第四章向量组的线性相关性作业及答案

第四部分 向量组的线性相关性作业

（一）填空题(20分)

1．设()()122,1,0,5,4,2,3,0,αα=-=--()()341,0,1,,1,0,2,1,k αα=-=-则k = 时，1234,,,αααα线性相关。

2．设()()()()12342,1,3,0,1,2,0,2,0,5,3,4,1,3,,0,t αααα=-=-=-=-则t = 时，

1234,,,αααα线性无关。

3．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7αααα====，则该向量组的秩是 。 4．n 维单位向量组12,,

,n e e e 均可由向量组12,,,s ααα线性表出，则向量个数 。

5．已知1

01001

10000

11000011001011A ⎛⎫

⎪

⎪

⎪= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则秩()R A = 。

6．设三元线性方程组(),2AX b R A ==有三个特解123,,ααα,且()1231,1,1αααT

++=，

()321,0,0ααT

-=，则AX b =的通解为 。

7．设()12,1,2,3,,3A αβαβ⎛⎫ ⎪

=== ⎪ ⎪⎝⎭

则()R A = 。

8．向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7αααα====的一个最大无关组是 。

9．若()1234,,,4R αααα=，则向量组123,,ααα线性 。 10．设方程组11112213314421122223324400

a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨

+++=⎩的基础解系是()11121314,,,b b b b T

及

()

21222324,,,b b b b T

，则方程组111122133144211222233244

0b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系是 。

（二）选择题(15分)

1．已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的基础解系，那么基础解系还可以是（ ）

(A) 112233k k k ααα++ (B) 122331,,αααααα+++ (C) 122331,,αααααα--- (D) 112332,,αααααα-+-

2．设矩阵m n A ⨯的秩()R A m n =<，P 为可逆矩阵，下列结论中正确的是（ ） (A) A 的任意m 个列向量线性无关 (B) A 的任意m 阶子式不等于零 (C) ()()R PA R A = (D) 存在1m +个列向量线性无关 3．已知n 维向量组:A 12,,

,s ααα与n 维向量组:B 12,,,t βββ有相同的秩r ，则下列说

法错误的是（ ）

(A) 如果A B ⊆,则A 与B 等价

(B) 当s t =时，A 与B 等价

(C) 当A 可由B 线性表出时，A 与B 等价 (D) 当()1212,,,,,,

,s t R r αααβββ=时，A 与B 等价

4．设矩阵()

ij

n n

A a ⨯=，且||0A =,A 中元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，则齐次线性方程组

0AX =的每一个基础解系中含有（ ）个线性无关的解向量。 (A) 1 (B) i (C) j (D) n

5．已知n 维向量组:A 12,,

,s ααα与n 维向量组:B 1212,,,,,,,s s s s l αααααα+++，若

()(),R A p R B q ==，则下列条件中不能判定A 是B 的最大无关组的是（ ）

(A) p q =，且B 可由A 线性表出 (B) s q =，且A 与B 是等价向量组 (C) p q =，且A 线性无关 (D) p q s == （三）综合题（65分）

1．已知1232340,αααβ+++=其中()()125,8,1,2,2,1,4,3,αα=--=-- ()33,2,5,4,α=--求β。

（5分） 2．设矩阵2111

21121

4462243697

9A --⎛⎫

⎪-

⎪

= ⎪--

⎪-⎝⎭

，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并将其余

向量用最大无关组线性表示出来。（10分） 3．设12,,,n a a a 是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e 能由它们线性表示,

证明12,,

,n a a a 线性无关。（10分）

4．已知三维向量空间3R 的一个基：123,,ααα；33112122

233,22, βααααααβ=++=++

312533ααβα=++（15分）

（1）证明123,,βββ也是3R 的一个基；

（2）求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵；

（3）若向量α在基123,,ααα下的坐标为(1,2,0)-，求α在基123,,βββ下的坐标。 5．设A 为m n ⨯矩阵，证明存在n s ⨯非零矩阵B ，使0AB =的充分必要条件是()R A n <。（10分）

6．λ取何值时，线性方程组123123123(21)(1)1

(2)(1)(2)(21)(1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ

+-++=-⎧⎪

-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎩

有唯一解，无解，无穷

多解？且在有无穷多解时求其通解。（15分）