张量分析及公式

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02张量分析

1.矢量场的旋度令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi

ai i ai xi
18

显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量给出。由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成

f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章张量代数

按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j）（ Bmn imin）（Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称

张量分析

g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量，或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
gi ⋅ g j = gik gk ⋅ g j = gikδkj = gij
g = g ⋅gj
ij i
gi ⋅ g j = δ ij ⇒ gik gk ⋅ g j = δ ij
gik gkj = δ ij ⇒
类似
gi = gij g j
gi = gij g j gi = gij g j
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换，提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds2 = dr ⋅ dr =gi dxi ⋅ g j dx j = gi ⋅ g j dxi dx j
i j k a = aij = eijka1a2 a3
aeilm = e a a a
i ijk l
j k m n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
1 δ1 δi j = δ12 3 δ1 1 δ2 2 δ2 3 δ2 1 1 0 0 δ3 2 δ3 = 0 1 0 =1 3 δ3 0 0 1
δli δl j δlk
y j = y j (x1, x2 , x3 )
逆变换为：
( j =1 2,3) ,

张量分析课件-1.7 张量的代数运算

且 T ij S ij U ij ,
1.7.3 标量与张量相乘
若kT=U，则
kT ij U ij ,
且 kT ij U ij ,
张量相减：T－S=T + (－1)S
1.7.4 张量与张量并乘
若T，S 分别是m阶和n阶张量，则TS=U是m+n 阶张量。 U的分量指标的前后顺序和上下位置都与TS 的指标顺序和上下位置相一致。例如

·

k l rs t ij rs l k t T S Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t r i j s ls k t ij s k t Tij S g g g g g V g g g g g V kl t i j s k t i j s
·
S T T
·
ij kl
l k ij k i k gi g j g k g l Tij δ g g T g g S g g kl j i kj i k i
·
1.7.6 张量的点积
点积：若T，S分别是m阶和n阶张量，则阶张量。例如： ·
TS U 是m+n－2
·
设S是T的转置。则有 1 A T S 为对称张量；对称化运算： 2 1 反对称化运算： B T S 为反对称张量。 2
1.7.9 张量的商法则
设有一组数的集合（例如T（i, j, k, l, m）），如果它满足对于任意一个q阶张量S（例如q=2，二阶张
量Slm）的内积均为一个p阶张量（例如p=3，三阶张量 Uijk），即在任意坐标系内以下等式均成立
t

张量分析及其应用

在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
⎧1, i = j δ ij = ⎨ ⎩0, i ≠ j
δ 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， i j 可确定一单位矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢δ δ 22 δ 23 ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ 31 δ 32 δ 33 ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂U i =0 ∂xi
或
∂U1 ∂U 2 ∂U 3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂U x ∂U y ∂U z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
∂U i ∂p ∂U i ∂U i ) = ρ bi − ρ( +U j +μ ∂x j∂x j ∂t ∂x j ∂xi
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：
∂Txx ∂Txy ∂Txz + + + bx = 0 ∂x ∂z ∂y ∂Tyx ∂x + ∂Tyy ∂y + ∂Tyz ∂z + by = 0
∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz + + + bz = 0 ∂x ∂z ∂y
是一个数值，即
δ ii = 3
δi j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
例1：
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示

(完整版)《张量分析》报告

一爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

张量与连续介质力学基本公式总结

第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定自由指标规则协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章：二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

张量定义及算法

1

可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2

克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量与及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N

j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数，则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h

张量分析——初学者必看

Kronecker-和Ricci符号的关系
ekijekst is jt js it
§A-2 矢量的基本运算
在三维空间中, 任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合
A 张量分析
e1 , e2 , e3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
A 张量分析
T A B ( Aij Bij )eie j Tijeie j
二、矢量与张量的点积(点乘)
矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶
左点乘
a T (ai ei ) (Tjk e j ek ) aiTjk ijek b
§ A-1 指标符号三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有 11 22 33 1
12 21 23 32 31 13 0
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
[ii ],[ii ]
互逆、正交矩阵
1 0 ii ii ij 0 1
基矢量变换式
ei ii ei ei iiei
坐标变换系数
任意向量变换式
vi iivi ii vi
§A-3 坐标变换与张量的定义
a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a33
a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 eijk a1i a2 j a3k eijk ai1a j 2 ak 3

第二章张量分析

a y x a y y a y z
az z az x az y
右梯度
grada a
a i e i e j

j

ai ei e j xj
ai , j ei e j
a ij e i e j
其中：
a ij
柱面坐标系设直角坐标系为
曲线坐标系为
则式
i i
x x x
1 1
的具体形式取为：
i'
'
'
x
x
i'
i
: x1 , x 2 , x 3
1'

, x
3'
: x r, x
2'
z

x i' x x x 2 x 2 xi
x
3
x x z
3 i'
r cos r sin
x z C3 (常数)为垂直于z轴的平面；
3'
(iii)
和坐标曲线： (i) (ii) (iii)
x r C1和 x C2 的交线(z线)是直线；
dS1
dS3
d S1 d r2 d r3 d S2 d r3 d r1 d S3 d r1 d r2
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：左边
(a1n1 a2 n2 a3n3 )dS
除
r 0
外，
J 0 ，故有逆变换的具体形式如下：
x
1'
r
'

张量分析3

2.9克里斯托弗尔符号 ij   i g j  gkk  ig j  gkrgr  gkr ig j g r  gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk  g kr  ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把  i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk  0 ，  ij  0k(2.9.10)k ij  ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故  ijk  0 和  (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

事实上，由于g ij , k   gk 0。

 ig j  这里分解系数  ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。

在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p  和   表示。

 ij gigj kgi gj g i  k gj  kij   kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i  ijk   ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j   jki   jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk  1 2 g k   ijp kp k  ijk   i g j  g kk ij  ig j  ggkrjk , i g ki , j  gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

张量分析课件-1.6 张量的基本概念

T ij βki βl jT kl
T
i j
Tij βik β ljTkl
j k j l T β β i i l T k
β β T
l j
i k
k l
同一坐标系内，张量的逆变、协变、混变分量之间满足指标升降关系。m 阶张量可以有 nm 种分量的集合。 n 维空间中 m 个矢量分量进行并乘运算所得到 nm 个数的集合可构成 m 阶张量。例如：
t Tijk βir β s β j k Trst
T
ij k
β β β T
t k
i r
j s
rs t
t r T i jk βri β s β T j k st

1.6.2.1 张量的实体表示法（并矢表示法）
j i T T ij gi g j Tij g i g j T i j gi g j T i g gj k i j k T T ijk gi g j gk Tijk g i g j g k T ij g g g T g g g k i j jk i
基张量（基矢量的并矢）线性无关。
在张量的实体表示法中，分量指标的排列顺序和相配基矢量的排列顺序是一一对应的，不能随意更换。例如
T T gi g j T g j gi T gi g j T g j gi
ij ji ji ij
1.6.3
度量张量
G g ij gi g j gij g i g j δ ij gi g j δi j g iT
st i

T
ij
β β T rs
r i s j rs s j r s s r

张量分析各章要点

各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章：二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

张量分析总结

一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标(向量指标)和下标(余向量指标)中各出现且仅出现一次的指标性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例:A11x1A12X2A13X3B1A21A22 X2A23X3B(1.1)A31 X1A32X2A33X3B3式(1.1)可简单的表示为下式：A j X jB (1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kron ecker 符号定义ij为：ij 1, i j0, i j(1.3)的矩阵形式为:1 0 0j0 1 0 (1.4)0 0 1可知j j ii »3。

S 符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成S 的另一个指标，而S 符号消失。

如：ij jk ik ij jk kl il的作用：更换指标、选择求和1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号:1, i, j,k 为偶排列 l jk 1, i,j,k 为奇排列0,其余情况图1.1 i,j,k 排列图l jk 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci 符号(置换符号)是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4坐标转换图1.2坐标转换(1.5)(1.6)如上图所示，设旧坐标系的基矢为e，新坐标系的基矢为e。

有ee j e'e j j e在e下进仃分解：e i'i e,「2曳i 3氏i' j e j, Illie j在e 下进行分解：e j i'j e ?jQ 3，j e3 ^e其中，i'j cos(e,q) e e j e j e为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。

张量分析(本科)

12
'

x1 11 ' 同样： x 2 21 '
T x ' 1 i ' j ' x ' 22 2 12
'

x ' 1 x ' 2
由（）式得
2、梯度
1
标量场
( x1 , x 2 , x 3 ) grad , i e i
为一阶张量－－矢量
2
张量场
A Aijei e j
（1）左梯度
A e i i A jk e j e k A jk , i e i e j e k
（2）右梯度
A i A jk e j e k e i A jk , i e j e k e i 高一阶的张量场
第一节
指标符号
第二节
第三节
张量的定义和代数运算
张量分析
自然法则与坐标无关。坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质；并且相关表达式冗长。
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x 2 x n
记作
x i ( i 1, 2 , n )
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
xi i j' x j'
由 x i ' x ' ' i j j ij 又
j 'k
xk
x i ik x k
ij
'
j 'k
ik
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律

【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章线性空间-50页精选文档

（2）∵ x y z ( x 1 y 1 ) z 1 , , ( x n y n ) z n
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
x ( y z ) ( x 1 ( y 1 z 1 ) , , ( x n ( y n z n ))
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
∴ x + (y + z )= ( x + y )+ z = x + y + z （4）∵ o(0, ,0)V0 x o (x 1 0 , x n 0 )(x1, ,xn)
∴ xox
（5）∵ ()x ()(x 1 , ,xn) (()x 1 , ,()xn)
∴
(x 1 , ,xn) (x 1 ), ,)xn)
第一章线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
+ (a, b)c
abc
乘法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
× (a, b)c
abc
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
所有以x点为起点的矢量按：
u x yu x z(y 1 x 1 , ,y n x n ) (z 1 x 1 , ,z n x n )
(y 1 ( x 1 ) (z 1 x 1 ) ,,(y n x n ) (z n x n ))
u xy (y1x1, ,ynxn) ((y1x1) ,,(ynxn)) F
a, b,xF
（6） (a b ) x a x b x
a, b,xF

张量第五章

第五章张量分析§5.1 张量函数及其导数一、张量函数、同向同性张量函数的定义若一个张量H(标量、矢量、张量)依赖于n 个张量1T 、2T 、……、n T （矢量、张量）而变化，即当1T 、2T 、……、n T 给定时，H可以对应的确定（或者说，在任意坐标系中，H的每个分量都是1T 、2T 、…、n T 的一切分量的函数），则称H 是张量1T 、2T 、……、n T 的张量函数，记作：12H ()n F T T T =、、…、（1）如应力、应变关系 ():F C σεε==kl ij ijkl C σσ=定义：矢量的标是函数()f u ϕ=，如将自变量u 改为 uQ U =∙(Q 为任意正交张量)，函数值保持不变，则称此标量函数为各向同性标量函数。

定义张量X 的旋转量X : 1）若X ϕ=为标量，则 X ϕϕ== （2） 2）若X u =为失量，则 T X u Q U u Q==∙=∙ （3） 3）若X T =为二阶张量，则X T =为T 的正交相似张量 T X TQ T Q ==∙∙ （4） Q 为一任意正交张量（可表示旋转与反射）。

定义：一函数12()n x f X X X = 、、…、，当将自变量12n X X X、、…、改为其旋转量 12n X X X 、、…、时，函数值x 必相应地变为其旋转量 x，即： 12()n x f X X X = 、、…、⇒ 12()nx f X X X=、、…、对任意的Q则的此函数为各向同性函数。

二、张量函数导数的定义，链规则1．有限微分，导数与微分定义标量x 的函数()F x 对于增量z 的有限微分'()j F x z 为'01()lim [()()]j h F x z F x hz F x h→=+- （5）z 是自变量x 的有限量值的增量，与x 的量纲相同，h 是一个无量纲的无穷小量。

对矢量v 的矢量函数w，即()w F v =（6）定义：'01()lim [()()]j h F v u F v hu F v h→=+- （7）'(;)F v u 也是一个矢量，而且有''()()j F v u F v u =∙ （8）'()F v 是一个二阶张量，称为函数()F v 的导数，或写作()dF v dv又 ()()'(;)()'()()F v hu F v hF v u o h hF v u o h +-=+=∙+（9）其中 ()o h ： 0()lim 0h o h h→= （10）令 dv hu = ，取（10）式的主部，称为()F v的微分，它是当自变量v 有微小的增量dv 时，函数F 的微小增量，记作dF ，'()['()]TdF F v dv dv F v =∙=∙ （11）下面给出n 阶张量A 的m 阶张量函数()T A导数的一般定义，01'()lim [()()]j h T A C T A hC T A h→=+-（12）增量C 是与自变量A 同价的n 阶张量，而有限微分'(;)T A C 是与函数()T A同价的m 阶张量。

张量的公式表达

张量（Tensor）是一个数学概念，用于描述具有多维度的量。

在物理学和工程学中，张量经常被用来描述物理量在坐标变换下的性质。

张量的公式表达通常使用指标符号，通过下标来表示张量的不同分量。

具体来说，假设有一个n阶张量A[a,b,c,...]，其中a,b,c,...为指标，取值范围是1到n。

对于每个确定的取值，都可以得到一个标量。

例如，在一维空间中，标量是只有1个分量的张量，可以用一个实数表示；在二维空间中，向量是一个有两个分量的张量，可以用一个矩阵表示；在三维空间中，矩阵是一个有两个指标的张量。

另外，张量的运算包括点乘和叉乘等。

点乘两个向量a和b得到一个标量，其值等于向量a和b的模长之积和它们之间夹角的余弦值的乘积。

叉乘两个向量a和b得到一个向量c，其模长等于向量a和b的模长之积和它们之间夹角的正弦值的乘积，方向垂直于a和b。

在公式表达中，张量的下标可以表示不同的分量，上标表示求和的指标。

例如，在一个二阶张量A[i,j]中，A[i,j]表示第i行第j列的元素，A[i,j]A[j,k]表示将第i行第j列的元素和第j行第k列的元素相乘并求和，即A[i,j]A[j,k]=Σ(A[i,j]*A[j,k])。

以上是张量公式表达的基本介绍，更多细节和具体应用可以参考数学、物理、工程学等相关领域的教材或文献。

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I.2 符号ij δ与rst e
符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是：
⎩⎨⎧=0
1ij δ
时
当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14)
定义表明它对指标i 和j 是对称的，即
ji ij δδ= (I.15)
ij δ的分量集合对应于单位矩阵。

例如，在三维空间中：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100013332
31232221131211δδδδδδ
δδδ (I.16)
利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成
j i ij dx dx ds δ=2 (I.17)
这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。

这样：
i i j j j i ij dx dx dx dx dx dx ds ===δ2
类似地有
ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δ
ki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18)
以及
ik jk ij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19)
所以，ij δ也称为换标符号。

符号rst e 的定义是：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=011
rst
e 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或
)r t )(t s )(s r (2
1
e rst ---=
()3,2,1t ,s ,r = (I.20b) 其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 , l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。

rst e 称为排列符号或置换符号。

它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。

定义表明rst e 对任何两个指标都是反对称的，即：
tsr rts srt rst e e e e -=-=-= (I.21)
当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），rst e 的值不变：
trs str rst e e e == (I.22)
下面举几个常用实例：
1．三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基。

它具有如下重要性质：
（l ）每个基矢量的模为1，即i e ·1=j e
（当i =j 时）（2）不同基矢量互相正交，即i e ·0=j e
（当i ≠j 时）这两个性质可用ij δ统一表示为
i e ·ij j e δ=
(I.23a)
（3）当三个基矢量i e ，j e ，k e
构成右手系（见图I-2）时有
k j i e e e =⨯
构成左手系时有
k j i e e e -=⨯
上两式可用rst e 统一写成
k kij k ijk j i e e e e e e
==⨯ (I.23b)
其中，i ,j ,k 的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。

图I-2
2．两个矢量i i e a a =和j j e b b
=的点积（I.2a ）式可利用（I.23a ）式导出：
a ·()i i e a b
=·()(i j i j j e b a e b =·j j i i ij j i j b a b a b a e ===δ)
3．两个矢量的叉积（或称矢量积）可利用（I.23b ）式导出：
()()()k j i ijk j i j i j j i i e b a e e e b a e b e a b a
)(=⨯=⨯=⨯ (I.24)
其中，i e ，j e ，k e 构成右手系。

若交换叉积顺序，注意到k e ，j e
，i e 为左手系，则有：
()()()b a e b a e e e a b e a e b a b k j i ijk i j i j i i j j
⨯-=-=⨯=⨯=⨯)( （I.25)
叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a 和b
构成的平行四边形面积，方向沿该面
元的法线方向。

4．三个矢量a
，b
，c
的混合积是一个标量，其定义为：
[]a c b a
=,,·b a c b
⨯=⨯·c
若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。

当a ，b ，c
构成右手系时，混合积表
示这三个矢量所构成的平行六面体体积（见图I —3）。

若构成左手系，则为体积的负值。

利用（I.24 ）和（I.23a ）式有
[]a c b a =,,·()m
m
e
a c b
=⨯·()k j i ijk m i k j m ijk i k j ijk c b a e c b a e e c b e ==δ
（I.26)
由此可见符号ij δ和rst e 分别与矢量代数中的点积和叉积有关。

（I.23a , b ）式是常用的基本公式。

5．三阶行列式的展开式为：
23321133122113223123123113322133221133
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ij ---++==（I.27a) 用排列符号可简洁地表示成
t s r rst t s r rst ij a a a e a a a e a 321321== （I.27)
不难验证，当r ，s ，t 为正序排列时可得（I.27a ）的前三项，为逆序排列时则得后三项。

(I.27）
式中第二个符号的含义是：转置（行与列对换）后行列式的值不变。