2012天津高考数学文科
2012年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．解答：解：===1+i故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．2．（5分）（2012•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题3．（5分）（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80考点：数列的求和；循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．4．（5分）（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5．（5分）（2012•天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0D．y=x3+1，x∈RC．y=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．解答：解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），为偶函数，而f（x）=cos2x在[0，]上单调递减，在[，π]上单调递增，故f（x）=cos2x在（1，]上单调递减，在[，2）上单调递增，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）=，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B．点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．7．（5分）（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，故ω•=kπ，由此求得ω的最小值．解答：解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．8．（5分）（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．解答：解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，故选B．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．考点：绝对值不等式的解法．专题：集合．分析：由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．解答：解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}，∴由|x﹣2|≤5得，﹣5≤x﹣2≤5，∴﹣3≤x≤7，∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题．10．（5分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=1，b=2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：的渐近线方程为y=±x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值解答：解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F（，0）．∴c=，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题12．（5分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S△ABC=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（5分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，2）．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．解答：解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1 或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果解答：解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题16．（13分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin的值．解答：解：（1）△ABC中，由cosA=﹣可得sinA=．再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．（2）由cosA=﹣、sinA=可得cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（13分）（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明AD⊥DC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．（3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通过sin∠PBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解答：（1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2．（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC．在Rt△PCB中，PB==．在Rt△PEB中，sin∠PBE==．所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（14分）（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，证明：T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先借助于错位相减法求出T n的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，解得，所以：a n=3n﹣1，b n=2n．（2）证明：由第一问得：T n=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n；①；2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．由①﹣②得，﹣T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1=﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．即T n﹣8=（3n﹣4）×2n+1．而当n≥2时，a n﹣1b n+1=（3n﹣4）×2n+1．∴T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（14分）（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ 的斜率的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．解答：解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．20．（14分）（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a） a （a，+）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．。
2012年天津市高考数学试卷(文科)教师版
2012 年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8 小题，每题 5 分，共40 分）1．（5 分）（2012?天津） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．1+i D．﹣ 1﹣ i【剖析】进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，获得结果．【解答】解：===1+i应选： C．2．（5 分）（2012?天津）设变量x， y 知足拘束条件，则目标函数 z=3x﹣ 2y 的最小值为（）A．﹣5B．﹣4C．﹣ 2D．3【剖析】先画出线性拘束条件对应的可行域，再将目标函数给予几何意义，数形联合即可得目标函数的最小值【解答】解：画出可行域如图暗影地区：目标函数 z=3x﹣ 2y 可看做 y= x﹣ z，即斜率为，截距为﹣z 的动直线，数形联合可知，当动直线过点 A 时， z 最小由得 A（0，2）∴目标函数 z=3x﹣2y 的最小值为 z=3× 0﹣2×2=﹣4应选： B．3．（5 分）（2012?天津）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，则输出s 的值为（）A．8B．18C．26D．80【剖析】依据框图可求得 S1=2， S2=8，S3=26，履行完后 n 已为 4，故可得答案．【解答】解：由程序框图可知，当 n=1， S=0时， S1=0+31﹣30=2；同理可求 n=2，S1=2 时， S2=8；n=3， S2=8 时， S3=26；履行完后 n 已为 4，故输出的结果为26．应选： C．4．（5 分）（2012?天津）已知 a=21.2，b=20.8，c=2log52，则 a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜ a＜ b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【剖析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵ a=21.2＞2，1=20＜b=20.8＜21=2，c=log54＜ log55=1，∴c＜b＜a．应选： A．．（分）（天津）设2+x﹣1＞0”的（）5 52012?x∈R，则“x＞”是“ 2xA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】求出二次不等式的解，而后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由 2x2+x﹣1＞0，可知 x＜﹣ 1 或 x＞；2所以当“x＞”? “ 2x+x﹣1＞0”；2可是“2x+x﹣ 1＞ 0”推不出“x＞”．2所以“x＞”是“ 2x+x﹣ 1＞ 0”的充足而不用要条件．应选： A．6．（5 分）（2012?天津）以下函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x， x∈R B．y=log2| x| ， x∈ R 且x≠0C．y=，D．y=x3+1，x∈R【剖析】利用函数奇偶性的定义可清除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可清除A，进而可得答案．【解答】解：关于 A，令 y=f（x）=cos2x，则 f（﹣ x）=cos（﹣ 2x）=cos2x=f（x），为偶函数，而 f（ x）=cos2x 在[ 0，] 上单一递减，在 [，π]上单一递加，故 f（ x）=cos2x 在（ 1， ] 上单一递减，在 [ ， 2）上单一递加，故清除 A；关于 B，令 y=f（x） =log2| x| ， x∈ R 且 x≠0，同理可证 f（ x）为偶函数，当 x∈（1，2）时， y=f（x） =log2| x| =log2x，为增函数，故 B 知足题意；关于 C，令 y=f（ x）=，，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可清除C；而 D，为非奇非偶函数，可清除D；应选： B．7．（5 分）（2012?天津）将函数y=sin ωx（此中ω＞ 0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．2【剖析】图象变换后所得图象对应的函数为y=sin ω（x﹣），再由所得图象经过点，可得 sin ω（﹣）=sin（ω ）=0，故ω?π，由此求得ω的最=k小值．【解答】解：将函数 y=sin ωx（此中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为 y=sin ω（ x﹣）．再由所得图象经过点，可得 sin ω（﹣）=sin（ω ）=0，∴ω?=kπ，k ∈z．故ω的最小值是 2，应选： D．8．（5 分）（ 2012?天津）在△ ABC中，∠ A=90°，AB=1，AC=2．设点 P，Q 知足，，λ∈R．若=﹣ 2，则λ=（）A．B．C．D．2【剖析】由题意可得=0，依据=﹣（ 1﹣λ）﹣λ =（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．【解答】解：由题意可得=0，因为=（）?（）=[﹣]?[﹣]=0﹣（ 1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣ 1） 4﹣λ× 1=﹣2，解得λ=，应选： B．二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）9．（5 分）（2012?天津）会合 A={ x∈R|| x﹣2| ≤5} 中的最小整数为﹣3．【剖析】由| x﹣2| ≤5 可解得﹣ 3≤x≤7，进而可得答案．【解答】解：∵ A={ x∈R|| x﹣2| ≤5} ，∴由 | x﹣2| ≤5 得，﹣5≤ x﹣2≤5，∴﹣ 3≤x≤ 7，∴会合 A={ x∈R|| x﹣2| ≤5} 中的最小整数为﹣ 3．故答案为﹣ 3．10．（ 5 分）（2012?天津）一个几何体的三视图以下图（单位：m），则该几何体的体积为 30 m 3．【剖析】经过三视图判断几何体的特点，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为 3 和 4，高为 2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2 和 1，高为 1，棱柱的高为 4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是 6 边形，几何体的体积为：（2×3+）× 4=30（m3）．故答案为： 30．11．（ 5 分）（2012?天津）已知双曲线C1：＞，＞与双曲线C2：有同样的渐近线，且 C1的右焦点为 F（，0）．则 a=1，b= 2．【剖析】双曲线 C1：＞，＞的渐近线方程为 y=± x，右焦点为（ c，0），联合已知即可得，c=，列方程即可解得、b的值=2a【解答】解：∵双曲线 C：（＞，＞）的渐近线方程为±，a 0b 0y=2x ∴ =2∵且 C1的右焦点为 F（，0）．∴c= ，由 a2+b2=c2解得 a=1， b=2故答案为 1，212．（5 分）（2012?天津）设 m，n∈ R，若直线 l：mx+ny﹣1=0 与 x 轴订交于点 A，与 y 轴订交于点 B，且 l 与圆 x2+y2=4 订交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 3 ．【剖析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线 l 被圆截得的弦长与半径，依据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l 的距离，而后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离，二者相等列出关系式，整理后求出 m2+n2的值，再由直线 l 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，由直线 l 的分析式分别令x=0 及 y=0，得出 A 的横坐标及 B 的纵坐标，确立出 A 和 B 的坐标，得出 OA 及OB 的长，依据三角形 AOB为直角三角形，表示出三角形 AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将 m2+n2的值代入，即可求出三角形 AOB面积的最小值．【解答】解：由圆 x2+y2=4 的方程，获得圆心坐标为（0，0），半径 r=2，∴圆心到直线 l 的距离 d==，∴圆心到直线 l：mx+ny﹣1=0 的距离 d==，整理得： m2+n2= ，令直线 l 分析式中 y=0，解得： x=，∴A（，0），即OA=，令 x=0，解得： y= ，∴ B（ 0，），即OB=，∵m2+n2≥2| mn| ，当且仅当 | m| =| n| 时取等，∴ | mn| ≤，又△ AOB为直角三角形，∴ S△ABC≥，当且仅当22时取等，= OA?OB==3| m| =| n| =则△ AOB面积的最小值为 3．故答案为： 3．13．（ 5 分）（2012?天津）如图，已知AB 和 AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与 AC 的延伸线订交于点D，过点 C 作BD 的平行线与圆订交于点E，与AB 订交于点 F， AF=3， FB=1，EF= ，则线段CD的长为．【剖析】由订交弦定理求出FC，由相像比求出 BD，设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理， BD2=CD?AD求解．【解答】解：由订交弦定理获得AF?FB=EF?FC，即 3×1= ×FC，FC=2，在△ ABD 中 AF：AB=FC：BD，即 3： 4=2： BD， BD= ，设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理， BD2=CD?AD，即 x?4x=（）2，x=故答案为：．（分）（天津）已知函数y=的图象与函数 y=kx的图象恰有两个14 52012?交点，则实数 k 的取值范围是（ 0， 1）∪（ 1，2）．，＞【剖析】函数 y===，＜，以下图，可得，＜直线 y=kx 与函数 y=的图象订交于两点时，直线的斜率k 的取值范围．，＞【解答】解：函数 y===，＜，，＜以下图：故当一次函数 y=kx 的斜率 k 知足 0＜k＜1 或 1＜k＜2 时，直线 y=kx 与函数 y=的图象订交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15．（ 13 分）（2012?天津）某地域有小学21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校正学生进行视力检查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；（2）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据剖析．（ⅰ）列出全部可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率．【剖析】（1）利用分层抽样的意义，先确立抽样比，在确立每层中抽取的学校数量；（ 2）（i）从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校，全部结果共有=15 种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本领件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【解答】解：（I）抽样比为= ，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量分别为21×，×，=314=27× =1（II）（i）在抽取到的 6 所学校中， 3 所小学分别记为 1、2、 3，两所中学分别记为 a、 b，大学记为 A则抽取 2 所学校的全部可能结果为{ 1，2} ，{ 1，3} ，{ 1，a} ，{ 1，b} ，{ 1，A} ，{ 2，3} ，{ 2，a} ，{ 2，b} ，{ 2，A} ，{ 3，a} ，{ 3，b} ，{ 3，A} ，{ a，b} ，{ a，A} ， { b，A} ，共 15 种（ii）设 B={ 抽取的 2 所学校均为小学 } ，事件 B 的全部可能结果为 { 1，2} ， { 1，3} ，{ 2，3} 共 3 种，∴P（B）= =16．（13 分）（2012?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知 a=2，c=，cosA=﹣．（1）求 sinC 和 b 的值；（2）求 cos（2A+ ）的值．【剖析】（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出 sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得 cos2A 的值，由此求得 sin2A，再由两角和的余弦公式求出 cos（2A+ ）=cos2Acos ﹣sin2Asin 的值．cosA=﹣可得sinA=．【解答】解：（1）△ ABC中，由再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由 a2=b2+c2﹣ 2bc?cosA 可得 b2+b﹣2=0，解得 b=1．（ 2）由cosA=﹣、 sinA=可得2cos2A=2cosA﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故 cos（2A+ ）=cos2Acos ﹣sin2Asin =．17．（ 13 分）（2012?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD是矩形， AD ⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线 PA与 BC所成角的正切值；（2）证明：平面 PDC⊥平面 ABCD；（3）求直线 PB 与平面 ABCD所成角的正弦值．【剖析】（1）判断∠ PAD为异面直线 PA与 BC所成角，在 Rt△PDA中，求异面直线 PA与 BC所成角的正切值；（2）说明 AD⊥ DC，经过 AD⊥PD，CD∩ PD=D，证明 AD⊥平面 PDC，而后证明平面 PDC⊥平面 ABCD．（3）在平面 PDC中，过点 P 作 PE⊥CD于 E，连结 EB．说明∠ PBE为直线 PB 与平面 ABCD所成角，求出 PE，PB，在 Rt△ PEB中，经过 sin∠PBE= ，求直线PB 与平面 ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）解：如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，因为底面 ABCD是矩形，所以 AD=BC，且 AD∥BC，又因为 AD⊥PD，故∠ PAD为异面直线 PA与 BC所成角，在 Rt△PDA中，=2，所以异面直线 PA与 BC所成角的正切值为2．（2）证明：因为底面 ABCD是矩形，故 AD⊥DC，因为 AD⊥PD，CD∩ PD=D，所以 AD⊥平面 PDC，而 AD? 平面 ABCD，所以平面 PDC⊥平面 ABCD．（3）解：在平面 PDC中，过点 P 作 PE⊥CD于 E，连结EB．因为平面 PDC⊥平面 ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故 PE⊥平面 ABCD．由此得∠PBE为直线PB 与平面ABCD所成角，在△ PDC中，因为 PD=CD=2， PC=2 ，可得∠ PCD=30°，在 Rt△PEC中， PE=PCsin30°= ．由 AD∥BC， AD⊥平面 PDC，得 BC⊥平面 PDC，所以 BC⊥PC．在 Rt△PCB中， PB==．在 Rt△PEB中， sin∠PBE= = ．所以直 PB 与平面 ABCD所成角的正弦．18．（ 14 分）（ 2012?天津）已知 { a n} 是等差数列，其前n 和 S n，{ b n} 是等比数列，且 a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10．（1）求数列 { a n} 与{ b n} 的通公式；（2） T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n， n∈ N*，明： T n 8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．【剖析】（1）直接出首和公差，依据条件求出首和公差，即可求出通．（2）先借助于位相减法求出 T n的表达式；再代入所要明的的两，即可获得建立．【解答】解：（1）等差数列的公差d，等比数列的公比q，由 a1=b1=2，得 a4=2+3d， b4=2q3， s4=8+6d，由 a4+b4， 4 b4，得方程，=27 S=10解得，所以： a n=3n 1， b n=2n．（2）明：由第一得： T n=2×2+5×22 +8×23+⋯+（ 3n 1）× 2n；①；2T n=2× 22+5×23 +⋯+（3n 4）× 2n+（3n 1）× 2n+1，②．由① ②得， T n =2×2+3×22+3×23+⋯+3× 2n（ 3n 1）× 2n+1=（ 3n 1）× 2n+12=﹣（ 3n ﹣4）× 2n +1﹣ 8．即 T n ﹣8=（3n ﹣ 4）× 2n +1． 而当 n ≥2 时， a ﹣+（﹣）×2n +1．n 1b n 1= 3n 4∴ T n ﹣8=a n ﹣ 1b n +1（ n ∈ N * ，n ≥2）．19．（14 分）（ 2012?天津）已知椭圆＞ ＞，点 （，）在P椭圆上．（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）设 A 为椭圆的左极点， O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且知足 | AQ| =| AO| ，求直线 OQ 的斜率的值．【剖析】（1）依据点P （， ）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（ 2）设直线 OQ 的斜率为 k ，则其方程为 y=kx ，设点 Q 的坐标为（ x 0，y 0），与椭圆方程联立，，依据| AQ| =| AO| ， A （﹣ a ，0）， y 0=kx 0，可求，由此可求直线 OQ 的斜率的值．【解答】 解：（1）因为点 P （，）在椭圆上，所以∴∴∴（ 2）设直线 OQ 的斜率为，则其方程为 y=kx设点 Q 的坐标为（ x 0 ， y 0 ），由 条件 得，消元并整理可得①∵ | AQ| =| AO| ，A （﹣ a ， 0），y 0=kx 0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣ 22k2﹣15=0∴k2=5∴20．（ 14 分）（2012?天津）已知函数 f（x）= x3+x2﹣ ax﹣a，x∈ R，此中 a＞0．（1）求函数 f（ x）的单一区间；（2）若函数 f（ x）在区间（﹣ 2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；（3）当 a=1 时，设函数 f（ x）在区间 [ t ，t+3] 上的最大值为 M（ t），最小值为 m（t）．记 g（t ）=M（t ）﹣ m（ t），求函数 g（t ）在区间 [ ﹣ 3，﹣ 1] 上的最小值．【剖析】（1）求导函数，令 f ′（x）＞ 0，可得函数的递加区间；令f ′（ x）＜ 0，可得单一递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单一递加，在（﹣1，0）内单一递减，进而函数在（﹣ 2，0）内恰有两个零点，由此可求 a 的取值范围；（ 3） a=1 时， f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单一递增，在（﹣ 1， 1）上单一递减，在（ 1，2）上单一递加，再进行分类议论：①当 t ∈ [ ﹣ 3，﹣ 2] 时， t+3∈[ 0，1] ，﹣1∈[ t，t+3] ，f（x）在 [ t，﹣ 1] 上单调递加，在[ ﹣1，t +3] 上单一递减，所以函数在 [ t ，t+3] 上的最大值为M（t）=f（﹣ 1） =﹣，而最小值 m（t ）为 f（t ）与 f（ t+3）中的较小者，进而可得g（ t）在 [ ﹣ 3，﹣2] 上的最小值；②当 t∈ [ ﹣2，﹣1] 时，t+3∈[ 1，2] ，﹣1，1∈[ t ，t+3] ，比较 f （﹣ 1），f （1）， f（t ）， f（t +3）的大小，进而可确立函数 g（ t）在区间 [ ﹣3，﹣ 1] 上的最小值．【解答】解：（ 1）求导函数可得 f ′（x） =（ x+1）（ x﹣a），令 f ′（ x）=0，可得 x1=﹣1，x2=a＞0，当 x 变化时， f ′（x）， f（x）的变化状况以下表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣ 1， a）a（ a， +）f ′（x）+0﹣0+f （x）递加极大值递减极小值递加故函数的递加区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单一递减区间为（﹣1， a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单一递加，在（﹣1，0）内单一递减，进而函数在（﹣ 2，0）内恰有两个零点，＜＜∴＞，∴＞，∴ 0＜a＜＜＜∴ a 的取值范围为，；（ 3） a=1 时， f（x）=，由（）知，函数在（﹣3，﹣）上单一递11增，在（﹣ 1， 1）上单一递减，在（ 1，2）上单一递加①当 t ∈[ ﹣3，﹣ 2] 时， t+3∈[ 0，1] ，﹣ 1∈ [ t ，t+3] ，f（ x）在 [ t ，﹣ 1] 上单一递加，在 [ ﹣1，t+3] 上单一递减所以函数在 [ t，t+3] 上的最大值为 M （t ）=f（﹣ 1）=﹣，而最小值 m （t）为 f （t ）与 f（t+3）中的较小者由 f（ t+3）﹣ f（ t）=3（t+1）（ t+2）知，当 t∈ [ ﹣ 3，﹣ 2] 时， f（t ）≤ f （t+3），故 m（t） =f（t ），所以 g（t ）=f（﹣ 1）﹣ f（ t ）而 f（ t ）在 [ ﹣ 3，﹣ 2] 上单一递加，所以f（ t）≤ f（﹣ 2）=﹣，所以 g（ t）在[ ﹣3，﹣ 2] 上的最小值为②当 t ∈[ ﹣2，﹣ 1] 时， t+3∈[ 1，2] ，﹣ 1，1∈[ t，t+3] ，下边比较 f（﹣ 1），f（1），f（ t），f（ t+3）的大小．由 f（ x）在 [ ﹣ 2，﹣ 1] ， [ 1，2] 上单一递加，有f（﹣ 2）≤ f（t ）≤ f（﹣ 1），f（ 1）≤ f（ t+3）≤ f（2）∵ f（1）=f（﹣ 2）=﹣，f（﹣ 1）=f（2）=﹣∴M（t） =f（﹣ 1）=﹣，m（ t） =f（1）=﹣∴g（ t）=M（t ）﹣ m（ t） =综上，函数 g（t ）在区间 [ ﹣ 3，﹣ 1] 上的最小值为．。
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
2012年高考试题：文科数学(全国卷)——含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。
（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。
2012年高考数学天津文解析版
2012年天津高考数学（文）一．选择题1.【答案】C.【命题透析】本题考查了复数的四则运算.以商的形式给出，意在考查考生对复数的乘除法的基本运算能力.【思路点拨】解题的基本思路是复数分母的实数化，即给分式上下同乘以分母的共轭复数，并化简即可..1)4)(4()4)(35(435i i i i i i i +=+-++=-+故正确答案为C ，在运算过程中要注意正负符号与12-=i ，否则会出现选A 、B 、D 项的错误答案.2．【答案】B.【命题透析】本题考查了线性规则的最优解.意在考查考生的数形结合的解题能力. 【思路点拨】经解可行域对应的三交点坐标分别为（1，0），（1，25），（0，2），分别代入目标函数得4,2,3--=z ，故y x z 23-=的最小值为-4.所以正确答案为B.A 、C 、D 项是将目标函数取最值的位置选错了.【技巧点拨】因最小值一般取之线与线的交点处，故先求线与线的三个交点，再代入到目标函数中，最后判断其最小者即为所求答案.3．【答案】C.【命题透析】本题考查了循环结构的程序框图，意在考查考生的识图，析图，用图的能力. 【思路点拨】由题可知进行如下的过程：2,2==n S ；3,8==n S ；4,26==n S ；，4≥n 成立，∴循环结束，则输出26=S ，故正确答案为C ；而D 项是把控制次数量误认为是0=n ，多循环一次；A ，B 项是把累加量没累加而出错.4．【答案】A.【命题透析】本题考查了对数函数与指数函数，以及数值的大小排序问题，考查考生分析与处理问题的能力.【思路点拨】b a ,用指数函数的单调性比较大小，即8.08.02.12122-⎪⎭⎫ ⎝⎛=> ，b a >∴，故排除B ；c b ,用中介值比较大小，即14log ,122158.08.0<>=⎪⎭⎫⎝⎛- ，c b >∴，故排除C 、D ，所以正确答案为A.5．【答案】A.【命题透析】本题考查了充分必要条件.以不等式为载体，意在考查考生对基础知识的理解及基本技能的掌握.【思路点拨】先解出不等式的解集， 再以集合与充分必要条件的关系（即小充分大必要）为原则确定答案.因为0122>-+x x 的解集为1-<x 或21>x ，所以由21>x 可推得0122>-+x x 成立，故充分性成立，故排除B 、D 项，而由0122>-+x x 不一定推出21>x ，故必要性不成立，排除C 项，所以正确答案为A. 【总结归纳】此类问题的解答分两步骤：一判断充分性，二判断必要性，要明确题中哪个作条件，哪个做结论，若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的心要条件.6．【答案】B【命题透析】本题考查了各类函数的奇偶性与单调性及函数的图象，意在考查考生对基本知识的掌握与基本方法运用能力. 【思路点拨】因为)2,1(π内是减函数，)2,2(π内是增函数，所以A 项错误；因为)(2)(x f e e x f xx -=-=--，所以C 项错误；因为13+=x y 即不是偶函数又不是奇函数，所以D 项错误，所以正确答案为B.7．【答案】D【命题透析】本题考查了三角函数的图象变换及求函数的值、参数的最小值.意在考查考生的综合思维能力.【思路点拨】先以平移来得函数的表达式，代点，求对应角，得ω用k 表示的表达式，再由k 确定ω的最小值.平移后的函数表达式为)),4(sin()(πω-=x x f 将点坐标代入得k 2=ω，Z k ∈>,0ω ，2min =∴ω故正确答案为D.而B 项是因向右平移，给自变量加4π而错；A 、C 项是因把4π加减给ωπ而出错. 8． 【答案】B【命题透析】本题考查了向量的数量积、向量的基本定理.命题以求参数的形式给出，意在考查考生的方程思想的掌握，逆向思维的解题能力.【思路点拨】先用向量的基本定理将,用,分解，然后以2-=⋅，列关于参数λ的方程，解即之即可.因为AB AC AB AQ BQ --=-=)1(λ，AC AB AC AP CP -=-=λ，且2-=⋅CP BQ ，2,1==AC AB ，所以得023=-λ，解得32=λ.故正确答案为B. 二．填空题 9．【答案】3-【命题透析】本题考查了集合的概念、含有绝对值的不等式的解法，求最小整数值.意在考查考生对基本知识点的综合处理能力.【思路点拨】先求不等式的解集，后从解集中确定最小整数值.不等式的解集为73≤≤-x ，所以x 的最小整数为-3，则集合中的最小整数为-3.10．【答案】30【命题透析】本题考查了三视图，空间几何体的体积.意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.【思路点拨】先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体下面是柱体，上面放一棱台体，其体积为30)141242(21243=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯. 11．【答案】1，2 【命题透析】本题考查了双曲线的方程与性质，意在考查学生的方程思想下解题的基本能力. 【思路点拨】由共渐近线可得2=ab，由焦点为得522=+b a ，解得2,1==b a . 12．【答案】3【命题透析】本题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，三角形的面积，.意在考查考生基础知识的掌握，综合运算的能力. 【思路点拨】先由直线与圆相交弦长为2，得3122=+n m ，即得3122=+n m ，所以61≤mn ，再由直线与轴的交点得三角形的面积为mnS 121⋅=，当61=mn ，面积取得最小值3.13.【答案】34 【命题透析】本题考查了平面几何知识，以圆为载体，涉及到圆的切线定理，相交弦定理，相似三角形等知识，考查考生的综合思维能力与运算能力.【思路点拨】由相交弦定理得FC EF FB AF ⨯=⨯，得2=FC ，其次由AFC ABD ∆∆相似于得38=⨯=AF CF AB BD ，DC DA 4=，再由切线定理得9642=⨯=DC DA BD ，最后求得34=DC .14．【答案】（0，1）或（1，2）【命题透析】本题考查了函数的图象，以两图象相交于两点为载体，求实数k 的取值范围，意在考杳考生的数形结合思想与综合分析问题的能力.【思路点拨】先简化函数为⎩⎨⎧>+<+-=,1,11,1x x x x y ，再在同一直角坐标系下画出两函数的图象，（略），在1>x 时，有两交点的实数k 的取值范围为（1，2），当1<x 时，有两交点的实数k 的取值范围为，所以实数实数k 的取值范围为（0，1）或（1，2）. 【技巧点拨】画图寻找两图象有两交点的位置是解题的关键，其次以平行线为依据或以个别特殊点对就的斜率值作为解题的基本点. 三．解答题15．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】概率的应用题特点是表述多，要能从中提取考查的数学问题，准确破解命题者的意图，方能快速解题，而统计与概率的结合是文科的一大特点，其所求的概率问题一般需用列举法加以解答.16．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】解三角中，经常有正弦、余弦定理化边为角，或是化角为边的解题过程，具体选择要依题情而确定，但用正弦定理一般有个基本要求，就是式子的两边是关于边c b a ,,的齐次式，这时直接把边换成对应角的正弦即可，（2）解三角时，需要挖掘题三角的一些隐含条件，这些条件往往是解题的关键点．17.【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】立几解答题，一般在传统与向量法中找平衡点.在传统证明线面位置关系时，需要明确要证什么，得需证什么的思维线索；直线与平面所成角，从传统上解需找角、证角、算角，而向量法首先建系，然后写相关向量的坐标，最后进行代数解答，思维单一，公式化强，但运算易错.考生一般遵循先传统后向量的方法选择，也就是在传统法难做下去时，不防换用向量法.18．【命题透析】【思路点拨】【考场雷区】一等差数列与一等比数列的积数列求和，一般用到错位相减法，在两边同乘以等比的公比后，两式的相减上易出现错误，经常出现于不知如何相减，保留项弄丢，正负号弄错，需考生仔细、认真对待.19．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】求离心率的方法有：一是求c a ,的值，二是求关于c b a ,,的齐次方程；求参数的值，一般以寻找关于参数的等式关系，有时需要探挖试题条件，方可得到等式关系.同时解析几何的主观型题强调“设而不求”的思想与“多思少算”的原则.20．【命题透析】【思路点拨】【思维拓展】函数与导数的综合作为高考的重头戏，多以能力为立意，计算为基础，主要考查函数的单调性、切线、极（最）值、零点分布、参数（值）范围、不等式恒成立证明等知识，此类问题解答时，运用导数这把有利工具，探索函数的有关性质，突破解题思维防线．函数中引参变量是命题的焦点，使得试题增加了宽度与深度，通常需对参变量进行分类讨论．。
2012年高考文科数学天津卷
▪棱柱的体积公式 V Sh . 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.
其中 S 表示圆锥的底面面积, h 表示圆锥的高.
题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
5 3i 1. i 是虚数单位,复数 4i
A. 1 i C. 1 i B. 1 i D. 1 i
-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
绝密★启用前
3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 A. 8 C. 26 B. 18 D. 80
17.（本小题满分 13 分） 如图 , 在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 是矩形 , AD PD , BC 1 , PC 2 3 ,
4. 已知 a 21.2 , b ( )0.8 , c 2log5 2 ,则 a,b,c 的大小关系为 A. c b a C. b a c 5. 设 x R ,则“ x B. c a b D. b c a
1 2
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. （ ） 2. 本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
x2 y 2 4 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点,则 △AOB 面积的最小值为_________.
13. 如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与
2012年天津高考试题(文数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @ ）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh[来源:] 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
[来源:学科网]一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C（2） 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223z x y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B.【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C.【答案】C（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.【答案】A（5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ∈R（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y=2xxe e --，x ∈R（D ） y=x3+1，x ∈R【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(s i n =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.【答案】D（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ∈R 。
2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数53i4i+=-( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i2．设变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．33．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为()A ．8B ．18C ．26D ．80 4．已知a ＝21.2，0.81()2b -=，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 5．设x ∈R ，则“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．e e 2x xy --=，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A ．13 B ．1 C ．53D ．2 8．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=-，则λ＝( )A ．13B ．23C ．43D ．2第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为__________．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知双曲线C 1：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：221416x y -=有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F 0)，则a ＝__________，b ＝__________．12．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，c =cos 4A =． (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC =1，PC =PD =CD =2．(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．19．已知椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0)，点P ，2)在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．20．已知函数f (x )＝13x 3＋12a -x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间［t ，t ＋3］上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值．1． C 2253i (53i)(4i)205i 12i 3i 1717i=1i 4i (4i)(4i)16i 17+++++++===+--+-． 2． B 由约束条件可得可行域：对于目标函数z =3x －2y ， 可化为3122y x z =－， 要使z 取最小值，可知过A 点时取得． 由220,240,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得0,2,x y =⎧⎨=⎩即A(0,2)，∴z =3×0－2×2=－4．3． C n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2； n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3； n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4； 4≥4，输出S ＝26． 4． A a ＝21.2，b ＝(12)－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1． ∴c ＜b ＜a ．5． A ∵2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或12x >， ∴“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件． 6． B 对于A 项，y ＝cos2x 是偶函数，但在区间(1，π2)内是减函数，在区间(π2，2)内是增函数，不满足题意．对于B 项，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C 项，()e e e e ()()22x x x xf x f x -------===-， ∴e e 2x xy --=是奇函数，不满足题意．对于D 项，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 7． D f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y =sin ［ω(x －π4)］． 又所得图象过点(3π4,0)， ∴3ππsin ()044ω=［－］． ∴πsin 02ω=． ∴ππ2k ω=(k ∈Z )． ∴ω=2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2． 8． B 设AB = a ，AC =b ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0．()()BQ CP AQ AB AP AC ⋅=-⋅-＝［(1－λ)b －a ］·(λa －b )＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴23λ=． 9．答案：－3解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3． 10．答案：30解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．∴几何体的体积V ＝V 棱柱＋V 长方体＝(12)12+⨯×4＋4×3×2＝6＋24＝30(m 3)． 11．答案：1 2解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴2ba=．又C 1的右焦点为F 0)，∴c =a 2＋b 2＝5．∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2． 12．答案：3解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2，=，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16． l 与x 轴交点A (1m，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴111111||||6322||2AOB S m n mn ∆=⋅=⋅≥⨯=． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =．14．答案：(0,1)∪(1,2)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩ 函数y =kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k ＜1或1＜k ＜k OC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜2．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以31()155P B ==．16．解：(1)在△ABC 中，由cos 4A =-，可得sin 4A =．又由sin sin a c A C =及a ＝2，c =sin 4C =． 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0． 因为b ＞0，故解得b ＝1．所以sin C =b ＝1．(2)由cos A =，sin A =，得cos2A ＝2cos 2A －1＝34-，sin2A ＝2sin A cos A ＝所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3．17．解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD =BC 且AD∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan 2PDPAD AD∠==． 所以，异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2．(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故A D ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB ．由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC =∠PCD ＝30°．在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ， 因此BC ⊥PC ．在Rt △PCB 中，PB ==在Rt △PEB 中，sin PE PBE PB ∠==所以直线PB 与平面ABCD 18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2证明：由(1)得 T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1．② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1． 所以，T n －8＝a n －1b n ＋，n ∈N *，n ＞2．19．解：(1)因为点P a ，2a )在椭圆上，故2222152a a ab +=，可得2258b a =．于是222222318a b b e a a -==-=，所以椭圆的离心率e =． (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故0221a x k -=+，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·22a b＋4． 由(1)知2285a b =，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5．所以直线OQ的斜率k =20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0． 当． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当(2)0,(1)0,(0)0,f f f -<⎧⎪->⎨⎪<⎩解得0＜a ＜13．所以，a 的取值范围是(0，13)． (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1．由(1)知f (x )在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．①当t ∈［－3，－2］时，t ＋3∈［0,1］，－1∈［t ，t ＋3］，f (x )在［t ，－1］上单调递增，在［－1，t ＋3］上单调递减．因此，f (x )在［t ，t ＋3］上的最大值M (t )＝f (－1)＝13-，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈［－3，－2］时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在［－3，－2］上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝53-，所以g (t )在［－3，－2］上的最小值为154(2)()333g -=---=． ②当t ∈［－2，－1］时，t ＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t ，t ＋3］．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝53-，f (－1)＝f (2)＝13-，从而M (t )＝f (－1)＝13-，m (t )＝f (1)＝53-． 所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43．综上，函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值为43．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文数(天津卷)word版(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。
有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下：零点存在定理（小题）——2009年、2010年线线垂直——2007年错位相减法——2007年，解析几何之斜率问题（大题）。
2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。
而解答题18题是数列中极为传统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。
3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。
4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。
5.函数大题难度与去年基本持平。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh其中S表示圆锥的底面面积，H表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2012年天津市高考压轴卷 文科数学试题
2012年天津市高考压轴卷文科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．第I 卷 (选择题共40分)一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1、在复平面内，复数2121i (i )i+++对应的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、已知变量x ，y 满足约束条件20170x y ,x ,x y .-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 A 、[3，6] B 、(-∞,95][6，+∞) C 、(-∞，3][6，+∞) D 、[95,6] 3、阅读程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A 、i>5？B 、i>6？C 、i>7？D 、i>8？4、已知条件12p :|x |+>，条件q :|x|a >，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A 、0≤a≤lB 、1≤a≤3C 、 a≤1D 、a≥35、下列大小关系正确的是A 、30440433..log <<B 、30443043.log .<<C 、30440433..log <<D 、04343304.log .<<6、已知函数002f (x )Asin(x )(x R,A ,,||)πωϕωϕ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则的解析式是A 、226f (x )sin(x )(x R )ππ=+∈ B 、26f (x )sin(x )(x R )ππ=+∈C 、223f (x )sin(x )(x R )ππ=+∈ D 、23f (x )sin(x )(x R )ππ=+∈7、设x 、a 1、a 2、y 成等差数列，x 、b 1、b 2、y 成等比数列，则21212(a a )b b +的取值范围是 A 、[4，+∞) B 、（0][4,+,-∞∞）C 、[0，4] D 、(4)[4,,-∞-+∞)8、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e 的取值范围是A 、（13，+∞）B 、（15，+∞）C 、（19，+∞） D 、（0，+∞） 第II 卷 （非选择题 共110分)二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将．答案填写在后面的答题卡上．．．．．．．．．．．．． 9、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为 ▲ 辆．10、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B 、D 形成三棱锥B —ACD ，则其侧视图的面积为 ▲ ．11、若直线22000ax by (a ,b )-+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的线段长为4，则11a b+的最小值为 ▲ ． 12、已知如图，PA 切o 于A ，PCB 为o 的割线，OM ⊥BC ，交BC 于D ，交o 于M ，AM 交BC 于N ，已知PC=3，BC=4，则PN= ▲． 13、已知集合1{2}2P x |x =≤≤，函数2222y log (ax x )=-+的定义域为Q ，若P Q =∅，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14、如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x轴、y 轴正半轴上移动，则OB OC 的最大值是 ▲ 。
2012年高考数学全国卷一文数(word版,免费)
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修加选修Ⅰ）第Ⅰ卷一． 选择题(1) 已知集合A={x ︱x 是平行四边形}，B={x ︱x 是矩形}，C={x ︱x 是正方形}，D{x ︱x是菱形}，则(A)B A ⊆ （B ）B C ⊆ (C)C D ⊆ (D) D A ⊆(2) 函数y=1+x (x ≥-1)的反函数为(A)()012≥-=x x y （B ）()112≥-=x x y (C) ()012≥+=x x y (D) ()112≥+=x x y(3) 若函数()[]()πϕϕ2,03sin∈+=x x f 是偶函数，则ϕ= (A)2π （B ）32π (C) 23π (D) 35π （4）已知α为第二象限角， αsin =53，则α2sin = (A)2524- （B ）2512- (C) 2512 (D) 2524 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为(A) 1121622=+y x （B ）181222=+y x (C) 14822=+y x (D) 141222=+y x （6）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1=1,S n =2a n+1,则S n =(A) 12-n （B ）123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n (C) 132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n (D) 121-n（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A 240种B 360种 C480种 D720种（8）已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=2，CC 1=22,E 为CC 1 的中点，则直线AC 1 与平面BED 的距离为(A) 2 （B ）3 (C) 2 (D) 1（9）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若,,b CA a CB ==a ·b =0，|a |=1，|b |=2，则=AD (A)b a 3131- （B ）b a 3232- (C) b a 5353- (D) b a 5454-（10）已知F1、F2为双曲线 C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点p 在c 上，|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2 =(A) 41 （B ）53 (C) 43 (D) 54 （11）已知x=ln π，y=log 52 ,z=21-e ,则(A) x<y<z （B ）z<x<y (C) z<y<x (D) y<z<x(12) 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE=BF=31,动点p 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p 第一次碰到E 时，p 与正方形的边碰撞的次数为A 8B 6C 4D 3第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中2x 的系数为____________. (14) 若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-,0330301y x y x y x 则z=3x-y 的最小值为_____________.(15)当函数()π20cos 3sin <≤-=x x x y 取得最大值时，x =_____________.(16)一直正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，那么异面直线AE 与F D 1所成角的余弦值为____________.三． 解答题：本大题共6小题，共70分。
2012年天津高考文科数学试题word版含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=1Sh3其中S表示圆锥的底面面积，H表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数534ii +-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i2x+y-2≥0,（2） 设变量x,y 满足约束条件 x-2y+4≥0,则目标函数z=3x-2y的最小值为x-1≤0,（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3（A ）13 （B ）1 C ）53（D ）2 （8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ ，AQ =(1-λ)AC，λ ∈R 。
若BQ∙CP =-2，则λ= （A ）13 （B ）23 C ）43 （D ）2第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .轴于点F ,3AF =,1FB =,2EF =,则线段CD 的长为 .（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
2012年高考试卷文科数学（天津卷）试题及答案（精美）
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷注意事项：注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积，表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1） i 是虚数单位，复数534i i+-= （A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i 【解析】复数i i i i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C （2） 设变量x,y 满足约束条件ïîïíì£-³+-³-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3 【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223zx y -=，由图象可知当直线223zx y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B. 【答案】B （3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80 【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C. 【答案】C （4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a 【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A. 【答案】A （5） 设x ÎR ，则“x>12”是“2x 2+x-+x-1>0”1>0”的（A ） 充分而不必要条件充分而不必要条件（B ） 必要而不充分条件必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A. 【答案】A （6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ÎR （B ） y=log 2|x|，x ÎR 且x≠0（C ） y=2e e -，x ÎR （D ） y=x3+1，x ÎR 【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数xxy22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B （7） 将函数f(x)=sin x w （其中w >0）的图像向右平移4p个单位长度，所得图像经过点（34p ，0），则w 的最小值是的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53 （D ）2 【解析】函数向右平移4p 得到函数)4sin()4(sin )4()(wp w p w p -=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(p ，所以0)443(sin =-p p w ，即,2)443(p wp p p w k ==-所以Z k k Î=,2w ,所以w 的最小值为2，选D. 【答案】D （8） 在△ABC 中，Ð A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB l ，AQ =(1-l )AC，lÎR.若BQ·CP=-2，则l = （A ）13（B ）23C ）43（D ）2 【解析】如图，设c AC b AB ==, ， 则0,2,1=·==c b c b ，又c b AQ BA BQ )1(l -+-=+=，b c AP CA CP l +-=+=，由2-=·CP BQ 得2)1(4)1()(])1([22-=--=--=+-·-+-l l l l l l b c b c c b ，即32,23==l l ，选B. 【答案】B 第Ⅱ卷注意事项：注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题，共110分. 二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分. （9）集合{}|25A x R x =Î-£中最小整数位中最小整数位 . 【解析】3-不等式52£-x ，即525£-£-x ，73££-x ，所以集合}73{££-=x x A ，所以最小的整数为3-. 【答案】3-（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积则该几何体的体积3m. 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体.长方体的体积为24243=´´，五棱柱的体积是6412)21(==´´´´+，所以几何体的总体积为30. 【答案】30 （11）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b y a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为(5,0)F ,则a = b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x ab y±=，所以有2=a b ，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a . 【答案】1，2 （12）设,m n R Î,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB D 面积的最小值为面积的最小值为 . 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1(),1,0(mB n A ，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足3141222=-=-=r d ，所以3=d ，即圆心到直线的距离3122=+-=nm d ，所以3122=+n m .三角形的面积为mn n m S 211121=×=，又312122=+³=n m mn S ，当且仅当61==n m 时取等号，所以最小值为3. 【答案】3 （13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为的长为 . 连结1A Ð=Ð\，又∠B=∠B ，\AF AC 421x -围是围是 . )1)(1(12+--x x x 112-x -112x -12x 必须在蓝色或黄色区域内，如图2<<k ，当经过蓝色区域时，k 满足2 2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2. 所成角的正切值；（I）求异面直线P A与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. 分）（18）（本题满分13分）已知｛｝是等差数列，其前n项和为n S，｛｝是等比数列，且==2,2744=+b a ,-=10 （I ）求数列｛｝与｛｝的通项公式；｝的通项公式；（II ）记=+，（n,n>2）. （19）（本小题满分14分）分） 已知椭圆（a>b>0）,点P （,）在椭圆上. （I ）求椭圆的离心率. （II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值. （20）（本小题满分14分）分） 已知函数a ax x ax x f ---+=232131)(，x 其中a>0. （I ）求函数)(x f 的单调区间；的单调区间；（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；的取值范围；（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值. 。
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（10）圆锥曲线一、选择题：7、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ), 交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率是 A. 5 B. 2C. 3D. 2【答案】D6．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x轴，则双曲线的离心率为（ A ）．2221,(0)x y a a-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( B )A C ．2 D ．37．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科)已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A ．3B ．6C ．2D ．36．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)抛物线28y x =的焦点到双曲线221124x y -=的渐近线的距离为 （ A ）A ．1B C D 8．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试理科)已知O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为（ C ）恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ,使得||||MP MQ =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.19、解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：221b b =⇒=，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：2222b c a b c =⇒=+=；故椭圆的方程为：2212x y +=……………4分（Ⅱ）（1）若l 与x 轴重合时，显然M 与原点重合，0m =；（2）若直线l 的斜率0k ≠，则可设:(1)l y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y 则： 22222(1)2(21)20220y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩所以化简得：2222(12)4220k x k x k +-+-=；2122412k x x k +=⇒+PQ 的中点横坐标为：22212k k +，代入:(1)l y k x =-可得： PQ 的中点为N 2222(,)1212k kk k -++， 由于||||MP MQ =得到1222+=k k m 所以：22211(0,)11222k m k k==∈++ 综合（1）（2）得到：1[0,)2m ∈ ……14分18．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)（本小题满分13分）已知曲线)0()0,0(1:222222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a by a x C ：和曲线都过点A （0，－1），且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为23. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得21b =，24a =，21r =． ……2分所以曲线1C 的方程为2214x y +=（0x ≥）． ……3分所以212222221,11k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……9分19．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD AB ⊥，AD BC ∥，4AB =，3BC =，1AD =，以,A B 为焦点的椭圆经过点C . （1）求椭圆的标准方程；（2）若点()0,1E ，问是否存在直线l 与椭圆交于,M N 两点且ME NE =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.19．解：∵AB=4, BC=3, ∴AC=5 ∴CA+CB=8∴a=4 ∵c=2 ∴b 2=121121622=+∴y x ：椭圆∵|ME|=|NE| ∴EF ⊥MN ∴k EF ·k=-11434143322-=⋅+--+k k km k m∴m=-(4k 2+3)代入①∴16k 2+12>(4k 2+3)2∴16k 4+8k 2-3<02121<<-k 当k=0时符合条件，k 不存在（舍）)21,21(-∈∴k17．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，坐标原点到直线AB 的距离为23，其中).,0(),0,(b B a A - （1）求双曲线的方程；（2）若1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点,M N，（3）B （0，-3） B 1（0，3） M （x 1 , y 1） N(x 2 , y 2) ∴设直线l ：y=kx-3⎩⎨⎧=--=∴93322y x kx y20．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科)（本小题满分14分）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为21，点B 在x 轴上，AF AB ⊥，F B A ,,三点确定的圆C 恰好与直线033=++y x 相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F 作斜率为k )0(≠k 的直线l 交椭圆于N M ,两点，P 为线段MN 的中点，设O 为椭圆中心，射线OP 交椭圆于点Q ，若OM ON OQ +=，若存在求k 的值,若不存在则说明理由．将(1)代入(2)可得：(3+4k 2)x 2+8k 2x+(4k 2-12)=0 2’'24362438222433)1('2434243820220222212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+-==∴=∴=+=++=+=+-=+=∴+-=+k k y y k k x x O O O k kx k y k k x x x k k x x p p p p p 且又19、(天津市耀华中学2012届高三第二次月考文科) (本小题满分14分)设21F F 、分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，满足|PF l |+|PF 2|=8，△PF 1F 2的周长为l2，(!)求椭圆的方程；(II)求21PF ∙的最大值和最小值；(III)已知点A(8，0)，B(2，0)，是否存在过点A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C,D ，使得|BC |=|BD |?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 19、(本小题满分14分)(Ⅲ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所以若直线l 存在，则直线l 的斜率也存在，设直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y=k(x-8)．20．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)（本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3。
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2012天津文一、选择题1 ．i 是虚数单位,复数5＋3i4－i= （ ）A ．1-iB ．-1+iC ．1+iD ．-1-i2 ．设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z=3x-2y 的最小值为（ ）A ．-5B ．-4C ．-2D ．33 ．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为（ ）A ．8B ．18C ．26D ．804 ．已知 1.22a =, 0.81=()2b -, 5=2log 2c ,则a , b , c 的大小关系为 （ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a < cD ．b < c <a5 ．设x ∈R,则“12x >”是“2210x x +->”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6 ．下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 （ ） A ．=cos 2y x ,x ∈R B ．2y=log ||x ,x ∈R且x ≠0C ．=2x xe e y --, x ∈RD ．3=+1y x ,x ∈R7 ．将函数f(x)=sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0,则ω的最小值是 （ ）A ．13B ．1C ．53D ．28 ．在△ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2,设点P,Q 满足AP →=λAB →,AQ →=(1-λ)AC →,λ∈.若BQ →²CP→=-2,则λ= （ ）A ．13B ．23C ．43D ．2二、填空题9 ．集合A={ x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________.10．一个几何体的三视图如图1-2所示(单位:m),则该几何体的体积为________m 3.图1-211．已知双曲线:C 22221x y a b -=(>0,>0)a b 与双曲线C 2:221416x y -=有相同的渐近线,且C 1的右焦点为F(5,0),则a =________,b =________.12．设m ,n ∈,若直线l :mx +ny -1=0与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且l 与圆x 2+y 2=4相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________.13．如图1-3所示,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F,AF=3,FB=1,EF=32,则线段CD的长为________.图1-314．已知函数21=x y x －－l的图象与函数=y kx 的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.三、解答题15．某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学中学大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2所学校均为小学的概率.16．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a ,b,c,已知a =2,c=2,cosA=-24. (1)求sinC 和b 的值; (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3的值. 17．[2012²天津卷] 如图1-4,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD ⊥PD,BC=1,PC=23,PD=CD=2. (1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值; (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD;(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.18．已知{ n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{ n b }是等比数列,且1a = 1b =2, 4a + 4b =27,4S -4b =10.(1)求数列{ n a }与{ n b }的通项公式;(2)记T n =11a b +22a b +…+n n a b ,n ∈*N ,证明T n －8=-1n a +1n b (n ∈*N ，2n ≥).19．已知椭圆12222=+b y a x (>>0)a b ,点P (,)52a 在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ 的斜率的值.20．已知函数3211()=+32a f x x x ax a ---,x ∈R,其中x >0. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求x 的取值范围;(3)当x =1时,设函数()f x 在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.2012天津文参考答案一、选择题 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A 6. B 7. D 8. B【解析】如图，设==, ，则0,21=∙==，又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由2-=∙得2)1(41()(])1([-=--=--=+-∙-+-λλλλλ，即32,23==λλ 二、填空题 9. -310. 30 11. 1,2 12. 313. 4314. (0,1)∪(1,2)三、解答题15.解:(1)从小学中学大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A 1,A 2,A 3,2所中学分别记为A 4,A 5,大学记为A 6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,A 4},{A 1,A 5},{A 1,A 6},{A 2,A 3},{A 2,A 4},{A 2,A 5},{A 2,A 6},{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 6},{A 4,A 5},{A 4,A 6},{A 5,A 6},共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},共3种.所以P (B )=315=15.16.解:(1)在△ABC 中,由cos A =-24,可得sin A =144,又由a sin A =c sin C 及a =2,c =2,可得sin C =74. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+b -2=0,因为b >0,故解得b =1. 所以sin C =74,b =1. (2)由cos A =-24,sin A =144, 得cos2A =2cos 2A -1=-34,sin2A =2sin A cos A =-74. 所以,cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3=cos2A cos π3-sin2A sin π3=－3＋218.17.解:(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,因为底面ABCD 是矩形,所以AD=BC 且AD ∥BC,又因为AD ⊥PD,故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角.在Rt △PDA 中,tan ∠PAD=PDAD=2. 所以,异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD 是矩形,故AD ⊥CD,又由于AD ⊥PD,CD ∩PD=D,因此AD ⊥平面PDC,而AD ⊂平面ABCD,所以平面PDC ⊥平面ABCD.(3)在平面PDC 内,过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E,连接EB.由于平面PDC ⊥平面ABCD,而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线,故PE ⊥平面ABCD.由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角.在△PDC 中,由于PD=CD=2,PC=23,可得∠PCD=30°. 在Rt △PEC中,PE=PCsin30°=3.由AD ∥BC,AD ⊥平面PDC,得BC ⊥平面PDC,因此BC ⊥PC.在Rt △PCB 中,PB=PC 2＋BC 2=13. 在Rt △PEB 中,sin ∠PBE=PE PB =3913.所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913.18.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d ,b 4=2q 3,S 4=8+6d ,由条件,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，所以a n =3n -1,b n =2n ,n ∈*N .(2)证明:由(1)得T n =2³2+5³22+8³23++(3n -1)³2n ,①2．T n =2³22+5³23++(3n -4)³2n +(3n -1)³2n +1.② 由①-②,得-T n =2³2+3³22+3³23++3³2n-(3n -1)³2n +1=6³1－2n1－2-(3n -1)³2n +1-2=-(3n -4)³2n +1-8, 即T n -8=(3n -4)³2n +1,而当n >2时,a n -1b n +1=(3n -4)³2n +1, 所以,T n -8=a n -1b n +1,n ∈,n >2.19.解:(1)因为点P )在椭圆上,故a 25a 2+a 22b 2=1,可得b 2a 2=58, 于是e 2=a 2－b 2a 2=1-b 2a 2=38, 所以椭圆的离心率e=64. (2)设直线OQ 的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q 的坐标为(x 0,y 0). 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0并整理得 x 20=a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 2x 20=a 2.整理得,(1+k 2)x 20+2ax 0=0.而x 0≠0,故x 0=－2a 1＋k 2,代入①,整理得(1+k 2)2=4k 2²a 2b2+4. 由(1)知a 2b 2=85,故(1+k 2)2=325k 2+4,即5k 4-22k 2-15=0,可得k 2=5.所以直线OQ 的斜率k=±5.20.解:(1)f′(x)=x 2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x 1=-1,x 2=a>0.当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0<a<13. 所以,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. (3)a=1时,f(x)=13x 3-x-1.由(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.①当t ∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-13,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t ∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-53,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-13-⎝ ⎛⎭⎪⎫－53=43.②当t ∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2], 且-1,1∈[t,t+3]. 下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f(-2)≤f(t)≤f(-1). f(1)≤f(t+3)≤f(2).又由f(1)=f(-2)=-53,f(-1)=f(2)=-13, 从而M(t)=f(-1)=-13,m(t)=f(1)=-53, 所以g(t)=M(t)-m(t)=43.综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为43.。