角动量守恒及其应用-(2649)

角动量守恒及其应用

李泽林，过程装备与控制工程，10110902。摘

要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事

项。

关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。

在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，

常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用

角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，

加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应

用。

1角动量守恒定律

1． 1 质点对参考点的角动量守恒定律P 如图 1 所示，质点 m的动量为 P，相对于参考α

点 O的角动量为 L，其值L

r p sin

r ③

m

，其中α 是质

点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r

O图 1的夹

角。其角动量的变化量L 等于外力的冲量矩M

t（M 为外力对参

考点 O的力矩），即dL

M

dt

。若 M=0，得

L

=0，即质点对参

考点 O的角动量守恒。

1． 2 质点系对参考点的角动量守恒定律

由 n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作v

2gh

用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量点系对该参考点的角动量的变化量，即

M

i

t，仍等于质L

M i t 。同样当

M i 0 时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角动

量守恒。

1． 3 角动量守恒的判断

当外力对参考点的力矩为零，

即M i 0 时，质点或质点系对该参

考点的角动量守恒。有四种情况可

判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考

点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对

参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内

各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。

2角动量守恒定律的应用

2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔

内扫过相等大小的面积

如图，设行星的质量为 m，它相对太阳的位矢为 r ，速度为 v，走过的路程为 s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太

阳的连线，因此行星受到的外力矩为零，它相对于太阳所在的点 O 角动量守恒。

L r mv恒矢量

角动量的大小为

行星的速率为v=ds/dt。代入得

L rm v sin

式ds r si n ds ds

为行星对

L rmsi n m中, r sin dt dt

太阳的矢径在dt 时间内扫过的面积dA 的两倍，r sin

ds 2dA 。

代入得

L

dA 2 m

dt

由于角动量守恒，L 是一个常量，所以

dA

常数

dt

即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。

2.2如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m的小球 B、D 和 C，开始时静止在光滑

的水平桌面上。桌面上另有一质

m m m

量为 M 的小球 A，以一给定速度

D C B

v0沿垂直于杆 DB的方向与右端小V 0

A

球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球

M A、B、 C、D 的速度，并详细讨论

以后可能发生的运动情况。

本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及

杆子牵连速度来求解。但本题涉及 4 个物体组成的质点系，未知

量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规律成为本题

的难点，且守恒规律不易挖掘。

解析①小球 A、B 碰撞瞬间，球 A 挤压 B，其作用力方向垂

直于杆，使球 B 获得沿v0方向的速度v B。从而在碰撞瞬间使小球C、D的速度也沿v 0方向。对质点组B、C、D 与 A 组成的系统，碰撞前

后动量守恒。由于小球 C 位于由B、 C、D 三球组成的质点组的质

心处，所以小球C的速度也就是质点组的质心速度。

可得：

M v0M v A 3 mv C（1）

②质点组B、C、D与 A 是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相

等。碰撞后A、B、C、 D 的速度分别为v A、v B、v C、v D，得

（2）（2）

③对质点组B、 C、D在碰撞瞬间，在 B 处受到 A 球的作用力，

若取 B（与 B 球重合的空间固定点）为参考点，则质点组 B、C、 D 在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得

0 m l v C 2 ml v D（ 3）

④由杆的刚性条件有：v B v c v c v D（4）

由（ 1）、（2）、（3）、（4）式，可得

4 M

v 0 v C

5 M

6 m

5 M

6 m

v A v 0

5 M

6 m

10 M

v B v0

5 M

6 m

2 M

v 0 v D

5 M

6 m （5）（6）（7）（8）

⑤碰撞后各小球的运动

碰撞后，质点组B、 C、D 不受外力作用，其质心作匀速运动，

1

M v 021

M v A2 +

1

m v B2

1

m v C2

1

m v D2

4M

v C v0

22222

即5M 6m ，碰撞后，B、D两小球将绕小球 C 作匀角速度转动，角速度的大小为

v B v C 6 M v 0

l 5 M 6 m l 。

方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球 A 的速度的大小和方向与 M、 m的大小有关，由于M、m 取值不同而导致运动情形比