三重积分精讲及练习

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三重积分习题课(一)

r2 : z 2, 0 r 2, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 故有 ( x y )dv 0 d 0 dr r r dz
2

z

2
x
y
16 3
【例5】计算三重积分 zdxdydz .其中是由锥面 z 与平面 z h ( R 0, h 0) 所围成的闭区域。
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz

d sin cos d r 3dr 0
4 0

R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中是由球面【例7】求
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z

2
dxdydz
D xy : 0 y x , 0 x 1
z
x+ y=1
z=xy
y
1
o
z =0
1

x
1 : z xy (2) 确定上顶曲面 1 及下顶曲面 2 。
2: z 0
(3) 转化为先对
z 后对 x, y
D xy
的三次积分计算：
1 5 6 x y dxdy 4 D xy
xy z dxdydz

数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ，将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时，下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时，下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}；在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。

[理学]三重积分习题课ppt课件

2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：

高等数学三重积分例题

高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。

1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。

锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。

由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。

2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。

先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。

再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。

最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。

所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。

二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。

1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。

则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。

2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。

三重积分第三讲

σ (∆ ∵Σ 取上侧 ∴ Si )xy = (∆ i )xy ,ζi = z(ξi ,ηi )
= lim ∑R(ξi ,ηi , z(ξi,η ) ) (∆ i )xy σ i λ→ 0
i= 1 n i= 1
= ∫∫
Dxy
R(x, y, z(x,y))d xd y
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说明: 说明如果积分曲面 Σ 取下侧, 则
曲面分上侧和下侧
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结束
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示 : 方向余弦侧的规定
cosα
cos β
cosγ
封闭曲面外侧内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
• 设 Σ 为有向曲面, 其面元 ∆S 在 xOy 面上的投影记为 ,
(ξk ,ηk ,ζk )
M=
∑
k= 1
n
Σ
O
y
其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的
x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 定义设 ∑ 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一个有界函数, 若对∑ 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
O O
y
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结束
利用球坐标计算三重积分
M 柱标 ( 设M(x, y, z)∈R3, 其坐为 ρ,θ, z), 令O = r, ∠zO =ϕ, 则r,θ,ϕ)就称为点M 的球坐标. M (

8-3(1)三重积分

1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数，设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数，将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ，个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在，的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分，上的三重积分，三重积分记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值最后计算单积分即得三重积分值.

三重积分的计算方法例题

三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。

它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。

二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。

求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。

2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。

通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。

换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。

3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。

这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。

4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。

具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。

这为求解空间几何问题提供了理论依据。

三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。

设球体的半径为R，球体的密度为ρ。

我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。

1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。

2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。

3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。

4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。

四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。

通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。

在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。

三重积分精讲

AB = r sin ϕ dθ .
o
B1
y
x
2
A1
AD AC AB = r sin ϕ drd ϕ d θ .
求半径为a的球面与半顶角为例4 求半径为的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的含有球心的立体的体积. 含有球心的立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
0
r θ
ϕ
M ( r , ϕ ,θ )
y
P
x
几何图形的表示
r=a θ =α
半径为a的球面半径为的球面圆锥面平面
ϕ=β
变量的变化范围
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
直角坐标与球面坐标的关系 x=rsinϕcosθ, y=rsinϕsinθ, z=rcosϕ. = = = 球面坐标系中的体积元素 dv=r2sinϕdrdϕdθ. = 球面坐标系中的三重积分
下页
求半径为a的球面与半顶角为例4 求半径为的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积. 立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫r2 sin ϕdrdϕdθ
D
D
= ∫∫ ρ 2 sin 2 θ (4 − ρ 2 ) ρ d ρ dθ
D
=∫
2π
0
sin θ dθ ∫ ρ 2 (4 − ρ 2 ) ρ d ρ
2 0

三重积分计算详解例题

三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。

下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。

假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。

首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。

球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。

接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。

首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。

具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。

其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。

对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。

因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。

这就是对三重积分计算的详细解释。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。

希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。

高数三重积分知识点与例题精讲(二)

三重积分(2)
一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结思考题
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二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
M(x, y,z)
o

x
r
y

P(r,)
如图，三坐标面分别为
r 为常数圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面；平面．
M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
o

r P(r, )
y
x r cos ,

r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
练习题: 计算三重积分
其中为由柱面 x2 y2 2x 及平面
o

y

d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .

例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
x2 y2 z2，与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标

三重积分习题课优质课件

r=2a cos
M
r
例8
1
Dxy
1
0
x
z
y
【例9】
【解Ⅰ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅱ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅲ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅳ】
【补充：利用对称性化简三重积分计算】
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的
奇偶性．
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z
(1) 交换积分顺序的方法
(2) 利用对称性简化计算
(3) 消去被积函数绝对值符号
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
【例1 】计算
【解】
由对称性知
（球面坐标）
作业题
一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】
设
比较M,N,P的大小.
【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称性直接作出比较呢?
问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
【例17】——机动备用
［提示］
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
【例5】
1
x+ y=1
y
o
z
x
1

第23讲：《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习

第23讲：《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习一、柱面坐标及与直角坐标之间的关系三重积分的柱面坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述.以面上的坐标分量用极坐标描述为例，不变的柱面坐标与直角坐标之间的关系为其中的取值由点在面上的投影点所在的象限确定。

关系图如下所示。

各坐标变量等于时对应的坐标面图形分别为：•：面包含轴和正半轴的半平面；•：轴•：面，即极坐标面坐标变量取常值时对应的曲面分别为：•：由面上的对应的射线和轴确定的半平面；•：中心轴为轴，与轴的距离为的圆柱面；•：与面，即极坐标面平行的平面。

具体形状与点的位置关系如下图所示。

二、三重积分的柱面坐标计算方法与步骤1、适用的三重积分类型被积函数为单个变量的一元函数，或包含有两个变量的平方和或者两个变量相除，如等结构；或者积分区域由过坐标轴、母线平行于坐标轴的半平面，圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱面坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱面坐标计算方法。

2、适用的计算思想其实三重积分的柱面坐标计算方法可视为三重直角坐标系中“先二后一截面法”或“先一后二投影法”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。

如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱面坐标计算方法；否则称为直角坐标方法，可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。

一般能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱面坐标计算方法。

3、具体的计算步骤第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如变量）；第二步：借助柱面坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱面坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱面坐标变量表达式。

高数讲义第三节三重积分(二)

Dxy : 0 2 , 0 a
x2 y2 z2 z ,
4
o
y
: 0 2 , 0 a, z a, x
Dxy
I ( x2 y2 )dxdydz 02 d 0ad a 2dz
2 0a 3(a )d
a5. 10
解由锥面和球面围成，采用球面坐标，
: 0 2 , 0 2, 2 z 4，
例 5 计算 I zdxdydz，其中是抛物面
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
Dxy {(x, y) | x2 y2 4}
{(, ) | 0 2 , 0 1}
z1 x2 y2 2, z2 4,
3
z2 2
4 2
d
2
3
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，点 M 到原点的距离记为 r ,
有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为，
点 M 在xoy 面上的投影为P ( x, y)
自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 z
OP 的角度记为
则三元有序数组( r, , )
例 5 计算I zdxdydz，其中是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2 ,
z 4
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
z4
o
y
x
Dxy {(x, y) | x2 y2 4} {(, ) | 0 2 , 0 2}
z1 x2 y2 2, z2 4,
y
sin
,
z z.
o
• P(, )

第九讲：三重积分(7题)

⇒ ∫∫∫ xµdV = ∫∫∫ yµdV = 0
Ω Ω
又 ξ 2 +η2 = d 2 , ∫∫∫ µdV = M 代人上式有
Ω
Il = ∫∫∫( x2 + y)2 µdV + (ξ 2 +η2 )∫∫∫ µdV
Ω Ω
= Il0 + Md 2
其中 Ω : x2 + y2 ≤ z ≤ 1+ 1− x2 − y2 解利用球面坐标系
z = x + y →ϕ =
2 2
π
4
z = 1+ 1− x2 − y2 → r = 2cosϕ
x2 + y2 1 1 1 + ]dV ∫∫∫ 2 2 2 [ 2 2 arctan z z Ω x + y +z x +y
0 y+z
练习十一/一例2 (练习十一一(2)) 设 Ω : x ≤1 , y ≤1, z ≤1 , 练习十一计算: 计算解
( xyz −1)2dV ∫∫∫
Ω
( xyz −1)2dV = ∫∫∫[( xyz)2 − 2xyz +1]dV ∫∫∫
Ω Ω
= ∫∫∫ x2 y2z2dV − 2∫∫∫ xyzdV + ∫∫∫dV
第九讲三重积分
三重积分的计算方法 : (1) 直角坐标系下化为三次积分 (2) 利用柱面坐标计算 (3) 利用球面坐标计算 (4) 利用对称性 , 奇偶性 (5) 利用积分与变量名称无关性
练习十一/一例1 (练习十一一(1)) 设 f (x , y , z) 连续 , 将练习十一
1 0 x 0 x− y 0
1
∫ dx∫ dy∫ f ( x) f ( y) f (z)dz = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy∫ f (z)dz

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。

三重积分习题章节优讲

优质教学
1
1
z =0
o
z
x
x+ y=1
Hale Waihona Puke yz=xy.
习题10-3 第1(1)题
优质教学
1
Dxy
1
0
x
z
y
习题10-3 第1(2)题
优质教学
习题10-3 第1(3)题
优质教学
a
z
o
b
y
x
cz=xy
.
习题10-3 第1(4)题
2. 锥面
优质教学
3. 椭球面
优质教学
4. 双曲面
优质教学
优质教学
优质教学
5. 抛物面
优质教学
优质教学
优质教学
优质教学
优质教学
1
x+ y=1
y
o
z
x
1
z=xy
.
习题10-3 第1(1)题
优质教学
z =0
1
x+ y=1
o
z
x
1
y
z=xy
.
习题10-3 第1(1)题
来计算，但“先二后一”法相对简便。
优质教学
9(2). 计算三重积分 , 其中是由圆锥面
与上半球面所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。
解法1：利用“先二后一”方法计算。
因
由于当时，；
而当时，。
(3) 转化为先对后对的三次积分计算：
因为当时满足， ,
。因此
优质教学
优质教学
习题10-3 第7题

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x
f (r cos , r sin , z )rdrddz.

一般，当积分区域为圆柱形、扇形柱体，或圆环柱体，或者被积函数中含有 x 2 y 2 等项时可采用柱面坐标法
2013-7-17 4
例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz ，其中

2 2
是球面
x y z 4 与抛物面 x y 3 z

曲面 2( x y ) z与平面z 4所围成的区域.
2 2
2. 求由曲面z 2 ( x 2 y 2 )与z x 2 y 2所围成立体的体积. 3. 求由曲面z x 2 2 y 2 , z 6 2 x 2 y 2为边界所围成立体的体积 . 4. 求由曲面z 5 x y 与抛物面x y 4 z
2013-7-17
8
三球面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r，，来确定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
z

x
r

M ( x, y, z )
z
为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角， A 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向 x
3
2
3
4 r 2
r zdz 13 .
4
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例2 计算 z x 2 y 2 dxdydz , 其中是由圆锥面

x 2 y 2 z 2与z 1所围成的区域。
解所围成的立体如图，
x y z
2 2
2
z r,
D : x 2 y 2 1,

由球面 x 2 y 2 z 2 2 z 所围成的区域.
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22ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五小结与思考判断题
三重积分计算球面坐标
（1）柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
柱面坐标
（2）球面坐标的体积元素
dxdydz r 2 sindrdd
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x2 y2
解
由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2
r 2a,
z
x2 y2 , 4
0 , 4 0 2 ,
15
: 0 r 2a ,
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由三重积分的性质知 V
dxdydz ,

其中是圆锥面z x 2 y 2 与平面z 5 所围成的区域.
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9. 计算三重积分I ( x 2 y 2 z 2 )dv ，

其中是由球面 z 1 x 2 y 2 及平面 z 0所围成的区域. 10. 计算 x y dv，其中圆锥面
2 2
x y 等项时可采用柱面坐标法
2 2
( 2)一般当积分区域为球体、半球体或锥面与球面所围成的立体区域，或被积函数中含有x y z , x y z 等项，可采用
2 2 2 2 2 2
球面坐标法。
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1. 计算三重积分 ( x 2 y 2 )dv，其中是由
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四利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
d
dr
r sin d rd d
r sin
dv r sindrddθ,
2
r

f ( x, y, z )dxdydz
o

d
y

x f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrddθ.
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如图，
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P，点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
A
x
z

r

M ( x, y, z )
z
o

y

y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
一般当积分区域为球体、半球体或锥面与球面 x 2 y 2 z 2 等项，可采用球面坐标法。
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所围成的立体区域，或被积函数中含有 2 y 2 z 2 , x
I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中是锥面例 3 计算
x 2 y 2 z 2 ，与平面z a
2 2
z
x y
2
2
与z 1所围成的区域.
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11.计算I xdxdydz ，其中积分区域 ( x , y , z ) x 2 y z 1, x 0, y 0, z 0 12. 已知
2

x y z R
2 2
f ( x

(a 0) 所围的立体.
解
采用球面坐标
a , cos
za r
2 2 2
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
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I ( x y )dxdydz
所围的立体.
解
球面与抛物面交线为
r 2 z 2 4 2 r 3z
z 1, r 3,
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把闭区域投影到xoy 面上，
r2 : z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I d dr r 2
0 0
规定： 0 r ,
z
M ( x, y, z )
z .
注意：柱面坐标系就平面极是坐标系加上轴. z
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0 2,
o

r
P(r , )

y
x
2
柱面坐标系的三坐标面是
r 为常数
圆柱面；
半平面；平面．
z
为常数
2 2 2 2
与z a (a 0)所围成的空间立体. 15. 计算I x y z )dv , 其中（
2 2 2
: x 2 y 2 z 2 1 , x 0, y 0, z 0 8. 计算三重积分I x 2 y 2 z 2 dv，其中是
: r z 1,
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0 r 1,
0 2 ,
7
所以
z x 2 y 2 dxdydz

zr 2 drd dz

2 1 2 1
d r dr zdz
0 0 r
1 r2 2 r 2 ( )dr 0 2
1
2 . 15
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思考判断题
若积分域关于三个坐标面都对称，则
z ln( x 2 y 2 z 2 1) x 2 y 2 z 2 1 dxdydz 0.
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z 为常数

M ( x, y, z )
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
2 2 x r cos , r x y x y r sin , 或tan y x z z.
o

r
P(r , )
y
z z
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3
二利用柱面坐标计算三重积分 z
2
2
y z )dΩ k r f ( r )dr，
2 2 2 2 0
R
求k . 13. 求三重积分I ( x y )dxdydz, 其中是
2 2 2 2 2
曲面25( x y ) 4 z 与平面z 5所围成的区域。
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14. 求 x y )dv , 其中是由曲面x y 2 z （
转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M
o

y

y
P
在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，，
就叫做点 M 的球面坐标．
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规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球面；圆锥面；半平面．
0 2.
为常数
为常数

V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
2
4 0
( 2a )3 sin d 3
4 3 ( 2 1)a . 3
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注意:
(1)一般，当积分区域为圆柱形、扇形柱体，或圆环柱体，或者被积函数中含有 x y ,
2 2 2 2
所围成立体的体积 .
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5. 求三重积分 zdxdydz ，其中为球面x 2 y 2 z 2 4

与抛物面x 2 y 2 3z所围成的闭区域。 6. 求三重积分 zdv，其中为球面x 2 y 2 z 2 4

与锥面z 3( x 2 y 2 )所围成的闭区域. 7. 计算三重积分I ( x 2 y 2 )dxdydz ,