高等数学同济大学版第二章典型习题
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解 在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内的平均角速度ω为tt t t t ∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为)()()(l i m l i m l i m 000000t tt t t t t t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内, 温度的改变量为∆T =T (t +∆t )-T (t ),平均冷却速度为tt T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义.解 f (x +∆x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +∆x 时成本的改变量.xx f x x f ∆-∆+)()(表示当产量由x 改变到x +∆x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1).解 xx x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 10020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x .5. 证明(cos x )'=-sin x .解 xx x x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0 xx x x x ∆∆∆+-=→∆2s i n )2s i n (2lim 0 x x x x x x s i n ]22s i n )2s i n ([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim000; 解 xx f x x f A x ∆-∆-=→∆)()(lim 000 )()()(l i m 0000x f xx f x x f x '-=∆--∆--=→∆-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f (0)=0, 且f '(0)存在; 解 )0()0()0(lim )(lim 00f xf x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A hh x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解 hh x f h x f A h )()(lim 000--+=→ hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim 00000----+=→ h x f h x f h x f h x f h h )()(lim )()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0).7. 求下列函数的导数:(1)y =x 4;(2)32x y =;(3)y =x 1. 6;(4)xy 1=; (5)21x y =; (6)53x x y =;(7)5322x x x y =; 解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x x y . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x x y . (5)3222)()1(---='='='x x xy . (6)511151651653516516)()(x x x x x y =='='='-. (7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y . 8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s )时的速度. 解v =(s )'=3t 2, v |t =2=12(米/秒).9. 如果f (x )为偶函数, 且f (0)存在, 证明f (0)=0.证明 当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), 所以)0(0)0()(l i m 0)0()(l i m 0)0()(l i m )0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: π32=x , x =π. 解 因为y '=cos x , 所以斜率分别为2132c o s 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 解y '=-sin x , 233sin 3-=-='=ππx y , 故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y , 法线方程为)3(3221π--=-x y . 12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程.解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为y -1=1⋅(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k . 令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线.14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性:(1)y =|sin x |;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin 2x x x x y . 解 (1)因为y (0)=0, 0)sin (lim |sin |lim lim 000=-==---→→→x x y x x x , 0sin lim |sin |lim lim 000===+++→→→x x y x x x , 所以函数在x =0处连续.又因为1s i n l i m 0|0s i n ||s i n |l i m 0)0()(l i m )0(000-=-=--=--='---→→→-xx x x x y x y y x x x , 1s i n lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解 因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01s i n l i m 01s i n l i m 0)0()(l i m 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解 因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f (1)=a +b , 所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 .又因为当a +b =1时211l i m )1(21=--='-→-x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.16. 已知⎩⎨⎧<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 解 因为f -'(0)=10lim )0()(lim 00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在. 17. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) . 解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10 cos x x x . 18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解 由xy =a 2得x a y 2=, 22xa y k -='=. 设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为 )(02020x x x ay y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x a x y x =+=, 为切线在x 轴上的距. 令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距. 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式:(cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 xx x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222c s c s i n 1s i n c o s s i n -=-=+-=. x x xx x x c o t c s c s i n c os )s i n 1()(c s c 2⋅-=-='='. 2. 求下列函数的导数:(1)1227445+-+=xx x y ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1;(4) y =sin x ⋅cos x ;(5) y =x 2ln x ;(6) y =3e x cos x ;(7)xx y ln =; (8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=; 解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ).(4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )'=cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x .(5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (x x x x x x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x ) 2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t t t t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数:(1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 解 (1)y '=cos x +sin x ,21321236s i n 6c o s 6+=+=+='=πππx y , 222224s i n 4c o s 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d , )21(4222422214c o s 44s i n 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v (t );(2)该物体达到最高点的时刻.解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt .(2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解 因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x ,所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0. 6. 求下列函数的导数:(1) y =(2x +5)4(2) y =cos(4-3x );(3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2);(5) y =sin 2x ;(6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2);(8) y =arctan(e x );(9) y =(arcsin x )2;(10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3.(2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ).(3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='.(4)222212211)1(11xxx x x x y +=⋅+='+⋅+='. (5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y 222122)2()(21x a x x x a --=-⋅-=-. (7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2).(8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='. 7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(1-2x );(2)211x y -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =; (5)xx y ln 1ln 1+-=; (6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x );(10) y =ln(csc x -cot x ).解 (1)2221)21(12)21()21(11xx x x x y --=---='-⋅--='. (2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y 222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-. (3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y x xx x )3s i n 63(c o s 213s i n 33c o s 21222x x e x e x e x x x +-=--=---.(4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x xx x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (6)222sin 2cos 212sin 22cos x x xx x x xx y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=. (9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数:(1)2)2(arcsin x y =; (2)2tan ln x y =; (3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =;(5)y =sin n x cos nx ;(6)11arctan -+=x x y ; (7)xx y arccos arcsin =; (8) y =ln[ln(ln x )] ;(9)xx x x y -++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin . 解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(a r c s i n 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x . 242a r c s i n 2xx -= (2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x xy x x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=. (3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(l n ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x1ln 2ln 1212⋅⋅+= xx x 2ln 1ln +=. (4))(arctan arctan '⋅='x e y x )()(112arctan '⋅+⋅=x x e x)1(221)(11a r c t a n 2a r c t a n x x e x x e x x +=⋅+⋅=. (5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )'=n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x .(6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s 12x x -=π. (8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x xx x x y )l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xxx x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+= )()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=. 10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dx dy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).(2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].11. 求下列函数的导数:(1) y =ch(sh x );(2) y =sh x ⋅e ch x ;(3) y =th(ln x );(4) y =sh 3x +ch 2x ;(5) y =th(1-x 2);(6) y =arch(x 2+1);(7) y =arch(e 2x );(8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y 解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x .(2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='.(4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='. (6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y . (7)12)(1)(142222-='⋅-='x x x x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y )112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数:(1) y =e -x (x 2-2x +3);(2) y =sin 2x ⋅sin(x 2);(3)2)2(arctan x y =; (4)n xx y ln=; (5)t t t t ee e e y --+-=; (6)xy 1cos ln =;(7)x e y 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=; (10)212arcsin tty +=. 解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2)=e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x=sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2).(3)2arctan 44214112arctan 222x x xx y +=⋅+⋅='. (4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e x e y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='-- x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+=' xx x x +⋅+=412. (9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='.(10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t ttt t t ty +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.习题 2-31. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 214x y -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x .(4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a x x x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212a r c t a n 2xxx y ++=''. (10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222.2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxy d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2).(2))()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω.解 t A dtds ωωcos =, t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0s i n s i n 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式: y ''-λ2y =0 .解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx ,y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx ) =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 . 7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x . y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1, y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! .(2) y '=2sin x cos x =sin2x ,)22s i n (22c o s 2π+==''x x y ,)222s i n (2)22c o s (222ππ⋅+=+='''x x y , )232s i n (2)222c o s (233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2s i n [21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2,y (4)=(-1)(-2)x -3,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x ,y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x ,所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2s i n 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2s i n 2(2c o s 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2s i n 212252c o s 502sin (2250x x x x x ++-=.习题 2-31. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =;(11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x .(4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21x a x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a x x x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212a r c t a n 2xxx y ++=''. (10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=',3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxy d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2).(2))()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==.(2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts dω. 解 t A dtds ωωcos =, t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0s i n s i n 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式:y ''-λ2y =0 .解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx ,y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx )=(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 .7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x .y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 .8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1, y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! .(2) y '=2sin x cos x =sin2x ,)22s i n (22c o s 2π+==''x x y , )222s i n (2)22c o s (222ππ⋅+=+='''x x y , )232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2s i n [21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2,y (4)=(-1)(-2)x -3,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x ,y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x ,所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2s i n 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2s i n 2(2c o s 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2s i n 212252c o s 502sin (2250x x x x x ++-=.习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y ;(4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 ,于是 (y -x )y '=y ,xy y y -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0,于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得y +xy '=e x +y (1+y '),于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='. (4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ',于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1. 2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得 032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy '=0,y '=yx , 3322221)(yy x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22, 22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-='' 32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=. (3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(c o s 1)(s e c 1)(s e c 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(s i n )(c o s )(s i n y y x y x y x --=+-+++=, 52233)1(2)11(22yy y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ; (3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1l n (1ln 1, 于是 ]111[l n )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2l n (251|5|ln 51ln 2+--=x x y , 两边求导得22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y . (3)两边取对数得)1l n (5)3l n (4)2l n (21ln +--++=x x x y , 两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y(4)两边取对数得)1l n (41s i n ln 21ln 21ln x e x x y -++=, 两边求导得)1(4c o t 21211x x e ex x y y --+=', 于是 ])1(4c o t 2121[1s i n x x xe e x x e x x y --+-=' ]1c o t 22[1s i n 41-++-=x x x e e x x e x x . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bty at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值. 解 tt t t t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x , 在t =2处. 解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=.。
同济大学第六版高等数学的课后典型题
247页例5.
248页例6.
249页例7.
习题5--3题1做一半，题2.
习题5--4题1做偶数题，题2
总习题五题8.9.10.11.12.13.14
习题6--2题5.7.9.13.20.28.30.
习题7--2题1做奇数，
习题7--3题1.
习题7--4题1.7.
习题7--5题1
习题7--6题5
习题7--7题1做奇数，
习题7--8题1做奇数，
总习题七题1.题7
习题9--2题3.4.6.8.9.
习题9--3题2.5.
同济六版高等数学典型题
习题1--5:习题4.5.
习题1--6:习题2.4，
习题1--7:习题4.
习题1--8习题3.4.5
习题1--没有画题，看自己的情况选择做
习题9--4题2.7.9.12.
习题9--5题1.2.6.11.
习题9--8题1.2.4.5.
总习题九习题5.8.9.12.
习题10--2题2.6.11.13.14.15
以上就是同济大学第六版高等数学的课后典型题，供近期才开始复习的同学参考，第二章求导没有画题，看自己的情况选择做
总习题一习题3.9.12.13.14
习题3--1全部
习题3--2:题2.4
习题3--3:题10
习题3--4题5.6.11.12.15
习题3--5题2.3
总习题三全部
221页总习题四，
习题5--2题3.9.10.12.14.
高等数学2(同济版)第二章复习资料
第二章 导数与微分 第一节 导数概念一、引例：导数的概念起源于物理学中的速度问题以及几何学中的切线问题.1.变速直线运动的速度：设描述质点运动位置的函数为)(t f s =，则0t 到t 的平均速度为00)()(t t t f t f v --=，在0t 时刻的瞬时速度为00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→.2.曲线的切线的斜率:曲线)(x f y =上过点),(00y x P 和点),(y x Q 的割线当0x x →的极限位置称为曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线，其斜率为00)()(limx x x f x f k x x --=→.二、导数的定义1.导数：设函数)(x f y =在0x 的的某邻域内有定义 ，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆，因变量y 有对应的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆，若极限xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+=→→存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f 'x x f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+==→→，或0x x y ='；0x x x d y d =；0)(x x x d x f d =. 若x y x ∆∆∆0lim→不存在，则称)(x f 在点0x 不可导，但若∞=→xy x ∆∆∆0lim ，也称)(x f 在点0x 的导数为无穷大. 注： 1°.xy∆∆是因变量y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而0x x y ='则是因变量y 在点0x 处的变化率，是平均变化率的极限，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.在引例1中，瞬时速度为000)()(lim)('0t t t f t f t f v t t --==→；在引例2中，切线斜率为000)()(lim)('0t x x f x f x f k x x --==→；2°. 导数的常见形式：000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ (取x x x ∆+=0即可证得).hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→ (取x h ∆=即可证得).2.单侧导数：（由导数的定义式h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→知，极限hx f h x f h )()(lim 000-+→存在等价于左极限h x f h x f h )()(lim 000-+-→和右极限h x f h x f h )()(lim 000-++→都存在且相等,由此得到左导数和右导数的概念：）(1).左导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=-→-；(2).右导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=+→+；(3).单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数.(4).定理：)(x f 在点0x 可导)(')('00x f x f --=⇔，即)(')(')('000x f x f x f --==.3.导函数：若函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导,则称)(x f 在),(b a 内可导,),(b a x ∈∀，称)('x f 为)(x f 的导函数，记作y '、x d y d 或xd x f d )(，即 x x f x x f x f x ∆∆∆)()(lim)('0-+=→或hx f h x f x f h )()(lim )('0-+=→.若)('a f +及)('b f -都存在，则称)(x f 在闭区间],[b a 上可导. 注：1°.0)()()(000=≠'='=xd x f d x f x f x x . 2°.在不至于引起混淆的情况下，也称导函数为导数. 例1.求函数C x f =)( (C 为常数) 的导数. 解：0lim )()(lim)('00=-=-+=→→hCC h x f h x f x f h h ，即0)(='C . 例2. 求函数)()(+∈=N n x x f n 的导数.解： h x h x h x f h x f x f nn h h -+=-+=→→)(lim )()(lim)('001212110lim ---→=+++=n nn n n n n n h nx hh C h x C h x C . 注：对一般幂函数μx y =(μ为常数)， 有1)(-='μμμx x .(以后证明) 例如：()x x x x x 21212121121'21'===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--；()2211'1'1)1(1x x x x x -=-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛----.例3. 求函数x x f sin )(=的导数. 解： 2sin 22cos 21lim sin )sin(lim )()(lim)('000hh x h h x h x h x f h x f x f h h h +⋅=-+=-+=→→→x hh h x h h h x h h h cos 22sinlim 22cos lim 22sin 22cos lim 000=+=⋅+=→→→， 即 x x cos )'(sin =，类似可证x x sin )'(cos -=. 例4. 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.解：a a ha a h a a h a a h x f h x f x f x h h xhx h x h x h h ln 1lim 1lim lim )()(lim)('0000⋅=-⋅=-⋅=-=-+=→→+→→， 即a a a x x ln )'(⋅=.特殊地，有x x x e e e e =⋅=ln )'(.例5. 求函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 的导数. 解：xhx h h x h x h x f h x f x f a h a a h h +⋅=-+=-+=→→→log 1lim log )(log lim )()(lim)('000， hxa h a h a h x h x x h h x x x h h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=→→→1log lim 11log lim 11log 1lim 000 a x a e x e x x h x a hxh a ln 1ln ln 1log 11lim log 10===⎪⎭⎫⎝⎛+=→,即a x x a ln 1)'(log =. 特殊地，有xx 1)'(ln =. 例6. 求函数||)(x x f =的导数.解：由于⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,||)(x x x x x x x f ，所以当),0(+∞∈x 时， 1lim )()(lim)('00=-+=-+=→→h xh x h x f h x f x f h h ,当)0,(-∞∈x 时，1)()(lim )()(lim)('00-=--+-=-+=→→h x h x h x f h x f x f h h , 当0=x 时，10)0(lim )0()0(lim )0('00-=-+-=-+=→→--hh h f h f f h h , 100lim )0()0(lim )0('00=-+=-+=→→++hh h f h f f h h ,)0(')0('+-≠f f ，故||)(x x f =在点0=x 处不可导，于是⎩⎨⎧<->==0,10,1|)'(|)('x x x x f .三、导数的几何意义及应用1.几何意义：函数)(x f 在点0x 的导数)('0x f 是曲线)(x f y = 在其上一点),(00y x 处的切线的斜率，即αtan )('0=x f .注：若函数)(x f 在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线.反之未必，即曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线，但函数)(x f 在点0x 却未必可导， 例如：函数3)(x x f =在点0=x 处不可导，即∞==--→→32001lim 0)0()(lim x x f x f x x ，但曲线3x y =在点)0,0(处存在水平切线.2.曲线的切线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3.曲线的法线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的法线方程为：)0)(()()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y . 例7.求曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程和法线方程. 解：由于2'11'x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛=，则所求切线的斜率为4'21-===x y k ，于是切线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y ，即044=-+y x ，法线方程为：⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y ，即01582=+-y x .四、函数的可导性与连续性的关系命题：若函数)(x f y =在某点x 可导，则它在该点一定连续. 证明：若函数)(x f y =在点x 可导，则有xx f x x f x y x f x x ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim)('00-+==→→，从而有)()(')()(x x f xx f x x f ∆α∆∆+=-+，其中0)(lim 0=→x x ∆α∆，整理得)()(')()(x x x f x f x x f ∆α∆∆+⋅=-+，于是0)]()('[lim )]()([lim 0=+⋅=-+→→x x x f x f x x f x x ∆α∆∆∆∆，即)()(lim 0x f x x f x =+→∆∆，这说明)(x f y =在点x 连续.注：反之未必正确，即函数)(x f y =在某点x 连续可导，但它在该点未必可导. 例如：函数3)(x x f y ==在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为+∞==-=-+→→→303001lim 0lim )0()0(lim h hh h f h f h h h ，即)0('f 不存在. 又如函数||)(2x x x f y ===在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为1)0(')0('1=≠=-+-f f ，即)0('f 不存在.第二节 函数的求导法则一、函数四则运算的求导法则定理1. 函数)(x u u =及)(x v v =在点x 都可导，则它们的和、差、积、商(除分母不为零的点外)都在点x 都可导，且 (1). )()(])()([x v x u x v x u '±'='±; (2). )()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=';(3). )()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 证明：(1).设)()()(x v x u x f ±=，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )]()([)]()([lim 0±-+±+=→hx u h x u h )()(lim 0-+=→h x v h x v h )()(lim 0-+±→)()(x v x u '±'=， 故结论成立. 可推广到任意有限项的情形，如：w v u w v u '-'+'='-+)(. (2). 设)()()(x v x u x f =，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→h x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++=→ )()()()()()(lim 0x u hx v h x v h x v h x u h x u h -+++-+=→ )()()()(x v x u x v x u '+'=，故结论成立. (3). 设)()()(x v x u x f =，则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→h x v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→hx v h x v h x v x u x v h x u •h )()()()()()(lim 0++-+=→ hx v h x v h x v x u x v x u x v x u x v h x u •h )()()()()()()()()()(lim 0++-+-+=→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+⋅+=→)()()()()()()()(1lim0x u h x v h x v x v h x u h x u x v h x v h)()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=，故结论成立.推论：设)(),(),(x w w x v v x u u ===均可导，则(1). w v u w v u '-'+'='-+)(；(2). '''')()'(]')[()(uvw w uv vw u w uv w uv w uv uvw ++=+=='； (3). 当C x v =)(时，u C Cu '=')(. 例1. 设735223-+-=x x x y ，求'y .解：3106)'7()'3()'5()'2()'7352('22323+-=-+-=-+-=x x x x x x x x y . 例2. 设2sincos 4)(3π-+=x x x f ，求)('x f 及⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 解：x x x f sin 43)('2-=，4432'2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf .例3. 设)cos (sin x x e y x +=，求'y .解：)'cos (sin )cos (sin )'('x x e x x e y x x +++=x e x x e x x e x x x cos 2)sin (cos )cos (sin =-++=. 例4. 设x y tan =，求'y .解：x x x xx x x x x x x x y 222222'sec cos 1cos sin cos cos )'(cos sin cos )'(sin cos sin )'(tan '==+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x 2csc )'(cot -=. 例5. 设x y sec =，求'y .解：x x x xx x x x x y tan sec cos sin cos )'(cos 1cos )'1(cos 1)'(sec '22'==⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x x cot csc )'(csc -=. 二、反函数的求导法则定理2. 若函数)(y f x =在区间y I 内单调、可导且0)('≠y f ，则它的反函数)(1x f y -=在区间}),(|{y x I y y f x x I ∈==内也可导，且)('1)]'([1y f x f =-或dydx x d y d 1=，即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.证明：x I x ∈∀，给x 以增量x ∆(x I x x x ∈+≠∆∆,0),由反函数的单调性知0)()(11≠-+=--x f x x f y ∆∆，于是有yxx y ∆∆∆∆1=. 且由反函数的连续性知,当0→x ∆时必有0→y ∆，因此必有)('11lim lim)]'([001y f yx x y x f x x ===→→-∆∆∆∆∆∆.例6.求函数x y arcsin =在区间)1,1(-的导数.解：由于x y arcsin =的直接函数y x sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且0cos )'(sin >=y y ，则x y a r c s i n =在)1,1(-内可导，且2211sin 11cos 1)'(sin 1)'(arcsin xy y y x -=-===. 用类似的方法可得2211cos 11sin 1)'(cos 1)'(arccos xy y y x --=--=-==.或2'11arcsin 2)'(arccos x x x --=⎪⎭⎫⎝⎛-=π.例7. 求函数x y arctan =在区间),(∞+-∞的导数.解：由于x y arctan =的直接函数y x tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且y y 2sec )'(tan =，则x y arcsin =在),(∞+-∞内可导，且22211tan 11sec 1)'(tan 1)'(arctan xy y y x +=+===. 用类似的方法可得22211cot 11csc 1)'(cot 1)'cot (x y y y x arc +-=+-=-==. 或2'11arctan 2)'cot (x x x arc +-=⎪⎭⎫⎝⎛-=π. 例8. 求函数x y a log =在区间),0(∞+的导数.解：由于x y a l o g =)1,0(≠>a a 的直接函数ya x =在()∞+∞-,内单调且可导，且a a a y y ln )'(=，则x y a log =在),0(∞+内可导，且ax a a a x y y a ln 1ln 1)'(1)'(log ===. 三、复合函数的求导法则定理3.若)(x g u =在点x 可导，)(u f y =在点)(x g u =可导，则复合函数)]([x g f y =在点x 可导，且)()(x g u f x d y d '⋅'=或xd ud u d y d x d y d ⋅=.(分步完成) 证明:由已知条件可得：)(lim0u f u y u '=→∆∆∆，)('lim 0x g xux =→∆∆∆，从而有u u u f y ∆α∆∆+'=)(， (1)x x x g u ∆β∆∆+=)(', (2)其中0lim 0=→α∆u ，0lim 0=→β∆x .由(2)知，0→x ∆时，0→u ∆，从而也有0lim 0=→α∆x ；当0≠x ∆时，由(1)得，xu x u u f x y ∆∆α∆∆∆∆+'=)(，于是)(')(lim lim lim )()(lim lim 00000x g u f x u x u u f x u x u u f x y x d y d x x x x x '=+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'==→→→→→∆∆α∆∆∆∆α∆∆∆∆∆∆∆∆∆. 注：此法则可推广到多个中间变量的情形. (搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.) 例如, )(,)(,)(x v v u u f y ψϕ===，)()()(x v u f xd vd v d u d u d y d x d y d ψϕ'⋅'⋅'=⋅⋅=. 例9. 求函数3x e y =的导数. 解：令u e y =，3x u =，则32233x u e x x e xd ud u d y d x d y d =⋅=⋅=. 或直接求：()33323'3)'(x x x e x e x e xd y d ===.例10. 求函数212sinxxy +=的导数. 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222222'2'212cos )1()2()1(212cos 1212sin x x x x x x x x x x x x d y d . 例11. 求函数||ln x y =的导数.解：令u y ln =，⎩⎨⎧<->==0,0,||x x x x x u ，则当0>x 时，xu x d u d u d y d x d y d 111=⋅=⋅=；当0<x 时，x u x d u d u d y d x d y d 1)1(1=-⋅=⋅=，综上得xx y 1|)'|(ln '== )0(≠x . 例12. 求函数3221x y -=的导数.解：322232232)21(34)'21()21(31)'21(x x x x x x d y d --=--=-=-.例13. 求函数)cos(ln x e y =的导数.解：x x x xx xx x x x x e e e e e e e e e e e x d y d tan )cos(sin )')(sin ()cos(1))'(cos()cos(1))'cos((ln -=-=-===. 例14. 求函数xey 1sin=的导数.解：x e x x x e x e e x d y d x x x x 1cos 111cos 1sin 1sin 2'1sin '1sin '1sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.例15. 证明幂函数的导数公式1)'(-=μμμx x .证明：由于()'ln x e x μμ=，所以()1ln 'ln 1)'ln ()'(-=⋅⋅===μμμμμμμμx xx x e e x x x . 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数(1).0)(='C ； (2).1)(-='μμμx x ； (3).x x cos )(sin ='； (4).x x sin )(cos -=' (5).x x 2sec )(tan ='； (6).x x 2csc )(cot -='； (7).x x x tan sec )(sec ='； (8).x x x cot csc )(csc -='； (9).a a a x x ln )(='； (10).x x e )(e ='； (11).a x x a ln 1)(log ='； (12).=')||(ln x x1； (13).211)(arcsin xx -='； (14).211)(arccos xx --='；(15).211)(arctan x x +='； (16).211)cot (x x arc +-='.2.函数有限次四则运算的求导法则(1).)(])([x u C x Cu '=' ( C 为常数); (2).)()(])()([x v x u x v x u '±'='±;(3).)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='; (4).)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 3.复合函数求导法则:)(,)(x g u u f y ==,)(')('x g u f xd ud u d y d x d y d ⋅=⋅=. 4.初等函数在定义区间内可导,但其导数未必是初等函数，例如：函数x x x f sin )(3=是初等函数，但其导数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=→0sin lim cos 3sin )('30332x x x x x xx x f x 却不再是初等函数.例16. 求函数x nx y n sin sin ⋅=的导数'y .解：)'(sin sin sin )'(sin 'x nx x nx y n n ⋅+⋅=x x n nx x nx n n n cos sin sin sin cos 1-⋅+⋅=)cos sin sin (cos sin 1x nx x nx x n n ⋅+⋅=-x n x n n )1sin(sin 1+⋅=-.思考与练习： 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，求)(a f '.错误解法：由于)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+='，故)()(a a f ϕ='.(注意到)(x ϕ在a x =处未必可导) 正确解法：a x a f x f a f a x --='→)()(lim )(ax x a x a x --=→)()(lim ϕ)()(lim a x a x ϕϕ==→. 第三节 高阶导数一、高阶导数的概念1. 引例：变速直线运动的位置函数)(t s s =，速度t d s d v =，即s v '=，加速度t d v d a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t d s d t d d )(''=s . 2. 二阶导数：若函数)(x f y =的导数)(x f y '='可导,则称)(x f '的导数为)(x f 的二阶导数,记作y ''或22xd y d ，即)(''=''y y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，分别记作y '''，)4(y ，)(,n y ，或33x d y d ，44x d y d ，n n x d y d , . 3. 高阶导数：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数.例1. 求n 次多项式函数n n x a x a x a a y ++++= 2210的各阶导数.解：1232132'-++++=n n x na x a x a a y ,232)1(2312''--++⋅+⋅=n n x a n n x a a y ,依次类推,可得n n a n y !)(=,而0)2()1(===++ n n y y .例2. 求正弦函数x y sin =的n 阶导数)(n y . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 22sin 2cos ''ππππx x x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos '''ππx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos )4(ππx x y ， 一般地，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin )(sin )(πn x x n ，类似可证: ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(cos )(πn x x n . 例3. 求函数ax e y =的n 阶导数)(n y .解：ax ae y ='，ax e a y 2''=，ax e a y 3'''=， 以此类推得ax n n e a y =)(.特别的，x n x e )(e )(=.例4. 求函数)1(ln x y +=的n 阶导数)(n y . 解：x y +='11，2)1(1x y +-=''，32)1(21)1(x y +⋅-='''， 以此类推得n n n x n y )1()!1()1(1)(+--=-. 二、高阶导数的运算法则:设函数)(x u u =及)(x v v =都有n 阶导数 , 则1.)()()()(n n n v u v u ±=±;2.)()(n u C )(n u C =, (C 为常数).3.莱布尼茨公式：)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n n v u v u k k n n n v u n n v u n v u v u +++--+++''-+'+=--- )()()()2(2)1(1)(0n n n k k n k n n n n n n n v u C v u C v u C v u C v u C ++++''+'+=---)()(0k k n n k k n v u C -=∑=，规律：v u v u v u '+'=')(；v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+'=''2)()(；v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''33)(.例5. 对函数x e x y 22=，求)20(y .解：设x u 2e =，2x v =，则)20,,2,1(e 22)( ==k u x k k ，x v 2='，2=''v ，)20,,3(0)( ==k v k ，代入莱布尼茨公式 , 得2e 2!219202e 220e 2)(2182192220)20(22)20(⋅⋅+⋅⋅+⋅==x x x x x x e x y )9520(e 22220++=x x x . 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数以及相关变化率一、隐函数的导数1. 隐函数：设A 、B 是两个非空数集，若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f (或)(x f y =)是方程0),(=y x F 确定的隐函数.注：1° .所谓隐函数就是对应关系不明显，隐含在二元方程中的函数.2°.由二元方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x f y =必是方程0),(=y x F 的解,即0)](,[=x f x F .3°.在方程中找出隐含的对应关系叫做隐函数的显化，但并不是每一个隐函数都可以显化.例如：03275=--+x x y y .2.隐函数求导法则:(1). 隐函数显化后求导；(2). 直接求导：对确定隐函数)(x f y =的二元方程0),(=y x F 两端应用复合函数求导法则对x 求导，即对方程0)](,[=x f x F 两端对x 求导.例1.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数)(x f y =的导数xd y d . 解：在方程两端对x 求导，得)0()(x d de xy e x d d y =-+，即0=++xd y d x y x d y de y ，整理得 )0(≠++-=y y e x ex y x d y d . 注：由于方程0=-+e xy e y 能确定隐函数)(x f y =，故有0)()(=-+e x xf e x f例2.求由方程03275=--+x x y y 所确定的隐函数)(x f y =的导数0=x x d y d . 解：在方程两端对x 求导，得 02112564=--+x x d y d x d y d y ，整理得2521146++=y x x d y d , 由于0=x 时0=y ，故210==x x d y d . 例3.求椭圆191622=+y x 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2处的切线方程. 解：所求切线的斜率为2'==x y k ，在椭圆方程两端对x 求导，有0928='⋅+y y x ，整理得y x y 169'-=,将⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2代入得43'2-==x y .于是 切线方程为：)2(43323--=-x y ，或03843=-+y x . 例4.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =的二阶导数22xd y d .解：在方程两端对x 求导，得0cos 211=+-x d y d y x d y d ，整理得yx d y d cos 22-=,在上式两端再对x 求导得，3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y x d yd y x d y d --=-⋅-=. 3.幂指函数)()(x v x u y =的求导法则——对数求导法：(1). 取对数：)(ln )(ln x u x v y =)(ln )(x u x v e y =⇔(2). 对x 求导：)()()()(ln )(1x u x v x u x u x v y y '+'='， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=')()()()(ln )()()(x u x v x u x u x v x u y x v ，='y )()(ln )()(x v x u x u x v '⋅+)()()(1)(x u x u x v x v '⋅- ()')(ln )(x u x v e =. （按指数函数求导公式 + 按幂函数求导公式）注：幂指函数不是一元复合函数,故不能用复合函数求导法则求其导数，可用下册书中的二元复合函数求导法则求之.例5.求函数)0(sin >=x x y x 的导数'y .解：在方程x x y sin =两端取对数得x x y ln sin ln ⋅=，两端对x 求导得x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，于是x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，即⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅='x x x x x y x 1sin ln cos sin 另解：x x x e x y ln sin sin ==，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅==x x x x x e x x e y x x x x x sin ln cos )'ln (sin 'sin ln sin 'ln sin . 例6.求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数'y . 解：在方程)4)(3()2)(1(----=x x x x y 两边取对数得[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln -----+-=x x x x y ， 两端对x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-='4131211121x x x x y y ，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-⋅----='41312111)4)(3()2)(1(21x x x x x x x x y .二、由参数方程确定的函数的导数1.参数方程确定的函数：若参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ可确定一个 y 与 x 之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数.2.参数方程确定的函数的求导法则:(1). 消去参数找出函数关系后求导；(2). 直接求导公式：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内可导，函数)(t x ϕ=具有连续的单调的反函数)(1x t -=ϕ，且0)('≠t ϕ，则反函数)(1x t -=ϕ与函数)(t y ψ=构成复合函数)]([1t y -=ϕψ，且)()(1t t t d x d t d y d x d t d t d y d x d y d ϕψ''=⋅=⋅=, 即td x d td y d x d y d =. 注：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内二阶可导，且0)('≠t ϕ，则复合函数)]([1t y -=ϕψ的二阶导数可由新的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧''==)()()(t t x d y d t x ϕψϕ求得：td x d x d y d t d d x d t d x d y d t d d x d y d x d d x d y d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 )()()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=， 例7.已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==ta y t a x sin cos ，求椭圆在4π=t 相应的点处的切线方程. 解：参数4π=t 对应椭圆上相应的点0M 的坐标为224sin 0b b x ==π，椭圆在点0M 处的切线斜率为a b t a t b t a t b x d y d t t t -=-=====444sin cos )'cos ()'sin (πππ，于是 切线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2222a x a b b y ，整理得02=-+ab ay bx . 例9.计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数)(x y y =的二阶导数. 解：2cot )2/(sin 2)2/cos()2/sin(2cos 1sin )cos 1(sin 2t t t t t t t a t a t d x d t d y d x d y d ==-=-==),2(Z n n t ∈≠π.2222)cos 1(1)cos 1(1)2/(sin 212cot t a t a t t d x d t t d d x d y d --=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 第五节 函数的微分一、微分的概念1.引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由0x 变到x x ∆+0，问此薄片面积改变了多少?解：设薄片边长为x , 面积为A , 则2x A =，当x 在0x 取得增量x ∆时，面积的增量为2020)(x x x A -+=∆∆=x x ∆02+2)(x •∆ . (关于x ∆的线性函数+0→x ∆时的高阶无穷小.）故x x A ∆∆02≈，即边长改变很微小时，即||x ∆很小时，面积的增量A ∆可近似地用第一部分x x ∆02代替，而且||x ∆越小，近似程度越好.还有其它许多具体问题中出现的函数)(x f y =，需要研究函数的增量y ∆即)()(00x f x x f -+∆与自变量的增量x ∆之间的关系，这就涉及到函数的微分.2.函数的微分的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若)(x f 在点0x 的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆可表示为)(x o x A y ∆∆∆+=，其中A 为不依赖于x ∆的常数，)(x o ∆是当0→x ∆时比x ∆的高阶无穷小量,则称)(x f 在点0x 处可微，并称x A ∆为)(x f 在点0x 的微分，记作0x x y d =或x A x f d ∆=)(0.若函数)(x f 在区间I 的每一点处可微，则称)(x f 在区间I 可微.现在要问，函数)(x f 满足什么条件才能在点0x 可微？如果可微分，那么常数A 等于什么？下面的定理回答这个问题.2.函数可微的充要条件：定理：函数)(x f y =在点0x 可微的充要条件是)(x f 在点0x 可导，并且x x f y d ∆)(0'=. 证明：必要性：由)(x f y =在点0x 可微，得)()()(00x o x A x f x x f y ∆∆∆∆+=-+=，于是xx o A x x f x x f ∆∆∆∆)()()(00+=-+，令0→x ∆，得A x f =')(0，即)(x f 在点0x 可导，并且)(0x f A '=.充分性：由函数)(x f 在点0x 可导，得)(lim 00x f x y x '=→∆∆∆，从而有)()(0x x f xy ∆α∆∆+'=，故 )()()()(00x o x x f x x x x f y ∆∆∆∆α∆∆+'=+'=，即)(x o x A y ∆∆∆+=，其中)(0x f A '=，因此)(x f 在点0x 可微.注：1°.由微分的定义可知，自变量x 本身的微分是x x x x d ∆∆==)'(，即自变量x 的微分等于自变量x 的增量，于是)(x f y =在点0x 的微分又可以写成x d x f y d )(0'=.进而有xd y d •x f =')(0，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导数又称为微商. 2°. 对一元函数)(x f y =，函数可导性与可微性这两个概念是等价的，求出函数的导数之后，只要再乘以x d ，就得到了函数的微分y d .3°.微分既与点x 有关，也与x d 有关，而x 与x d 是相互独立的两个变量.3.函数微分的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f 就是该曲线在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率αtan ，因此QP MQ x x f y d =⋅==α∆tan )('0，这就是说，函数)(x f y =在点0x 处的微分在几何上表示曲线)(x f y =在对应点))(,(00x f x M 处切线的纵坐标的增量.当||x ∆很小时，||dy y -∆比||x ∆小得多.因此在点P 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段.即在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.二、 微分运算法则(1).函数和、差、积、商的微分法则：设)(x u u =、)(x v v =均可微,则①．dv du v u d ±=±)(； ②. Cdu Cu d =)(；③. udv vdu uv d ±=)(; ④. 2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛)0(≠v .(2).复合函数的微分法则：若)(,)(x g u u f y ==分别可微，则复合函数)]([x g f y =的微分为u d u f x d x u f x d y y d x )()()('=''='=ϕ.并称此性质为函数一阶微分的形式不变性.注：1°. 复合函数的微分既可以利用链式法则求出复合函数的导数再乘以x d 得到，也可以利用函数一阶微分的形式不变性得到.2°. 函数一阶微分的形式不变性可以求复合函数的导数.例1. 求函数)12sin(+=x y 的微分y d .解：x d x x d x y d )12cos(2)12()12cos(+=++=.例2. 求函数)e 1(ln 2x y +=的微分y d . 解：x d x d y d x x x x 2222e 1e 2)e 1(e 11+=++=.例3. 求函数x y x cos e 31-=的微分y d 以及导数'y .解：)(cos e )(e cos )cos (e 313131x d d x x d y d x x x ⋅+⋅==---=-⋅-=--x d x x d x x x 3131e sin e cos 3•x x x )sin cos 3(e 31+--x d ，)sin cos 3(e '31x x xd y d y x +-==-. 例4. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立：(1). x d x C x d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+221 (C 为任意常数)； (2). t d t C t d ωωωcos sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 注：1°.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.2°.数学中的反问题往往出现多值性，例如：)4(22=，4)2(2=±；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=224πsin ,2224πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πk . 三、函数的近似计算公式： 1.近似公式：若函数)(x f 在点0x 可微，则))(()()(000x x x f x f x f -'+≈. 推导：由函数)(x f 在点0x 可微，则有)()()(0x o y d x o x x f y ∆∆∆∆+=+'=，故当||x ∆很小时，有y d y ≈∆，即x x f x f x x f y ∆∆∆)()()(000'≈-+=，整理得x x f x f x x f ∆∆)()()(000'+≈+，令x x x ∆+=0，得))(()()(000x x x f x f x f -'+≈.特别地，当00=x 时,||x 很小时，x f f x f )0()0()('+≈. 注：近似公式的使用原则：1°.•x f )(0与)(0x f '好计算； 2°.x 与0x 靠近.2.常用近似公式：（||x 很小时）(1).x x αα+≈+1)1(; (2).x x ≈sin ; (3).x e x +≈1；(4).x x ≈tan ; (5).x x ≈+)1ln(. 推导：(1).令α)1()(x x f +=，有1)0(=f ，α=)0('f ，当||x 很小时，x x αα+≈+1)1(. 例5.计算 29sin 的近似值.解：设x x f sin )(=，有x x f cos )('=，取6300π== x ，1802929π== x ，则180π-=x ∆， 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+≈=1806cos 6sin 18029sin 29sin ππππ••• 485.0)0175.0(2321≈-⋅+=. 例6. 计算05.1的近似值. 解：025.1)05.0(21105.0105.1=+≈+=.。
同济版高等数学第二章习题课
(1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 导出 对数求导法 (3) 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
h0
h
h0
h
h2 2h
lim
2
h0
h
ah lim a h h0
a2 a b 1
a 2 b 1
例4.设
,试确定常数a , b
使 f (x) 处处可导,并求
ax b ,
x 1
解:
f (x)
1 2
(a
b
1)
,
x 1
x2 ,
x 1
解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
x2
x2
(x 2)
f (2) lim f (x) f (2) x2 x 2
lim f (x) 3 x2 x 2
思考 : 书P125 题3
P87. 17
设函数
x2, f (x)
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当 当 • 微分 :
时,为右导数 时,为左导数
• 关系 : 可导
可微 ( 思考 P125 题1 )
P125. 1
f (x)在点x0可导是f (x)在点x0连续的 f (x)在点x0连续是f (x)在点x0可导的
充分 条件. 必要 条件.
f (x)在点x0的左右导数都存在且相等是f (x)在点 x0可导的 充分必要 条件。
同济大学高等数学习题课2-数列极限
4．若数列{ xn } 与{ yn } 发散，问数列{ xn yn } ，
{
xn
yn
}
，{
xn yn
}
是否一定发散？
答：不一定发散。
例如： (1)n 和 (1)n1 都发散，但 (1)n (1)n1 0， (1)n(1)n1 1
和
(1)n (1)n1
1
收敛。
二、证明题
1)
.
2
6
n(n1)(n2) h3 6
∴
n2 an
n2 n(n1)(n2) h3
6n (n2 3n2)h3
6 (n 3)h3
，
6
0
，要使
n2 an
0
(n
6 3)h3
，
只要n
6 h3
3
，故取
N
6 h3
3
，
∵ 0 ，
N
6 h3
3
，
nN
时，有
n2 an
0
6 (n 3)h3
，
∴
lim
n
n2 an
0
(a
lim
n
xn
a
；反之是否成立。
1．用定义证明： lim xn a ，则对任一正整 数k ，
n
l im xnk a 。
n
证明：∵ lim xn a ，∴0 ， NN ，n N 时，
n
恒有 xn a 。
∵当n N 时，必有nk N ，∴也必有xnk a ，
∴ lim xnk a 。
n
2．证明 lim xn a lim x2n1 lim x2n a 。
1．用定义证明: lim xn a ,则对任一正 整 数k , lim xnk a .
高等数学 同济二版上册课后答案
第一章1-4节 1、计算下列极限7）2382lim 222+--+→x x x x x分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。
解：原式6)1(lim )4(lim 14lim )2)(1()2)(4(lim2222=-+=-+=---+=→→→→x x x x x x x x x x x x 9）)sin(sin sin lima x ax a x --→分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解 解一：令0,,,→→+=-=u a x u a x a x u 时则。
a uua a u u u a a u u a a uau a u a u a u a u u u u u cos )2cos42sinsin (cos lim ]2cos2sin 2)2sin 21(sin [cos lim ]sin )1(cos sin [cos lim sin sin sin cos cos sin limsin sin )sin(lim020000=-=-+=-+=-+=-+=→→→→→原式 解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换a ax ax a x a x a x a x a x ax cos 22cos 2lim )sin(2sin 2cos2lim=--⋅+⋅=--+=→→原式11）6)1(lim )4(lim 14lim 4lim 020202230=++-=++-=++-→→→→t t t t t t t t t t t t t t t (应该为4) 13）31)312(lim 2lim )312)(4()4(2lim )312)(4(9)12(lim 4312lim44444=++=++--=++--+=--+→→→→→x x x x x x x x x x x x x x本题利用了分子有理化 2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 11arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x x 第一章1-5节 1、计算下列极限 2）βαβαββααβα==→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim00解法2：原式βαβα==→x x x 0lim5）212cos122sin 21lim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅⋅=⋅=-→→→x x x x x x xx x x x x x 解法2：原式2121lim 20=⋅=→x x x x7）πππππ-=-=-=-=-→→→→uu u u u u x x u u u x 0001lim tan lim )1(tan lim 1tan lim分析：本题利用了变量替换和等价替换 9）2)2(21lim )12(coslim 222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞→∞→x x x x x x分析：∞→x 时，02→x 。
高等数学(同济第五版)第二章导数与微分 练习题册
第二章 导 数 与 微 分第 一 节 作 业一、填空题：1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f.)()(lim )2(.)()(lim)1(000000=--+=∆-∆-→→∆h h x f h x f x x f x x f h x2. 设=⋅=',5322y xx x y 则 .3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 .4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）：1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101-； （C ）-100； （D ）.99!100答：（ ）.1)(;1)(;21)(;0)(:)0(',0,00,1)(.22-⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-D C B A f x x x e x f x为则设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 讨论函数.00,00,1sin 处的连续性与可导性在=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx y2. 已知).(',0,,sin )(x f x x x x x f 求⎩⎨⎧≥<=3. 设?,,1)(,1,1,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =⎩⎨⎧>+≤=四、试证明下列各题：1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a2.2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.第 二 节 作 业一、填空题：.)]sin )(cos cos [(sin .2.',3ln .12=+-=+=x x x x dxdy x e y x则设二、选择题（单选）：.)()()(;)()()(;)()()(;)()()(:,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 设.,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
同济大学高数上习题答案
同济大学高数上习题答案同济大学高数上习题答案高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。
而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。
为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。
第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。
答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。
答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。
3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。
答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。
所以定义域为 [-1, +∞)。
第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。
2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。
3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。
第三章：微分中值定理与泰勒展开1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。
答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。
2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。
同济大学_线性代数_习题解答_第二章
0 1
4
1 0 利用数学归纳法证明 : A k k 1 当 k 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k 1 时 0 1 0 1 0 1 Ak Ak A k 1 1 ( k 1) 1 1 0 由数学归纳法原理知 : A k k 1
1 2 1 0 5．设 A , B 1 3 1 2 ，问： (1) AB BA 吗? (2) ( A B) 2 A2 2 AB B 2 吗? (3) ( A B)( A B) A2 B 2 吗? 解
3
1 2 (1) A 1 3 , 3 4 则 AB 4 6
1 0 8．设 A 0 1 ,求 A k . 0 0 解 首先观察
2 2 1 1 0 1 0 A 2 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 3 32 3 A 3 A 2 A 0 3 32 0 3 0 k ( k 1) k 2 k k 1 k 2 由此推测 A k 0 k k k 1 ( k 2) 0 0 k 用数学归纳法证明 : 当 k 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k 1 时， k ( k 1) k 2 k k 1 1 0 k 2 A k 1 A k A 0 k k k 1 0 1 0 0 0 0 k
同济大学《高等数学》（第四版）第2章答案
习题2－1 （P105）4. 解:（1）);())()((lim )()(lim0000000x f xx f x x f x x f x x f A x x ′−=∆−−∆−−=∆−∆−=→∆−→∆（2）);0(0)0()(lim )(lim 00f x f x f x x f A x x ′=−−==→→（3）h x f h x f x f h x f h h x f h x f A h h )]()([)]()([lim)()(lim 00000000−−−−+=−−+=→→ ).(2)()()()(lim )()(lim 000000000x f x f x f hx f h x f h x f h x f h h ′=′+′=−−−+−+=→→12. 解:（1） ,sin x y =,0sin lim lim ,0)sin (lim lim 0000===−=+→+→−→−→x y x y x x x x Q.0,0)0(处连续此函数在又=∴=x y;1sin lim 0)0()(lim)0(00−=−=−−=′−→−→−x xx y x y f x x 又;1sin lim 0)0()(lim )0(00==−−=′+→+→+xxx y x y f x x 处不可导。
此函数在0),0()0(=∴′≠′+−x f f （2）,0,00,1sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x xx y ，01sin lim 20=→x x x Q .0,0)0(处连续此函数在又=∴=x y ,01sin lim 1sinlim 0)0()(lim)0(0200===−−=′→→→xx x x x x f x f y x x x Q .0可导故此函数在=x13. 解:由函数在,1)1(,)(lim )(lim ,1lim )(lim 11211=+=+===+→+→−→−→f b a b ax x f x x f x x x x Q .11=+=b a x 处连续得：;211lim1)1()(lim )1(211=−−=−−=′−→−→−x x x f x f f x x 又 ,1;1lim 11lim1)1()(lim)1(111处可导要使函数在==−−=−−+=−−=′+→+→+→+x a x aax x b ax x f x f f x x x .1)(1,2.2),1()1(处连续且可导在时，故当即必须＋=−===′=′−x x f b a a f f 14. 解: ;100lim)0()(lim)0(00−=−−−=−−=′−→−→−x x x f x f f x x ;00lim 0)0()(lim)0(200=−=−−=′+→+→+xx x f x f f x x 不存在。
同济大学高等数学第五版第二章习题课
四 典型题目
f ( x 0 + α h) − f ( x 0 − β h) 1 设存在 f '( x0 )，求 lim h→ 0 h
1 x cos , x < 0 2 设 f ( x) = ，讨论 f ( x ) 在 x = 0处 x x≥0 0,
的连续性与可导性。 3 设 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2) ( x − 2006),求 f '(2006)
n n n n n −1
n
n
n
2 ′ g ( x ) f ( x ) = ( x − a ) g( x ) ， 3设 连续， 连续，且
求 f ′′( a ) .
解答
∵ g ( x ) 可导
2 ′ ∴ f ( x ) = 2( x − a ) g ( x ) + ( x − a ) g′( x )
f ( x ) g ( x ) 在 x 处（ 0
(4) 若 f ( x ) 在 x0 处可导, g ( x )在 x0 点处不可导, f ( x) ⋅ g ( x) 在 x0 点处( )
（a）必可导；（ 可导；（b）必不可导 必不可导；（ 可导；（c）不一定可导 不一定可导； 可导；
思考题解答
（1）正确的选择是（ 正确的选择是（b） 根据复合函数求极限法则可得到. (2)正确的选择是（ 正确的选择是（c） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
（2）若 f ( u ) 在 u0 不可导， 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导， 可导，且 u0 = g ( x 0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x 0 处（ ）． （a）必可导；（ 必可导；（b）必不可导；（ 必不可导；（c）不一定可导； 不一定可导；
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。
最新高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册
第二章 导 数 与 微 分第 一 节 作 业一、填空题：1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f.)()(lim )2(.)()(lim)1(000000=--+=∆-∆-→→∆h h x f h x f x x f x x f h x2. 设=⋅=',5322y xx x y 则 .3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 .4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）：1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101-； （C ）-100； （D ）.99!100 答：（ ）.1)(;1)(;21)(;0)(:)0(',0,00,1)(.22-⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-D C B A f x x x e x f x为则设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 讨论函数.00,00,1sin 处的连续性与可导性在=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx y2. 已知).(',0,,sin )(x f x x x x x f 求⎩⎨⎧≥<=3. 设?,,1)(,1,1,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =⎩⎨⎧>+≤=四、试证明下列各题：1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a2.2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.第 二 节 作 业一、填空题：.)]sin )(cos cos [(sin .2.',3ln .12=+-=+=x x x x dxdy x e y x则设二、选择题（单选）：.)()()(;)()()(;)()()(;)()()(:,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 设.,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
同济大学《高等数学》(第四版)第二章习题课
1 1 1 1 1 1 , ( ) 4 2 4 2 2x x 2(1 u ) 4 u 1 u 1 1 u
2
x , u ( 1 x ) x 2 1 x 1 yx . 3 2 (2 x x ) 1 x
x 2t t dy 例3 设 ,求 2 dx y 5t 4t t
f ( 2) f ( 2),
2
f ( x )在x 2处不可导.
3 x 4 x , x 2, 或x 0 f ( x ) 0, x 0, 3 x 4 x ,0 x 2,
2
例6
设y x(sin x )cos x , 求 y.
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , n 或 . n dx dx
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 x
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x d (log a x )
lim( x 1)( x 2)( x 100)
x 0
100!
1 1 1 x 1 2 例2 设 y arctan 1 x ln , 2 2 4 1 x 1 求 y .
2
解 设 u 1 x2 ,
y u