最新高一下学期第一次月考数学试卷

合集下载

广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知复数(12)(2)z i i =+-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为（） A ．（3，4） B ．（3，－4） C ．（4，3）D ．（4，－3）2．已知AD 是△ABC 的中线，AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，以,a b r r 为基底表示AC u u u r ，则AC u u u r ＝（）A ．12(a b -r r )B ．2b a -r rC ．12(b a -r r )D ．2b a +r r3．若一个几何体存在两个全等的矩形面，则这个几何体可能是（） A ．三棱柱B ．四棱台C ．三棱锥D ．圆锥4．已知向量a r ，b r ，且||2a =r ，||1b =r ，a b⊥r r ，则|2|a b -=r r （）A ．8B ．9C D5．已知α为锐角，若πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A B ．C ．2 D ．236．如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（）2cm .A ．12B ．C ．6D ．7．在ABC V 中，AC =O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=u u u r u u u r，N 是直线OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r（）A ．3B ．6C ．7D ．98．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b cc ab-+-=，若ABC V 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（） A ．π0,6⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．【多选题】已知()(),24,a t b t =-=-r r，，则（）A ．若//a b r r ，则t =±B ．若a b ⊥r r ，则0=tC ．a b -rr 的最小值为2D ．若向量a r与向量b r 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,∞+10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若602 1.74A c a =︒==，，，则ABC V 只有一解 C ．若tan aA b=，则ABC V 为直角三角形 D ．cos cos cos 0A B C ++>11．在ABC V 中，D 、E 为AB 边上的两点，且AE ED DB == ）A ．若CD =ABC V 为钝角三角形B ．若π3ACD ∠=，则ABC VC ．若π3ACD ∠=，则BCD ．若π3ACD BCE ∠=∠=，则cos DCE ∠=三、填空题12．已知i 是虚数单位，复数z 满足2i izz =-+，则复数z 的模为.13．已知函数()()sin πf x x ω=（其中0)ω>在区间()0,1上单调递增，且在区间()0,7上有3个零点，则ω的取值范围为.14．在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c S 为ABC V 的面积，且222()a S b c =+-，则222sin sin sin sin B C B C+的取值范围为.四、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，22OA AB ==u u u r u u u r ，2π3OAB ∠=，(BC =-u u ur ．(1)求点B ，C 的坐标；(2)判断四边形OABC 的形状，并求出其周长．16．已知函数()1cos 2f x x x m ωω=--，其中0ω>． (1)若函数()f x 的最大值是最小值的5倍，求m 的值；(2)当m =时，函数()f x 的正零点由小到大的顺序依次为1x ，2x ，3x ，…，若21π236x x -=，求ω的值．17．如图，某运动员从A 市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km 的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A 市南偏东方向距A 市25km ，且与海岸距离为15km 的海上B 处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 的夹角.18．如图，已知ABC V 是边长为2的正三角形，P 在边BC 上，且3BP BC =u u u r u u u r，Q 为线段AP上一点．(1)若115AQ AB BC λ=+u u u r u u u r u u u r ，求实数λ的值；(2)求QA QC ⋅u u u r u u u r的最小值；(3)当ABC V 的重心在直线CQ 上时，求PQC ∠的余弦值． 19．在Rt ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos A B Ca b c+=+. (1)求角A ；(2)已知2,,c b a P Q ≠=是边AC 上的两个动点（,P Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π6θ=时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值； ②记,BPQ BQP ∠α∠β==.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的,αβ，都有()sin2sin22cos k k αβαβ++=-求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。

江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos50cos20cos40sin20︒︒+︒︒的值为（）A ．12-B ．12C D ．2．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-3．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．454．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边的中点，O 为线段AD 的中点，连接CO 并延长交AB 于点E ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，则CE =u u u r （）A ．1344a b -r rB ．14a b -r rC ．13a b -r rD ．1334a b -r r5．已知3cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．14B ．12CD ．16．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论（）①OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③OA OC -u u u r u u u r u uu r ；④OA u u u r 在OD u u u r 上的投影（其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）．其中正确结论为（） A ．① B ．② C ．③D ．④7．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC u u u r u u u r 的最大值为（）A ．32-B ．14C ．12D ．18．在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．已知在同一平面内的向量,,a b c r r r均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A ．若,a b b c r r r r∥∥，则a c r r ∥B ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．若a b r r P 且a c ⊥r r，则()0c a b ⋅+=r r r10．下列计算结果正确的是（）A ．44ππcos sin 88-=B ．1tan151tan15+︒-︒C ．2sin15sin 751︒︒=D ．)sin140tan1901︒︒=11．定义两个平面向量的一种运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅r r r r ，θ为,a b rr 的夹角，则对于两个平面向量,a b rr ，下列结论正确的有（）A ．a b b a⊗=⊗r r r r B ．()()=a b a b λλ⊗⊗r r r rC ．()()2222·a ba ba b ⊗+=⋅r r r r r rD ．若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221a b x y x y ⊗=-rr三、填空题12．已知向量()4,3a =-r ，()2,1b x =-r，若a b a ⋅=-r r r ，则x =．13．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=． 14．已知()()1122,,,A x y B x y 是角αβ､终边与单位圆的两个不同交点，且1221x y x y =，则121222x x y y -+-的最大值为.四、解答题15．已知向量a r ，b r不共线，且2OA a b =-u u u r r r ，3OB a b =+u u u r r r ，OC a b λ=+u u u r r r ．(1)将AB u u u r用a r ，b r 表示；(2)若OA OC u u u r u u u r∥，求λ的值；(3)若3λ=-，求证：A ，B ，C 三点共线． 16．已知02a π<<，02βπ<<，4sin 5α=，5cos()13αβ+=.（1）求cos β的值；（2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边上CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值.（2）若2AB =，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求cos EAF ∠的值.18．现某公园内有一个半径为20米扇形空地OAB ，且π3AOB ∠=，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ 的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设NOA ∠α=，请用α表示矩形MNPQ 的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ 的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参1.414≈ 1.732）19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM u u u u r ；（2）记向量ON =u u u r 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT =u u u r 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥u u u r u u u r .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。

高一下学期第一次月考数学试题(解析版

在中角所对的边分别为 __________.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【18题答案】
【答案】（1）条件选择见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①由正弦定理得即可求出；若选②由正弦定理得即可求出 .
（2）用正弦定理得表示出得到利用三角函数求出的取值范围.
【小问1详解】
若选①则由正弦定理得
【解析】
【分析】由题可得 .作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.
【详解】如图
易知 .
A：（当时取等号）故A正确；
B：（当时取等号）故B正确；
C：
又（当时取等号）故C正确；
D：假设成立
则
即
即
当且时上式不成立故D错误.
故选：ABC.
同理由三点共线则存在实数使得
所以解得所以所以A正确.
又由且
可得解得则
可得所以B正确；
又由
当且仅当时等号成立所以C正确.
又由可得所以D不正确.
故选：ABC.
12.设分别为中ab两边上的高的面积记为S.当时下列不等式正确的是( )
A. 【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得的值由以及可得的值再由最高点可求得的值即可得的解析式由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象的平移变换求得的解析式由正弦函数的性质可得的值域令的取值为的值域解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：可得所以
A. B.
C. D.

安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}621A x x =-<，{}|5B x x =<，则（）A ．{}|5AB x x =<IB ．A B ⋂=∅C ．{|5}A B x x =<UD ．A B ⋃=R2．下列各角中，与996o 终边相同的角为（）A ．84-oB ．276-oC ．245oD ．84o 3．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（）A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点()7πsin 30,cos 6P ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭，则sin α=（）A ．12-B ．12C ．D 5．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（）A ．23 B ．13- C ．1 D ．1-6．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()4f x x =-，则()2024f =（）A ．8-B ．8C ．12-D ．12 7．2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 60cm,内弧长为 21cm,则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（）A ．7cmB ．8cmC ．13cmD ．15cm8．若关于x 的不等式()210x a x ab +++>的解集为{}1x x ≠，则ab 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．－1二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．120-︒化成弧度是2πrad 3-B ．πrad 10化成角度是18° C ．1o 化成弧度是180radD ．10πrad 3-化成角度是60-︒ 10．下列不等式错误的是（）A ．19π2πsin tan 085⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11π13πcos sin 098> C ．()sin613cos 4510︒-︒< D ．tan343cos1740︒︒<11．已知函数()πcos 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点11π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线7π24x =-对称 D ．函数()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．时间经过五个小时，时针转过的角为rad .13．已知0a >，若21cos 2a a θ+=，则πcos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为. 14．设函数()()()120102x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，()()12g x f x x =-，[]2,2x ∈-，若()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.16．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象过点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求ϕ；(2)求函数()y f x =的单调增区间； (3)[0,]2x π∀∈，()f x m ≥总成立．求实数m 的取值范围. 17．某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于[)50,70和[)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[)50,70内的概率.18．已知定义域为R 的函数()22xxa f xb -=+是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)判断()f x 的单调性，并作简要说明，无需证明；(3)若存在[]0,4t ∈，使()()22420f k t f t t ++-<成立，求实数k 的取值范围.19．已知函数()22cos 2sin f x x a x a =+-，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. (1)若π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求实数a 的值； (2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.。

吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数ππ2cos isin 33z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭虚部是（） AB ．1C ．πsin 3D ．πcos 32．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（）A ．B ．CD 3．已知向量()7,6AB =，()3,BC m =−，()1,2AD m =−，若A ，C ，D 三点共线，则m =（）A ．32B ．23 C ．32− D ．23− 4．已知向量(3,4)a =，(2,)b m =−，(2,1)c =−，若()a b c +⊥，则m =（） A ．6− B ．2− C ．6 D ．132 5．在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．4a =，5b =，6c =B ．a =2b =，45A =oC ．10a =，45A =o ，70B =D ．3a =，2b =，60A =6．已知复数z 满足|1|1z −=，则|22i |z +−的最大值为（）A1 B C 1 D ．7．某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60︒，沿倾斜角为30︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为75︒，则山峰高PQ 为（）A ．45(3+米B ．45(2米C ．1)米D ．1)米8．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD =，则||BC 的最小值为（）AB ．2C ．D ．二、多选题9．设(1i)2i z −=+，则下列叙述中正确的是（）A ．z 的实部是32−B ．13i 22z =−C ．||z =D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限 10．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（）A ．若AB >，则a b >B ．222a b c +>C ．若sin sin <A C ，则cos cos A C <D ．sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++11．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，P 为ABC 内的一点，设AP xAB y AC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC 的重心，则21x y +=B ．若P 为ABC 的外心，则18PB BC ⋅= C ．若P 为ABC 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知向量a 与b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则||a b += . 13．设复数1i 1i −=+z ，202420232()1f x x x x x =+++++，则()f z = . 14．已知(1,2),(1,1)a b ==且a 与a b λ+的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .四、解答题15．已知复数()()22223i z m m m m =++−−，R m ∈，其中i 为虚数单位.(1)若1m =，求z ；(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值.16．已知向量(1,2)OA =，(3,1)AB =，(,3)OC m =.(1)若向量OA OC ⊥，求向量AB 与向量OC 的夹角的大小：(2)若向量OB OC ⊥u u u r u u u r ，求向量AB 在向量OC 方向上的投影向量的坐标.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A =，又以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,,S S S ，且132S S S +−=.(1)求角B 的大小；(2)求ABC 的面积；(3)若30sin sin 49A C =，求ABC 的周长. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O .(1)用AB ，AC 表示DE ；(2)过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB =，AH t AC =，求t 的值；(3)若3AB AD AO EC ⋅=⋅，求AB AC 的值. 19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.(1)若cos sin 0a C C b c −−=.①求A ；②当2a =时，求ABC 面积的最大值；(2)若8a c +=，sin tan22cos B A A=−，求ABC 面积的最大值.。

2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

高一下学期第一次月考数学试题1(必修4)(含答案)

高一下学期第一次月考数学试题一、选择题（每题5分，共计60分）1、sin 210︒的值为A ．12B ． 12- C ．2 D ． 2- 2、已知4tan 3α=-，且α为第四象限角，则sin α的值为 A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4、所有与角α终边相同的角, 连同角α在内, 可构成的一个集合S 是A ．{β|β=α+k ·180°，k ∈Z}B ．{β|β=α+k ·360°, k ∈Z}C ．{β|β=α+k ·180°，k ∈R}D ．{β|β=α+k ·360°, k ∈R}5、下列函数是周期为π的偶函数为A ． cos 2y x =B ． sin 2y x =C ． tan 2y x =D ． 1cos 2y x = 6、函数)32sin(2π+=x y 的图象A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6π对称 7、若[]0,2x π∈，则使函数sin y x =为增函数，cos y x =为减函数的区间为A ．[0,]2πB ． [,]2ππC ． 3[,]2ππD ．3[,2]2ππ 8、若函数234y x x =--的定义域为[0, m]，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是A.[0,4]B.[4,23] C.[3,23]D.[+∞,23) 9、函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可以为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y10、若函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，则||ϕ的最小值为 A. 6π B. 4π C. 3π- D. 2π11、为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，需将x y 21sin =的图像上每一个点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向右平移32π个单位长度 D.向左平移32π个单位长度 12、函数0.5log cos 2y x =的单调递增区间是A ． 2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） B ． ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） C ． ,4k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） D ．. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡++2,4ππππk k （Z k ∈）二、填空题(每小题5分, 共20分)13、角α的终边上有一点()4,P m -，且sin (0)5m m α=<，则sin cos αα+= ； 14、一个扇形的弧长为cm 5,它的面积为25cm ，则这个扇形的圆心角的弧度数是______.15、()sin tan 1,(5)7,(5)f x a x b x f f =++=-=已知满足则；16、函数[]()sin 2sin ,0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点，则 k 的取值范围是。

云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试

云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N ⋂=（）A ．{}1,2B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}22x x -<< 2．已知共轭复数1i z =-+，则复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设x 为实数，若向量(2,3)a =r ，(,6)b x =-r ，且//a b r r ，则x 的值为（）A ．92- B ．4 C ．4-D ．32 4．化简AB CA BC ++=u u u r u u u r u u u u u r （）A ．0B ．0rC ．AC u u u rD ．CA u u u r 5．在ABC V 中，D 是AB 的中点，则CD =u u u r （）A ．1122CA CB +u u u r u u u r B ．CA CB +u u u r u u u r C ．12CA CB +u u u r u u ur D ．12CA CB +u u ur u u u r6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =30︒，b =2c =，则C =（）A ．π4B ．π3π44或C ．3π4D ．π2π33或 7．如图所示，以直角梯形ABCD 的AD 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（）A ．20πB ．16πC ．16π+D ．20π+8．在正三棱锥-P ABC 中，AB =正三棱锥-P ABC 的体积是则正三棱锥-P ABC外接球的表面积是（）A ．5πB ．15πC ．25πD ．35π二、多选题9．下列说法正确的是（）．A ．命题“3x ∀≥，2100x -≥”的否定是“03x ∃≥，02100x -<”B ．1x x+的最小值是2 C ．若0a b >>，则22a b >D ．πsin(2)3y x =+的最小正周期是π10．（多选）下列命题中的真命题是（）A ．若直线a 不在平面α内，则//a αB ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αC ．若//l α，则直线l 与平面α内任何一条直线都没有公共点D ．平行于同一平面的两直线可以相交11．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱111C D C C ，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线BN 与1MB 是异面直线C ． AM 与BN 平行D ．直线1A M 与BN 共面12．对于任意的平面向量,,a b c r r r ，下列说法错误的是（）A ．若//a b r r 且//b c r r ，则//a c r rB ．()·a b c a c b c +=⋅+⋅r r r r r r r C ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r ，则b c =r r D ．()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r三、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+v v ．若a b ⊥r r ，则m =．14．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为．15．向量a b r r ，的夹角为π3，且||1,||2a b ==r r ，则||a b -r r 等于． 16．已知复数z 满足43i 3z --=，当z 的实部取最大值时，z =．四、解答题17．解不等式或方程 (1)02x x ≤- (2)23830x x --=18．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||a r ＝1，)b =r ． (1)求||b r 及a b ⋅r r ； (2)求|2|a b -r r .19．已知函数()()()()log 3,log 3(0,1)a a f x x g x x a a =-=+>≠，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的定义域；(2)判断函数()F x 的奇偶性，并说明理由；20．已知函数()e x f x a x =+(0)a >.(1)判断()f x 的单调性，并证明；(2)当0x ≥时，不等式()f x ≥a 的取值范围. 21．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得45,75,100BCD BDC CD ∠=︒∠=︒=米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒．△的面积；(1)求BCD(2)求塔高AB．。

重庆市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

重庆市2023-2024学年度下期高2026届第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(AB BC AD +-=（）A.AD B.DAC.CDD.DC【答案】D 【解析】【分析】直接用向量加减法容易得解．【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．2.在ABC 中，已知120B =︒，AC ，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3.已知向量()63,9a t =+ ，()42,8b t =+ ，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（）A .1- B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值．【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+ ，所以()63,1113a b t =++ ，()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4.在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，记AE a = ，CD b = ，则AC =（）A.()13a b - B.()12a b - C.1123a b - D.()23a b -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，()12a AB AC =+ ，1122b AB CA AB AC =+=-．两式相减，得32a b AC -= ，所以()23AC a b =-．故选：D ．5.已知向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，则一定共线的是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出,BD AC，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= ，则有//AB BD，而,AB BD 有公共点B ，有A ，B ，D 共线，A 是；0BC ≠ ，不存在实数λ，使得AB BC λ=，因此,AB BC 不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠，不存在实数μ，使得CD BC μ= ，因此,BC CD 不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；130AC AB BC b =+=≠ ，不存在实数t ，使得CD t AC =，因此,AC CD 不共线，A ，C ，D 不共线，D不是.故选：A6.已知对任意平面向量(,)AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，点()14B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为（）A.31,2⎫+⎪⎭ B.31,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.52⎛⎝ D.(5,212【答案】A 【解析】【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A 点坐标可得点P 的坐标．【详解】O 为坐标原点，由已知2)AB =，ππππ12sin()2cos()](,333322AP =----+-=- ，又(1,2)A ，所以P点坐标为13(1,2)(,)(1,)2222OP OA AP =+=+-=+ ，故选：A ．7.如右图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为A.2B.13C.33+ D.34【答案】C 【解析】【分析】由题意可得MG GN λ=，利用三角形重心的向量表示，化简可得113x y+=.然后利用基本不等式来求得最值.【详解】因为M ，N ，G 三点共线，所以MG GN λ=，所以()AG AM AN AGλ-=- 又因为G 是ABC 重心，所以()13AG AB AC =+，所以()()1133AB AC x AB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得113x y +=，由基本不等式得()(1111212233333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2113x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2122,36x y ==时，等号成立，故选：C 【点晴】8.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，2AB =，BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A.B. C.4 D.6【答案】D 【解析】【分析】设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，利用余弦定理求得2AC ，表示出sin β，进而可求得2BD ，结合辅助角公式即可求得答案.【详解】由题意2AB =，BC =设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，则由余弦定理得：2222··cos 12AC AB BC AB BC ABC α=+-∠=-，由正弦定理得：sin β=因为AC CD ⊥，则90BCD β︒∠=+，在BCD △中，()28122cos 90BD a β︒=+--⨯+20α=-+π202016sin 4ααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，3π4α∴=时，2BD 的最大值为36，BD 取得最大值6，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ B.若a b = ，则a b=± C.若a b ⊥，则a b a b+=- D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c=【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的意义判断A ，根据向量模的意义判断B ，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C ，根据向量的数量积运算判断D.【详解】对于A ，因为()a b c ⋅⋅ 表示向量c λ，()a cb ⋅⋅ 表示向量b μ ，当,c b不共线且0,0λμ≠≠时，两个向量一定不相等，故A 错误；对于B ，因为a b = 时，向量,a b 的方向不确定，故a b =±不正确，故B 错误；对于C ，a b a b +=-⇔ 22a b a b+=- 2222220a a b b a a b a b b a b ⇔+⋅+=-⋅+⇔⋅=⇔⊥，所以C 正确；对于D ，由cos ,cos ,a b a c a b a b a c a c ⋅=⋅⇒⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，不能得出b c =，故D 错误.故选：ABD10.在ABC 中，AB =，2BC =，45A ∠=︒，则ABC 的面积可以为（）A.B.32C.332+ D.622+【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理可求得b ，再用三角形面积公式可得解.【详解】c =，2a =，o 45A =，∴2222cos a b c bc A =+-，即2222cos 4622b ac bc A b =-+=-+⨯⨯，整理得220b -+=，解得1b =+1，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A +==⨯⨯=，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A -==⨯⨯=，所以ABC 的面积为332+故选：AC.11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.OB OH +=C.AH HO BC BO⋅=⋅D.AH 在AB 向量上的投影向量为2AB【答案】ABD 【解析】【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，对于A ，11cos1352OA OD ⋅=⨯⨯︒=- ，故A 正确；对于B ，90BOH ∠=︒，则以OB ，OH 为邻边的对角线长是||OA 倍，可得OH OB +==，故B 正确；对于C ， AH BC = ，||||HO BO = ，AH 与HO 的夹角为180AHO ︒-∠，BC 与BO的夹角为OBCAHO ∠=∠，故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故C 错误；对于D ，AH 在AB 向量上的投影向量为cos1352AH AB AB AB AB AB AB⋅⋅=⋅=-，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】【详解】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯︒= ，22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，解得：67k =．故答案为：67．14.已知平面向量a ，b ，c满足：2a b c ⋅== ，3a c -= ，4b c -= ，则a b c +-= ___________，且a b +的取值范围为___________.【答案】①.5②.[]3,7【解析】【分析】第一空：由题意可设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，进一步有()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，结合2a b ⋅=有2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，而a b c +-也可以用含x y +的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.【详解】第一空：2c = ，3a c -= ，4b c -= ，设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，从而3,4CA CB ==，设()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，从而()2cos 3cos 4cos ,2sin 3sin 4sin a b c θαβθαβ+-=++++，又因为2a b ⋅=，所以()24cos6cos cos 8cos cos 12cos cos θθαθβαβ+++()24sin 6sin sin 8sin sin 12sin sin 2θθαθβαβ++++=，记6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，从而2x y +=-，所以a b c +-=5===；第二空：对于两个向量,u v，有u v u v u v -⋅≤⋅≤⋅ ，进一步有222222222u u v v u u v v u u v v -⋅+≤+⋅+≤+⋅+ ，所以u v u v u v -≤+≤+ ，注意到2c = ，5a b c +-=，从而3a b a b c c +=≥+-- ，等号成立当且仅当,a b c c +-反向，7a b a b c c +=≤+-+ ，等号成立当且仅当,a b c c +-同向，所以a b +的取值范围为[]3,7.故答案为：5，[]3,7.【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合2a b ⋅=，得到2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量a ，b ，2,1a b == ，且a 与b的夹角为π3.（1）求2a b +；（2）若2a b + 与()2a b λλ+∈R 垂直，求λ的值【答案】（1）（2）4-【解析】【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出a b ⋅，即可由向量模长的求法列式2a b +=，结合向量的运算代入值求解即可；（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.【小问1详解】2,1a b == ，且a 与b 的夹角为3π，π1cos 21132a b a b ∴=⨯⨯⋅==22a b +== 【小问2详解】2ba + 与()2ab λλ+∈R 垂直，()()202a b b a λ∴⋅+=+，即222024a b a a b b λλ+⋅+⋅=+，即8240λλ+++=，解得：4λ=-.16.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【答案】（1）72（2）4【解析】【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2.5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（3）若ABC的面积为3，3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.【答案】18.π319.620.8，3π【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【小问1详解】由cos cos 2cos +=ac B b C A，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】因为sin 3B ==，所以23,1sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππ223sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭.【小问3详解】因为11sin 2223S bc A bc ==⋅=，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.19.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；（2）设()()ππ3cos 63g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM共线的单位向量；（3）已知()2,3A -，()2,6B，()OT = 为函数()()πsin R 6h x m x m ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()π23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）410-；（2）)OM =，1,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在点()0,2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出()f x ，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；（3）根据题意确定m 的值，继而得到函数()π2sin 6h x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，继而得到()2cos 2xx ϕ=，设点,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.【小问1详解】根据题意知，向量(ON = 的相伴函数为()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当()π82sin 35f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.【小问2详解】因为()ππ3cos 63g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭3cos x x =+，故函数()g x的相伴特征向量)OM =，则与)OM =共线单位向量为)313,622OM OM⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为()π31sin sin cos 622h x m x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故32112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()π2sin 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 23236x x x h ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 2cos 222x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，设点,2cos2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以22cos 3,2,2cos 622x x AP x BP x ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若AP BP ⊥ ，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2244cos 18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为139522cos 2,2cos ,22222x x -≤≤-≤-≤-，故22591692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭成立，故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.。

江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(原卷版)

20232024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. cos150︒=A.B. C.12D. 1-22. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（） A. 30B.π12C.π6D.π33. 已知α是第二象限角，则点()cos ,tan P αα在（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若()1,A y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =（） A. 3-B. 3C. 1-D. 15. 在[]0,2π上，满足sin 2x ≥的x的取值范围是 A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（） A. 函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上减函数 B. 函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数D. 函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 7. 函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()cos3g x x =的图象（）A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度8. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（） A. 28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,139⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. ()0,1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若,A B 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =+C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75D. 从1,2,3,4中任取2个不同数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是1310. 已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A. ()f x 最小正周期为π2B. ()f x 的定义域为ππ,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. 若()1fθ=，则()πZ 2k k θ=∈ D. ()f x 在其定义域上是增函数11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若对R x ∀∈，有()()()21f x f x f +=+，且当01x <<时，()21f x x =-+，则下列结论中正确的是（）A. ()11f -=B. 函数()f x 是周期函数，且周期为2C. 函数π()()sin2xh x f x =+在区间[]4,3-上的零点个数是7个 D. 对*N n ∀∈，123944444n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数ππ2sin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为______.13. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ=_____________．14. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P - （1）求sinα和tanα的值（2）若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值 16. 已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域.17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按[)[)[)[)[)[]140,145,145,150,150,155.155.160,160,165,165,170分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该校男生身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在[145,150)和[)160,165内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在[)145,150内的概率.18. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππϕ-<<），若()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π4，且过点π,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（2）记方程()43f x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．19. 已知函数()()sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，0πϕ<<）的图象两邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6单位，再向上平移1个单位，所得函数()g x 为奇函数. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2220fx m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()23h x f x =+的图象在区间[],a b （,R a b ∈且a b <）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间[],a b 上，求b a -的最小值.。

2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若210x +=，则i x =B.实部为零的复数是纯虚数C.()21i z x =+可能是实数D.复数2i z =+的虚部是i2.设集合(){}1lg 1,24xA xy x B x ⎧⎫==-=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则()A B ⋂=R ð（）A.()1,∞+B.(]2,1-C.()2,1-D.[)1,∞+3.若命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.(),4∞- C.(),4∞-- D.[)4,∞-+4.下列说法正确的是（）A.“ac bc =”是“a b =”的充分条件B.“1x ”是“21x ”的必要条件C.“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2,2k k πϕπ=-∈Z ”的充分不必要条件D.“0a b ⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”5.设1535212log 2,log 2,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a<< D.a c b<<6.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A.(,∞-B.(,∞-C.[)13,∞+ D.(),13∞-7.若向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===- ，且a c ∥，则a 在b上的投影向量为（）A.812,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ C.()8,12 D.413138.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为（）A.5B.6C.7D.8二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（）A.向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点必在一条直线上B.零向量与零向量共线C.若,a b b c == ，则a c= D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量10.下列说法正确的是（）A.若α为第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的一个可能值为34πC.3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴D.若扇形的圆心角为60 ，半径为1cm ，则该扇形的弧长为60cm 11.已知0,0a b c >>>，则下列结论一定正确的是（）A.b b ca a c+<+ B.3322a b a b ab ->-C.22b a a b a b+<+ D.2()a b a ba b ab +>12.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-，则下列结论正确的是（）A.()f x 为周期函数且最小正周期为8B.7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在()6,8上为增函数D.方程()lg 0f x x +=有且仅有7个实数解三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点P ，若点P 也在函数()32log 1y x b =++的图象上，则b =__________.14.化简：()2tan1234cos 122sin12-=-__________.15.已知函数()2log ,02,sin ,210,4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩若存在1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为__________.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=2233sin ,cos cos cos 52A AB A A B =-=-，则ABC 的面积是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22232b c bc a +-=.（1）求cos A 的值；（2）若2,3B A b ==，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6,||8,,3AB AC BAC AP xAB y AC π∠====+，求y x -的值.19.（本小题满分12分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数501log lg 210xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：1.4lg20.30,59.52≈≈）.（1）当05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.75km /min ，同类雌鸟的飞行速度为1.5km /min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？20.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.（1）求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；（2）若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()[]sin (0,0,0,),4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图象，图象的最高点为()1,2B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥.游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧 DE.（1）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 的距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（2）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且POE ∠θ=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ee ,ln xx f x a g x x =-=.（1）求函数()26g x x --的单调递减区间；（2）若对任意21,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()()()112,0,x f x g x ∞∈-≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.数学答案一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBADBBAB1.C A.i x =±，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当i x =时，()21i z x =+是实数，说法正确；D.复数2i z =+的虚部是1，说法不正确.故选C .2.B 由题知()()1,,2,A B ∞∞=+=-+，从而得到()(]R 2,1A B ⋂=-ð.故选B .3.A 命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，2“,40x x x a ∴∃∈-+=R ”是真命题，∴方程240x x a -+=有实数根，则2Δ(4)40a =--，解得4a ，故选A.4.D对于A ，当0c =时，满足ac bc =，此时可能有,A a b ≠错误；对于2B,1x 等价于1x 或1x -，故“1x ”是“21x ”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”等价于()2k k πϕπ=+∈Z ，故“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2k ϕπ=,2k π-∈Z 的必要不充分条件，C 错误；对于D ，0a b ⋅< 等价于a 与b的夹角,2πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故“0a b⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”，D 正确.故选D.5.B 因为33322213log 2log log 122a ==<=且153355221131122log 2log ,log 2log ,12222233a b c -⎛⎫⎛⎫=>==<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故b a c <<.故选B.6.B 由不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，可知2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故0a <且()231,236b ca a-=-+==-⨯=-，即,6b a c a =-=-，则不等式220bx amx c ++>变为2120ax amx a -+->，由于[]0,1,5a x <∈，则上式可转化为12m x x <+在[]1,5恒成立，又12x x +=，当且仅当x =m <.故选B.7.A 因为a c∥，所以44x -=，得1x =-，所以()1,2a =- ，又()2,3b =，所以,cos ,b a b a b b a b⋅===所以a 在b上的投影向量为：812cos ,,1313b a a b b ⎛⎫⋅==⎪⎝⎭，故选A.8.B 因为()sin f x x =对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，要使m 取得最小值，应尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最值点，考虑1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为6，故选B.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ADACABDABD9.AD向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c == ，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选A D.10.AC 对于A :若α为第一象限角，则22,2k k k ππαπ<<+∈Z ，则：,24k k k απππ<<+∈Z ，所以2α为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，若ϕ的一个可能值为34π，当34πϕ=时，()()sin sin f x x x π=+=-，函数为奇函数，故B 错误；对于C ：2cos 23f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，故C 正确；对于D :扇形圆心角为3π，半径为1cm ，则该扇形的弧长为cm 3π，故D 错误.故选AC.11.ABD 对于()()A,c b a b b c a a c a a c -+-=++，由a b >，得0b a -<，所以()()0c b a a a c -<+，所以b b ca a c+<+，故A 正确；对于B ，()()()()()332222220a b a b ab a b a ab b ab a b a b ---=-++-=-+>，故B 正确；对于()()()()22222222222()11C,0b a b a b a b a b a b a a b a b b a a b a b a b ab ab --+---⎛⎫+--=+=--==> ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，2()a b a ba b ab +>等价于()ln ln ln ln 2a ba ab b a b ++>+，等价于ln ln ln ln 0a a b b b a a b +-->，即()()ln ln 0a b a b -->，故D 正确.故选ABD.12.ABD 因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()f x 关于点()1,0-对称；因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()f x 关于直线1x =对称；则()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--，所以()()8f x f x =-，故()f x 的最小正周期为8,A 正确；275531111311111,B 222222224f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦正确；由于()f x 在()1,0-上单调递减，且()f x 关于点()1,0-对称，故()f x 在()2,0-上单调递减，又()f x 的周期为8，则()f x 在()6,8上也为减函数，C 错误；作出函数()f x 的图象可知，函数()y f x =的图象与函数lg y x =-的图象恰有7个交点，D 正确，故选ABD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2由题意可知，函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点()2,4，则有()32log 214b ++=，解得2b =.14.-4原式()()()222sin123tan123sin123cos12cos124cos 122sin1222cos 121sin1222cos 121sin12co s12-===---()()2132sin122sin 48222sin4841cos24sin242cos 121sin24sin482⎛⎫ ⎪--⎝⎭====--.15.(20,32)作出函数()2log ,02,sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图所示，因为()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<，所以，由图象可知，212234log log ,2612x x x x -=+=⨯=，且()32,4x ∈，则()2123433331,1212x x x x x x x x ==-=-+，由于23312y x x =-+在()2,4上单调递增，故2032y <<，所以1234x x x x 的取值范围为()20,32.16.369350+由题意得1cos21cos233sin22222A B A B ++-=-，即3131sin2cos2cos22222A AB B -=-，所以sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=.由3,5sin sin a c c A A C ===，得65a =.由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故()343sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C +=+=+=，所以ABC的面积为1163433693sin 2251050S ac B ++==⨯⨯=.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）在ABC 中，2223,2b c a bc +-=.由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，332cos 24bcA bc ∴==.（2）由（1）知，70,sin 24A A π<<∴==.32,sin sin22sin cos 2448B A B A A A =∴===⨯⨯=，又73sin 43,,2sin sin sin 378a b b A b a A B B ⨯==∴== ..18.（1）在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，22||4AP AP ∴== ，解得2AP = ，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+ ，且,,B P O 三点共线，21x y ∴+=①，又6,8,3AB AC BAC π∠=== ，则1cos 122AB AO AB AC BAC ∠⋅=⋅= ，由AP BD ⊥可知()()20AP BO x AB y AO AO AB ⋅=+⋅-= ，展开()22220y AO x AB x y AB AO -+-⋅= ，化简得到3y x =②联立①②解得13,77x y ==，故27y x -=.19.（1）由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，将05x =和0v =代入题目所给的公式，可得510log lg5210x =-，.即()5log 2lg521lg2 1.410x ==-≈，从而 1.410595.2x ≈⨯≈，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为95.2个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，由题意得：15025011.75log lg ,21011.5log lg ,210x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得15211log 42x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：12x x =，倍.20.（1）取0x y ==，则()()()0020,00f f f +=∴=，取y x =-，则()()()()00f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴为奇函数；任取()12,,x x ∞∞∈-+且12x x <，则()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<，()()21f x f x ∴<--，又()f x 为奇函数，()()12f x f x ∴>.故()f x 为R 上的减函数.[]()()2,4,4x f x f ∈-∴ ，()()()()()42241418f f f f ===⨯--=- ，故()f x 在[]2,4-上的最小值为-8.（2）()f x 在[]1,1-上是减函数，()()12f x f ∴-=，()222f x m am <-+ 对所有][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立.2222m am ∴-+>对[]1,1a ∀∈-恒成立；即220m am ->对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()22g a am m =-+，则()()10,10,g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即2220,20,m m m m ⎧+>⎨-+>⎩解得：2m >或2m <-.∴实数m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.21.（1）由已知条件，得2A =，又23,12,46T T ππωω===∴= ，又当1x =-时，有2sin 26y πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()20,,3πϕπϕ∈∴=，∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin ,4,063y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭.由22sin 163y x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据图象得到()22636x k k ππππ+=+∈Z ，解得()312x k k =-+∈Z ，又[]()4,0,0, 3.3,1x k x G ∈-∴==-∴-.OG ∴=.∴千米.（2）如图，1OC CD ==，2,6OD COD π∠∴==，作1PP x ⊥轴于1P 点，在Rt 1OPP 中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP 中，2sin sin 33OP OM ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2332cos sin 23sin 3OP OM πθθθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，12cos 2sin 3QMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭.24323234sin cos 2sin2333θθθθθ=-=+-sin 2,0,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当262ππθ+=，即6πθ=时，平行四边形面积有最大值为233平方千米.22.（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{2x x <-∣或3}x >，令26,ln m x x y m =--=在()0,m ∞∈+内单调递增，而(),2x ∞∈--时，26m x x =--为减函数，()3,x ∞∈+时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递减区间是(),2∞--（2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∞∈-可知()[]()121,1,e 0,1x g x ∈-∈，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-，分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解，令11ex n =，则21,n a n n >>+或2a n n <-有解，得2a >或0a <.（3）依题意()()()222e e e e e e e e 2x x x x x xx x F x a a a a ----=-+-=+-+-，令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()()020,2220h a h a =->=-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点；·综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a 或1a >时，()F x 没有零点.。

福建省龙岩市龙岩二中2023~2024学年高一下学期第一次月考质量检测数学试题

福建省龙岩市龙岩二中2023~2024学年高一下学期第一次月考质量检测数学试题一、单选题1．在复平面内，()()1i 3i -+对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(1,3)a λ=+r ，(2,3)b =r ，若a r 与a b +rr 共线，则实数λ=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．图，某四边形ABCD 的直观图是正方形A B C D ''''，且()()1,0,1,0A C '-'，则原四边形ABCD的周长等于（）A ．2B ．C ．4D ．4．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东 60o 方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o ，的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A B ．2nmileC ．D ．5．已知非零向量,a b r r 满足3a b =r r ，向量a r 在向量b r ，则a r 与b r 夹角的余弦值为（）ABCD ．236．已知ABC V 是边长为2的等边三角形，P 为ABC V 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值不可能．．．是（） A ．1-B ．32-C ．43-D ．2-7．ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，若222a b c +-=且0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC V 的形状是（） A ．底角是π6的等腰三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的直角三角形D ．等腰直角三角形8．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅u u u r u u u r的最小值为（）A ．0B ．165-C ．245-D ．565-二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．向量a r 在向量b r上的投影向量表示为a b b bb⋅⋅r r r r r B ．向量(2,1)a =r ，(,2)b k =-r ，R k ∈，a r 与b r的夹角θ为钝角，则k 的取值范围是(,1)-∞C ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形D ．在ABC V 中，角A ，B ，C ，的对边分别是a ，b ，c ，若60C =︒，10b =，9c =，则此三角形有两解10．在ABC V 中，若()()()::9:10:11a b a c b c +++=，下列结论中正确的有（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC =B ．ABC V 是钝角三角形C ．ABC V 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC V 11．直角ABC V 中，斜边2AB =，P 为ABC V 所在平面内一点，221sin cos 2AP AB ACθθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r （其中R θ∈），则（）A ．AB AC ⋅uu u r uu u r的取值范围是(0,4) B ．点P 经过ABC V 的外心 C ．点P 所在轨迹的长度为2D ．()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．若向量AB u u u r与()1,2a =-r 的方向相反，且()1,1A ，AB =u u u r B 坐标为．13．如图所示，在ABC V 中，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =u u u r u u u r，过点D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 交两点不重合）.若AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则mn =，若AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AC μ=u u u r u u u r，则λμ+的最小值为.14．如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sin A ＋c sin C ＝4a sin C sin B ，则FH ＝．四、解答题15．已知复数(1)(2)(1)z m m m i =-++-（m R ∈，i 为虚数单位）（1）若z 是纯虚数，求||z ；（2）若2m =，设(,)1z ia bi ab R z +=+∈-，试求,a b 的值. 16．已知在ABC V 中，N 是边AB 的中点，且4BM BC =u u u u r u u u r，设AM 与CN 交于点P ．记,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ．(1)用,a b rr 表示向量,AM CN u u u u r u u u r ；(2)若2||||a b =r r ，且CP AB ⊥u u u r u u u r ，求,a b 〈〉rr 的余弦值．17．已知锐角ABC V 内角,,A B C 及对边,,a b c ，满足22cos c b a B -=. (1)求A 的大小；(2)若1a =，求ABC V 周长的取值范围.18．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2a =，sin sin 2sin sin b B c C A b C +-=．(1)求A 的大小；(2)已知AD 是ABC V 的中线，求AD 的最大值．19．如图，点,P Q 分别是正方形ABCD 的边DC 、CB 上两点，1AB =，PAQ θ∠=，记点O 为APQ △的外心.(1)若DP DC λ=u u u r u u u r ，CQ CB λ=u u ur u u u r ，01λ≤≤，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的值；(2)若45θ=︒，求AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围；(3)若60θ=︒，若AO xAP yAQ =+u u u r u u u r u u u r，求36x y +的最大值.。

广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题数学含答案

2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。

湖北省十堰市房县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

湖北省十堰市房县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知ABC V 中，4a =，b =30A =︒，则B 等于（）A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒2．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．C ．D ．3．已知向量()1,2a =r ，()4,b t =-r ，则下列说法错误的是（）A ．若a b ∥r r ，则8t =-B ．min 5a b -=r rC ．若a b a b +=-r r r r ，则2t =D ．若a r 与b r 的夹角为钝角，则2t <4．已知32m >，在钝角ABC V 中，3AB m =，5BC m =，6AC m =+，则m 的取值范围是（） A ．3,62⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()2,6 C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,+∞5．已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭0απ≤≤，则cos2α的值为（） A ．2425 B ．725- C ．725 D ．2425- 6．函数21sin 2sin ,2y x x x R =+∈的值域是（） A ．13[,]22- B ．31[,]22-C ．11[]2222-++D ．11[]2222--- 7．已知ABC V 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，下列四个命题中正确的命题是（） A ．若cos cos cos a b c A B C==，则ABC V 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC V 一定是等腰三角形C ．若cos cos b C B b +=，则ABC V 一定是等腰三角形D ．若2220a b c +->，则ABC V 一定是锐角三角形8．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7二、多选题9．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（）A ．19b =，45A =︒，30C =︒，有两解B ．a =b =45A =︒，有两解C ．3a =，b =45A =︒，只有一解D ．7a =，7b =，75A =︒，只有一解10．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数的解析式为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象 D ．函数()y f x =关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 11．已知函数()44πsin 2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（） A ．函数()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的图象可以由sin2y x =图象向左平移π12个单位长度得到C ．()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若函数()12y f x =+在[],a b 上至少有11个零点，则b a -的最小值为5π三、填空题121sin170-=︒. 13．如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R u u u r u u u r u u u r ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅u u u r u u u r 的值为.14．在Rt ABC △中，90B =o∠，22AC AB ==，AE AB λ=u u u r u u u r ，()1AF AC λ=-u u u r u u u r ，λ∈R ，则CE BF ⋅u u u r u u u r 的最大值为．四、解答题15．已知π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-∈∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)求sin2α；(2)求()cos αβ+.16．已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =r .(1)若c =r //c a r r ，求c r 的坐标;(2)若b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角θ.17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin cos C c B a +=． (1)求角C 的大小； (2)若ABC V 为锐角三角形，2c =，求ABC V 面积的取值范围．18．如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π4POQ ∠=.C 是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=.(1)将矩形ABCD 的面积S 表示成关于α的函数()f α的形式；(2)求()f α的最大值，及此时的角α.19．已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x m =-⋅-+．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，已知()f x 的最大值为1，求使()0f x ≥成立时自变量x 的集合．。

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测(月考)数学试题

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若角α的终边与单位圆相交于点1,2P ⎛ ⎝⎭，则tan α等于（）A．12B ．C ．D ．2．已知函数()sin 2f x x a x =++，且()5f m =，则()f m -=（） A ．5-B ．3-C ．1-D ．33．函数()312log 2f x x x x x=-+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知5ππcos ,sin ,log 256a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b6．若函数()22log 1,11()2,1x x f x x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（） A ．[]22-,B ．(],2-∞C ．[]0,1D ．[)0,∞+7．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（）A ．18B ．17C ．16D ．158．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（） A ．若0z z ⋅=，则0z = B ．若R z z -∈，则R z ∈ C ．若π2πcosisin 55z =+，则1z = D ．若11z z -=+，则1i z --的最小值是1 10．已知tan 2tan αβ=，则（）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()(2)(2)f x y f x f y f x f y +=⋅---，且()()00,20f f ≠-=，则（） A ．()21f = B ．()f x 是偶函数 C ．22[()][(2)]1f x f x ++=D ．()()()()12320241f f f f ++++=L三、填空题12．如图，在直角梯形ABCD 中，224AB CD AD ===，则直角梯形ABCD 的直观图的面积为.13．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30A =o ，且312a ==，则c 的值为.14．定义：{}max ,x y 为实数,x y 中较大的数．若,,0a b c >，则11max ,,⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭a b bc c aca b 的最小值为．四、解答题15．已知向量()3,1a =r，5b =r ，()15a a b ⋅+=r r r .（1）求向量a r 与b r夹角的正切值；（2）若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ，求λ的值.16．在①3sin 4cos a C c A =；②2sinsin 2B Cb B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知______，a =（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，求边c ．17．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上.记梯形ABCD 的周长为y ，CAB θ∠=.(1)将y 表示成θ的函数； (2)求梯形ABCD 周长的最大值.18．设函数()πcos3f x x =，()ln g x x =，()22e e 15x x h x =--． (1)求函数()y f x =在()0,10上的单调区间；(2)若()10,3x ∀∈，()2,x a ∃∈-∞，使()()12f x h x =成立，求实数a 的取值范围； (3)求证：函数()()()x f x g x φ=-在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，并求()()0h g x ⎡⎤⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.72=，[]3.24-=-）．2.449≈，5ln 0.2234≈．19．设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，如果对于[],a b 内任意两数12,x x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[],a b 上的凹函数；若()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称()f x 为凸函数.若()f x 是区间[],a b 上的凹函数，则对任意的[]12,,,,n x x x a b ∈L ，有琴生不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭L L 恒成立（当且仅当12n x x x ===L 时等号成立）. (1)证明：()11f x x=-在()0,1上为凹函数； (2)设12,,,0,2n x x x n >≥L ，且121n x x x +++=L ，求1212111n nx x xW x x x =+++---L 的最小值；(3)设12,,,n r r r L 为大于或等于1的实数，证明：12111111n r r r +++≥+++L .示：可设e i xi r =）。

福建省厦门市同安第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

福建省厦门市同安第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题1．复数13i z =-，其中i 为虚数单位，则z =（）A B ．2C D ．52．向量()2,1a =r ，()1,b x =r ，若a b ⊥r r ，则（） A ．12x =B ．12x =-C ．2x =D ．2x =- 3．在ABC V 中，已知D 为BC 上一点，且满足3BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（）A ．3144AB AC +u u u r u u u r B ．1344AB AC +u u ur u u u rC ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r4．已知向量()()1,2,2,1a b ==r r ，则a r 在b r上的投影向量为（） A ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．84,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭5．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于30km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20︒，灯塔B 在观察站C 的南偏东40︒，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（）A ．30kmB ．C ．D ．6．已知ABC V 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC V 的面积是ABD △的面积的（） A ．5倍B ．4倍C ．3倍D ．2倍7．如图，在等腰直角ABC V 中，斜边2AC =，M 为AB 的中点，D 为AC 的中点．将线段AC 绕着点D 旋转得到线段EF ，则ME MF ⋅=u u u r u u u r（）A ．2-B ．32-C ．1-D ．12-8．在斜三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为()222,,,sin23sin a b c b C a b c B ==+-，点O 满足20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，且1cos 4CAO ∠=，则ABC V 的面积为（）A ．B ．C D二、多选题9．复数12z i =+，i 是虚数单位，则以下结论正确的是（） A ．12i z =- B ．3z >C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内对应的点位于第一象限10．已知向量a r ，b r满足1==a b r r 且2b a -=r r ）A ．a b -rr B ．2a b +=rrC ．,60a b =or rD ．a b ⊥r r11．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．若2BC A +=，则ABC V 的外接圆的面积为3πB ．若π4A =，且ABC V 有两解，则b 的取值范围为⎡⎣C ．若2C A =，且ABC V 为锐角三角形，则c的取值范围为( D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC V 的内心，则AOB V三、填空题12．已知复数2(34)(4)i R m m m m +-++∈（）是纯虚数，则实数m =.13．已知,2,||2||2,,AB a b AC a b a b a b =+=-==u u u r u u u r r r r rr r r r 的夹角为π3，则三角形ABC 的BC 边上中线的长为.14．已知ABC V 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，.c 若2A B =，则a cb+的取值范围是.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD 中，3π4ABC ∠=，2ABC S =△，BAC DAC ∠=∠，24CD AB ==.(1)求线段AC 的长度； (2)求sin ADC ∠的值.16．已知平面向量,a b rr 是单位向量，且()2a a b ⊥-r r r .(1)求向量,a b rr 的夹角；(2)若1,2a b ⎛-= ⎝⎭r r ，向量c r 与向量a b -r r 共线，且||||c a b =+r r r ，求向量c r . 17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =r (),cos a A ，n =r()cos ,B b c -，且m n ⋅r rcos c A =⋅，ABC V 外接圆面积为3π. (1)求A ；(2)求ABC V 周长的最大值.18．在梯形ABCD 中，//,2,1,120AB CD AB BC CD BCD ︒===∠=，,P Q 分别为直线,BC CD上的动点.(1)当,P Q 为线段,BC CD 上的中点，试用AB u u u r和AD u u u r 来表示QP u u u r ；(2)若14BP BC =u u u r u u u r，求||AP u u u r ；(3)若,,0,0,BP BC DQ DC G μλλμ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r为APQ ∆的重心，若,,D G B 在同一条直线上，求λμ的最大值.19．如图，设ABC V 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求边b 的长度； (2)求ABC V 的面积；(3)点G 为AD 上一点，25AG AD =u u u r u u u r，过点G 的直线与边AB ，AC （不含端点）分别交于E ，F .若910AG EF ⋅=u u u r u u u r ，求AEFABC S S V V 的值.。

广东省东莞市海德双语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

广东省东莞市海德双语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数34i z =-，则z 的虚部为（） A ．4B ．-4C ．4iD ．-4i2．(2)(2)a b a b --+r r r r等于（） A ．2a b -r rB ．2b -rC ．0rD ．b a -r r3．已知向量()()1,11,2a b ==-r r ，，则a b +=r r （） A ．()0,3B ．()2,1-C ．()1,0D ．14．已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r .若a r P b r，则实数m =（） A ．1 B ．1- C ．9 D ．9-5．已知向量()1,1a =r ，(),2b x =r ，且a b ⊥r r ，则x =（） A ．12B ．2C ．12-D ．2-6．等边三角形ABC 中，AB u u u r与BC u u u r 的夹角为（）A ．60oB ．60-oC ．120oD ．150o7．若a ∈R ，则“1a =-”是复数“21(1)i z a a =---为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在ABC V 中，点M ，N 满足AM MB =u u u u r u u u r，3BN NC =u u u r u u u r ，则MN =u u u u r （）A ．1344AB AC +u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．1344AB AC -+u u ur u u u rD ．1344AB AC --u u ur u u u r二、多选题9．复数12z i =+，i 是虚数单位，则以下结论正确的是（）A ．zB ．1i z >+C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内对应点位于第一象限10．如图在ABC V 中，AD ､BE ､CF 分别是边BC ､CA ､AB 上的中线，且相交于点G ，则下列结论正确的是（）A ．12DG AG =u u u r u u u rB ．23BG BE =u u u r u u u rC ．0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r rD ．2AB AC AG +=u u u r u u u r u u u r11．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确（）A ．△ABCB ．AC AB ⋅u u u r u u u r 的最大值为2C ．cos cos b A a B +=D ．cos cos B A的取值范围为)∞∞⎛-⋃+ ⎝⎭12．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为平面内一点，下列说法正确的有（）A ．若ABC V 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan ABC A B C ++=B ．若0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，则O 为ABC V 的内心C ．已知ABC V 中，60A ∠=︒，6c =，4b =，O 为ABC V 的外心，若AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为13D ．在ABC V 中，1a b ==，π4C ∠=，若CP 与线段AB 交于点Q ，且满足CP CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r，2CP =u u u r ，则λμ+三、填空题13．复数1i z =+，则||z =．14．已知3a =r ，4b =r ，()2a b a ⋅-=-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为．15．在ABC V 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC V 的面积为．16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从点A 测得点M 的仰角45MAN ∠=︒，点C 的仰角60CAB ∠=︒，以及75MAC ∠=︒.从点C 测得45MCA ∠=︒,已知山高300m BC =，则山高MN =m.四、解答题 17．解答下列各题：(1)设向量()1,2a =r ，()4,3b =-r ，求2a b -r r ；(2)已知两点()3,2M -和()5,1N --，点P 满足12MP MN =u u u r u u u u r，求点P 的坐标．18．已知1a =r，b r(1)若2a b ⋅=r r ，求a r 与b r 的夹角；(2)若a r 与b r 的夹角为135︒，求a b +r r ．19．如图，在ABC V 中，120,3BAC AB AC ︒∠===，点D 在线段BC 上，且12BD DC =.求：(1)AD 的长； (2)DAC ∠的大小.20．平面内给出三个向量()3,2a =r ，()1,2b =-r ，()4,1c =r，求解下列问题： (1)求向量a r在向量b r 方向上的投影向量的坐标；(2)若向量a b +rr 与向量+mc b r r 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围；21．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 22．已知12a a r r，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a u u u r u r =，22OA a u u u u r u u r=，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a u r u u r，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a u r u u r ，坐标系xOy ．当向量12a a u r u u r，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a u r u u r ，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+u u u r u r u u r，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a u r u u r；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e u r u u r ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒u r u u r u r u u r ，，，设()12OP =u u u r， (1)计算OP u u u r的大小；(2)质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO u u u r的方向，乙沿Oy u u r 的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e u r u u r ，，表示CD u u u r ； ②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．。