格林公式

例 3 按不同路线计算 ∫ 2 xydx + x 2 dy ：
L
(1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； (3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1)． 我们已求得沿三条路线都有 y B(1, 1) x=y2 y=x2 O A (1, 0) x
a b
简要证明： 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明． 设D={(x, y)|1(x)≤y≤2(x), a≤x≤b}．则 b P ∫∫ y dxdy = ∫a {P[ x, 2 ( x)] P[ x, 1 ( x)]}dx ． D 另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
∫ Pdx = ∫ Pdx + ∫ Pdx = ∫ P[ x, ( x)]dx + ∫
Q P =2x2x=0． x y
令P=2xy，Q=x2， 则
∫
问：
L
2 xydx + x 2 dy =± ∫∫0dxdy =0．
D
为什么二重积分前有“±”号？
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ． D
例 3 计算 ∫∫ e 例3
D
y2
dxdy ，其中 D 是以 O(0, 0)，A(1, 1)，B(0, 1)
简要证明： 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明． 设D={(x, y)|1(x)≤y≤2(x), a≤x≤b}．则 b 2 ( x ) P ( x, y ) P ∫∫ y dxdy = ∫a {∫1 ( x ) y dy}dx D
= ∫ {P[ x, 2 ( x)] P[ x, 1 ( x)]}dx ．
xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 =0，
其中 l 的方向取逆时针方向．于是 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
y L D l O D1 x
=∫
2π
0
r cos θ + r sin θ dθ =2π． 2 r
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得
y L D
xdy ydx ∫L x 2 + y 2 =0；
O
x
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ． D
以上两个等式合并得格林公式
格林公式的简单应用： 取P=y，Q=x，即得
2 ∫∫ dxdy = ∫ xdy ydx ，
L
D
从而闭区域D的面积为
1 A= 2
∫ xdy ydx ．
L
例1 求椭圆x=a cosθ ，y=b sinθ 所围成图形的面积A． 解
1 A= 2 1 ∫L xdy ydx = 2
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
( x, y )
( x0 , y 0 )
Pdx + Qdy ．
若起点(x0, y0)为G内的一定点，终点(x, y)为G内的动点，则
u(x, y) = ∫
为G内的的函数．
( x, y )
( x0 , y 0 )
Pdx + Qdy
讨论： 1、在什么情况下曲线积分可化为二重积分计算？ 2、在已知曲线积分与路径无关条件下如何计算曲线积分？ 3、求曲线积分所确定的函数：u ( x, y ) = ∫( x
P Q Q P = = 0 ，由格林公式，对任意闭曲线 L， 若 ， ，则 y x x y
Q P 有 ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ x y dxdy = 0 ． L D
曲线积分与路径无关的充要条件： 定理2 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G
内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无
( x, y )
0 , y0 )
2 xydx + x 2 dy
并求u(x, y)的全微分．与曲线积分比较你能发现什么？ y 提示： u ( x, y ) = ∫ 2 xy0 dx + ∫ x 2 dy
x0 y0 x y
(x, y)
=x2y0 x02y0+ x2y x2y0= x2y x02y0． du(x, y)=2xydx+x2dy． O (x0, y0) (x, y0) x
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G 内具有一阶连续偏导数，则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数 u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式
P Q = y x
在G内恒成立．
简要证明： 必要性：假设存在某一函数u(x, y)，使得 du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy， 则必有 从而
L
闭曲线 C 的曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 等于零．
L
曲线积分与路径无关的充要条件： 定理2 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G
内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无
L
关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是等式 P Q = y x 在G内恒成立． 条件的充分性：
∫
2π
0
(ab cos 2 θ + ab sin 2 θ )dθ
2π 1 = ab ∫ dθ =πab． 0 2
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ． D
例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
∫
解 因此，由格林公式有
L
2 xydx + x 2 dy = 0 ．
格林公式： 定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ， D
Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的取正向的边界曲线． 应注意的问题： 对复连通区域D，格林公式右 端应包括沿区域D的全部边界的曲 线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向．
∫ 2 xydx + x
L
2
dy =1．
这里P=2xy，Q=x2．在整个平面内恒有
P Q = ， y x
所以曲线积分与路径无关．
再看本节例4：
xdy ydx 例 4 计算 ∫ 2 ，其中 L 为一条无重点、分段光滑且不 L x + y2 经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
我们前面已求得
xdy ydx 例 4 计算 ∫ 2 ，其中 L 为一条无重点、分段光滑且不 L x + y2 经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
解 记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)∈D时，选取适当小的 r>0，作位于D内的圆周l ：x2+y2=r 2 ． 记L和 l 所围成的闭区域为 D1．在复连通区域D1上应用格林公式得
§10.3 格林公式及其应用
一、格林公式
单连通与复连通区域、区域边界曲线的正方向 格林公式、格林公式的简单应用：
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关的含义 曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性 曲线积分与路径无关的充要条件 由曲线积分确定的函数
三、二元函数的全微分求积
定理3、求原函数的公式、思考与练习：
由曲线积分确定的函数：
在定理 2 的条件下积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关．曲线
L
积分 ∫ Pdx + Qdy 的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关．在这
L
种情况下可把曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 记为 ∫
L
( x, y )
( x0 , y 0 )
Pdx + Qdy ，即
L
关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是等式 P Q = y x 在G内恒成立． 应注意的问题： 定理要求，区域G是单连通区域，且函数P(x, y)及Q(x, y)在G 内具有一阶连续偏导数． 如果这两个条件之一不能满足，那么定 理的结论不能保证成立．
再看§10.3 例3： §
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
LLeabharlann Baidu
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ． D
O
x
xdy ydx 例 4 计算 ∫ 2 ，其中 L 为一条无重点、分段光滑且不 L x + y2 经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向． y x 解 令 P= 2 ，Q = 2 ． 2 2 x +y x +y
L2
∫
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ∫ Pdx + Qdy ∫ Pdx + Qdy =0 =0
L2 L1 L2 L1 L2
∫ Pdx + Qdy + ∫
所以有以下结论：
Pdx + Qdy =0 ∫
L1 + ( L2 )
Pdx + Qdy =0，
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任意
一、格林公式
单连通与复连通区域： 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域．
单连通
复连通区域
一、格林公式
单连通与复连通区域： 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域． 区域边界曲线的正方向：
为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2
dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
2 2 2 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关： 设G是一个开区域，P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续 偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L 1、L 2， 等式
∫
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy
L2
∫ Pdx = ∫ {P[ x, ( x)] P[ x,
L
a 1
b
2
( x)]}dx ．
因此
P ∫∫ dxdy = ∫ Pdx ． L y D Q ∫∫ x dxdy = ∫L Qdx ． D
设D={(x, y)|ψ1(y)≤x≤ψ2(y), c≤y≤d}．类似地可证
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫L Pdx + Qdy ． D
xdy ydx =0； 当(0, 0)D时，∫L 2 2 x +y xdy ydx 当(0, 0)∈D时，∫L 2 =2π． 2 x +y y x 这里 P = 2 ，Q = 2 2 2 ， x +y x +y P Q y2 x2 2 2 = 当 x +y ≠0 时，有 ． 在原点不满足定理条件 = 2 2 2 y x ( x + y ) 所以闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关．
L
L1 L2 a
1
b
a
b
P[ x, 2 ( x)]dx
= ∫ {P[ x, 1 ( x)] P[ x, 2 ( x)]}dx ．
a
b
简要证明： 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明． 设D={(x, y)|1(x)≤y≤2(x), a≤x≤b}．则 b P ∫∫ y dxdy = ∫a {P[ x, 2 ( x)] P[ x, 1 ( x)]}dx ． D 另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有