2020年高考诊断性测试数学参考答案
2020届“3+3+3”高考数学诊断性联考卷(含答案)
慎审题多思考多Just for you!2020屈“3+3+3”岛考备考诊断性联考卷(三)理科数学注意事项：I- #妁前.考生务必用黑色曦累笔将白己的昱幺、淮考证号、考场号、座位号朮答题卡上境写清定•2.每小題选出答案后.用2B铅笔把签盘卡上对总题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撩干净后，选涂其他篆案标号.准试題卷上作答无效.3.考试於束后.请将本试卷和冬期卡一并交回.満分150分，考试用时120分钟.一、选择題(本大题共12小題，每小题5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题口耍求@1.若孩数工满足(x-i)(l-i)=i,则在复平面上复数：所对应的点所在象限是A.笫一象限B.第一彖限C・第三象限I).第四象限2.已知集^A=\x\\o^x<\l .集合fi=|xlVxM^0, X6Z|(K中Z表示整数集)，则/1门心〃)=A. II, 2, 3|B. |-1, 1|C. 11, 2|D. |1|3.已知数列la. i既是等差数列乂退等比数列，由项a, = 1,则它的前2020项的和等于B. 2021a,+202lxlOlOdC. 2020D. 80%5. (H2x2)(l-x)5的展开式中工的系数等于C. 一D. —657・方程/R*lrl=2|¥j图形大致形状为慎审题多思考多 Just for you!C ・(DTO8- J衣小rm. g “农航平而.给出如下5个命弧 ①若a 〃/则o 〃0①若。
丄6.贝Ua 丄0；③a 与0不祈.和・1.1.1 ,.八—〜 P* /lt 则“丄〃利J 俺成龙：④扒“八f. all 9 bll.则a 丄/3：⑤a 丄仪aP 冋<«丄人则。
丄〃・兀中贞命题的个数见A. 01). 1a 211 3巳知能负实数“ •'満足：“2尸220. 3r-2>-2<0,则2x-3y 的取值范国左K 1-2. 4*1 r ,41-I 31十.-]G U 。
2020年高考诊断性测试数学参考答案20200417
………………11 分
高三数学参考答案 第 5页（共 7页）
所以，当 a 1时，方程 f (x) g(x) 有一个实数解；当 a 1时，方程 f (x) g(x) 有
两个不同的实数解；当 a 1时，方程 f (x) g(x) 没有实数解. 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆 C 的方程得
………………12 分
)] 2
3 4
(1
1 2
k
1 1
k
1
) 2
93( 1 1 )， 8 4 k 1 k 2
………………………………………10 分
令 Tk
15 16
，得
1 k 1
k
1 2
1 4
，
注意到 k 为正整数，解得 k 7 ，所以 k 的最小值为 7 .
………………………12 分
19．解：（1）证明：延长 EG 交 BC 于点 D ,点 D 为 BC 的中点，
………………9 分
0
1
2
3
P
Cn06C43 C3
n10
Cn16C42 C3
n10
Cn26C41 C3
n10
C3 n6
C3 n10
高三数学参考答案 第 4页（共 7页）
E
Cn06C43 C3
n10
0
Cn16C42 C3
n10
1
Cn26C41 C3
n10
2
C3 n6
C3 n10
3
2
Cn1
6C42
1
Cn26C41
2020 年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C
2020年高三诊断考试文科数学试题答案
x
1 时
f（' x） 0,
f（x）在（1， ）上为增函数，所以
f（x）min
f（ 1）
1 e
.
故答案为 D.
13． 4 14． 6 15．9 16. 216 2
16．【解析】连接 BD、B' D' ，则 BD // B' D' ， BD B' D' 6 2 OB'C' D' 为菱形， B'C' D' 10928'16'', tan 5444'08'' 2
（Ⅱ）设 bn
4 n(12
an )
4 n(2n
2)
2( 1 n
n
1
) 1
，
Tn
2(1
1) n 1
9 5
得到 n=9...................................................12 分 18．【解析】
（Ⅰ）点 E 为 PD 中点时直线 PB 与平面 ACE 平行.
解得
x
=
0
或
x
=
8 3+
3k 4k 2
\
N
(
8 3+
3k 4k 2
，4
3k 2 - 3 3 + 4k2
3)
4 3k 2 - 3 3
\ k1 =
3 + 4k2
8 3k 3 + 4k2
-
2
=
3(4k 2 - 3)
-2(4k 2 - 4 3k +3)
k2 =
-12k + 3 + 4k2
2020年北京市西城区高三数学诊断性测试试卷含参考答案
O 0.486 0.536 0.586 0.636 0.686 0.736 0.786 0.836 0.886 发芽率
企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736 的种子定为“A 级”，发芽率低于 0.736 但不低于 0.636 的种子定为“B 级”，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级”.
解析： (x 2)2 ( y 1)2 5 a ，半径大于等于 2 即可， 5 a 4 ， a 1 ，选 A.
9.若向量 a 与 b 不共线，则“ a b 0 ”是“ 2 | a b || a | | b | ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
解析： z 1 i (1 i) (i) 1 i ，选 A.
i
i (i)
3.下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是(
D.第四象限 )
A. y x3
B. y x x
C. y x1
解析：值域为 R，排除 C、D， (0, ) 上单调递增排除 A，选 B.
C. y x1
4.抛物线 x2 4y 的准线方程为（
）
A. x 1
B. x 1
C. y 1
5.在 ABC 中，若 a : b : c 4 : 5 : 6 ，则其最大内角的余弦值为（
A. 1
B. 1
8
4
C. 3 10
6.设 a 30.2 ， b log3 2 ， c log0.2 3 ，则（ ）
12.若双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
2020年全国高考数学(理科)诊断性考试试卷含解析 (9)
2020年全国高考适应性考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某部门共有4名员工， 某次活动期间， 周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工， 则该活动值班岗位的不同安排方式共有（ ） A ．120种B ．132种C ．144种D ．156种2．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()D z z a b ==+，1212(,)D z z z z =−．给出下列命题：（1）对任意C z ∈，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立； （3）若12(z )(z )D D =12(C)z z ∈、，则12z z =； （4）对任意，结论131223(,)(,)(,)D z z D z z D z z ≤+恒成立，则其中真命题是[答]（ ）． A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3）（4） C ．（2）（4）D ．（2）（3）3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥ B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβ C ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβD ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥4．已知,x y 满足线性约束条件：1022010x y x y x −+≥⎧⎪+−≥⎨⎪−<⎩，则目标函数3z y x =−的取值范围是（ ）A ．11,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭B ．()3,1−−C ．13,3⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．13,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦5．已知数列{}n a 满足2123 (2)n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈，且对任意*n N ∈都有12111...nt a a a +++<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．点(,)P x y 是函数315()sin π,222f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈− ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的点，已知点(2,0)Q ，O 为坐标原点，则OP QP ⋅的取值范围是（ ）A ．[1,0]−B ．[1,2]−C ．[0,3]D ．[1,31]−−7．已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．在中，角所对的边分别为满足则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．设集合，，，则等于A ．B ．C ．D ．10．设复数z 满足2z ii i+=+，则z =（ ） A ．2B 51C 2D ．111．已知集合{|1}A x x =≥，{|230}B x x =−>，则A B = A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实系数一元二次方程2210()x ax a a R −++=∈的一个根是12i +，求a 的值以及另一个根.14．已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M −⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合n M 所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得180n T ≥的最小正整数n 的值为____________．15．某小区拟对如图一直角△ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观．已知2010AB m AC m ==，,则DEF 面积最小值为____16．在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R 为同一平面内的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使()1OP t OQ tOR =−+.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2CF FA =，BF 交CE 于点M ，设AM xAE y AF =+，则x y +=__________．三、解答题：每小题满分10分。
2020年高考数学诊断性测试答案
参考答案： 一、选择题1.B2.A3.D4.C5.B6.D7.C8.B9.B 10.A 11.C 12.B 二、填空题13.8π 14.2 15.43 16.①②③④三、解答题17.由cos 2(2π-A )+cos A =45,得sin 2A +cos A=45即：4cos 2A -4cos A +1=0,∴cos A =21∵A 是△ABC 的内角， ∴A =3π,B +C =32π3分由正弦定理，知sin B +sin C =3sin A =32 ∴2sin 2C B +cos 232=-C B∴cos=-2CB 23,6分从而有cos(B -C )=2cos22112=--C B 8分∴复数z=sin(B +C )-i cos(B -C )=2123- i , ∴arg z =611π.10分18.解：(Ⅰ)设AM =x ,则MD =2-x ,DC =2, 由图(2)得AC =6)1(22)2(222222+-=+-+=++x x x DC MD AMAC 取最小值，为64分(Ⅱ)在图(1)中，∵,22,==AC CBCN ACOC∴OC =x x OA x x 2)2(222),2(2222)2(=--=-=-在图(2)中，AC 2=2(x -1)2+6,cos AOC =21)2(2)2(2]6)1(2[)2(222222222-=-⋅+---+=⋅-+x x x x x OC OA AC OC OA∴∠AOC =120°为定值.1 8分(Ⅲ)由V AMD-MNC =AMD S ∆·AB =21AM ·MD ·AB=21x ·(2-x )·2=43 得4x 2-8x +3=0∴x =23或21，即MDAM =3或31时体积为43.12分19.(Ⅰ)由已知S n +1=(m +1)-ma n +1①S n =(m +1)-ma n ②由①-②，得a n +1=ma n -ma n +12分即(m +1)a n +1=ma n 对任意自然数n 都成立 ∵m 为常数，且m ＜-1 ∴11+=+m ma a n n ,即｛a n ｝为等比数列.4分(Ⅱ)当n =1时，a 1=m +1-ma 1,∴a 1=1,从而b 1=31 由(1)知q =f (m )=1+m m, ∴b n =f (b n -1)=1111=+--n n b b (n ∈N,且n ≥2)∴111,11111=-+=--n n n n b b b b 即6分∴｛nb 1｝为等差数列∴nb 1=3+(n -1)=n +2,∴b n =21+n (n ∈N) 8分∵a n =(1+m m )n -1∴1lg ]1lg 21[lim )lg (lim +=+⋅+-=⋅∞→∞→m m m m n n a b n n n n 9分而)(3lim 13221n n n b b b b b b -∞→++⋅+⋅Λ1)211151414131(3lim =+-+++-+-=∞→n n n Λ 由题意知lg 1+m m =1,∴1+m m =10,∴m =-910.12分 20.(Ⅰ)因为函数y =｜x -3|的图象与x 轴、y 轴的交点分别为(3，0)、(0，3)∴点M (3,0)、B(0，3)∴b =3.1分由|,3|,|3|22-=⎪⎩⎪⎨⎧-==c a y x y ca x 得 ∵分点3)3,(,322-∴=ca c a Nb ac a φφ 又∵BM ⊥MN 4分∴△MNB 的面积为21·｜BM ｜·｜MN ｜=21·6·334)3(3)3(2222-=-=-c a c a ∴得.1,4,3,422==∴==c a b ca 得又∴椭圆C的方程为13422=+y x 6分(Ⅱ)设P 点的横坐标为x p ,由m ·｜PF 1｜，｜ＰＦ2｜，d 成等比数列，｜PF 2｜2=m ·｜PF 1｜·d ∵||2,2122PF d e dPF =∴== ∴｜ＰＦ2｜2＝２ｍ·｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2｜ ∴｜ＰＦ2｜＝２ｍ｜ＰＦ1｜ ① 8分 又∵｜ＰＦ1｜＋｜PF 2｜＝２ａ＝４ ② 由①、②得｜ＰＦ2｜＝mm218+， ∴d =mm2116+.10分又∵d =4-x p ,∴x p =4-d =mm 2184+-由｜ｘp ｜≤2，得｜mm 2184+-｜≤2∴解得61≤m ≤2313分21.(Ⅰ)∵前4个月内粮食外调的总量W =20万吨， ∴50,242=∴=⨯p p 3分由题意，知第x 个月内粮食外调后库内储粮M =10+xm -x -x 100=(m -1)x -10x +10. 6分(Ⅱ)根据题意，恒有：⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+--301010)1(01010)1(x x m x x m 由于1≤x ≤16,∴].1,41[1∈x9分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≤+--≥41)411(2027)211(1022x m x m 当]1,41[1∈x时恒成立， ∵-10(27)211+-x 的最大值为.2720(41)4112-+x 的最小值为41912分∴m 的取值范围是：27≤m ≤419 13分22.(Ⅰ)由-x 2+6ax -8a 2＞0，且a ＞0， 得2a ＜x ＜4a . 2分(文4分) ∵f (x )在区间M =［2a +21,2a +1］上有意义∴M ⊆(2a ,4a ) 从而⎪⎩⎪⎨⎧++aa a a 4122122ππ ∴a ＞21,由于a ∈(0,1)∪(2,+∞),∴a 的取值范围是21＜a ＜1或a ＞2.4分(文7分)(Ⅱ)(理)f (x )在M 上能否被g (x )代替，即考察在M 上，0≤)()(x f x g ≤2能否恒成立，即-2≤log a (-x 2+6ax -8a 2)≤2能否恒成立. 5分1°当21＜a ＜1时，问题转化为a 2≤-x 2+6ax -8a 2≤21a 能否恒成立.由于a 2≤-x 2+6ax -8a 2,即(x -3a )2≤0在M 上不是恒成立，故此时不可代替.8分2°当a ＞2时，问题转化为21a ≤-x 2+6ax -8a 2≤a 2能否在M 上恒成立.对于-x 2+6ax -8a 2≤a 2,即(x -3a )2≥0，显然成立.9分 而左端不等式为：x 2-6ax +8a 2+21a ≤0令h (x )=x 2-6ax +8a +21a由a ＞2，知2a +1＜3a ,即区间M 在h (x)顶点的左边，而h (x )的开口向上，∴h (x)在M 上为减函数.11分而h (2a +21)=(2a +21)2-6a (2a +21)+8a 2+21a =2141a +-a由a ＞2知，2141a +-a ＜0即在M 上恒有h (x )≤0成立.∴当a ＞2时，在M 上f (x )可被g (x )代替.13分 综上知，当21＜ａ＜１时，f (x )不可被g (x )代替.当a ＞2时，f (x )可被g (x )代替.14分 (文)当a =43时，M =［2,25］，只要考察在［2, 25］上0≤)()(x f x g ≤2能否成立.而此时g (x )=1-21).2929(log 243-+-x x 8分 ∴只要考察 -2≤)2929(log 243-+-x x ≤2是否恒成立.即91629291692≤-+-≤x x ,在［2,25］是否恒成立. 由-x 2+2929-x ≥169,得(x -49)2≤0，12分∴不等式-x 2+2929-x ≥169在［2, 25］上不是恒成立，∴此时f (x )不可被g (x )代替. 14分。
2020年高三诊断考试理科数学试题答案
2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x \=-1FQ k k \×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l \为FQ 的垂直平分线\x f g h k '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形22162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .-V 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x \-<\该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABDx（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k 故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=k \(y 因为,3232'2xax x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。
贵州省毕节市2020届高三诊断性考试(三)理科数学试卷及答案
毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 1 页 共 6 页毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学参考答案及评分建议一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C A A D D A C B B二、填空题13. 3− 14.6π 15. 43− 16. ④ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1>n 时 3133111111=++=++=−−−−n n n n n n a a a a b b 当1=n 时，21=b∴数列}{n b 是首项为2，公比为3的等比数列..................................…. 6分 （Ⅱ）由（1）知1)3(21−×=+=n n n a b ∴1)3(21−=−n n a ∴121121)12)(12(2)12)(12](1)3(2[21+−−=+−=+−−=−n n n n n n a c n n n ∴122121112112151313111+=+−=+−−++−+−=n n n n n ....T n ...................…. 12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 2 页 共 6 页18. 解：（1）每天准时提交作业的A 等学生人数为：301010003.0=××根据题意得到列联表 A 等 非A 等 合计 每天准时提交作业30 70 100 偶尔没有准时提交作业5 35 40 合计35 105 140 841.3667.43141053510040)7053530(14022>≈=××××−××=K 所以有95%以上的把握认为成绩取得A 等与每天准时提交作业有关. .............…. 6分（2）成绩低于60分的学生共8人，其中每天准时提交作业的有5人，偶尔没有准时提交作业的有3人，所以随机变量4,3,2,1=X ．141705)1(483315==⋅==C C C x P ； 737030)2(482325==⋅==C C C x P ； 737030)3(481335==⋅==C C C x P ； 141705)4(480345==⋅==C C C x P ． 随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为：21447372141)(=×+×+×+×=X E .………12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 3 页 共 6 页19.（1）证明：连接ANQ 四边形ABNM 的边长均为2，AN MB ⊥∴NC MB ⊥Q 且N NC AN =I⊥∴MB 面NAC⊂AC Q 面NACAC MB ⊥∴.. ...............................................................................................................…5分（2）连接MF BF ,ABC ΔQ 为正三角形，F 为AC 中点BF AC ⊥∴由（1）得MB AC ⊥，且B MB BF =IMBF AC 面⊥∴MFAC ⊥∴在MAF Δ中 1,2==AF MA Q3=∴MF 又3=BF Q ，6=MB222MB BF MF =+∴BF MF ⊥∴以F 为原点，FM FC FB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图所示 则)3,21,23(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,0(),0,0,3(E M C F B )3,1,0(),3,0,3(),3,21,23(−=−==∴CM BM FE 设平面MBC 的法向量为),,(z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−∴03033z y z x 令1=z ，解得)1,3,1(=毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 4 页 共 6 页 设直线EF 与平面MBC 所成的角为θ则sin =θ分20. 解：（1）设),(),2,(11y x M p t Q −，则1212py x = 由p x y py x 2222=⇒= 所以p x y =′，所以切线MQ 的斜率为px k MQ 1=， 故px t x p y 1112=−+，整理得022211=+−p py tx ，设),(22y x N ， 同理可得022222=+−p py tx所以直线MN 的方程为0222=+−p py tx所以直线MN 恒过定点)20(p ，…..…….…….….….…….….….…….….….…….….…6分（2）由（1）得直线MN 的方程为2p p tx y += 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=p xy p p tx y 222可得0222=−−p tx x ， p p t p x x pt y y t x x +=++=+=+22121212)(,2 设H 为线段MN 的中点，则)2,(2p p t t H +， 由于MN GH ⊥，而)2,(2p pt t GH −=， 与向量1(pt ，平行，所以0)2(2=−+p p t p t t ， 解得p t t ±==或0当0=t 时，p R G 2||==半径圆，π24p G 的面积为所以圆当p t ±=时，p R G 2||==半径圆，π22p G 的面积为所以圆….….…….….…….…. 12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 5 页 共 6 页21. 解：（1）mxm x x m x f −=−=′11)(, 令0)(=′x f 得m x =当0>m 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞令0)(>′x f 得m x >；0)(<′x f 得m x <<0所以)(x f 的单调递减区间为),0(m ，单调递增区间为),(+∞m当0<m 时，函数函数)(x f 的定义域为)0,(−∞令0)(>′x f 得0<<x m ；0)(<′x f 得m x <所以)(x f 单调递减区间为),(m −∞，单调递增区间为)0,(m ，.….….…….….….….…6分（2）要证：e n <+++)311()311)(311(2L 只需证：21)]311()311)(311ln[(2<+++n L 即证：21)311ln()311ln()311ln(2<++++++n L 由（1）知，取1=m 时，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(=≥∴f x f ，即1ln ≥−x x1ln −≤∴x xn n 31)311ln(<+∴ n n 313131)311ln()311ln()311ln(22+++<++++++∴L L 21)311(21311)311(31<−=−−=n n 所以，原不等式成立.…….…….…….…….……..…….……….…….…….….…….. 12分22.解：（1）由01321231=−−⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y x t y t x毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 6 页 共 6 页 因为222sin cos y x y x +=⎩⎨⎧==ρθρθρ且 由0cos 40cos 42=−⇒=−θρρθρ所以4)2(042222=+−=−+y x x y x ，即所以直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为和013=−−y x 4)2(22=+−y x ….….…….….…….….….…….….….…….….5分（2）解把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231带入0422=−+x y x ，整理得0332=−−t t 设|||||,|||21t PM t PN == 所以3,32121−==+t t t t因为||||PN PM > 所以||1||11121t t PM PN −=−332121=+=t t t t ……….…….….……..……......…10分23. 解：（1）由6||≤−n mx66≤−≤−n mx0>m Qmn x m n 66+≤≤−∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−∴1636mn m n 解得：3,3−==n m ….….…….….…….….….…….….….…….….5分 （2）由3=+b a得6)2()1(=+++b a2,1−>−>b a Q2112(61316)2()1()2111(2111++++++=+++⋅+++=+++∴b a a b b a b a b a 323131=+≥.…….….….….….….….….….….…….....….....….....….....….....…......…10分。
毕节市2020届高三年级理科数学诊断性考试试卷(三)含答案
1．已知全集U R ，集合 A 1, 2, 3, 4, 5 ， B x R y lg x 3 ，则下图中阴影部分表示的集合为
（）
A．1, 2, 3, 4, 5
B．1, 2, 3
C．1, 2
D．3, 4, 5
2．若复数 z 满足 z 1 i2 2 1 i ，则在复平面内 z 对应的点的坐标为（ ）
以 F 为原点，FB ，FC ，FM 所在的直线分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示则 B 3, 0, 0 ，
F 0, 0, 0 ， C 0,1, 0 ， M
0, 0，3
， E
3,1, 22
3
∴ FE
3,1, 22
3 ， BM
3, 0，3
， CM 0, 1，3
17．已知数列an 满足 a1 1， an 3an1 3 1 n 2, n N * ， bn an 1。
（Ⅰ）求证：数列bn 是等比数列；
（Ⅱ）已知 cn 2
3
n1
2an
1 2n
1
2n
1
，求数列
cn
的前
n
项和
Tn
。
18．2020 年新型冠状病毒疫情爆发，贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”。自 2 月 3 日起，高三年级 学生通过收看“阳光校园·空中黔课”进行线上网络学习。为了检测线上网络学习效果，某中学随机抽取 140 名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查，并组织了一场线上测试，调查发现有 100 名学生 每天准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得频率分布直方图（如图 1 所示）；另外 40 名学生偶尔没有 准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得茎叶图（如图 2 所示，单位：分）
2020届甘肃省普通高中高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。
山东省烟台市2020年高考诊断性测试(高三一模)数学试题参考答案
2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.C二、多项选择题9.BC 10.AC11.B C12.ABD三、填空题13.45-14.30015.1216.24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+,…………………………1分即2sin cos )A A B C =+，…………………………2分又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =，…………………………3分而0A π<<，sin 0A ≠所以cos 2A =，所以6A π=.…………………………4分（2）因为11sin 22ABCBCS bc A a h ∆==⋅…………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =.…………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222232c c =+-⨯，…………………………8分即29180c c -+=，解得3c =或6c =.…………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =，于是8384q q-⨯=，…………………………2分即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）.…………………………4分若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =，…………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分1111(1)1n S n n n n ==-++，…………………………9分于是12111111111+(1)((122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++ ……10分令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16.……12分若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =.………………6分于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+，…………………8分131311(2(2)42n S n n n n =⨯=-++，……………………9分于是31111111[(1)()((4324112k T k k k k =-+-++-+--++ 3111(1)4212k k =+--++9311()8412k k =-+++，………………………………………10分令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7.………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ，…………………………2分又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面.………………………………………3分又DE EF E = ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面，……………………………………4分因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面.………………………………5分（2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，31,,0)62G ，11(0,,22FE =-- ，31,0,)62FG =- ，11(0,,)22FP =- .……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即030y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，得1y =-，3x =(3,1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即1111300x z y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，得11z =，13x =，于是取(3,1,1)=n ………………………………………………11分设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>=== m n m n m n .所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35.………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6 (2)分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯…………………5分因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人.………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==,………………9分所以随机变量ξ的分布列为不太了解比较了解男性250330女性150270ξ123P0364310n n C C C ++1264310n n C C C ++2164310n n C C C ++36310n n C C ++0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++，23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥.…………………………………………12分21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>，令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==，………………1分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值，………………3分要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=，故a 的取值范围为1a ≥，………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立，令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln11223n n n ++++<++++ ，即：1111ln(1)23n n++++>+ ；………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--，………………8分当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =，………………10分又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞，………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解 (12)分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．……3分（2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=，即1y =……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=.（i）将1y =212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R .…………5分因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36=当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号.所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞.……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224xy +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=，………………………………8分所以O 到直线PQ的距离d =，…………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111||||ty t -+=+=+，…………………10分=2===，……………………11分所以2d r ==，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切.…………………………………………12分。
甘肃省2020届高三年级第二次高考诊断考试数学(文科)试题 含答案
．
6
16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆
就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 5 −1 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左 2
3
焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，则 FB AB =
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题；共 60 分。
17．（12 分）
如图所示，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E、F 分别为矩形 AB，BC 的中点，PA⊥平面 ABCD.
（1）求证：DF⊥平面 PAF；
（2）若在棱 PA 上存在一点 G，使得 EG∥平面 PDF，求 AG 的值. A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 (2a + b) cos C + c cos B = 0．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线性回归方程是可靠 的.请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可 靠.
B． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
C． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
D． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
6．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁 6 个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为 5 分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的 指标雷达图．则下面叙述正确的是
山东省烟台市2020届高考诊断性测试（3月）数学（文）试卷含解析
山东省烟台市2020届高考诊断性测试(3月)数学(文)试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
2 11.已知数列{%}的前〃项和为&,满足％ =-^，&+万+ 2 =弓(〃22),则下面选项为等差数列的是( )A. K+l}B. {&-1}C.'1> V D.1IA+L lA-1J2.已知直线Z ： x + ay — l = O(aeR)是圆C: x 2 + y~ -4x-2y + l^ 0的对称轴.过点A(-4, a)作圆C 的一条切线，切点为B,则\AB\=( )A. 2B. 4皿 c. 6 D. 2面3.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人 体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图，下列结论中正确的是()脂肪含知保)353025200 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 年龄A. 人体脂肪含量与年龄正相关,B. 人体脂肪含量与年龄正相关,C. 人体脂肪含量与年龄负相关,D. 人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%且脂肪含量的中位数小于20%且脂肪含量的中位数等于20%且脂肪含量的中位数小于20%4.函数./■⑴在(f,w)单调递增，且为奇函数，若/(!)=!,则满足-l<f(x-2)<l 的x 的取值范围是( )•A. [-2,2] b . [T 』]c. [°，4】d . U ，3]2 25. 已知点P 在双曲线C:J%=l(a>0,b>0)上,Fi ，F 分别为双曲线C 的左右焦点PF 2 J-F^,若外接a 2 b 2圆面积与其内切圆面积之比为25:4.则双曲线C 的离心率为()A.很B. 2C.危或也D. 2或36. 已知函数/'(%) = Asin (必+0),(A>0,co>0,\(p\<^\的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )对称r ),]T A. /(%)的图象关于直线x = 5对称B. /'⑴的图象关于点"苔，°[C. 将函数_y = 0sin2x-cos2x 的图象向左平移:个单位得到函数f(x)的图象D.若方程％)= 〃在"上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(一2，一名]7.执行如图所示的程序框图，如果输入的xe[-2, 2],则输出的》值的取值范围是A. y < ——或'N0c 2B ・—2 < y < —30<y< — —C. M —2或-3 D. M —2 或一 38.已知函数 f(x) = ln(|x| + l) + V-V+B 则使得 f(x)>f(2x-l)的 x 的范围是()1A. B.一TSE c. (I*) D.39.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近 圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就 是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正〃边形求其面积,如图是其设计 的一个程序框图，则框图中应填入、输出〃的值分别为()A.S=-xnxsin^-,242n B.S=-xnxsin^-,182nC.S=-xnxsin^^,542n D.S=-xnxsin^^,182n10.已知函数f(x)=lnx+ln(o-x)的图象关于直线x=l对称，则函数./Xx)的值域为()A.(0,2)b. C.(一°°2] D.fO]11.设集合A=[0,=),B=[=,1],221,x+—,XG A2,若xo^A,且f[f(x0)]eA,则xo2(l-x),x g B的取值范围是(函数f(x)=< )17 A.(0,c.£2]D.[0,£43812.在各项均为正数的等比数列｛a〔J中，若a2=1,a8=a6+2a4,则=()2 B.4 C.16 D.32A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考诊断性测试数学参考答案20200417
则
nnFFGP
0 0
，即
x1 y1
3z1 0 z1 0
，
令 y1 1 ，得 z1 1， x1 3 ，
于是取 n ( 3,1,1)
………………………………………………11 分
设平面 EFG 与平面 PFG 的所成的角二面角的大小为 ，
高三数学参考答案 第 3页（共 7页）
则 cos cos m, n mn 3 3 . m n 5 5 5
FP
(0,
1
,
1
)
.
……………………7 分
22
62
22
设平面 EFG 的一个法向量为 m (x, y, z) ，
则
mmFFGE
0 0
，即
x
y
z0 3z 0
，
令 z 1，得 y 1， x 3 ，于是取 m ( 3, 1,1) …………………………9 分
又平面 PFG 的一个法向量为 n (x1, y1, z1) ，
所以平面 CFG 与平面 EFG 的所成的锐二面角的余弦值为 3 . 5
………………12 分
20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于 60 分的比率为 130 110 90 110 100 60 0.6 ， 1000
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6 . …………………2 分
又 DE EF E ， DE 平面DEF, EF 平面DEF ，
所以平面 DE F / / 平面PAC ，
……………………………………4 分
因为 GF 平面DEF ，所以 GF / / 平面PAC .
………………………………5 分
（2）连接 PE ，因为 PA PB ， E 是 AB 的中点，所以 PE AB ， 又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB I 平面 ABC AB ， PE 平面 PAB ， 所以 PE 平面 ABC . 以 E 为坐标原点，以向量 EB, EP 所在的方向分别作为 y 轴、 z 轴的正方向，以与向量
2020年全国高考数学(理科)诊断性考试试卷含解析 (3)
棱台的体积等于棱锥 P − ABC 的体积减去棱锥 P − DEF 的体积.）
ax − y − z = 1
19．用行列式讨论下列关于
x
、
y
、
z
的方程组
x
+
y
−
az
=
2
的解的情况，并
x − y − z = 1
求出相应的解.
20．已知数列an 中， a1 = 3 ， an+1 + an = 3 2n ， n N * .
（2）证明：
Pn+1
−
Pn
=
−
1 2
( Pn
−
Pn−1 )(1
n
98)
；
（3）若最终棋子落在第 99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第100 站，则记
选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
18．如图， P − ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥， D, E, F 分别为棱长
PA, PB, PC 上的点，截面 DEF / / 底面 ABC ，且棱台 DEF − ABC 与棱锥
(Ⅱ) 设 g ( x) = ex f ( x) ，当 m 1 时，若 g ( x1 ) + g ( x2 ) = 2g (m) ，且 x1 x2 ，求
证： x1 + x2 2m . 23．（选修 4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程是
x
=
1
+
2 cos , （ 为参数），以
B．1
C． − 1 2
D． −1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
甘肃省2020年第一次高考诊断考试文科数学【含答案】
【详解】由于双曲线
x2 5
y2 m
1m
0
的一个焦点为
F
3,
0
，则
m
32
5
4，
x2 y2 1
y2 5x
双曲线的标准方程为 5 4 ，其渐近线方程为
5.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数， 考查计算能力，属于基础题.
6.已知 tan
3
，则
sin
1 x2
，
f
1 1 ，
f
1
3
，
因此，曲线
f
x
2
1 x
2 ln
x
在
x
1 处的切线方程为
y
1
3x
1，即
3x y 2 0 .
故答案为： 3x y 2 0 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
x y 1 0
x 2 y 2 0
14.实数 x ， y 满足约束条件 y 2 0
甘肃省 2020 年第一次高考诊断考试文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
t
1，b
3,1
，
b
10
故选：B
【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
5.已知双曲线
x2 5
2020届贵州省毕节市高三诊断性考试(一)数学(理)试题(解析版)
2020届贵州省毕节市高三诊断性考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|312}=->B x x ，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}2,1,0--D ．{}2,3【答案】D【解析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由312x ->得33x >，1x >，即{}|1B x x =>，所以A B ={}2,3.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念和运算，考查一元一次不等式的解法，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若2(1)2+=+z i i ，则z =（ ） A ．12i - B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i + 【答案】A【解析】利用复数乘方和除法运算求得z 的表达式. 【详解】由2(1)2+=+z i i 得()()()()()22222241222421i i ii i z i i i i i +⋅-++-=====-⋅-+. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“2230x x --<”是“13x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解一元二次不等式、绝对值不等式，对已知进行化简，结合充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由()()223310x x x x --=-+<，解得13x；由13x -<得313,24x x -<-<-<<.由于()()1,32,4-⊂-，所以“2230x x --<”是“13x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.4．已知m ，n ，p ，q 成等差数列，且函数1()7+=-x f x a （0a >且1a ≠）的图象过定点(,)n p ，则+=m q （ ） A ．-8 B ．-7C ．-6D ．1【答案】B【解析】根据等差数列的性质列方程，求得定点(),n p 的具体值，进而求得m q +的值. 【详解】由于,,,m n p q 成等差数列，所以m q n p +=+①，当10x +=，即1x =-时，()0176f a -=-=-，即()f x 的图像过定点()1,6--，所以1,6n p =-=-，代入①得7m q n p +=+=-. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查指数型函数过定点问题，属于基础题. 5．已知5log =a 121log 3b =，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C【解析】利用对数运算求得a 的值，利用指数函数单调性比较,,1a c 的大小，利用对数函数单调性比较,1b 的大小，由此确定,,a b c 三者大小关系. 【详解】1251log 52a ==，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，故1103111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1a c <<，而12log y x =在()0,∞+上递减，故112211log log 132b =>=，所以b c a >>. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．若变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．-2C ．-5D ．-7【答案】C【解析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 20x y -=到可行域边界()3,4A 的位置，由此求得目标函数的最小值为3245z =-⨯=-. 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，如果输出3=，S 则a =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】运行程序，当k a >时，退出程序，根据输出的3S =，求得a 的值. 【详解】运行程序，2,1k S ==，进入循环结构：221log 3log 3,3S k =⋅==，判断否；232log 3log 4log 4,4S k =⋅==，判断否；242log 4log 5log 5,5S k =⋅==；判断否；252log 5log 6log 6,6S k =⋅==，判断否；262log 6log 7log 7,7S k =⋅==，判断否；272log 7log 8log 83,8S k =⋅===，判断是，输出3S =，故7a =.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果求参数，考查对数运算，属于基础题. 8．某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会.抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是（ ）A ．715B ．815C ．115D ．35【答案】A【解析】利用几何概型的知识，结合等比数列前n 项和公式列方程，解方程求得等比数列的通项公式，由此求得中奖概率. 【详解】根据几何概型的知识可知，中1,2,3等奖以及不中奖的概率成公比为2的等比数列，设一等奖概率为1a ，2q，故()41412112a S -==-，解得1115a =.故中奖的概率为()313112771215a S a -===-. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查几何概型，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.9．据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào ）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且PA AB BC ==，则异面直线PB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据P ABC -的结构，将其补形为正方体，作出异面直线所成角，由此求得异面直线PB 与AC 所成角的大小. 【详解】依题意可知PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且PA AB BC ==，故可将几何体P ABC -补形为正方体如下图所示，由于//PB CD 所以DCA ∠是异面直线PB 与AC 所成角，而三角形ADC 是等边三角形，所以π3DCA ∠=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查中国古代数学文化，属于基础题. 10．已知向量(2,2)AB =，(1,)=AC a ，若||1BC =，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】先求得BC 的坐标，根据||1BC =列方程，解方程求得a 的值.求得cos ,AB BC ，由此求得向量AB 与BC 的夹角.【详解】()()()1,2,21,2BC AC AB a a =-=-=--，由||1BC =得()2121a +-=解得2a =，故()1,0BC =-，所以2cos ,2441AB BC AB BC AB BC⋅===-+⋅⋅，故3π,4AB BC =. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法、数量积和模的坐标运算，考查两个向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，Q 为抛物线上一点，连接PF 并延长交抛物线的准线于点P ，且点P 3|2||=PQ QF ，则直线PF 的方程为（ ）A ．330x y --=B ．330x y +-=C ．330x y --=或330x y +-=D ．310x y --=【答案】D【解析】根据P 的纵坐标为负数，判断出直线PF 斜率大于零，设直线PF 的倾斜角为θ，根据抛物线的定义，求得cos θ的值，进而求得θ，从而求得tan θ也即直线PF 的斜率，利用点斜式求得直线PF 的方程. 【详解】由于P 的纵坐标为负数，所以直线PF 斜率大于零，由此排除B,C 选项.设直线PF 的倾斜角为θ.作出抛物线24y x =和准线1x =-的图像如下图所示.作QA PA ⊥，交准线1x =-于A 点.根据抛物线的定义可知QF QA =，且QFx AQP θ∠=∠=.依题意3||2||=PQ QF ，故在直角三角形PQA 中3cos 2QA QF PQ PQ θ===，所以π6θ=，故直线PF 的斜率为π3tan63=，所以直线PF 的方程为()3013y x -=-，化简得310x y --=.故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知()ln f x x =，0,01()22,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩，则方程()()1+=f x g x 的实数根个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用分段函数表示出()()f x g x +，画出()()f x g x +的图像，根据()()f x g x +图像与1y =±的交点个数，求得方程()()1+=f x g x 的实数根个数. 【详解】()ln ,01ln ,1x x f x x x -<≤⎧=⎨>⎩，而0,01()22,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩0,01,124,2x x x x x <≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 所以()()f x g x +ln ,01ln ,12ln 4,2x x x x x x x x -<≤⎧⎪=-<<⎨⎪+-≥⎩.令()()()h x f x g x =+，当12x <<时，()'110h x x =-<，()h x 递减；当2x ≥时()'110h x x=+>，()h x 递增.由此画出()h x 图像下图所示.由于可知，()()f x g x +图像与1y =±的交点个数为3个. 故选：B.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知3(2)(1)++mx x 的展开式中3x 的系数为5，则m =________. 【答案】1【解析】利用乘法分配律，结合二项式展开式的通项公式，利用展开式中3x 的系数为5列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意可知，展开式中3x 的项为()3322333223C x mx C x m x ⋅+⋅=+，所以235m +=，解得1m =. 故答案为：1. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法分配律，属于基础题. 14．设数列{}n a 满足()21*123222-++++=∈n n a a a a n n N ，则11a =________.【答案】1012 【解析】先求得1a 的值，然后利用退1作差法，求得n a ，由此求得11a 的值. 【详解】由21123222n n a a a a n -++++=①得：当1n =时，11a =；当2n ≥时，2212312221n n a a a a n --++++=-②， ①-②得11121,2n n n n a a --⋅==. 所以11111101122a -==. 故答案为：1012. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.15．关于函数()sin 2()6π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R f x x x 有下列命题，其中正确的是________.①()y f x =的表达式可改写为()cos 2()3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R f x x x ； ②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称【答案】②④【解析】利用诱导公式、三角函数的最小正周期公式、正弦型三角函数的对称性对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】对于①，由诱导公式得π()sin 2cos 2626f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π2ππcos 2cos π2cos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故①错误.对于②，()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故②正确. 由于ππsin 162f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的对称轴，故③错误、④正确.故答案为：②④ 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的最小正周期、对称性等知识，属于基础题.16．已知圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________. 【答案】52【解析】求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为1，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】圆C 方程可化为()22253x y +-=，故圆心为()0,5，半径3r =.由于圆C 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，所以圆心到渐近线的距离为2.不妨设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点到直线距离公式得225552,2a a c e c a ab -====+. 故答案为：52. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率三、解答题17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图.（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；（Ⅱ）以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于[)20,40（单位：万元）的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）33.6；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I ）先求得[)20,40的频率，利用每组中点值作为代表，成立各自的频率然后相加，求得该市企业年上缴税收的平均值.（II ）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图得：1(0.0030.0030.00650.0125)200.5-+++⨯=∴该市企业年上缴税收平均值估计为：100.25300.5500.13700.069000633.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）0,1,2,3,4X =40411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴X 的分布列为：∵1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴1()422=⨯=E X 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数，考查二项分布的识别和分布列、数学期望的计算，属于中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin =A A ，4b =，4⋅=-AB AC ．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ADC 的面积【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ. 【解析】（I ）先求得tan A 的值，由此求得A 的大小，利用4⋅=-AB AC 列方程，求得c 的值，由此利用余弦定理求得a 的值.（II ）求得π6BAD ∠=，求得ABD ∆和ACD ∆的面积比，结合ABC ∆的面积，求得ACD ∆的面积.【详解】（Ⅰ）sin =A A 得tan A =∵(0,)A π∈，∴23A π=又4⋅=-AB AC ，∴2cos43π=-cb ，∵4b =，∴2c = 由余弦定理得2222cos 28=+-=a b c bc A ，∴2a =（Ⅱ）由题设可得2CAD π∠=，∴6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=，故ABD △面积与ACD 面积的比值为1sin 126142π⋅⋅=⋅AB AD AC AD .又ABC 的面积为142sin 232⨯⨯⨯∠=BAC .所以ACD 的面积为835【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，PAB △是等边三角形.（Ⅰ）证明：AB PD ⊥；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面--角A PB C 的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）55-. 【解析】（I ）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，利用等比三角形的性质得到PO AB ⊥，利用有一个角是60的菱形的几何性质，证得⊥DO AB ，由此证得AB ⊥平面POD ，从而证得AB PD ⊥.（II ）证得⊥PO DO ，结合,PO OB DO OB ⊥⊥，以O 为原点，建立空间直角坐标系，通过计算平面APB 和平面CPB 的法向量，求得二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD∵PAB △是等边三角形，∴PO AB ⊥ 又∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒ ∴ABD △是等边三角形 ∴⊥DO AB ∵=PODO O ，PO ，DO ⊂平面POD∴AB ⊥平面POD ∵PD ⊂平面POD∴AB PD ⊥ （Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面=BCD AB ，PO AB ⊥∴PO ⊥平面ABCD ，∴⊥PO DO以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，设2AB =平面P AB 的一个法向量为(0,1,0)m =，3)P ，(1,0,0)B ，3,0)C ∴(1,0,3)=PB ，3,3)=PC设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则302330x z x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得3x 1y =- ∴(3,1,1)=-n设二面角A PB C --的平面角为θ，θ为钝角∴||1cos ||||55θ⋅=-=-=-⋅m n m n 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明线线垂直，考查面面垂直的性质定理，考查空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 20．已知函数()ln 1()=-+∈R f x x ax a . （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2f x x ≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）极大值为1lna，无极小值；（Ⅱ）1a ≤-. 【解析】（I ）求得函数()f x 的定义域和导函数()'f x ，对a 分成0,0a a ≤>两种情况分类讨论，求得函数()f x 的极值.（II ）对不等式()2f x x ≥分离常数a ，即ln 12≤-+x a x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，构造函数ln 1()2=-+x h x x x ，利用导数求得()h x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，11()'-=-=ax f x a x x， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，此时()f x 无极值 当0a >时， 令()0f x '≥得10<≤x a令()0f x '<得1x a>∴()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数.∴()f x 的极大值为11ln ⎛⎫=⎪⎝⎭f a a ，无极小值 （Ⅱ）由()2f x x ≥得ln 12≤+-ax x x∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴ln 12≤-+x a x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令ln 1()2=-+x h x x x ，2ln ()'-=xh x x， 令()0h x '≥得112x ≤≤，令()0h x '<得12x <≤∴()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在(1,2]上是减函数∴max ()(1)1h x h ==- ∴1a ≤- 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，考查不等式在给定区间上有解的问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为B 、A ，AB 4=，(1,)(0)≠M m m 是椭圆内一点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于P 、Q 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若BMP 的面积是AMQ △的面积的5倍，求实数m 的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）12m =±. 【解析】（I ）根据椭圆的长轴长、离心率，求得c 的值，进而求得b 的值，由此求得椭圆的标准方程.（II ）求得直线,AM BM 的方程，代入椭圆方程，求得,P Q 两点的纵坐标.根据已知得到5=BMP AMQ S S △△，将其转化为54=-ARP MSQ ABM S S S △△△，由此列方程，解方程求得m 的值.【详解】（Ⅰ）由||4AB =，得2a =，又因为c a =c =1b =， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=（Ⅱ）因为(1,)M m ，(2,0)A ，(2,0)B -，所以3=BM mk ，所以:(2)3=+BM m l y x ，由22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294=+Q my m ，同理可得2414=+P my m，又因为5=BMP AMQ S S △△，即()5-=-ABP ABM ABQ ABM S S S S △△△△所以54=-ARP MSQ ABM S S S △△△，所以2241254||1494=-++m mm m m，因为0m ≠ 所以42161630-+=m m ，因为点M在椭圆内，所以2≠±m ， 所以12m =± 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积计算有关问题，考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22．将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220+-=l x y 与曲线C 的交点为1M 、2M ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12M M 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（Ⅱ）34cos 2sin ρθθ=-. 【解析】（I ）根据变换前后坐标的对应关系，利用代入法，求得曲线C 的直角坐标方程，进而求得其参数方程.（II ）联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，求得交点12,M M 的坐标，由此求得线段12M M 中点坐标，结合所求直线的斜率，求得其直角坐标方程，再转化为极坐标方程.【详解】（Ⅰ）设圆上的一点()11,x y ，在已知变换下变为点(, )x y ，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得2212⎛⎫+= ⎪⎝⎭x y即曲线C 的方程为2214x y +=，所以曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（Ⅱ）由2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩ 不妨设1(0,1)M ，2(2,0)M ，则线段12M M 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线斜率2k =，所以所求直线方程为4230--=x y 转化为极坐标方程为4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查椭圆参数方程，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查两条直线垂直时斜率的关系，考查直线的极坐标方程的求法，属于中档题. 23．（Ⅰ）解不等式|1||4|7++-≤x x （Ⅱ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求9411+++a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）[]2,5-；（Ⅱ）254. 【解析】（I ）利用零点分段法，将|1||4|x x ++-表示为分段的形式，由此求得不等式147x x ++-≤的解集.（II ）由2a b +=转化为11144+++=a b ，利用“乘1法”，结合基本不等式，求得9411+++a b 的最小值. 【详解】（I ）解：因为23414514231x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩所以由147x x ++-≤，解得25x -≤≤所以原不等式的解集是[]2,5- （II ）解：由2a b +=，∴(a+1)+(b+1)=4，∴11144+++=a b 949411139(1)11325311114444(1)144++++⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭a b b a a b a b a b 当且仅当9(1)(1)4(1)(1)++=++b a a b 时，取最小值，即75a =，35=b 时，9411+++a b 的最小值是254. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查“乘1法”解与基本不等式的运用有关问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2020年高考数学第三次诊断文科试题+解析答案+评分标准
2019～2020学年第一学期高三第四次诊断考试数学试题（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．复数1ii+的虚部是( ) A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．双曲线2213664x y -=的离心率是( )A ．54BC ．53D ．453．tan300°的值为（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．下列说法不正确的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件D ．若命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”5．角θ的终边经过点(,3)(0)P x x <，且cos x θ=，则x 等于（ ） A． B ． 13- C ． 3- D ．1- 6. 全集U R =，2{|(2)(2)0}A x x x =+-<，{}|4B x x =≤，则图中阴影部分表示( ) A ．(,4){2}[2-∞--，)+∞ B ．(-∞，4]{2}[2--，)+∞ C ．()(),42,-∞-+∞ D ．(,4)[2-∞-，)+∞7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为()ABCD8．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋯中“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得x=( )A．1 B．2C．3 D.4 11．等差数列{}na的前n项和为nS,109a=，10S=最大时n为() A．1B．5 C．6D．7 12．已知函数()()52log1,1()22,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若方程()()lnf x a a R=∈有4个实根，则a的取值范围是()A．(]1,e B．[),e+∞C．)2,e e⎡⎣D．()21,e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{}na中，467,21,a a==，则10a=．14．已知0a >，0b >，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为 ．15．某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为1n +时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为 ．16．已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分） 17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，AC BD ⊥． （Ⅰ）证明：BD PC ⊥；（Ⅱ）若4AD =，2BC =，直线PD 与平面PAC 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．18．（12分）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,)m c a b a =--，(,)n a b c =+，若//m n ．（1）求角B 的大小． （2）求sin sin A C +的取值范围． 19．（12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）求价格落在[16,17)内的地区数；（2）借助频率分布直方图，估计该商品价格的中位数 (精确到0.1)；（3）现从[13,14)， [17,18] 这两组的全部样本数据中，随机选取两个地区的零售价格， 记为m ，n ，求事件“|m －n |>1”的概率．20．（12分）已知函数()(1)(0)af x a x lnx a x=-++>． （1）当2a =时，求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性；21. （12分）已知直线l ：x ＝my +1过椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为点D 、K 、E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==m 变化时，证明：λ1+λ2 是定值；（Ⅲ）当m 变化时，连接AE 、BD ，直线AE 与BD 定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，请考生在第22、23写清题号．22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直， 求直线CD 的倾斜角及点D 的直角坐标． 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a =-，()1g x x =+． （1）若1a =，求不等式()1f x ≤的解集；（2）对任意的x R ∈，2()()2(0)f x g x a a a +≥+>恒成立，求实数a 的取值范围．2020届四诊数学（文）答案一．选择题（共12小题） BCBBDA AADBCC 二．填空题（共4小题） 13．18914．815． 6．16．[0,6]三．解答题（共7小题）17．解：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥； 又AC BD ⊥，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD ∴⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，BD PC ∴⊥；（Ⅱ）设ACBD O =，连接PO ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面PAC ，DPO ∴∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，30DPO ∴∠=︒，由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD PO ⊥．在Rt POD ∆中，由30DPO ∠=︒得2PD OD =．四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD ⊥，AOD ∴∆，BOC ∆均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3222AD BC +=⨯+=， 于是1(42)392ABCD S =⨯+⨯=．在等腰三角形AOD 中，OD AD ==2PD OD ∴==4PA =，11941233P ABCD ABCD V S PA -∴=⨯=⨯⨯=．18．解：（1）//m n ．()()()c c a a b b a ∴-=+-，222c ac b a ∴-=-，2221cos 22a c b B ac +-∴==3B π∴=（2）A B C π++=，23A C π∴+=21sin sin sin sin()sin sin )326A C A A A A A A ππ∴+=+-=+=+203A π<<∴5666A πππ<+<∴1sin()126A π<+…，∴sin sin A C <+…19．解：(1)价格在[16,17)内的频率为1－(0.06＋0.08＋0.16＋0.38)×1＝0.32.所以价格在[16,17)内的地区数为50×0.32＝16.设价格中位数为x ，由0.06＋0.16＋(x －15)×0.38＝0.5，解得x ＝151419≈15.7(元)．(2)由直方图知，价格在[13,14)的地区数为50×0.06＝3，设为x ，y ，z ；价格在[17,18)的地区数为50×0.08＝4，设为A ，B ，C ，D . 若m ，n ∈[13,14)时，有xy ，xz ，yz,3种情况；若m ，n ∈[17,18)时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD,6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18)内时，共有12”所包含的基本事件个数有12种．P (|m －n |>1)＝1221＝47.．20．解：（1）当2a =时，()f x 在1[e -，1]上单调递减，在[1，]e 上单调递增．11()(1)3,()21min f x f f e e e --===+-，12()1,()()f e e f e f e e-=++>， （2）22221(1)[(1)](1)()1a a x x a a x a x f x a x x x x -+--+-'=--+==， ①当1a =时，21()x f x x-'=，所以()f x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减．②当1a >时，1x >或01ax a <-<-，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增； ③当1a <时， 若102a <<时，()f x 在(,1)1a a -上单调递增，在(0,)1a a-和(1,)+∞上单调递减； 若12a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；若112a<<时，()f x在(1,)1aa-上单调递增，在(0,1)和(,)1aa+∞-上单调递减．21．解：（Ⅰ）由题设条件知椭圆右焦点F（1，0），∴c＝1，抛物线的焦点坐标(0,3),∴3b=，∴a2＝b2+c2＝4，∴椭圆C的方程22143x y+=．…（3分）（Ⅱ）由题意知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由22221,(34)690143x mym y myx y=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩∴12122269,,3434my y y ym m--+==++…（5分）又由，∴，同理∴=83-所以，当m变化时，λ1+λ2的值是定值，定值为83-．…（9分）（Ⅲ）先探索，当m＝0时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N，且N（2.5，0），猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2.5，0）．证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2），当m变化时，首先证明直线AE过定点N（2.5，0），∵l AE：y﹣y2＝2114y yx--（x﹣4），当x＝2.5时，y ＝y 2+2114y y x --•（﹣1.5）＝0，∴点N （2.5，0）在直线l AE 上，同理可证，点N （2.5，0）也在直线l BD 上， ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于点N （2.5，0）．22．解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22c o s ρρθ=，可得C的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=剟． 可得C 的参数方程为1cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数，[]0,t π∈) （2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆， 直线CD 的斜率与直线l的斜率相等，tan t ∴3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2．23．解：（1）若1a =，不等式()1f x …，即|21|1x -…，即1211x --剟，求得01x 剟， 故不等式的解集为[]0,1x ∈．（2）对任意的x R ∈，2()|()|2(0)f x g x a a a ++>…恒成立，即2|2||1|2x a x a a -+++…， 故|2||1|x a x -++的最小值大于或等于22a a +．2(1),1|2||1|1,1231,2a x x x a x a x a x x a x a x ⎧⎪-+--<-⎪⎪-++=+--⎨⎪⎪-+>⎪⎩剟，故当2a x =时，|2||1|x a x -++取得最小值为12a +，∴2122a a a +≥+，求得102a <≤．。
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2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. D7. A8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题13. 45-14. 300 15. 12 16. 24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分即 2sin cos )A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =， …………………………3分 而0A π<<，sin 0A ≠所以cos A =所以6A π=. …………………………4分（2）因为11sin 22ABCBC S bc A a h ∆==⋅ …………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =. …………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222)232c c =+-⨯， …………………………8分 即 29180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =， 于是8384q q-⨯=， …………………………2分 即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =， …………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分 1111(1)1n S n n n n ==-++， …………………………9分 于是12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++L L ……10分 令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =. ………………6分 于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， …………………8分 131311()2(2)42n S n n n n =⨯=-++， ……………………9分 于是31111111[(1)()()()]4324112k T k k k k =-+-++-+--++L 3111(1)4212k k =+--++ 9311()8412k k =-+++， ………………………………………10分 令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. (12)分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,y所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ， …………………………2分 又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP u u u r u u u r所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. (6)分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，1(,0)62G ， 11(0,,)22FE =--u u u r，1(,0,)62FG =-u u u r ， 11(0,,)22FP =-u u u r . (7)分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg m m，即00y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，得1y =-，x =1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg n n，即111100x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11y =，得11z =，1x =于是取=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>===g m n m n m n . 所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35. ………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………5分 因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥ ………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥. …………………………………………12分 21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>， 令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分 要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=， 故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ，即：1111ln(1)23n n++++>+L ； ………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--， ………………8分 当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ……3分 （2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=u u u r u u u r g，即1y =. ……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=. （i）将1y =代入椭圆，得212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R . …………5分因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36= 当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号. 所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224x y +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=， ………………………………8分所以O 到直线PQ的距离d =， …………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111|||ty t -+=+=+， …………………10分又=2=== ……………………11分所以2d r ===，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切. …………………………………………12分。