数)(x ϕ连续，且满足.)()()(0⎰⎰-+=xxx dt t x dt t t e x ϕϕϕ 求).(x ϕ(答: )sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: x x x sin cos )(+=ϕ）例14 设)(x f 为正值连续函数, ,1)0(=f 且对任一0>x , 曲线)(x f y = 在区间],0[x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(x f 的积分上限函数.答: ))0(2)(>+=-x e e x f xx (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15 设)(),(x g x f 均在],[b a 上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:.)()())()((222⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥-⎰badx x tg x f 出发, 由关于t 的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令.)()(])()([)(222⎰⎰⎰⋅-=xaxaxadt t g dt t f dt t g t f x F 则.0)(=a F求出)(x F '并证明.0)(≤'x F 从而)(x F 单调减少, 于是得 .0)()(=≤a F b F 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.例16 设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一,10<<λ 有.)()(1⎰⎰≥dx x f dx x f λλ(提示: 即证.1)()(1⎰⎰≥dx x f dxx f λλ于是作,)()(0xdt t f x F x⎰=只需证)(x F 单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题.例17 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续. 求证: 存在),(b a ∈ξ, 使 ⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(.(提示: 令⎰⎰⋅=bxx adt t g dt t f x F )()()(. 对)(x F 在],[b a 上用Rolle 定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性定理4 设()x f 连续，()()⎰=xdt t f x 0ϕ.如果()x f 是奇（偶）函数，则()x ϕ是偶（奇）函数；如果()x f 是周期为T 的函数，且()00=⎰Tdx x f ,则()x ϕ是相同周期的周期函数.证 设()x f 奇, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf x x ut x ϕϕ==--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-0奇,即()x ϕ为偶函数.设()x f 偶, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf xx ut x ϕϕ-=-=--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-0偶,即()x ϕ为奇函数. 若()00=⎰Tdx x f ，则()()()()()()()x dt t f x dt t f dt t f dt t f T x TT x xx T x ϕϕϕ=+=+==+⎰⎰⎰⎰++0,即)(x ϕ为周期为T 的周期函数.例18 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, ⎰-=xdt t f x t x F 0)()2()(. 证明:(a) 如果)(x f 是偶函数, 则)(x F 也是偶函数;(b) 如果)(x f 是单调减少函数, 则)(x F 也是单调减少函数.。