张量分析及公式

I.2 符号ij δ与rst e

符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是：

⎩⎨⎧=0

1ij δ

时

当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14)

定义表明它对指标i 和j 是对称的，即

ji ij δδ= (I.15)

ij δ的分量集合对应于单位矩阵。例如，在三维空间中：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100013332

31232221131211δδδδδδ

δδδ (I.16)

利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成

j i ij dx dx ds δ=2 (I.17)

这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。这样：

i i j j j i ij dx dx dx dx dx dx ds ===δ2

类似地有

ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δ

ki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18)

以及

ik jk ij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19)

所以，ij δ也称为换标符号。

符号rst e 的定义是：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=011

rst

e 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或

)r t )(t s )(s r (2

1

e rst ---=

()3,2,1t ,s ,r = (I.20b) 其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 , l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。

rst e 称为排列符号或置换符号。它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。

定义表明rst e 对任何两个指标都是反对称的，即：

tsr rts srt rst e e e e -=-=-= (I.21)

当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），rst e 的值不变：

trs str rst e e e == (I.22)

下面举几个常用实例：

1． 三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：

（l ）每个基矢量的模为1，即i e ·1=j e

（当i =j 时） （2）不同基矢量互相正交，即i e ·0=j e

（当i ≠j 时） 这两个性质可用ij δ统一表示为

i e ·ij j e δ=

(I.23a)

（3）当三个基矢量i e ，j e ，k e

构成右手系（见图I-2）时有

k j i e e e =⨯

构成左手系时有

k j i e e e -=⨯

上两式可用rst e 统一写成

k kij k ijk j i e e e e e e

==⨯ (I.23b)

其中，i ,j ,k 的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。

图I-2

2．两个矢量i i e a a =和j j e b b

=的点积（I.2a ）式可利用（I.23a ）式导出：

a ·()i i e a b

=·()(i j i j j e b a e b =·j j i i ij j i j b a b a b a e ===δ)

3．两个矢量的叉积（或称矢量积）可利用（I.23b ）式导出：

()()()k j i ijk j i j i j j i i e b a e e e b a e b e a b a

)(=⨯=⨯=⨯ (I.24)

其中，i e ，j e ，k e 构成右手系。若交换叉积顺序，注意到k e ，j e

，i e 为左手系，则有：

()()()b a e b a e e e a b e a e b a b k j i ijk i j i j i i j j

⨯-=-=⨯=⨯=⨯)( （I.25)

叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a 和b

构成的平行四边形面积，方向沿该面

元的法线方向。

4．三个矢量a

，b

，c

的混合积是一个标量，其定义为：

[]a c b a

=,,·b a c b

⨯=⨯·c

若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当a ，b ，c

构成右手系时，混合积表

示这三个矢量所构成的平行六面体体积（见图I —3）。若构成左手系，则为体积的负值。

利用（I.24 ）和（I.23a ）式有

[]a c b a =,,·()m

m

e

a c b

=⨯·()k j i ijk m i k j m ijk i k j ijk c b a e c b a e e c b e ==δ

（I.26)

由此可见符号ij δ和rst e 分别与矢量代数中的点积和叉积有关。（I.23a , b ）式是常用的基本公式。 5．三阶行列式的展开式为：

23321133122113223123123113322133221133

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ij ---++==（I.27a) 用排列符号可简洁地表示成

t s r rst t s r rst ij a a a e a a a e a 321321== （I.27)

不难验证，当r ，s ，t 为正序排列时可得（I.27a ）的前三项，为逆序排列时则得后三项。(I.27）

式中第二个符号的含义是：转置（行与列对换）后行列式的值不变。