2021年高三数学(理)解答题强化训练(1) 含答案

2021年高三数学（理）解答题强化训练（1） 含答案 1. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．

(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；

(2)判断直线l 与圆C 的位置关系．

解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫0，233， 又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，

33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫0，233， 所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.

又圆C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径r ＝2，

圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9

＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交． 2. 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．

(1)求a 的值；

(2)若⎪⎪⎪⎪

⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.

又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以

当a ≤0时，不合题意．

当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a

，得 a ＝2.

(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≤－1，－4x －3， －1＜x ＜－12，－1， x ≥－12

，故k>=1

3. 某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的

频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

（Ⅱ）假设在段的学生的数学成绩都不相同，且

都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽

样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中

任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．

解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）

众数的估计值为75分 ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，

有15种结果，学生的成绩在段的人数是0.005×10×80=4（人），

这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 ……………（8分）

随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．

∴

∴变量的分布列为：

…………（10分）

…………（12分）

解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………（10分） …………（12分）

4. 已知函数),0(sin )6cos()6cos()(R x x x x x f ∈>--++=ωωπ

ωπω的最小正周期为. (I)求函数的对称轴方程;

(II)若,求的值.

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