《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算
2a
1 − a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律：λ ( µ a ) = µ (λ a ) = (λµ )a （2）分配律： (λ + µ )a = λ a + µ a
λ (a + b ) = λ a + λ b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a ≠ 0，那末向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 λ，使 b = λa .
1− − ←⎯ 1→ 有序数组 ( x , y , z ) ⎯ 空间的点
称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 记为 M ( x , y , z ) 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,
O ( 0, 0, 0 )
B ( 0, y , z )
第七章 空间解析几何与向量代数
y
• P ( x, y)
O x
平面解析几何
1--1
平面上的点P 有序实数对(x,y)的集合R2
平面曲线L
1--1
方程
y = f ( x)
为了把空间的几何问题代数化,把代数的问题用几 何方法直观表示，需要建立空间解析几何.
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§1. 向量及其线性运算 一、向量的概念
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r 在三个坐标轴上的分向量：
R(0,0, z )
z
xi , yj , zk .
o
r
•
M ( x, y, z )
y
Q(0, y,0)
显然，
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高等数学教学课件：v-7-1-2-3空间解析几何与向量代数
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
高等数学
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
高等数学
思考题
已试知 用平aA,行Cb 表四示边a,平形行ABB四DC边D的形b对四角边线上对应的向量.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
高等数学
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
高等数学
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
a
取
与 a 同向时 取正值，
b a
,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
a
同向.
且 a
a
b
a
的b.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a
0，
a
0， 故
0，
即
.
高等数学
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|
同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数
同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数第七章空间解读几何与向量代数教案目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教案重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教案难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a 和b 的大小相等,且方向相同,则说向量a 和b 是相等的,记为a =b .相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a 与b 平行,记作a // b .零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k (k ≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k 个终点和公共起点在一个平面上,就称这k 个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a 与b ,平移向量使b 的起点与a 的终点重合,此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和,记作a +b ,即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时,平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n 个向量a 1,a 2,,a n (n ≥3)相加可写成bacABCABCa 1+a 2++a n ,并按向量相加的三角形法则,可得n 个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a 1,a 2,,a n ,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量,与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量,记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上,便得b 与a 的差b -a . 特别地,当b =a 时,有 a -a =a +(-a )=0.显然,任给向量→AB 及点O ,有→→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此,若把向量a 与b 移到同一起点O ,则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa ,规定λa 是一个向量,它的模|λa |=|λ||a |,它的方向当λ>0时与a 相同,当λ<0时与a 相反.当λ=0时,|λa |=0,即λa 为零向量,这时它的方向可以是任意的. 特别地,当λ=±1时,有1a =a ,(-1)a =-a .运算规律:(1)结合律λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb .b-a b -abab -a例1.在平行四边形ABCD 中,设?→?AB =a ,?→AD =b .试用a 和b 表示向量?→?MA 、?→?MB 、?→?MC 、?→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分,所以a +b ?→→==AM AC 2,即-(a +b )?→=MA 2, 于是21-=?→MA (a +b ).因为?→→-=MA MC ,所以21=?→MC (a +b ).又因-a +b ?→→==MD BD 2,所以21=?→MD (b -a ).由于?→→?-=MD MB ,所以21=?→MB (a -b ).例1在平行四边形ABCD 中,设→a =AB ,→b =AD .试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以→→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ;→→)(21b a +=-=MA MC . 因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ;→21-=MB 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a . 于是a =|a |e a . 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ,使b =λa .证明: 条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.设b //a .取||a b ||||=λ,当b 与a 同向时λ取正值,当b 与a 反向时λ取负值,即b =λa .这是因为此时b 与λaBCD BCD同向,且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||. 再证明数λ的唯一性.设b =λa ,又设b =μa ,两式相减,便得(λ-μ)a =0,即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0,故|λ-μ|=0,即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ,对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是点P ?向量→OP = x i ?实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是→OP = x i .三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴,依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面,另两个坐标面是yOz 面和zOx 面. 卦限:三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy 面的上方.在xOy 面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy 面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式:任给向量r ,对应有点M ,使→r =OM .以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有→→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =,则→k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式,x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.显然,给定向量r ,就确定了点M 及→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =三个分向量,进而确定了x 、y 、z 三个有序数。
高等数学下册知识点
高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM=。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB=。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 222ξηζ++= 。
4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，， 垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ，11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2π．9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ）（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（ ）（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（ ）（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为 。
14、平面0218419=++-z y x和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
高等数学第七章：空间解析几何与向量代数-5平面及其方程
i jk n= M1M2 M1M3 = 3 4 6
2 3 1
=14i + 9j – k,
根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为
14(x - 2) + 9(y + 1) – (z – 4 ) = 0,
14x + 9y – z – 15 = 0.
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o
y
M0M ( x x0, y y0, z z0 ) ,所以有：x
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
(1)
这就是平面II上任一点 M的坐标x, y, z 所满足的方程 .
反与过法来线，向如量果n 不M垂( x直, ,y从, z而)不n在*平M面0MII上 ,0那,即么不向在量平M面0MII上
向量n，由图7-54，并考虑到P1P0 与n的夹角也可
能是钝角，得所求的距离
P0
d=|PrjnP1P0 |.
P1
N
设en为与向量n方向一致的单位向量，那么有
PrjnP1 P0 = P1P0 en
而 en (
A ,
A2 B2 C 2
B ,
A2 B2 C 2
C )
A2 B2 C 2
P1P0 =(x0-x1, y0-y1, z0-z1),
例 3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是 法线向量在x轴上的投影为零， 即A=0；又由平面通过x轴， 它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为
By + Cz = 0.
又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有 -3B – C = 0,
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
高等数学第七章空间解析几何与向量代数
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二、空间两点的距离公式
如图，设M1( x1，y1，z1 )、M2( x2，y2，z2 )为空间两点，
在直角三角形
M1
NM
中，有
2
z
R
M1M2 2 M1 N 2 NM2 2
• M2
在直角三角形M 1 PN中，有
M1•
Q
M1N 2 M1P 2 PN 2 ,
M1M2 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
a
A
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二、向量的线性运算 即1、 { a加a1 法b b1： ，设a{2 a向1，ba量2，2，aaa33}{ba3{1，}b称a1，2，b为2a，3b向}，3 }b量a{a{与1b1，bbb的12， ，和ab23 }，，记b则2，为a向3a量bb3}.. 加法的几何解释：
(1)三角形法则
a
b
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例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 PP2 (0 x)2 (1 0)2 (1 0)2
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系
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一、空间点的直角坐标
1、空间直角坐标系 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，
它们都以O为原点，且具有相同的长度单位，方
向按右手规则，
即以右手握住 z 轴，当右
z 竖轴
手的四个手指从正向 x轴
以 角度转向正向 y 轴
2
时，大拇指的指向就是 z
A AB
.
3、零向量：模为零的向量称为零向量. 记为0
高等数学第七章空间解析几何与向量代数课件.ppt
D
b a BD
2 MB
b M
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
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C B
第9页，共33页。
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
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第21页，共33页。
3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
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第19页，共33页。
cos x
r
cos y
r
cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第五节 平面及其方程
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二,指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面: 1, 2 x 3 y 6 = 0 ; 2, y + z = 1; 3,6 x + 5 y z = 0 . 三,求过点( 1 , 1 ,1 ) , ( 2 ,2 , 2 ) 和( 1 ,1 , 2 ) 三点的 平面方程 . 四,点( 1 , 0 ,1 ) 且平行于向量a = { 2 , 1 , 1 }和 b = { 1 ,1 , 0 }的平面方程 . 五 , 求 通过 Z 轴 和 点 ( 3 , 1 , 2 ) 的 平面方 程 . 六 ,求 与 已 知 平 面 2 x + y + 2 z + 5 = 0 平 行 且 与 三 坐 标面 所构 成的 四面体 体积 为 1 的平 面方程 .
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D D D 将A = , B = , C = , a b c
代入所设方程得
x
z
c
y
o
a
b
x y z + + = 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
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y 轴上截距
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z 轴上截距
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例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
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例 1 求过三点 A( 2,1,4), B( 1,3,2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB = { 3, 4,6} AC = {2, 3,1}
取 n = AB × AC = {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) + 9( y + 1) ( z 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y z 15 = 0.
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
从x轴正向以 π 角度转向 2
y轴正向时，大拇指的指向
就是 z轴的正向 .
定点 o •
y
x 空间直角坐标系
• 坐标原点
Ⅲ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面(三个)
• 卦限(八个)
Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
yoz 面 zox面•o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ Ⅴ
在直角坐标系下
点 M ←⎯1−⎯−1→ 有序数组(x, y, z)
λ = 0时,
λ
λ ar
如：
−
1 2
ar
可见
ar−11arar
= =
a2r−aar;r
;
(2) 运算规律
结合律 λ(μ ar) = μ (λ ar) = λ μ ar
分配律
(λ+ λ(ar
+μ)brar)
= =
λ λ
ar ar
+ +
μ λ
arr b
4. 两个向量的平行关系
M
yy
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
z
坐标面 : xo y面 ↔ z = 0
yoz面 ↔ x = 0 zox面 ↔ y = 0
o
y
坐标轴 ： x轴 ↔
y=0
z=0
x
三元有序数组 ( x, y, z)
y轴 ↔ z轴 ↔
z = 0 的全体所构成的集合： x = 0 R3 ={( x, y, z) x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R} x = 0 称为三维欧氏空间.
负向量： 大小相等但方向相反的向量, 记作 − ar.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
34
35
36
7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
37
38
39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学之空间解析几何与向量代数
平面 : L⊥ L // 夹角公式： 直线 L .用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
01
再求直线的方向向量
02
令 x = 1, 解方程组
03
,得
04
交已知直线的两平面的法向量为
05
是直线上一点 .
06
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为
特别有:
例2. 求以下两直线的夹角
解: 直线
直线
二直线夹角 的余弦为
(参考P332 例2 )
从而
的方向向量为
的方向向量为
2. 直线与平面的夹角
当直线与平面垂直时,规定其夹角
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面不垂直时,
设直线 L 的方向向量为
平面 的法向量为
则直线与平面夹角 满足
直线和它在平面上的投影直
︿
特别有:
01
解: 取已知平面的法向量
02
则直线的对称式方程为
03
直的直线方程.
04
为所求直线的方向向量.
05
垂
06
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
内容小结
空间直线方程 一般式 对称式 参数式
2.线与线的关系
直线 直线 夹角公式:
3. 面与线间的关系
机动 目录 上页 下页 返回 结束
01
空间直线方程
03
空间直线方程
02
第7章 空间解析几何与向量代数
在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。 （又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2
而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中 是单位向量, 的方 向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的 正向时大拇指所指的方 . 向
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
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az ), b (ax bx ,
(bx ,by ,bz ) ay by ,az
, 为实数，则
bz )
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
(
b
a
)
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
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总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
可见
1a a ; 1a a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a. 因此 a
a a
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j,
k
分别表示
x,
y,
z
轴上的单位向量
,
设点
M
的坐标为 M (x, y , z), 则
只考虑
r
与
x
轴的关系，有
r在x轴上的分向量OP
xi ,
且
x
r
cos .
r
o
x P( x,0,0)
M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
M(x, y,z)
一般地，
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空间一点在轴上的投影
A
过点 A作轴 u 的垂
A
u
直平面，交点 A即为 点 A在轴u 上的投影.
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
Pr
jua
作业 P300 3 , 5, 13,
15, 18
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例p 95设i mj34ik，5求j 向8量k ， a n4m2i
3n4
j p7在kx，轴
上的投影及在y 轴上的分向量.
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2. 设 m i j, n 2 j k, 求以向量 m , n 为边的平
行四边形的对角线的长度 .
解： 对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1) m n (1,3, 1)
|mn 3
| m n 11
n m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
(a
x
,
a
y
,
az
),
则
ax Pr jxa ,
a y Pr jya ,
az Pr jza .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB在轴u上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
a∥b
( 为唯一实数)
证: 略.
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
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3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
R(0,0, z)
r
o
OP xi , OQ yj , OR zk. x P(x,0,0)
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
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例5. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )