幂级数在数值计算中的应用

(1)n
L
0x
33! 55!
(2n 1) (2n 1)!
若取前三项之和为近似值, 则误差
r4
1 77!
1 104 35280
达到精度要求, 从而
1 sin x
0 x d x 1 0.05556 0.00167 0.9461
8
作业：P132
1 , 2 , 3, 4
9 9
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内容小结
1. 函数值的近似计算 2. 积分的近似计算
10
思考练习
利用
求
解 先把角度化为弧度
的近似值 , 并估计误差. (弧度)
11
3
1
1 5
2 35
3.0049
4
二.积分的近似计算
例2 计算积分
e1 x2 d x 的近似值，精确到
0
102.
解 e x2 1 ( x2 ) ( x2 )2 ( x2 )3 L
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x )
n0
n!
所以
1 ex2 d x
0Baidu Nhomakorabea
1 0
(1)n
n0
x2n
n!
dx
(1)n
n0 n!(2n 1)
5
欲使误差为 则 n 应满足
rn
1 n!(2n 1)
102
n!(2n 1) 102
n4
取 n 4 , 则所求积分近似值为
1 ex2 dx 1 1 1 1
0
3 52! 73!
6
例3 计算积分
1 sin x d x 的近似值, 精确到 0x
104.
解 由于 lim sin x 1, 故所给积分不是广义积分. x0 x
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间上
连续, 且有幂级数展开式 :
sin x 1 x2 x4 x6 L (1)n x2n L
x
3! 5! 7!
(2n 1)!
两边积分得
7
1 sin x d x 1 1 1 L
2.给定精度,确定项数.
关健: 通过估计余项,确定精度或项数.
2
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数, 从而求出其和.
例1 计算 5 245 的近似值，精确到
104.
解 (1 x)m 1 mx L m(m 1)L (m n 1) xn L ( 1 x 1) n!
教学目标
1. 了解幂级数在函数值的近似计算中的应用. 2. 了解幂级数在积分的近似计算中的应用.
1
一.函数值的近似计算
对于收敛的级数
un u1 u2 L un L =A
n1
则
A u1 u2 L un
误差 rn an1 an2 L .
两类问题:
1.给定项数,求近似值并估计精度;
3
5
245
5
35
2
3(1
2 35
1
)5
1 2 1 4 22 1 4 9 23
3
1
5
35
52
2!
310
53
3!
315
L
因为 r2
3
1 52
4 2!
22 310
14 53
9 3!
23 315
L
1 4 22
8
2
3 52 2! 310 52 39 100000
于是
5
245