线代试卷及答案

一、选择题（每小题5分，共20分） 1． 设A 为n 阶方阵且0A =，则 （ ）

（A ） 矩阵A 必有两行（列）的元素对应成比例。

（B ） 矩阵A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （C ） 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （D ） 矩阵A 中至少有一行（列）的元素全为零。

2． 设A 是m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则（ ）

（A ） 1r r =。 （B ） 1r r >。 （C ） 1r r <。 （D ） 1r r 与的关系依C 而定。 3．设12,x x 是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，则也是方程组Ax b =的解是（ ）。

（A ） 12x x +。 （B ） 12x x -。 （C ）

12

22

x x +。 （D ） 212x x -。

4．若三阶矩阵A 的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A * 的特征值为（ ）

（A ） 12, 8, 4 （B ） 12, 8, 6 （C ） 8, 6, 3 （D ） 6, 3, 2。

二、填空题：（每小题5分，共20分）

1．设121201101A t t t ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，且线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参

数t 等于 。

2．设α1 = (1，2，1)T ，α2 = (2，3，4)T ，α3 = (3，4，3)T 是R 3的一组基，R 3的向量

α = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。

3．将 1234⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

写成初等矩阵的乘积是 。 4. 若二次型 22212312

31223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++ 是正定的，则a 的取值范围

是 。

《线性代数》课程试卷

＿＿＿＿＿＿学院(系)＿＿＿＿年级＿＿＿＿＿专业

主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）

三、计算证明题：（共60分）

1．（8分）假设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，求矩阵B 。其中

423110123A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

2．（10分）已知向量()1,,1T k α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵的特征向量，试求常数k 的值。

3.（12）求齐次线性方程组13524

1251450

0,0,0

x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩的解空间的一组标准正交基。

4．（10分）设A 为二阶方阵，有二个不同的特征值12,λλ，对应特征向量依次为12,αα，

令12βαα=+, 证明：,A ββ 线性无关。

5．（15分）求正交变换x Py =，把二次型222

12312

31323(,,)44f x x x x x x x x x x =+-++ 化为标准形。

6．（5分）齐次线性方程组0Ax =，其中()

ij n n

A a ⨯=且1

0,1,2,

,,n

ij j a i n ===∑

证明：矩阵A 第一行元素的代数余子式相等。

一、选择题（每小题5分，共20分）

1. (C ) 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。

2.（A ） 1r r = 3．(D) 212x x -。 4．(B) 12, 8, 6 二、填空题：（每小题5分，共20分）

1．……, 则参数t 等于 1 . 2．……, 关于这组基的坐标为 1

1(,0,)22

T

-

3．……, 初等矩阵的乘积是101012310201⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦或101110310102-⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

或…… 4．……, 则a 三、计算证明题：（共60分）

1.（8分）解 由于2AB A B =+知(2)A E B A -= ------------------------------------------- 2

由于 1

1

223143(2)110153121164A E ----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

----------------------- 4

1143423386(2)153110296.1641232129B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪

=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

----- 2

2．（10分）解 设λ是矩阵1

A -对应于特征向量α的特征向量，则 A -1α = λα

两边同时左乘矩阵A ，得 α = λA α ------------------------------------ 2

即 12111312122.111213k k k k k λλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪

==+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由此得线性方程组

()(

)31,

21.k k k λλ+=⎧⎪⎨

+=⎪⎩ 解得

11,

2.

k λ=⎧⎨=-⎩ 或

2

1,41.

k λ⎧

=⎪⎨⎪=⎩ 因此当21k =-或时，向量α是1

A -的特征向量。 --------------- 8

3.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换