奥数容斥原理

试一试


1. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20 人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7 人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8 人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没 达优秀，求三项都是优秀的人数。 45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人 2. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、 六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上 三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的 有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少 名同学？
小学数学
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计
算，人们研究出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况，把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来，然后再把计数时重复 计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称 为容斥原理。
容斥原理（第一讲）
3



设三科都得满分者为x 全班人数 20 20 20 7 8 9 x 3 整理后：全班人数＝39＋x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数 就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数 学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人 数一定不超过两科得满分的人数，即 x 7，x 8 且 x 9 ，由此我们得到 x 7 ，另一方面x最小可 能是0，即没有三科都得满分的。 当x取最大值7时，全班有(39 7 )46 人，当x取最小 值0时，全班有39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。

一次期末考试，某班有 15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有 4人语、数都是满分， 那么这个班至少有一门 得满分的同学有多少人？

数学
语文

15
4
12

数学和语文
这个班至少有一门得满分是什么意思？
< 得满分的学生 < 只有语文得满分} 语文得满分
方法一：（15-4）+4（12-4）=23（人） 方法二：15+（12-4）=23（人） 方法三：（15-4）+12=23（人） 方法四：15+12-4=23（人）
设三年连续三好生人数为x人 全班人数=10×3-5-4-3+X+20 因为x应该小于等于3，所以x最大是3，最 小是0 所以这个班最多有41名同学，最少有38名同 学

容斥原理一
试一试：
某班学生每人家里至少有空调和电脑
两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？
41+34-27=48（人）

41
27
34
容斥原理
一个班有45名学生，订阅《小学Hale Waihona Puke Baidu数
学报》的有15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有6人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？ 15+10-6=19人



例5. 某班同学参加升学考 试，得满分的人数如下：数 学20人，语文20人，英语 20人，数学、英语两科满 分者8人，数学、语文两科 满分者7人，语文、英语两 科满分者9人，三科都没得 满分者3人。问这个班最多 多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画 图。
语 数 20 8 英 20 7 9 20

例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
15 6 10 （2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 45-19=26人
试一试：
在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共
有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 能被3整除的个数： 1000÷3=333个·· ·1 能被5整除的个数： 1000÷5=200个 能被3和5整除的个数： 1000÷15=66个·· ·10 所以根据容斥原理，能被3或5整除的数共有： 333+200-66=467个 不能被3或5整除的个数： 1000-467=533个

足球
排球
游泳
A+B+C+D+E+F+G=六（1）班人数
只 参 加 足 球 训 练
↓ ↓
只 参 加 游 泳 训 练
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
只 参 加 排 球 训 练
既 参 加 足 球 又 参 加 游 泳 既 参 加 足 球 又 参 加 排 球
既 参 加 游 泳 又 参 加 排 球
三 种 都 参 加
↓ 共 七 块
50-5=45人 23+35-45=15人

6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自 行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自 行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有 多少人？
27+18-10=35人 48-35=13人
容斥原理（第二讲）

某校六（1）班，每人 在暑假里都参加体育训 练队，其中参加足球队 的有25人，参加排球队 的有22人，参加游泳队 的有34人，足球、排球 都参加的有12人，足球、 游泳都参加的有18人， 排球、游泳都参加的有 14人，三项都参加的有 8人，这个班有多少人？
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
结论（公式二）
如果被计数的事物有A、B、C三类，
那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事物个数。
?人
6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人


例3. 某校六年级二班有49 人参加了数学、英语、语文 学习小组，其中数学有30 人参加，英语有20人参加， 语文小组有10人。老师告 诉同学既参加数学小组又参 加语文小组的有3人，既参 加数学又参加英语和既参加 英语又参加语文的人数均为 质数，而三种全参加的只有 1人，求既参加英语又参加 数学小组的人数。 分析与解：根据已知条 件画出图。
试一试：
某校选出50名学生参加区作文比赛和
数学竞赛，作文比赛获奖的有16人， 数学比赛获奖的有12人，有5人两项比 赛都获奖了。 （1）共有多少人获奖？ 16+12-5=23人 （2）两项比赛都没获奖的有多少人？ 50-23=27人
习题 1、四（1）班有40个学生，其中25人参加 数学小组，23人参加航模小组，有19个人 两个小组都参加了，那么，有多少人两个 小组都没有参加？
15 4 12 数学 语文
只有数学得满分 数学得满分 两种都得满分
方法一、二、三是 分块计数的方法；方法 得满分的同学 四不考虑重复，先相加，再去重。
上题中语文满分人数是12，数学满分人数是 15，一门满分的人数应该是27，但我们重复 计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减 去4，答案就是23 结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类或B类事物个数= A类事物个数+ B类事物 个数—既是A类又是B类的事物个数。
A+D+E+G=25 B+D+F+G=34 C+E+F+G=22
↓
D+G=18 F+G=14 E+G=12
↓ ↓ ↓
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
２５ ＋ ３４ ＋
２２ －１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把G去完了）

25+23+19=29人 40-29=11人

2、有100位旅客，其中有10人既不懂英语 又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语， 问既懂英语又懂俄语的有多少人？
100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人

3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人

4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
69+52-30=91人 91+12=103人

5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会 滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问： 两样都不会的有多少人？
25+18+20-8-13-6+3=39人

例2、在一个炎热的夏日，几个 分析与解：根据题意画图。 小朋友去冷饮店，每人至少要 了一样冷饮，其中有6人要了冰 棍，6人要了汽水，4人要了雪 冰 汽 3 碧，只要冰棍和汽水的有3人， 6 6 只要冰棍和雪碧的没有，只要 1 1 0 汽水和雪碧的有1人；三样都要 4 的有1人。问：共有几个小朋友 雪 去了冷饮店？
数 30 3 语 质 1 10 质 20
英
49人
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又 参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的 30 有y人，可以列出这样的方程： 20 10 x y 3 1 49 x 整理后得： y 9 由于x、y均为质数，因而 这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数 为7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或 7人。