数列的通项公式-学案
北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式
§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
新教材高中数学第四章数列1第2课时数列的通项公式与递推公式学案新人教A版选择性必修2(含答案)
新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时 数列的通项公式与递推公式新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2．了解数列是一种特殊函数．1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．(逻辑推理)2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.什么是数列的递推公式？2．什么是数列的前n 项和？1.递推公式(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．(1)数列1，2，4，8，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1有什么关系？ (2)所有的数列都有递推公式吗？提示：(1)a n ＋1＝2a n ；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如 2 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：a n ＝2n.②递推公式法： 1n 1n a 2a a 2n N*.⎧⎨∈⎩＋＝，＝＋，③列表法：n 1 2 3 … k … a n246…2k…④图象法：3．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式通项公式区别表示a n 与它的前一项a n －1(或前几项)之间的关系表示a n 与n 之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．仅由数列{a n }的关系式a n ＝a n －1＋2(n≥2，n∈N *)就能确定这个数列吗？提示：不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 4．数列的前n 项和的概念数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .如何用S n 和S n －1的表达式表示a n?提示：a n＝1n n n 1S ,n 1,a S S ,n 2.=⎧=⎨≥⎩－－1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)递推公式是表示数列的一种方法．( √ )(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项．( √ )(3)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( √ ) 提示：(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法．(2)只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项． (3)由前n 项和的定义可知正确．2．符合递推关系式a n ＝ 2 a n －1(n≥2)的数列是( ) A ．1，2，3，4，…B ．1， 2 ，2，2 2 ，… C. 2 ，2， 2 ，2，…D ．0， 2 ，2，2 2 ，…【解析】选B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式a n ＝ 2 a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A.－3B ．－11C ．－5D ．19【解析】选D.由a n ＋1＝a n ＋2－a n ， 得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12， a 5＝a 3＋a 4＝19.4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 (n≥2)，则a 5＝________．【解析】由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 ， 得a 2＝2，a 3＝32 ，a 4＝53 ，a 5＝85 .答案：855．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为________．【解析】由已知a 4＝S 4－S 3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 答案：8关键能力·合作学习类型一 由递推公式求数列的项(数学运算)1．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116 B ．117 C ．110 D ．125 【解析】选C.a 2＝a 13a 1＋1 ＝13＋1 ＝14 ，a 3＝a 23a 2＋1 ＝1434＋1 ＝17，a 4＝a 33a 3＋1 ＝1737＋1 ＝110.2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B ．2516 C ．6116 D ．3115 【解析】选C.由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42， 则a 3＝3222 ＝94 ，a 5＝5242 ＝2516 .故a 3＋a 5＝6116.3．已知数列{a n}满足n n n 1n n 12a 0a 2a 12a 1a 12⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩＋，，＝－，， 若a 1＝67 ，则a 2 021＝________．【解析】计算得a 2＝2a 1－1＝57 ，a 3＝2a 2－1＝37 ，a 4＝2a 3＝67 .故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又因为2 021＝673×3＋2，所以a 2 021＝a 2＝57 .答案：57由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项． 【解析】由a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n ， 得a n ＋2＝a 2n ＋1 －（－1）na n，又因为a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝a 22 －（－1）1a 1 ＝32＋11 ＝10，a 4＝a 23 －（－1）2a 2 ＝102－13＝33，a 5＝a 24 －（－1）3a 3 ＝332＋110＝109.所以数列{a n }的前5项为1，3，10，33，109.Ｋ 类型二 由递推公式求通项公式(逻辑推理) 角度1 累差法【典例】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1） ，n∈N *，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1） 变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解． 【解析】因为a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1） ，所以a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3 ；a 4－a 3＝13×4 ；…；a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2 ＋12×3 ＋…＋1（n －1）n＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋1n －1 －1n ＝1－1n .所以a n ＋1＝1－1n ，所以a n ＝－1n(n≥2).又因为n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，所以a n ＝－1n(n∈N *).将条件变为“a 1＝12 ，a n a n －1＝a n －1－a n (n≥2)”求数列{a n }的通项公式．【解析】因为a n a n －1＝a n －1－a n ，所以1a n －1a n －1＝1.所以1a n ＝1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋ ()n 11111-++⋯+个 ＝n ＋1.所以1a n＝n ＋1(n≥2)，又a 1＝12 也适合上式，所以a n ＝1n ＋1 .角度2 累乘法【典例】设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)变形为a n a n －1 ＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．【解析】因为a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，所以a n a n －1 ＝n －1n ，a n ＝a n a n －1 ×a n －1a n －2 ×a n －2a n －3 ×…×a 3a 2 ×a 2a 1 ×a 1＝n －1n ×n －2n －1 ×n －3n －2×…×23 ×12 ×1＝1n.又因为n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以a n ＝1n(n∈N *).由递推公式求通项公式的方法1．累差法：形如a n ＋1－a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式；2．累乘法：形如a n ＋1a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a n a n －1 ＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式．1．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n≥2，n∈N *)，则数列的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)【解析】选C.因为a n ＝a n －1＋3，所以a n －a n －1＝3. 所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝3， 以上各式两边分别相加，得a n －a 1＝3(n －1)， 所以a n ＝a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)＝3n －2.当n ＝1时，也适合上式．2．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________． 【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1， 即a n a n －1 ＝n ＋1n －1 ，则a 100＝a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a 100a 99＝1×31 ×42 ×…×10199 ＝5 050.答案：5 050类型三 由a n 与S n 的关系求通项公式(逻辑推理)【典例】已知数列{}a n 满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n()a n ＋a n ＋1 ，求数列{}b n 的前2 020项和S 2 020.四步 内容理解 题意 条件：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *结论：数列{}a n 的通项公式思路探求(1)将n 换为n －1得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和．书写 表达(1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2， 所以na n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 即a n ＝2－1n()n≥2，n∈N *，当n ＝1时，a 1＝1也满足， 所以a n ＝2－1n ()n∈N *.(2)S 2 020＝b 1＋b 2＋…＋b 2 020＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－11＋2－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＋2－13 ＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 019＋2－12 020 ＋ ⎝⎛⎭⎪⎫2－12 020＋2－12 021 ＝1－12 021 ＝2 0202 021 .题后 反思解决a n和S n关系问题，常常利用a n＝1n n 1S ,n 1S S ,n 2=⎧⎨≥⎩－－解决．由a n 与S n 的关系求通项公式的方法1．对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n＝1n n 1S n 1S S n 2.⎧⎨≥⎩－，＝，－，这一关系对任何数列都适用．2．若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示；若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．(1)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1(2)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－3n －1，则a n ＝________． 【解析】(1)选D.当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＝1，当n≥2时，由a n ＝S n －S n －1得a n ＝n 2－()n －1 2＝2n －1，验证当n ＝1时，a 1＝2×1－1＝1满足上式． 故数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－3－1＝－3，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－3n －1－[(n －1)2－3(n －1)－1]＝2n －4，当n ＝1时，2－4＝－2≠a 1，所以a n＝3n 1,2n 4n 2.=⎧⎨≥⎩－，－，答案：3n 1,2n 4n 2=⎧⎨≥⎩－，－，备选类型 数列的周期性(直观想象、逻辑推理)【典例】已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n∈N *，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 020项？【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化．【解析】a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：因为a n ＋2＝a n ＋1－a n ，所以a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . 所以数列{a n }是周期数列，且T ＝6. 所以a 2 020＝a 336×6＋4＝a 4＝－1.递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律．已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A ．x 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．x 100＝－b ，S 100＝2b －a C.x 100＝－b ，S 100＝b －aD ．x 100＝－a ，S 100＝b －a【解析】选A.x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，所以{x n }是周期数列，周期为6，所以x 100＝x 4＝－a ，因为x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，所以S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12 a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B ．12C ．34D ．58【解析】选B.由a 1＝1，所以a 2＝12 a 1＋12 ＝1，依此类推a 4＝12 .2．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S n ＝1n ，n∈N *，则a 2＝( )A ．－12B ．－16C ．16D ．12【解析】选A.因为S n ＝1n ，所以a 1＝S 1＝11 ＝1，因为S 2＝a 1＋a 2＝12 ，所以a 2＝12 －1＝－12.3．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34 (n∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解析】选A.由a n ＋1＝4a n ＋34 ⇒a n ＋1－a n ＝34 ，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13.4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝－1a n －1(n≥2，n∈N *)，则a 2 020＝________．【解析】因为a 2＝－1a 1 ＝－12 ，a 3＝－1a 2 ＝2，a 4＝－12 ＝a 2，所以{a n }的周期为2，所以a 2 020＝a 2＝－12 .答案：－12。
2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)
2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。
高中数学 第二章 数列 数列求通项、求和 求数列通项公式累乘和累加法学案(无答案)新人教A版必修5
专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。
________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。
例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。
变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。
（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。
第1课时 等比数列的概念及通项公式学案高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
§4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一 等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a na n －1＝q (n ∈N *且n >1)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N *.思考 为什么等比数列的各项和公比q 均不能为0?答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q 也不能为0. 知识点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .思考 当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ 答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 知识点三 等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)． 知识点四 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1q n －1① ＝a m q n －m ② ＝a 1q·q n.③ 其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q >0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．()2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．() 3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()4．常数列一定为等比数列．()一、等比数列中的基本运算例1在等比数列{a n}中：(1)a1＝1，a4＝8，求a n；(2)a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求n.反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，a n，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1在等比数列{a n}中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求a n.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 D ．±2 三、等比数列通项公式的推广及应用 例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．反思感悟 几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，a q 2，aq ，a ，aq ，aq 2，…(2)四个符号相同的数成等比数列设为 a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，a q 5，a q 3，aq，aq ，aq 3，aq 5，…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3. 跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( ) A ．－4或352B ．4或352C ．4D.3521．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( ) A ．±12 B ．±2 C.12D ．－22．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．123．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．324．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.1．知识清单： (1)等比数列的概念． (2)等比数列的通项公式． (3)等比中项的概念． (4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法． 3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列． (2)四个数成等比数列时设成a q 3，aq ，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况．(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B ．54 C ．36 D ．182．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )A ．－4B ．4C ．－14 D.143．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．814．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2 D.125．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －36．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .10．在等比数列{a n }中： (1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－212．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.1813．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 814．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．15．已知在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝16，a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．16．设数列{a n }是公比小于1的正项等比数列，已知a 1＝8，且a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n (n ＋2－λ)，且数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围．参考答案√ × × ×例1 解 (1)因为a 4＝a 1q 3， 所以8＝q 3，所以q ＝2， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1. (2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5，故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ②由②①，得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1， 即26－n ＝20，故n ＝6.跟踪训练1解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝2532n -.例2答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项， 所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2＝ac ，即ac ＝9. 跟踪训练2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项， 所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4. 例3 解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4，∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2， ∴a n ＝a 3·qn －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． 跟踪训练3 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42. 例4 （1）答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3， 则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.（2）解 方法一 设前三个数分别为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q .由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12， 解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ， 则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2. 故所求得的四个数为9,6,4,2. 跟踪训练4 答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1.答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.2.答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6. 3.答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4.答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1.答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2.答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3.答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4.答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5.答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2. 7.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9.解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14. 所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ； 当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. 所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. (2)当a n ＝12时， 即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12， 解得n ＝9.10.解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82， 所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11.答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12.答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12. 方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0， 解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12. 13.答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14.答案 a n ＝3·(－1)n －1解析 由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，又a 1＝3，故{a n }是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n ＝3·(－1)n －1.15.答案 275或8解析 设公差为d ，由a 2＋a 4＝16，得a 1＋2d ＝8，①由a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，得(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 4＋1)，化简得a 1－d ＝－1或d ＝0，② 当d ＝3时，a n ＝3n －1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n }中的第92项，a 92＝3×92－1＝275.当d ＝0时，a n ＝8，a 92＝8.16.解 (1)设数列{a n }的公比为q .由题意，可得a n ＝8q n －1，且0＜q ＜1.由a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列，知8a 2＝30＋a 3，所以64q ＝30＋8q 2，解得q ＝12或152(舍去)， 所以a n ＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ，n ∈N *. (2)b n ＝a n (n ＋2－λ)＝(n ＋2－λ)·24－n ，由b n ＞b n ＋1，得(n ＋2－λ)·24－n ＞(n ＋3－λ)·23－n ，即λ＜n ＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
海门市包场高级中学高中数学学案：第21课时(数列求通项公式的求法) 必修五
n
=
2、已知数列 {an } 满足 a1 2 ， 3an1 2an 1，求 an =___________________ 3、已知数列 an 满足： a1 1 ， an1 3an (2n 1) 3n ，求通项 an =________________
2 2 4、 已知数列 {an } 中， 求 {an } 的通项 an =______________． an ，an 0 ， 1 an 4n，a1 1
总 课 题 分 课 题 教学目标 重点难点
数列求通项公式的求法 数列求通项公式的求法
总课时 分课时
第 36 课时 第 1 课时
1．理解数列的通项公式的定义，并会根据条件求数列的通项公式 2．会处理数列与函数，不等式的综合问题 通项公式的求法。
二、数列通项的求法 题型一：利用累加法求通项公式（从等差数列通项公式求法得到） 形如 an1 a n f n 的递推式 例1． 已知数列 {an } 满足 an1 an 2n 1 ，a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
5、已知数列 {an } 满足 a1 2a2 3a3 nan 2 n ，求 {an } 的通项 an =______________ ． 6、已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且满足 a 1 1 ，Sn
(n 1)a n ，求数列{a n}的通项公式。 2
7、已知数列 {an } 中， a1 1 ，当 n 2 时， an 2S n S n1 0 ， （1）求证数列 {
练习 1 在数列{ an }中， a1 3 , a n 1 a n
1 ，求通项公式 an n(n 1)
题型二： 利用累乘法求通项公式（从等比数列求通项求法得到） 形如 an1 f n a n 的递推式 例 2．已知数列 {an } 满足 a n 1
数列求通项公式综合学案
数列求通项公式综合学案一、数列的基本概念在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。
例如，1，3，5，7，9 就是一个数列。
数列中的每一个数称为数列的项，其中第 n 项通常用an 表示。
通项公式是指能够表示数列中第 n 项与项数 n 之间关系的公式。
例如，对于等差数列 an ＝ a1 ＋（n 1)d，其中 a1 为首项，d 为公差；对于等比数列 an ＝ a1 × q^（n 1)，其中 a1 为首项，q 为公比。
二、等差数列的通项公式等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
这个常数称为等差数列的公差，通常用 d 表示。
等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d例如，已知等差数列的首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3，求第 5 项的值。
根据通项公式：a5 ＝ 2 ＋（5 1)×3 ＝ 2 ＋ 12 ＝ 14三、等比数列的通项公式等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数称为等比数列的公比，通常用 q 表示。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1 × q^（n 1)例如，已知等比数列的首项 a1 ＝ 3，公比 q ＝ 2，求第 4 项的值。
根据通项公式：a4 ＝ 3 × 2^（4 1) ＝ 3 × 8 ＝ 24四、累加法求通项公式如果数列的递推公式为 an an 1 ＝ f(n)（n ≥ 2），且 f(n) 的表达式可以求和，那么可以用累加法求通项公式。
例如，已知数列{an}满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ 2n 1（n ≥ 2），求数列{an}的通项公式。
当n ≥ 2 时：a2 a1 ＝ 2×2 1a3 a2 ＝ 2×3 1a4 a3 ＝ 2×4 1an an 1 ＝ 2n 1将上述式子相加得：an a1 ＝ 2×2 1 ＋ 2×3 1 ＋ 2×4 1 ＋＋ 2n 1因为 a1 ＝ 1，所以：an ＝ 1 ＋ 2×（2 ＋ 3 ＋ 4 ＋＋ n) （n 1)＝ 1 ＋ 2×（n ＋ 2)（n 1) ／ 2 （n 1)＝ n²当 n ＝ 1 时，a1 ＝ 1 也满足上式，所以数列{an}的通项公式为 an ＝ n²五、累乘法求通项公式如果数列的递推公式为 an ／ an 1 ＝ f(n)（n ≥ 2），且 f(n) 的表达式可以求积，那么可以用累乘法求通项公式。
5.1.1 数列的概念(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.1.1 数列的概念知识点归纳知识点一、数列1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．知识点二、数列的通项公式数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三、数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . (2)数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . (3)数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. (4)数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . (5)数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1. (6)数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n2. (7)数列1，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n.典例分析一、观察法求数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解析 (1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…， ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N *)．(2)a 1＝2＋1，a 2＝4＋1＝22＋1，a 3＝8＋1＝23＋1，a 4＝16＋1＝24＋1，…， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…， ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N *).答案 见解析归纳总结：根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．二、数列通项公式的简单应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解析 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7，或n ＝73(舍)．则－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.答案 见解析自我训练1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③D ．①②解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.答案 C2．若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A ．110B ．－110C ．190D ．1990解析 依题意知，a 5－a 4＝(15＋1＋15＋2＋…＋12×5)－(14＋1＋14＋2…＋12×4)＝19＋110－15＝190.故选C ．答案 C3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 答案 A4．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( ) ①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；③a n＝sin 2n π2；④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.答案 C5．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1；③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确； 对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 答案 A6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3的值是( )A ．70B ．28C ．20D ．16解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3－1＝8，a 2a 3＝16.故选D ． 答案 D7．若数列{a n }的通项满足a nn ＝n －2，那么15是这个数列的第_____________项．解析 由a nn ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5或n ＝－3(舍去)． 答案 58．已知在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，函数y ＝f (x )的对应关系如下表，则a 2017＝________.解析 由已知条件得a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝2，a 3＝f (a 2)＝f (2)＝4. ∴数列{a n }是周期数列，a n ＋2＝a n ，∴a 2017＝a 1＋1008×2＝a 1＝4. 答案 49．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}中的第17项．答案 1710．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解析 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110.(1)20是不是{a n }中的一项？(2)当n 取何值时，a n ＝0.解析 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20，即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项． (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0，即n 2－n －110＝0，∴(n －11)(n ＋10)＝0， ∴n ＝11或n ＝－10(舍)，∴当n ＝11时，a n ＝0.12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．解析 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0，1)内．。
学案2：4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式
4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式【学习目标】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程【自主学习】知识点1 等比数列的概念一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示． 知识点2 等比中项的概念（1）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项，这三个数满足关系式 .（2）等比中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点3 等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．【合作探究】探究一 等比数列的判定与证明【例1】已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．【练习1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．探究二 等比中项【例2】若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab 的值为( )A ．±12B.12C ．1D ．±1【练习2】2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1B ．－1C ．±1D.12探究三等比数列通项公式的应用【例3】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．【练习3】在等比数列{a n}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求a n.探究四等比数列的实际应用【例4】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)【练习4】某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)【课堂达标】1．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64 B．81C．128 D．2432．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9 B．10 C．11 D．123．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________. 4．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 5．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．【参考答案】【自主学习】知识点1 等比数列的概念 第2项同一常数公比q (q ≠0)知识点2 等比中项的概念 （1）等比数列ab ＝G 2（2）等比两相反数ab ＞0 【合作探究】探究一 等比数列的判定与证明 【例1】证明 由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ， ∴a n ＝m2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2，∵m ＞0且m ≠1，∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是等比数列． 【练习1】(1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究二 等比中项 【例2】 【答案】D【解析】∵1，a,3成等差数列，∴a ＝1＋32＝2，∵1，b,4成等比数列，∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.【练习2】 【答案】C【解析】设x 为2＋1与2－1的等比中项， 则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 探究三 等比数列通项公式的应用 【例3】解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，①a 1q 3＝18，②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.【练习3】解 (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1. 探究四 等比数列的实际应用 【例4】解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4. 答 这种物质的半衰期大约为4年． 【练习4】解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，…. 则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)， 从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6， 即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85，故n ＝11.答 从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．【课堂达标】1．【答案】A【解析】∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64. 2．【答案】C【解析】在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 3．【答案】90【解析】6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54； 6，c ，d,48成等比数列，设其公比为q ，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.4．【答案】1【解析】设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.5．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． 方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.。
苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第四章 数列 第1课时 等差数列的通项公式
的横坐标每增加1,函数值增加d.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在公差为d的等差数列{an}中,a2 022=a22+2 000d.( √ )
(2)若数列{an}为等差数列,则其通项公式为关于n的一次函数.( × )
(2)等差数列基本量的运算;
(3)等差数列的实际应用.
2.方法归纳:定义法、公式法.
3.常见误区:实际问题中项数的确定.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2021广西桂林期末)在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(
A.6
B.8
C.16
D.32
答案 B
解析 因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则
【例1】 在等差数列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,求a10;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
1
(4)已知d=- 3 ,a7=8,求a1和an.
解 (1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21,
3 + 6 = 16,
3 = 5,
且{an}是递增数列,得
6 = 11.
(2)设等差数列{an}的公差为 d,
1 + 2 = 5,
3 = 5,
1 = 1,
由
得
解得
高中数学必修五学案：数列求通项
数列求通项1.（1）．已知，均为等差数列，且，，，则数列的第30项为___________________________（2）．已知f(1)=2，f(n +1) = 2f(n) + 12 (n ∈N*)，则f(2019) = （3） =（4） = 3、已知a 1=－, (n ∈N *,n ≥2),则a n ==_________ 4、数列{a n }中，a 1=1,a 2=,且n ≥2时，有=,则= 5、数列{a n }满足：，则=6、数列{a n }中，，，则=7、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为8. 已知数列满足，（２≤≤８），则它的通项公式＝ ．9. 已知数列满足，（≥2），则的通项 新 课 标 第 一 网 10若数列{an}满足，则等于 （ ） A.1 B.2 C. D. {}n a {}n b 31=a 71=b 482020=+b a {}n n b a +()12,011-+==+n a a a n n n a 22,111+==+n n n a a a a n a 12511(2)n n a a n n -=++321111+-+n n a a n a 2n a 12(1)*lg 1,()n a a a n n N ++++=+∈n a 1a 1=212n n a a a n a +++=n a {}n a 11a =211n n a a -=+,n N *∈n n a {}n a 11a =123123(1)n n a a a a n a -=++++-n {}n a 11221,2,(3*)n n n a a a a n n N a --===≥∈且17a 129872-＝ １，，≥２11.在数列中，，则= （ ）A.5B.-5C.1D.-112.已知数列满足，则（ ）A.20192019B.20192019C.20192019D.2019201913.已知等差数列的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为 （ ）A.2n-5B.2n-3C.2n-1D.2n+114.已知则数列是 （ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列15. 若中, ,且(是正整数),则数列的通项公式＝ ．1、设数列的前项和为，，，求证：（1）数列是G.P ；（2） 新|课 | 标|第 |一| 网2. 数列{a }满足a =1，,求数列{a }的通项公式。
2017--高二数学必修5-数列通项公式求法学案
新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。
求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。
1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。
解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。
2021高中数学第二章数列习题课(一)求数列的通项公式学案苏教版必修5
习题课(一) 求数列的通项公式学习目标n 项和S n 与a n 的关系求通项公式的方法．知识点一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．答案 数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是a n ＝(－1)n，故数列(2)的通项公式是a n ＝(－1)n＋1.梳理 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托根本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系． 知识点二 利用递推公式求通项公式思考 还记得我们是如何用递推公式a n ＋1－a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法．梳理 递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．知识点三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式 思考 如何用数列{a n }的前n 项和S n 表示a n ?答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.梳理 当S n 或S n 与a n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n 讨论．1．数列可由其前四项完全确定．(×)2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n 任意赋值．(√) 3．{S n }也是一个数列．(√)类型一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，56，…； (3)2，52，134，338，8116，…；(4)12，16，112，120，130，…. 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式a n ＝4＋(－1)n .(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1.(3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n －1.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1).反思与感悟 这类数列通常是由根本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想根本数列，再考察它与根本数列的关系．跟踪训练1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(6n －5)．(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n ＋1)2－12n ＋1.类型二 利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)， 即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，a 1＝1也符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1， 代入上式得(n －1)个等式累乘之， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n(n ≥2)，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n (n ≥2)，a 1＝23也符合上式．∴a n ＝23n.反思与感悟 型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )．第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来． 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n .第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练 2 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (1)22n n-n a =(n ∈N *)解析 由a n ＋1＝2na n ，得a n ＋1a n＝2n， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝21×22×23×…×2n －1，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)(经历证a 1＝1也符合)(n ∈N *)．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1 (n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得， a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N *)．命题角度2 构造等差(比)数列例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . 考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，那么t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．(1)(1)(1)22212,22---===n n n n n n n a a 故令b n ＝a n ＋3，那么b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.反思与感悟 型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )． 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1.第三步 写出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1的通项公式．第四步 写出数列{a n }通项公式．跟踪训练3 数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 设a n ＋1＋x ×5n ＋1＝2(a n ＋x ×5n)，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n代入①式，得2a n ＋3×5n＋x ×5n ＋1＝2a n ＋2x ×5n，等式两边消去2a n ，得3×5n＋x ×5n ＋1＝2x ×5n，两边除以5n，得3＋5x ＝2x ，那么x ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)．②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n≠0，那么a n ＋1－5n ＋1a n －5n ＝2，那么数列{a n －5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，那么a n －5n ＝2n －1，故a n ＝2n －1＋5n (n ∈N *)．类型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例4 数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2a n －4，n ∈N *，那么a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n ＋1解析 因为S n ＝2a n －4，所以S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，那么a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.反思与感悟 S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式．第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式．第三步 假设求出n ≥2时的{a n }的通项公式，那么根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进展验证，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．如果求出的是{a n }的递推公式，那么问题化归为类型二．跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n －2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.1．等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.考点 等比数列的通项公式 题点 数列为等比数列求通项公式 答案 2n解析 ∵{a n }单调递增，∴q ＞0， 又a 25＝a 10＞0，∴a n ＞0，q ＞1， 由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9， ∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，那么a 1＝________，S 5＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 1 121解析 a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，即a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么此数列的通项公式a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.1．不管哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为根底．2．利用数列前假设干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜测，是否对所有项都适用还需论证．3．待定系数法求通项，其本质是猜测所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜测成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．4．使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意n 的取值范围．一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，那么a 100的值是________． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 9902解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，那么这个数列的第n 项为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案12n －1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1. ∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝______________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 2＋ln n解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 得a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×…×n n －1＝ln n ，即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2(经历证a 1＝2也符合)．4．数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，那么此数列的通项公式a n ＝__________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案n2n －1解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2na n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2na n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝n2n －1.5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 2n－1解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，即a n ＝2n－1.6．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：那么第8行中的第5个数是________．考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式 答案 132解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，那么第8行中的第5个数是127＋5＝132.7．假设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，那么数列{a n }的通项公式为________________． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列．∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式．∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n(n ∈N *)，那么b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列， ∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 累乘法求通项 答案 n 解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n (经历证a 1＝1也符合)． 10．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，那么a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 那么a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，那么{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 即a n ＝－2a n －1，又a n ≠0，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 二、解答题12．S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， ∴当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，∴2n a n －2n －1a n －1＝2， ∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2S n －2S n －1－2n ＋1，∴S n ＝2S n －1＋2n －1，①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6， ∴a n ＋2≠0.∴a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 又a 2＋2a 1＋2＝2，也满足上式， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋2＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.三、探究与拓展14．假设在数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，那么它的通项公式a n 为________________．考点 递推数列通项公式求法题点 其他递推数列问题答案 a n ＝123n －解析 由题意知a n >0且a n ≠1，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，且lg a n ≠0，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝lg 123n －.即a n ＝123n －.15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－3a n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4的值；(2)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列(1)解 a 3＝4a 2－3a 1＝13，a 4＝4a 3－3a 2＝40.(2)证明 ∵a n ＋2＝4a n ＋1－3a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )．又a 1＝1，a 2＝4，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，那么{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，3为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n ＋1－a n ＝3n ， 那么当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －1， 故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝1－3n 1－3＝3n －12. 又a 1＝1适合上式，故a n ＝3n －12，n ∈N *.。
苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册 第4章 数列 4.1 数列-第1课时 数列的概念及通项公式
个特征：各项的符号是否正负相间；各项能否拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”
“商”等；相邻项的变化规律；奇偶项是否有变化；对于分式还可以考虑对分子、分母
各个击破，或寻找分子与分母之间的关系等.
跟踪训练2（1）（多选题）已知数列{ }的前5项为−1，1，−1，1，−1，则{ }
排列是无序的.
知识点2.数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.
知识点3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，它可以看成以正整数集 ∗ （或它的有限子集{1，2，…，}）
为定义域的函数 = ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列
函数值.反过来，对于函数 = ，如果 = 1,2,3, … 有意义，那么就可以得到
∗
=ቊ
( ∈ )，因为 = ቊ
( ∈ ∗ )，
, =
, =
所以 = ；若 =
，则
=
= ，不符合题意.故选.
（2）根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
①0，3，8，15，24，…；
解观察数列中的数，可以看到0 = 1 − 1，3 = 4 − 1，8 = 9 − 1，15 = 16 − 1，
的通项公式可能为() ABC
A. = −1 B. = ቊ
−1, = 2 − 1,
( ∈ ∗ )
1, = 2
C. = cos πD. = sin
π
2
[解析]观察数列{ }的前5项可知，{ }的通项公式可能为
= −
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式
1
(1)证明 bn+1-bn=
+1 -2
∵b1=
1
1 -2
−
1
-2
=
1
4
4
-2
−
1
-2
1
= ,
2
1
1
2
2
∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列.
1
1
1
(2)解由(1)知 bn=2+(n-1)·2 = 2n.
∵bn=
1
-2
1
2
,∴an= +2= +2.
一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.
学以致用•随堂检测全达标
1.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于(
A.4
B.3
C.2
D.1
答案 D
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1.
)
2.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-5n,则它的公差为(
分析 先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 020求解.
5
解 由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得 a=4,所以该数列的首项为
5
5
5
1
5
1
1
,公差为
2
×
-1
−
=
,所以数列的通项公式为
a
n= +(n-1)· = n+1,
4
4
4
4
4
4
4
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 第1课时 等差数列的概念及其通项公式
所以通项公式为an=23-4(n-1)=-4n+27.
1 2 3 4 5 6
13
A.
5
B.3
13
C.
3
D.5
解析 设数列{an}的公差为d,则由2a2+a4=a3+13,得2(2+d)+2+3d=2+2d+13,
解得d=3.
故选B.
1 2 3 4 5 6
3.已知等差数列{an}的首项为3,公差为2,则a10=
解析 因为等差数列{an}的首项为3,公差为2,
则a10=a1+9d=3+9×2=21.
C.{an}是首项为5的等差数列
D.{an}是公差为n的等差数列
解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.
探究点二
等差数列的通项公式
角度1.求等差数列的通项公式
【例2】 若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an.
分析先求出a1,d,再求an.
知a1,n,an,求d
知d,n,an,求a1
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次
函数.
变式训练2已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,求数列{an}的通项公式.
解 设公差为d,则
3 = 1 + 2 = 5,
1 = 1,
解得
7 = 1 + 6 = 13,
(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄
新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第二册 - 第一课时 等差数列的概念及通项公式 学案
A．1，4B．－1，－4
C．4，1D．－4，－1
解析：选Bn＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
2．等差数列{an}中，a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()
∴ 是等差数列，且公差为4，首项为5.
定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[跟踪训练]
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列．
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，bn＝ (n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
(1)[解析]因为an＋1－an＝2，n∈N*，
所以数列{an}是等差数列，其公差为2，
因为a3＝a1＋2×2＝3，所以a1＝－1.
[答案]－1
(2)[解]因为 ＝ ，
∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n>1，n∈N*)，
即an－1＝an(4an－1＋1)(n>1，n∈N*)，
∴an＝ (n>1，n∈N*)，
∴ ＝ ＝4＋ (n>1，n∈N*)，
∴ － ＝4(n>1，n∈N*)， ＝5，
∴数列 是等差数列且公差为4，首项为5.
法二：当n>1，n∈N*时， ＝ ⇔ ＝ ⇔ －2＝2＋ ⇔ － ＝4，且 ＝5.
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数列的通项公式
【本课重点】累加、累积及简单的构造法确定数列通项公式
【预习导引】
l 、己知n s 则n a = 等差数列通项n a = 等比数列通项n a =
2、己知n a =1-n a +2，1a =1，则n a = 己知n a =31-n a ，1a =1，则n a =
3、已知数列{}n a 中11=a ，
2111=--n n a a ，则=-8
1011a a ，=n a 1
4、己知n a =1-n a +n ，1a =1则n a = ，己知n a =21-n a +1，1a =1，则n a =
5、己知n a =
1
+n n a n-l ，1a =1，则n a = 【典型例题】 例 1 （1）设数列{}n a 满足11=a 且n a a n n +=-1，求数列{}n a 的通项
(2)设数列{}n a 满足10a =且n n n a a 21+=-求{}n a 的通项公式。
例2（1）已知数列{}n a 满足)2(2,111≥==-n a a a n n n 求数列{}n a 的通项公式
(2)已知数列{}n a 满足3
21=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
{}{}n n n n n a a a a a a 的通项公式求数列，满足已知数列例,1111311=-=-
例4（1）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a ，
(1)求证：数列{}1+n a 是等比数列;
(2)求数列的通项公式n a
课后作业
1 数列
2 , 23- , 34 , 4
5- , 56 …的一个通项公式是 2若数列{}n a 的前n 项和为1
322-+=n n S n ，则n a = 3数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，则数列{}n a 的通项公式是
4已知数列{}n a 满足n
n a a a n n ++==+2111,2，则n a = 5已知数列{}n a 中,1113,3(2),n n n a a a n --==⋅≥求通项.n a
6已知数列{}n a 的前n 项和满足12n n S a =+，求通项公式n a .
7已知数列{}a n 中()1112,2n n n n a a a a a n --==-⋅≥，求通项公式
8在数列{}n a 中，111
11,(1)2n n n n a a a n ++==++ ,设n n a b n
=，求数列{}n b 的通项公式。