第21讲 等腰三角形与直角三角形

第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）
一、【课标考点解读】
1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和判定；了解等边三角形的概念并掌握等边三角形的性质和判定。

2.了解真角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理。

二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：
1.（2012•广州）如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为 ．
2．（2008•肇庆）如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只需写出一对即可）____________________ ．
3．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _____度．
4.（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A ．三条中线的交点
B ．三条高的交点
C ．三条边的垂直平分线的交点
D ．三条角平分线的交点
5．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．16或20
三、【知识要点梳理—知识链接】
1.等腰三角形
（1）定义：_____相等的三角形叫做等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的_______相等；②等腰三角形的_______相等（即等边对等角）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相_____（即三线合一）；④等腰三角形是________图形，有一条对称轴，对称轴是底边的_______________。

（3）判定：①有_______相等的三角形是等腰三角形；②有________相等的三角形是等腰三角形。

2.等边三角形
（1）定义：_________相等的三角形叫做等边三角形。

（2）性质：①等边三角形的_______相等；②等边三角形的_______相等，都等于______；等边三角形的“三线合一”；③等边三角形是________图形，有_____条对称轴，对称轴是边的垂直平分线。

（3）判定：①有_______相等的三角形是等边三角形；②有_______相等的三角形是等边三角形；③有一个角是_________的等腰三角形是等边三角形。

3.直角三角形
（1）性质：①直角三角形的两锐角_____；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______。

（2）判定：①有一个角是_____的三角形是直角三角形；②有一边上的______是这边的一半的三角形是直角三角形。

③勾股定理逆定理
4. 勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的________等于斜边的______。

第1题 第2题 第3题
（2）勾股定理逆定理：若一个三角形中有两边的________等于第三边的______，则这个三角形是直角三角形（第三边所对的角是直角）。

四、【中考名题---考点链接】
考点 等腰三角形的性质和判定
例1. （2012•海南）如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是_______
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB 与△EOC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．答案为：9．
考点 直角三角形的性质和判定
例2. （2012•河北）如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，
若∠BOD=38°，则∠A=____ ．
【点评】本题考查了直角三角形的性质及对顶角的性质，解题的关键
是知道直角三角形两锐角互余．答案为52°。

考点 勾股定理及其逆定理
例3. （2012•黔东南州）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）
A ．()0,2
B ．()0,15-
C ．()0,110-
D ．()
0,5 【点评】此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC
的长度是解答本题的关键，难度一般．答案选C ．
五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________
1.（2010•湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．3，4，5
D ．4，5，6
2.（2012•湛江）.如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF 、再以对角线AE 为边作笫三个正方形AEGH ，如此下去…．若正方形ABCD 的边长记为a 1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a n = ．
3.（2009•湛江）如图，在等边
ABC △中，D E 、分别是AB AC 、的中点，3DE =，则ABC △的周长是（ ）
A ．6
B ．9
C ．18
D ．24
4．（2008•湛江） 如图2所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008个
这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）
Ａ．2008 Ｂ．2009 Ｃ．2010 Ｄ．2011
图2
C A
B ┅┅
A
B C D E 第3题图
第2题
六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________
1．（2012•黄冈） 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为 ____．
2．（2011•梅州）如图，在 Rt △ABC 中，∠B=90°．ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知∠BAE=30°，则∠C 的度数为 ______°
3．（2011•茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是（ ）
A ．3公里
B ．4公里
C ．5公里
D ．6公里
4．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、
A 2 、A 3…在射线ON 上，点
B 1、B 2、B 3…在射线OM
上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，
若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）
A ．6
B ．12
C ．32
D ．64
5．（2012•益阳）如图，已知AE ∥BC ，AE 平分∠DAC ． 求证：AB=AC ．
6.（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
第1题
第2题 第3题
第4题
第5题
七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________
1．等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边为（ ）
A ．7cm
B ．3cm
C ．7cm 或3cm
D ．8cm
2．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A ．80°
B ．20°
C ．80°或20°
D ．不能确定
3．等边△ABC 中，边长AB=4，则△ABC 的面积为（ ）
A ．14
B ．8
C ．38
D ．34
4．（2012•威海）如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A ．25°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
5.（2009•湛江）．如图，在梯形ABCD 中，90511AB CD A B CD AB ∠+∠===∥，°，，，点M N 、分别为AB CD 、的中点，则线段MN = ．
6．如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC ，∠ACD 平分线的交点，OE ⊥AC 交AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于_______
7．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm ，那么这个三角形的周长为_______ cm ．
8．在△ABC 中，已知∠B=30°，AB=6cm ，则BC 边上的高为_________ cm ．
9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若∠A=40度．
（1）则∠NMB 的度数为______度；
（2）如果将（1）中∠A 的度数改为70°，其余条件不变，则∠NMB 的度数为_______度；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A 改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改
10．如图所示，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．
第9题
第4题
第6题
B M 第5题。