三重积分精讲及练习

2 2
z
x y
2
2
与z 1所围成的区域.
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11.计算I xdxdydz ，其中积分区域 ( x , y , z ) x 2 y z 1, x 0, y 0, z 0 12. 已知
2

x y z R
2 2
f ( x

由球面 x 2 y 2 z 2 2 z 所围成的区域.
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五 小结与思考判断题
三重积分计算 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
柱面坐标
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r 2 sindrdd
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x
f (r cos , r sin , z )rdrddz.

一般，当积分区域为圆 柱形、扇形柱体，或圆 环柱体， 或者被积函数中含有 x 2 y 2 等项时可采用柱面坐标 法
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例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz ，其中

2 2
是球面
x y z 4 与抛物面 x y 3 z
2 2
d d
0
2
4 0
a cos 0
r sin dr
4 3
2
4 0
1 a5 sin3 ( 5 0)d 5 cos
5 a . 10
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14
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
2 2 2 2
与z a (a 0)所围成的空间立体. 15. 计算I x y z )dv , 其中 （
2 2 2
: x 2 y 2 z 2 1 , x 0, y 0, z 0 8. 计算三重积分I x 2 y 2 z 2 dv，其中是
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思考判断题
若积分域关于三个坐标面都对称，则
z ln( x 2 y 2 z 2 1) x 2 y 2 z 2 1 dxdydz 0.
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10
如图，
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
A
x
z

r

M ( x, y, z )
z
o

y

y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
规定： 0 r ,
z
M ( x, y, z )
z .
注 意 ： 柱 面 坐 标 系 就平 面 极 是 坐 标 系 加 上轴. z
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0 2,
o

r
P(r , )

y
x
2
柱面坐标系的三坐标面是
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
z
为常数
3
2
3
4 r 2
r zdz 13 .
4
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例2 计算 z x 2 y 2 dxdydz , 其中是由圆锥面

x 2 y 2 z 2与z 1所围成的区域。
解 所围成的立体如图，
x y z
2 2
2
z r,
D : x 2 y 2 1,
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8
三 球面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r，， 来确 定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
z

x
r

M ( x, y, z )
z
为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角， A 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向 x
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四 利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
d
dr
r sin d rd d
ห้องสมุดไป่ตู้
r sin
dv r sindrddθ,
2
r



f ( x, y, z )dxdydz
o

d
y


x f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrddθ.
一般当积分区域为球体 、半球体或锥面与球面 x 2 y 2 z 2 等项，可采用球面坐标 法。
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所围成的立体区域，或 被积函数中含有 2 y 2 z 2 , x
I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面 例 3 计算
x 2 y 2 z 2 ， 与平面z a
2
2
y z )dΩ k r f ( r )dr，
2 2 2 2 0
R
求k . 13. 求三重积分I ( x y )dxdydz, 其中是
2 2 2 2 2
曲面25( x y ) 4 z 与平面z 5所围成的区域。
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14. 求 x y )dv , 其中是由曲面x y 2 z （
利用柱面坐标系的三组坐标 面来分割积分区域，如图，
rd
dr
由r和r r , 和 ，z和z z 所围成的小柱体的体积 近似等于以 r , r，z为棱的长方体体积， 所以体积元素为 dv rdrddz,
r
dz
o
d
y
f ( x , y, z )dxdydz
x2 y2
解
由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2
r 2a,
z
x2 y2 , 4
0 , 4 0 2 ,
15
: 0 r 2a ,
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由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
第三节 三重积分(2)
一 柱面坐标系
二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结与思考判断题
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一 柱面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．

曲面 2( x y ) z与平面z 4所围成的区域.
2 2
2. 求由曲面z 2 ( x 2 y 2 )与z x 2 y 2所围 成立体的体积. 3. 求由曲面z x 2 2 y 2 , z 6 2 x 2 y 2为边界 所围成立体的体积 . 4. 求由曲面z 5 x y 与抛物面x y 4 z

(a 0) 所围的立体.
解
采 用 球 面 坐 标
a , cos
za r
2 2 2
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
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I ( x y )dxdydz
2 2
x y 等项时可采用柱面坐标 法
2 2
( 2)一般当积分区域为球体 、半球体或锥面 与球面所围成的立体区 域，或被积函数中 含有x y z , x y z 等项，可采用
2 2 2 2 2 2
球面坐标法。
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1. 计算三重积分 ( x 2 y 2 )dv，其中是由
2 2 2 2
所围成立体的体积 .
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5. 求三重积分 zdxdydz ，其中为球面x 2 y 2 z 2 4

与抛物面x 2 y 2 3z所围成的闭区域。 6. 求三重积分 zdv，其中为球面x 2 y 2 z 2 4

与锥面z 3( x 2 y 2 )所围成的闭区域. 7. 计算三重积分I ( x 2 y 2 )dxdydz ,
所围的立体.
解
球面与抛物面交线为
r 2 z 2 4 2 r 3z
z 1, r 3,
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把闭区域 投影到xoy 面上，
r2 : z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I d dr r 2
0 0
: r z 1,
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0 r 1,
0 2 ,
7
所以
z x 2 y 2 dxdydz


zr 2 drd dz

2 1 2 1
d r dr zdz
0 0 r
1 r2 2 r 2 ( )dr 0 2
1
2 . 15
转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M
o

y

y
P
在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，，
就叫做点 M 的球面坐标．
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规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
0 2.
为常数
为常数

其中是圆锥面z x 2 y 2 与平面z 5 所围成的区域.
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9. 计算三重积分I ( x 2 y 2 z 2 )dv ，

其中是由球面 z 1 x 2 y 2 及平面 z 0所围成的区域. 10. 计算 x y dv，其中圆锥面

V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
2
4 0
( 2a )3 sin d 3
4 3 ( 2 1)a . 3
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注意:
(1)一般，当积分区域为圆 柱形、扇形柱体， 或圆环柱体，或者被积 函数中含有 x y ,
z 为常数

M ( x, y, z )
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
2 2 x r cos , r x y x y r sin , 或tan y x z z.
o

r
P(r , )
y
z z
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二 利用柱面坐标计算三重积分 z