几何概型_基础学案
必修3几何概型教案
授课教师：丹阳市第五中学 史培喜 教材：苏教版必修 3 一．教学目标 知识目标 1.了解几何概型的概念及基本特点； 2.熟练掌握几何概型的概率公式； 3.正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 能力目标 培养学生类比、归纳等数学思维，渗透数形结合的数学思想，学会应用数学知识 来解决实际问题，从而提高学生的思维能力。 情感、态度、价值观 让学生感受探索数学问题的喜悦和体验成功的乐趣，使学生认识到数学与现实生 活的联系，从“发现”中体验成功，养成主动探索求知的习惯，培养学生合作交流的 意识。 二．教学重点和难点 （1）重点： ①正确理解几何概型的定义、特点； ②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。 （2）难点： ①将实际问题抽象成几何概型； ②几何概型的概率计算中测度的选择。 三．教学方法 探究式教学 四．教学过程 (一)复习 1.古典概型的特点 （1）基本事件个数为有限个； （2）每一个基本事件都是等可能发生的． 2.古典概型的概率计算公式
10m
2m
8m
1
（三)建构数学一 1.定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好 取到上述 区域内的某个指定区域中的点． 我们把满足这样条件的概率模型称为几何概 型． 2.特点 （１）基本事件有无限个； （２）每个基本事件的发生都是等可能的． 3.异同 （1）同：每个基本事件的发生都是等可能的； （2）异：基本事件个数不同。 （四）合作探究 问题：在大的矩形区域内任取一点，那么取到绿色小矩形区域内一点时的概率是多 少？ 变式 1：如图，若一只小蚂蚁在某一墙角边缘 AB 上任意爬行，它随机地停于线段 AB 上任意一个位置，那么它恰好停在线段 CD 上的概率是多少？
几何概型教案
几何概型教案教案内容：一、教学目标：1. 知识目标：掌握几何概念和定理，如平行线、垂直线、等腰三角形等。
2. 技能目标：能够应用几何概念解决实际问题，如计算线段长度、角度大小等。
3. 情感目标：培养学生对几何学科的兴趣，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学重难点：1. 重点：平行线与垂直线的概念和判定方法。
2. 难点：应用几何定理解决实际问题。
三、教学方法：1. 概念讲解法：通过教师讲解和示意图，引导学生理解几何概念和关系。
2. 问题解决法：给出实际问题，让学生通过分析和计算，应用几何知识解决问题。
3. 合作学习法：鼓励学生进行小组合作，通过互相讨论和合作完成练习和问题解答。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一幅几何图形，引导学生观察并思考，提问如下：a. 你能发现图中有哪些几何形状？b. 是否能找到两条平行线？找出它们的特点。
c. 是否能找到两条垂直线？找出它们的特点。
2. 概念讲解：a. 平行线的定义和判定方法：通过教师讲解和示意图，引导学生理解平行线的概念和判定方法。
b. 垂直线的定义和判定方法：通过教师讲解和示意图，引导学生理解垂直线的概念和判定方法。
c. 其他几何概念和定理的讲解：根据教材内容，讲解其他几何概念和定理，如等腰三角形、直角三角形等。
3. 练习与实践：a. 给出一些练习题，让学生运用所学的几何知识计算线段长度、角度大小等。
b. 给出一些实际问题，让学生应用几何知识解决问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
4. 总结与归纳：通过学生讨论和总结，归纳几何概念和定理的要点，并与学生一起整理笔记，形成学习资料。
五、教学评价：通过课堂练习和问题解答，评价学生对几何概念和定理的理解和应用能力。
六、拓展延伸：推荐学生参阅几何学方面的相关书籍或网站，拓宽他们的几何知识。
七、教学反思：对本节课的教学进行回顾和反思，总结教学中的不足之处，并提出改进措施。
高中数学必修3《几何概型》学案
3.3.1几何概型授课日期: 姓名: 班级:一、学习目标1、知识与技能：1、通过具体实例正确理解几何概型的定义及与古典概型的区别；2、掌握几何概型的概率计算公式并能进行简单的计算与应用.2、过程与方法：让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、学习重难点重点：理解几何概型的定义，会用公式计算概率；难点1、等可能性的判断及对几何概率模型中基本事件的构成分析；2、将实际问题转化为几何概型.三、学法指导1．通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法；阅读教材135—136页完成导学案四、知识链接1.古典概型的两个基本特征?2、计算古典概型的公式：五、学习过程1.主动探索问题1：在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针指向红色区域的可能性大？红红红红红红问题1 图问题2 图问题2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?2.领悟归纳问题3：什么是几何概率模型问题4：几何概率模型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.A问题5:在几何概型中,事件A的概率的计算公式: A问题6:古典概型与几何概型的关系：联系:两种模型的基本事件发生的可能性都相等；区别:古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则要求基本事件有无限多个。
3.几何概型的计算例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．()下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm 的概率．A．1B．2C．3 D．4用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )A.23B.13C.16D.14(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为________．4.【课堂小结】1.几何概型的特点.2.古典概型与几何概型的关系：联系:两种模型的基本事件发生的可能性都相等；区别:古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则要求基本事件有无限多个。
高中数学几何概型教案
高中数学几何概型教案一、教学目标1. 让学生理解几何概型的概念，掌握几何概型的基本性质和特点。
2. 培养学生运用几何概型解决实际问题的能力。
3. 通过对几何概型的学习，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 几何概型的定义与特点2. 几何概型的分类3. 几何概型的概率计算方法4. 几何概型在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：几何概型的概念、特点和概率计算方法。
2. 难点：几何概型在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究几何概型的相关知识。
2. 利用多媒体课件，辅助教学，增强学生对几何概型的空间想象力。
3. 结合实际例子，让学生感受几何概型在生活中的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的抽奖活动，引导学生思考抽奖活动的概率问题，从而引入几何概型的概念。
2. 自主学习：让学生阅读教材，理解几何概型的定义与特点。
3. 课堂讲解：讲解几何概型的分类和概率计算方法。
4. 课堂练习：让学生完成一些有关几何概型的练习题，巩固所学知识。
5. 应用拓展：结合实际例子，让学生运用几何概型解决实际问题。
六、教学评价1. 评价学生对几何概型的概念、特点和概率计算方法的掌握程度。
2. 评价学生运用几何概型解决实际问题的能力。
3. 评价学生在课堂练习中的表现，包括解题速度和正确率。
4. 评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学资源1. 教材：高中数学几何概型相关内容。
2. 多媒体课件：用于展示几何概型的图形和实例。
3. 练习题库：用于课堂练习和课后作业。
4. 实际案例：用于引导学生将几何概型应用于实际问题。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍几何概型的概念和特点。
2. 第二课时：讲解几何概型的分类和概率计算方法。
3. 第三课时：课堂练习和应用拓展。
九、教学反思1. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法是否有效，是否能够激发学生的兴趣和参与度。
高中数学几何概型教案模板
高中数学几何概型教案模板教学目标：
1. 熟练掌握数学几何概型的相关概念和定理；
2. 能够运用几何概型进行问题求解；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：
1. 几何概型的基本概念；
2. 几何概型定理的应用。
教学难点：
1. 几何概型问题的解题方法；
2. 复杂几何概型问题的解决思路。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 教学板书；
3. 习题集。
教学过程：
一、导入
1. 引入几何概念，让学生了解几何概型在数学中的重要性；
2. 利用实例引导学生思考几何概型问题的解决方法。
二、讲解
1. 介绍几何概型的定义和相关定理；
2. 结合例题详细讲解几何概型问题的解题思路和方法；
3. 强化重点、难点内容。
三、练习
1. 给学生布置一些练习题，让他们独立进行解答；
2. 讲解解题思路，指导学生解决问题的方法。
四、总结
1. 回顾本节课学习的内容，强化重点知识；
2. 结合实例再次强化几何概型问题的解题方法。
五、作业
布置相关作业，巩固学生对几何概型的理解和应用能力。
师生互动：
1. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学习兴趣；
2. 辅导学生解题思路，帮助他们掌握几何概型的解题方法。
教学反思：
1. 总结本节课教学中存在的问题，及时调整教学策略；
2. 收集学生反馈意见，改进教学方法，提高教学效果。
《必修三《几何概型》教案
《必修三《几何概型》教案教案：几何概型一、教学目标1.知识与技能：-了解几何概型的基本概念和相关属性；-掌握计算几何概型的可能性和概率；-能够运用几何概型解决实际问题。
2.态度与价值观：-培养学生对几何概型的兴趣和好奇心；-培养学生合作、探究和创新精神。
二、教学重点和难点1.重点：-几何概型的基本概念和相关属性；-计算几何概型的可能性和概率。
2.难点：-运用几何概型解决实际问题。
三、教学过程1.教学准备：-教师准备PPT、绘制几何概型相关图形。
2.导入与引入：-向学生提问：“大家了解什么是几何概型吗？”-学生回答后，教师进行引导，介绍几何概型的基本概念和相关属性。
3.概念讲解：-讲解几何概型的基本概念，例如：平面上点、线、面，三维空间中体等；-讲解几何概型的相关属性，例如：相似、相等等；-通过示例和图像说明几何概型的应用，如建筑设计、工程测量等。
4.练习与讨论：-让学生通过绘制几何概型图形，进行练习；-学生分组讨论几何概型的相关问题，例如：如何计算不同形状的房屋占地面积等。
5.案例分析：-教师给出一个实际生活中的案例，例如：如何计算一个无规则形状的花坛的面积；-学生利用几何概型的知识和技巧，分析并解决这个问题；-学生分组展示自己的解决过程和答案，并进行讨论。
6.解决问题与拓展：-继续给学生出一些难度适中的问题，让学生运用几何概型的知识和技巧解决；-引导学生思考如何拓展几何概型的应用领域，发现几何概型在日常生活中的其他应用。
四、课堂小结-教师对本课的教学内容和学生的表现进行总结；-检查学生对几何概型的掌握情况，回答学生提出的问题；-引导学生对几何概型的学习进行反思和思考。
五、作业布置-布置相关练习题，要求学生运用几何概型的知识和技巧解答；-要求学生写一篇小结，总结几何概型的基本概念和相关属性。
六、教学反思-分析课堂教学过程中的不足和问题；-总结有效的教学方法和策略，为下一节课的教学做好准备。
几何概型教案
几何概型教案教案标题：几何概型教案教案目标：1. 理解几何概型的概念和基本特征。
2. 掌握几何概型的分类和属性。
3. 能够应用几何概型解决实际问题。
教学重点：1. 几何概型的定义和分类。
2. 几何概型的属性和特征。
3. 几何概型在实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解几何概型的抽象概念。
2. 掌握几何概型的分类和属性。
3. 能够将几何概型应用于实际问题的解决过程中。
教学准备：1. 教师：准备几何概型的教学材料和示例问题。
2. 学生：准备纸张、铅笔、直尺和量角器等几何工具。
教学过程：引入活动：1. 教师可以通过展示一些几何概型的图片或实物，引发学生对几何概型的兴趣和好奇心。
2. 教师可以提出一个实际问题，例如：“如何设计一个最节省材料的房屋平面图？”引导学生思考几何概型在解决问题中的应用。
知识讲解：1. 教师简要介绍几何概型的定义和基本特征，例如：几何概型是由一组基本几何图形组成的抽象图形。
2. 教师详细介绍几何概型的分类和属性，例如：点、线、面、体等不同维度的几何概型，以及它们的性质和特征。
示例演练：1. 教师通过示例问题，引导学生运用几何概型解决实际问题。
例如：“如何确定一个三角形的面积？”2. 学生根据所学的几何概型知识，使用直尺和量角器等工具，计算并解决示例问题。
拓展应用：1. 学生分组或个人完成几个类似的实际问题，运用几何概型解决，并向全班展示解决过程和结果。
2. 教师和其他学生对解决过程和结果进行评价和讨论，提出改进和优化的建议。
总结回顾：1. 教师对本节课的内容进行总结和回顾，强调几何概型的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课所学的几何概型知识进行复习和巩固。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究不同几何概型的性质和特征，拓展应用领域。
2. 学生可以参与几何概型的实际设计和建模活动，提高实践能力。
教学评估：1. 教师可以通过观察学生的课堂表现和问题解决能力，评估他们对几何概型的理解和掌握程度。
几何概型学案
一、知识点1.几何概型的特点：（1） 。
（2） 。
2. 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的 、 、 成比例．3.几何概型的概率计算公式： 。
4..几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果二、课前自测1. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.2521 2、设线段AB=10cm,在AB 上任取一点M ，使MA>2且MB>2的概率是 。
3、已知半径为3的圆内有一边长为2的正方形，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 。
4、在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，求含有麦锈病的种子的概率为 。
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.例2：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求海豚离岸边不超过2米的概率？例3： 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求这枚硬币不与任一条平行线相碰的概率。
20m例4：为了顾及水库中鱼的尾数，可以使用一下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库。
经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾。
试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数。
练习：某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：（1）求这种鱼卵的孵化概率；（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？几何概型课后拓展案1. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.81 2. 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，他等待的时间短于10min 的概率为3.把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为4.在长为10cm 的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率是5.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于2S 的概率是6. 甲、乙二人约定在 0时到 5 时之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。
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几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点;2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式;3.会进行简单的几何概率计算;4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想【要点梳理】要点一：几何概型1.几何概型的概念:对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型2.几何概型的基本特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率:般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域d内"为事件A，贝y事件A发生的概率P(A) = D的测度.说明:(1)D的测度不为0 ；⑵ 其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积(3)区域为＂开区域＂；(4)区域 D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为:P=的长度/L的长度(2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为:P=g的面积/G的面积(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为:P=v的体积N的体积要点二:均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用2.随机数的产生方法(1) 实例法. 包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAN函数都能产生0〜1之间的均匀随机数.(3)计算机软件法. 几乎所有的高级编程语言都有随机函数, 借用随机函数可以产生一定范围的随机数.要点诠释：1.在区间［a，b］上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a) + a,可以产生任意区间［a , b］上的均匀随机数.典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1.取1根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？思路点拨】从每一个位置剪断绳子, 都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个, 而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。
【答案】13【解析】如图所示, 都不小于I m｝，则事件AB=3 m, AC=BD=1 m,设事件M=｛剪得的两段绳长M发生时，剪断位置应位于线段CD上.••• P(MH-,31m的概率为-.3【总结升华】我们将这个基本事件理解为从某个特定的几何区——$即剪得的两段长都不小于域上随机地取一点，该区域中的每一点被取得的机会都一样，一个随机事件的发生可理解为恰好取到上述区域内某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.举一反三:【变式1】一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条,事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率.【答案】35【解析】若把距离绳AB首尾两端1米的点记作M N,则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MNh.用线段MN勺长除以线段AB的长表示事件T的概率.所以P(T) =3 .5【变式2】在面积为S的^ ABC 的边AB上任取一点卩，则^ PBC的面积大于S的概率为(4A .丄B.4【答案】C ).D.类型二：与面积有关的几何概型问题例2.如图，在直角坐标系内，射线 0T 落在60°的终边上，任作一条射线0A ，求射线0A 落在/ xOT 内的概率.【思路点拨】 以0为起点作射线0A 是随机的，因而射线 0A 落在任何位 置都是等可能的，落在/ x0T 内的概率只与/ x0T 的大小有关，符合几何概型 的条件.16记B=｛射线0A 落在/ x0T 内｝.VZ x0T=60 °,二 p （B ）二竺二1.360 6【总结升华】 此题的关键是搞清过点 0可以在平面内任意作射线 0A ，而 且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的.例3.（优质试题 秋 贵州凯里市期中）已知一个等边三角形的三边长为6, —只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，求某时刻该蚂蚁距离三角形 的三个顶点的距离均超过2的概率.【思路点拨】根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 2”为事 件A ,则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过 2”，先求得边长为6的等边三角形的面积，由几何概型可得 P （A ），进而由对立事件的概率性质，可得答案.【答案】1-込27【解析】记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 2”为事件A ,则其对立 事件A 为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过 2”，边长为6的等边三角形的面积为S=—沢62=973 ,【答案】【解析】4则/ ACC / =67.5°，设事件D=｛AM < AC ｝，则事件D 的度量为/ ACC ，,而随 机事件总的度量为/ ACB .则事件A 构成的区域面积为5（入）=*咒22=2兀, 由几何概型的概率公式得P（A）亠卩砂煌亠2^【总结升华】本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质; 解题时如需要计算不规则图形的面积，可用间接法.举一反三:【变式1】如图，在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一 边长为2 cm 的小正方形，问在大正方形内随机投点，求所投 点落入小正方形内的概率.【答案】49【解析】 记A=｛所投点落人小正方形内｝,S 小正方形=22=4 （cm 。
, S 大正方形 =32=9 （cm 。
,... p （A ）=鱼正竺=4S 大正方形 92cn【变式2】在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在/ ACB 内部任作一 条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM < AC 的概率.3 4由题意知射线CM 在/ ACB 内是等可能 【答案】【解析】 分布的.如图所示， 在线段 AB 上取AC / =AC ，连接CC ,SNACC ' 67.5 °—3二P（D"応盲••• AM < AC 的概率为3.4类型三：与体积有关的几何概型问题 【高清课堂：几何概型 例3】例4 .在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出 1升水，含有病毒的概率是多大?【思路点拨】病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的 1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域， 因此可 以用体积比公式计算其概率。
【答案】0.2【解析】设事件A = “取出的1L 含有病毒的水” .A A =1( L), 4。
=5( L)，卩1p(A )=丄=0.2 卩。
5【总结升华】在概率问题中，与体积有关或可以转化为三维空间的，可以采 取几何概型的方法去解决.直接与体积有关的，可直接计算，有时需要先进行转 化成三维空间，然后利用几何概型.举一反三:【变式1】在线段［0,1］上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成 三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大【答案】2【解析】设0到三点的三线段长分别为X, y, z ， 即相应的右端点坐标为X , y , Z ，显然0兰X, y,z 兰1， x + yAz, x + z> y, y + z >x .在线段［0 , 1］上任意投三点x , y , z 与立方体0<x<1 , 0<yw1 , 0兰z 兰1中的点(x,y,z) 一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x 边长为1的立这三条线段构成三角形的充要条件是: 4A DB方体T中均匀地掷点，而点落在x + y〉z,x+z〉y,y + z〉x区域中的概率；这也就是落在图中由△ ADC △ ADB △ BDC △ AOC △ AOB △ BOC所围成的区域G中的概率.由于V(T)=1, V(G)=13一3冷冷讦冷由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大类型四：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率例5.在长为12 cm的线段AB上任取一点M ,并以线段AM为边作正方形, 利用随机模拟法试求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.【思路点拨】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12 cm长的线段上任取一点M ,求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.【解析】(1)用计算器产生一组［0 , 1］内的均匀随机数a=RAND .(2)经过伸缩变换，a=12ai得到一组［0, 12］内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和［6, 9］内随机数的个数N1.(4)计算频率NN记事件A=｛正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间｝=｛正方形的边长介于6 cm与9 cm之间｝，则P (A)的近似值为仁⑴二吐」N 4【总结升华】用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；用计算机产生随机数。
可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.全国名校高中数学必修三优质学案汇编(附详解)举一反三:【变式11 (优质试题春河北石家庄期末)在区间［0, 1］上随机地取两个数X, y组成点P (X, y),求满足x^+y? 口的事件概率.y【思路点拨1该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可.【解析1由题意可得｛0：；：;的区域为边长为1的正方形，面积为1, :xFU的区域是圆的内部的阴影区域，其面积S十,•••在区间［0, 1］上随机地取两个数X, y组成点P (X, y),求满足宀心的事件概率为2。