正比例函数和反比例函数

正比例函数和反比例函数

一、【基础知识梳理】

二、【考点整合举例】 （一）考点：

考点一：正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．

（2001年考题6）如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．

（2007年考题8）如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是 ．

变式演练：

1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为 ．

2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．

考点二：反比例函数)0(>=

k x

k

y 的性质及数形结合的能力 （2003年考题8 ） 在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k x

k

y 的图像上的一点分别作

x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .

变式演练：

1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。

2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是 （ ）

（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）x y 4=

（D ）x

y 4

-= 考点三：反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。

图1

（2004年考题18）（多选题）在函数y=x

k

（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、

),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）

（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<

变式演练：

（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x

1

的图像上，则下列结论中错误的是 （ ）

（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>

（二）综合例题

例1．反比例函数y ＝

x

k 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．

例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝

x

1

的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .

三、【双基热身反馈】 1.选择题：

(1) 反比例函数x

2

y =

，当x=－2时，y 的值为 （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝

x

1

的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则 （ ）

（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2

（C ）S 1＝S 2

（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定

(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－

x

1

的图像大致是 （ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜

2

1

（B ）m ＞

2

1 （C ）m ＜

2 （D ）m ＞0

2、填充题：

(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，

AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比

例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）2

3m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为

_________．

(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x

1

的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．

四、【复习巩固自测】

1、选择题：

（1）已知反比例函数y ＝

x

m

21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜0

（B ）m ＞0

（C ）m ＜

2

1 （D ）m ＞

2

1 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝

k

x

图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ）

（A ）（2，6） （B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4）

（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－

x

1

的图像大致是 （ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

2、填充题：

(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝x

k

的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是

______________． (3) 设有反比例函数y ＝

x

k 1

，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．

3、解答题：

(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （2

1，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=

x

'

k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x

3

的图像都过A （m ，1）点．求：

①正比例函数的解析式；

②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝

x

k ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？

②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．