高中数学讲义 命题形式变化及真假判定

第1炼 命题形式变化及真假判定

一、基础知识： （一）命题结构变换

1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”

2、p q ∨，p q ∧

（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨

（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧ 3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法

（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：

p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝

（3）全称命题与存在性命题的否定

全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变

① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化

（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联

2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：

简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。 4、全称命题：

真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：

真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题

例1：命题“若方程2

0ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ） A. “若0ac >，则方程2

0ax bx c -+=的两根均大于0” B. “若方程2

0ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤” C. “若0ac ≤，则方程2

0ax bx c -+=的两根均不大于0” D. “若0ac ≤，则方程2

0ax bx c -+=的两根不全大于0”

思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac >”的对立面是“0ac ≤”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D 选项正确 答案：D

例2：命题“存在2

,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）

A ． 存在2

,20x Z x x m ∈++> B ．不存在2

,20x Z x x m ∈++>

C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤

D ．对任意2

,20x Z x x m ∈++>

思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化222020x x m x x m ++≤→++>，但x 所在集合不变。所以变化后的命题为：

“对任意2,20x Z x x m ∈++>”

答案：D

例3：给出下列三个结论

（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“p q ∨”为假命题

（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠” （3）命题“,20x

x R ∀∈>”的否定是“,20x

x R ∃∈≤”，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

思路：（1）中要判断p q ∨的真假，则需要判断,p q 各自的真值情况，q ⌝为假命题，则q 为真命题，所以,p q 一假一真，p q ∨为真命题，（1）错误

（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“0x =或0y =”的否定应该为“0x ≠且0y ≠”，所以（2）错误

（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x 的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确

综上只有（3）是正确的 答案：C

例4 ：有下列四个命题

① “若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题

③ “若1q ≤，则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ）

A. ①②

B.②③

C. ①③

D. ③④

思路：①中的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题。②中的否命题为“如

果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。1q ≤时，判别式440q ∆=-≥，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确 答案：C

小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例5：下列命题中正确的是（ ）

A. 命题“x R ∃∈，使得210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有2

10x -<”

B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2

230x x --≠” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题 D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题

思路：分别判断4个选项的情况，A 选项命题的否定应为“x R ∀∈，均有2

10x -≥”，B 选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D 错误 答案：B

例6：如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则（ ） A. 命题“p ⌝或q ”是假命题 B. 命题“p 或q ”是假命题 C. 命题“p ⌝且q ”是真命题 D. 命题“p 且q ⌝”是真命题

思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以q ⌝为入手点，可得q 是真命题，而因为p 且q 是假命题，所以p 只能是假命题。进而p ⌝是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C 的判断是正确的 答案：C

例7：已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则2

2

x y >，在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④ ()p q ⌝∨中，真命题是（ ）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④