正比例函数和反比例函数
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例反比例函数复习
正比例函数和反比例函数一、知识要点1.如果变量y是自变量x的函数，对于x在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
（为了深入研究函数，我们把“y是x的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x表示自变量，括号外的字母f表示y随x变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a时的函数值）2.函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。
3.正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。
二、课堂练习1.油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，•自变量的范围是_____________．当Q=10升时，t=_______________。
2.在函数xxy+-=12中，自变量x的取值范围是。
3.一棵小树苗长10cm，从发芽起每年长高3cm,则x年后其高度y关于x的函数解析式为_________,y___（填“是”或“不是”）x的正比例函数.4.观察下图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆圈，每个图案中圆圈的总数是s。
按此规律推断出s与n的关系式为。
正比例函数反比例函数解析式y=kx(k≠0)y=xk(k≠0)图像经过(0，0)与(1，k)两点的直线经过(1，k)与(k，1)两点的双曲线经过象限当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
增减性当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。
当k>0时，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
5. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x ，底边长为y ，则y 关于x 的函数解析式，及自变量x 的取值范围__________________6. 若点P(3,8)在正比例函数y=kx 的图像上,则此正比例函数解析式是________________。
正比例函数和反比例函数比较
? 趋向
– 图象的两个分支都 无限接近但永远不能达到 x轴和y轴。
反比例函数图象性质的运用
已知y ? a(a ? 1) xa2 ? a?1，当a为何值时， （1）y与x成正比例，此时，图象 经过哪几个象限？ （2）y与x成反比例，此时，图象 位于哪几个象限内？
– 当k<0时，它的图象经过 第二、四象限 ，y随x 的增大而减小 ；
? 倾斜程度
– k的绝对值越大，图象越接近y轴。
– 也就是说： 比例系数k决定了直线 y＝kx与x轴 正方向所成的角， k叫做直线y＝kx的斜率。
正比例函数性质
设函数 y ? (m ? 2) xm2 ? 5m? 5 ? (m ? 4)， （1）当 m是什么值时，是正比例 函数？ （2）此时它的图象经过哪 几个象限？
正比例函数图象
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
1 y ? x y ? x y ? 3x
2
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
y? ? 1x 4
y? ?x
y ? ?3x
你发现正比 例函数中的 比例系数k有 什么作用？
正比例函数性质
? 增减性
– 当k>0时，它的图象经过 第一、三象限 ，y随x 的增大而增大 ；
函数关系式是：
量叫做成反比例，把
– 一个物体作匀速直线运动，行程120它m们，之则间运的函数关系
动速度v（m/秒）与所需时间t（秒）叫之做间反的比函例函数。
数关系是：
? 反比例函数的 一般形式： ? k是不等于零的常数。 ? 不同的k值代表不同的反比例函数，因此
确定了 k，就可以确定一个反比例函数。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
1 / 3常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象如果)0,(≠=k k xk y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象（2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小；当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()b f x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）2 /3 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数1. 引言正比例函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的定义、特点以及实际应用，以便读者更好地理解和应用这两种函数。
2. 正比例函数2.1 定义正比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值也相应地增大（或减小）的函数。
在数学符号中，正比例函数可以用y = kx表示，其中k为比例常数。
2.2 特点正比例函数的特点有：- 图像呈现直线；- 图像通过原点，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量亦增大，且变化的速率相同。
2.3 实际应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 物理学中的速度和时间的关系，当物体匀速运动时，其速度与时间成正比；- 经济学中的成本和产量的关系，当生产规模扩大时，成本和产量之间存在正比例关系；- 地理学中的距离和时间的关系，当行驶速度恒定时，两地距离和到达时间成正比。
3. 反比例函数3.1 定义反比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值相应地减小（或增大）的函数。
在数学符号中，反比例函数可以用y = k/x表示，其中k为比例常数。
3.2 特点反比例函数的特点有：- 图像呈现曲线，通常为双曲线；- 图像与两个坐标轴都有渐进线，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量减小，且变化的速率不同。
3.3 实际应用反比例函数在实际问题中也有广泛的应用，例如：- 物理学中的电阻和电流的关系，当电路中的电压不变时，电阻和电流成反比例关系；- 经济学中的价格和需求的关系，当商品价格上涨时，需求量下降，价格和需求成反比例关系；- 化学学中的稀释度和浓度的关系，当添加溶剂时，溶液的浓度与稀释度成反比例。
4. 比较与应用示例正比例函数和反比例函数的区别在于图像的形状和变化的速率不同。
正比例函数的变化速率相同，图像为直线，而反比例函数的变化速率不同，图像为曲线。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数一、正比例函数与反比例函数的区别
Q
二、正比例函数与反比例函数的关系
正比例函数与反比例函数图象交于A、B两点，则A、B关于原点对称：（1）OA=OB
（2）AB两点的坐标互为相反数。
即A(a,b),则B(-a,-b)
三、典型例题
例1
如图，正比例函数y=mx与反比例函数
（m、n是非零常数）的图像交于A、B两
点，若点A的坐标为（1，2），则点B的
坐标是（）。
由上二（2）得B的坐标是（-1，-2 ）
例2 已知：反比例函数图像上一点M（-1，3
①求出这个函数的解析式
②求直线MO的解析式
③作MN⊥x轴于N，求
MON
S
④求图中Q的坐标
解：①点M（-1，3）在反比例函数图像上
∴k=xy=-1×3=-3
∴y=-
x
3
比例函数图像上
③作MN⊥x轴于N，则
MON
S
=
2
k
=
2
3
④图中Q与点M关于原点对称，∴Q的坐标为（1，-3）
函数？(2)是反比例函数？并画出它们的图象．
解：(1)由正比例函数定义得
∴m＝1．此时函数解析式变为y＝3x．(2)由反比例函数定义得。
高中数学--常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k xky 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()bf x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
正比例函数和反比例函数的区别(附图)
正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数 (自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。
反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。
正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结
正比例函数、反比例函数
一、正比例函数性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx (k 是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k ＞0时，图象（除原点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值也增大；y 随x 的增大而增大。
当k ＜0时,图象(除原点外)在二、四象限；x 增大时,y 的值反而减小；y 随x 的增大而减小。
二、一次函数的性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx+b(k ，b 是常数，且k≠0 )的函数， 叫做一次函数。
性质：
①k>0,b>O,则图象过一、二、三象限
②k>0,b<0,则图象过一、三、四象限
③k<0,b>0,则图象过一、二、四象限
④k<0,b<0,则图象过二、三、四象限 三、反比例函数性质和图象：
1.定义：形如y ＝x
k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式 xy=k 1-=kx y x
k y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。
对称中心是：原点
3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而减小。
当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴
所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
正比例函数和反比例函数
正比例函数和反比例函数（1）【知识要点】1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量（3）表达两个变量之间依赖关系的为函数解析式()y f x =（4）函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去取的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值2、正比例函数（1）如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例（2）正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数（3）对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像（4）一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =（5）正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：当k>0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小3、反比例函数（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。
（2）解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数。
初二数学《正比例函数和反比例函数》PPT复习
案例分析三
已知正比例函数y=ax（a≠0）的 图像与反比例函数y=b/x（b≠0） 的图像交于C、D两点，且C、D 两点关于原点对称，若点C的坐 标为（3,2），求a、b的值及D点
的坐标。
05 典型例题解析与思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图像经过点 (2, -4)，求该正比
在同一平面直角坐标系中，正比例函数 的图像是一条过原点的直线，且关于原 点对称。
比例系数k决定了直线的倾斜程度，k>0 时，直线从左下方向右上方延伸；k<0 时，直线从左上方向右下方延伸。
性质 图像是一条经过原点的直线。
反比例函数定义及性质
性质
图像是分布在两个象限内的双曲 线。
比例系数k决定了双曲线的形状和位置 ，k>0时，双曲线位于第一、三象限； k<0时，双曲线位于第二、四象限。
06 课堂互动环节
学生提问答疑
学生可以向老师提出关于正比例函数 和反比例函数概念、性质、图像等方 面的疑问。
老师会针对学生的问题，进行详细的 解答和辅导，确保学生能够理解和掌 握相关知识。
小组讨论分享学习心得
学生可以分组进行讨论，分享自己在学习正比例函数和反比 例函数过程中的心得和体会。
小组内成。
例题2
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图像经过点 (3, 4)，求该反比例 函数的解析式。
例题3
已知正比例函数 y = 2x 和反比例函 数 y = 8/x，求这两个函数图像的交 点坐标。
解题思路与方法总结
对于正比例函数，已知一点坐 标，可以通过代入法求出函数 的解析式。
经济学问题
为什么正比例函数与反比例函数有交点原点中心对称 证明
为什么正比例函数与反比例函数有交点原点
中心对称证明
正比例函数和反比例函数都可以表示为 y = kx 的形式，其中 k 是常数。
交点的横坐标 x = 0 计算出纵坐标 y = 0，因此交点为原点。
我们可以通过以下两个步骤证明这个结论。
步骤一：对于正比例函数 y = kx，使用中心对称的定义证明：
将点 (x, y) 的横坐标和纵坐标分别取相反数 (-x, -y)，代入函数中
应该满足 y = kx。
我们有 (-y) = k(-x)。
由于乘积的相等性质，在
等式两边同时乘以 -1，得到 y = kx，这证明了对于正比例函数，点(x, y) 与 (-x, -y) 关于原点对称。
步骤二：对于反比例函数 y = k/x，使用中心对称的定义证明：
将点 (x, y) 的横坐标和纵坐标分别取相反数 (-x, -y)，代入函数中
应该满足 y = k/x。
我们有 (-y) = k/(-x)。
同样，由于除法的性质，将 (-x) 和 (-y) 同时乘以 -1，得到 y = k/x。
这证明了对于反比例
函数，点 (x, y) 与 (-x, -y) 关于原点对称。
综上所述，正比例函数与反比例函数都满足对称关系，其交点为
原点。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数正比例函数和反比例函数综合解说客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。
在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。
函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。
本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。
1正比例函数【知识结构框图表】【本节解读】人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。
数与度量单位结合在一起，就是数量。
反比例函数正比例函数定义域和值域函数解析式函数经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。
【基础知识与要点拨】1.变量和常量在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。
比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。
C、D是变量，π是常量。
2.函数和自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。
f(a)表示当x＝a时的函数值。
3.定义域和值域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。
4.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。
用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k=或者y kx=，其中，k是不为零的常数。
x5.正比例函数定义域是一切实数的函数y k x=（k是不为零的常数）叫做正比例函数。
其中常数k叫做比例系数。
确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。
正比例_反比例函数性质
正比例函数：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k代表斜率）设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.k>0时，函数为减函数；k<0时，函数为增函数。
定义域为x<0或x>0；值域为R。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S25. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点..抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
正比例函数和反比例函数分析
第21课 正比例函数和反比例函数二、【考点整合举例】正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是 ． 1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为 ．2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．反比例函数)0(>=k xky 的性质及数形结合的能力 在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k xky 的图像上的一点分别作x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。
2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是 （ ）（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）xy 4=（D ）x y 4-=反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。
（多选题）在函数y=xk（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<图1（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x1的图像上，则下列结论中错误的是 （ ）（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >> 例1．反比例函数y ＝xk 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝x1的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .(1) 反比例函数x2y =，当x=－2时，y 的值为 （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝x1的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2（C ）S 1＝S 2（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－x1的图像大致是 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ）(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜21（B ）m ＞21 （C ）m ＜2 （D ）m ＞02、填充题：(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）23m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为_________．(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x1的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．1、选择题：（1）已知反比例函数y ＝xm21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜0（B ）m ＞0（C ）m ＜21 （D ）m ＞21 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝kx图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ） （A ）（2，6）（B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4）（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－x1的图像大致是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2、填充题：(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝xk的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是______________． (3) 设有反比例函数y ＝xk 1，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．3、解答题：(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （21，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=x'k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x3的图像都过A （m ，1）点．求：①正比例函数的解析式；②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝xk ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．考点一：y ＝2x ；y ＝3x .变式演练：1.y ＝5x 2－；2.y ＝8x.考点二：y ＝12x.变式演练：1.y=-3x+3；2.B.考点三：A 、C . 变式演练：B 、C 、D.（二）综合例题：例1：P 点的坐标为（－2，－2） 例2： S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1．【双基热身反馈】 1. 选择题：（1） B ；（2）C ；（3）D ；（4）A2、填充题：（1）y ＝2x ＋2；（2）y ＝6x.；（3）－2；（4）＜【复习巩固自测】 1、选择题：（1）C ；（2）A ；（3）D2、填充题：（1）y ＝3x－.；（2）（－1，2）；（3）k ＜－13、解答题：（1）解：∵A(21,m)在y=x 21图像上，∴得m=1， A(21,1)．∵A 又在y=kx 图像上，∴得k=2．∵B （n ，4）在y=2x 图像上，∴4=2·n ，n=2，∴B(2,4)．而B 点又是y=x'k 的图像上，∴4=2'k ，k ’=8．（2）①y ＝1x 3；.②（－3，－1）（3）①解：把y ＝4x 代入y ＝x k ，得 4x 2－k ＝0, ∴ x 2＝4k ；由已知，k ≠0，且（ⅰ）当k ＞0时，有x ＝2k 或x ＝－2k； 所以，两函数图像有两个交点（2k ，2k ）和（2k，－2k ）； （ⅱ）当k ＜0时，4k＜0，x 的值不存在，所以两函数图像没有交点； ②若两个图像只有一个交点，只需方程x 2＝4k 有唯一解，即仅当k ＝0时两个图像只有一个交点．但由已知函数y ＝xk可知，应有k ≠0，所以两个图像只有一个交点是不可能存在的．。
正比例反比例的相同点和不同点
正比例反比例的相同点和不同点
正比例和反比例是初中数学中常见的概念。
虽然它们是截然不同的两种关系，但它们也有一些相同点和不同点。
相同点：
1. 都是一种函数关系。
正比例和反比例都可以写成函数形式，其中正比例函数是y=kx，反比例函数是y=k/x，其中k是常数。
2. 都可以用比例式表示。
正比例和反比例都可以用比例式表示，其中正比例式是y/x=k，反比例式是yx=k。
3. 都可以画出直线图像。
正比例和反比例的函数图像都是直线，其中正比例函数的图像是一条通过原点的直线，而反比例函数的图像是一条不通过原点的直线。
不同点：
1. 关系不同。
正比例是两个变量之间的直接关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也随之增加；而反比例是两个变量之间的间接关系，即随着一个变量的增加，另一个变量反而会减小。
2. 函数形式不同。
正比例和反比例的函数形式不同，其中正比例是y=kx，反比例是y=k/x，其中k是常数。
3. 比例式不同。
正比例和反比例的比例式也不同，其中正比例式是
y/x=k，反比例式是yx=k。
4. 直线图像不同。
正比例和反比例的直线图像也不同，其中正比例函数的图像是一条通过原点的直线，而反比例函数的图像是一条不通过原点的直线。
正比例和反比例是两种截然不同的函数关系，虽然它们有一些相同点，但更多的是不同点。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来判断是应该使用哪种函数形式来描述变量之间的关系。
正比例反比例函数性质
04
正反比例函数在生活中的 应用实例
正比例关系在生活中的应用举例
01 02
速度、时间和距离之间的关系
在匀速直线运动中，速度是恒定的，因此时间和距离成正比。例如，如 果一辆汽车以恒定速度行驶，那么它行驶的时间越长，行驶的距离就越 远。
工资和工作时间的关系
在计时工资制中，工资通常与工作时间成正比。例如，如果一名工人每 小时的工资是固定的，那么他工作的时间越长，获得的工资就越高。
指数函数与对数函数
形如 y = a^x（a > 0, a ≠ 1）和 y = log_a(x)（a > 0, a ≠ 1）的函 数。具有独特的增减性、图像特征以及在实际问题中的应用。
THANKS
求解正比例函数相关数学问题方法技巧
01
确定比例系数
根据题目条件，确定正比例函 数的比例系数k，通常利用已知
的一组对应值来求解。
02
利用图象求解
画出正比例函数的图象，利用 图象的直观性来求解相关问题 ，如求交点、判断函数值大小
等。
03
利用函数性质
利用正比例函数的性质，如增 减性、对称性等，来求解相关
综合运用正反比例关系解决问题
农业生产中的施肥问 题
农业生产中需要合理施肥以保证作物 生长。施肥量与作物产量之间通常存 在正比关系，即施肥量增加，作物产 量也相应增加。然而，过量施肥会导 致土壤污染和作物生长受阻。因此， 需要综合运用正比和反比关系来确定 最佳施肥量。
城市规划中的交通拥 堵问题
城市规划中需要解决交通拥堵问题。 一方面可以通过增加道路容量来提高 交通流量（正比关系），另一方面也 可以通过提高公共交通使用率来减少 私家车出行（反比关系）。综合运用 这两种方法可以有效缓解城市交通拥 堵问题。
正比例函数和反比例函数的共同点
正比例函数和反比例函数都是特殊的函数类型，它们都满足一些共同的性质。
两者都是单调函数。
这意味着在函数图像上，沿着x轴方向每一个点都对应了一个单独的y值，所以图像不会有“折返”的部分。
两者都是可逆函数。
这意味着可以将正比例函数或反比例函数的图像翻转，得到的新函数是原函数的反函数。
两者都具有比例关系。
正比例函数的输出与输入之间存在正比关系，即输入增大一倍，输出也会增大一倍。
反比例函数的输出与输入之间存在反比关系，即输入增大一倍，输出会减少一半。
正比例函数的一般形式是 y=kx，其中k是常数，表示输入与输出之间的比例关系。
反比例函数的一般形式是 y=k/x，其中k也是常数。
希望这能帮到你！。
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正比例函数和反比例函数
一、【基础知识梳理】
二、【考点整合举例】 （一）考点：
考点一：正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．
（2001年考题6）如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．
（2007年考题8）如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是 ．
变式演练：
1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为 ．
2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．
考点二：反比例函数)0(>=
k x
k
y 的性质及数形结合的能力 （2003年考题8 ） 在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k x
k
y 的图像上的一点分别作
x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .
变式演练：
1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。
2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是 （ ）
（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）x y 4=
（D ）x
y 4
-= 考点三：反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。
图1
（2004年考题18）（多选题）在函数y=x
k
（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、
),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）
（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<
变式演练：
（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x
1
的图像上，则下列结论中错误的是 （ ）
（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>
（二）综合例题
例1．反比例函数y ＝
x
k 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．
例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝
x
1
的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .
三、【双基热身反馈】 1.选择题：
(1) 反比例函数x
2
y =
，当x=－2时，y 的值为 （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝
x
1
的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则 （ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2
（C ）S 1＝S 2
（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定
(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－
x
1
的图像大致是 （ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜
2
1
（B ）m ＞
2
1 （C ）m ＜
2 （D ）m ＞0
2、填充题：
(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，
AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比
例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）2
3m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为
_________．
(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x
1
的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．
四、【复习巩固自测】
1、选择题：
（1）已知反比例函数y ＝
x
m
21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜0
（B ）m ＞0
（C ）m ＜
2
1 （D ）m ＞
2
1 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝
k
x
图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ）
（A ）（2，6） （B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4）
（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－
x
1
的图像大致是 （ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2、填充题：
(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝x
k
的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是
______________． (3) 设有反比例函数y ＝
x
k 1
，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．
3、解答题：
(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （2
1，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=
x
'
k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x
3
的图像都过A （m ，1）点．求：
①正比例函数的解析式；
②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝
x
k ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？
②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．。